4.4.2 对数函数的图象和性质-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页4.4.2对数函数的图象和性质（4种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：对数函数的图象问题1.当a>1时，在同一坐标系中，函数y＝a－x与y＝logax的图象为()ABCD【答案】C【解析】∵a>1，∴0<eq\f(1,a)<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.2.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解]∵f(x)＝loga|x|，∴f(－5)＝loga5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．3．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解](1)作出函数y＝log3x的图象如图所示．(2)令f(x)＝f(2)，即log3x＝log32，解得x＝2.由图象知：当0<a<2时，恒有f(a)<f(2)．所以所求a的取值范围为0<a<2.题型二：比较对数值的大小4.比较下列各组值的大小：(1)log5eq\f(3,4)与log5eq\f(4,3)；(2)logeq\f(1,3)2与logeq\f(1,5)2；(3)log23与log54.[解](1)法一(单调性法)：对数函数y＝log5x在(0，＋∞)上是增函数，而eq\f(3,4)<eq\f(4,3)，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).法二(中间值法)：因为log5eq\f(3,4)<0，log5eq\f(4,3)>0，所以log5eq\f(3,4)<log5eq\f(4,3).(2)法一(单调性法)：由于logeq\f(1,3)2＝eq\f(1,log2\f(1,3))，logeq\f(1,5)2＝eq\f(1,log2\f(1,5))，又因对数函数y＝log2x在(0，＋∞)上是增函数，且eq\f(1,3)>eq\f(1,5)，所以0>log2eq\f(1,3)>log2eq\f(1,5)，所以eq\f(1,log2\f(1,3))<eq\f(1,log2\f(1,5))，所以logeq\f(1,3)2<logeq\f(1,5)2.法二(图象法)：如图，在同一坐标系中分别画出y＝logeq\f(1,3)x及y＝logeq\f(1,5)x的图象，由图易知：logeq\f(1,3)2<logeq\f(1,5)2.(3)取中间值1，因为log23>log22＝1＝log55>log54，所以log23>log54.5．比较下列各组值的大小：(1)logeq\f(2,3)0.5，logeq\f(2,3)0.6；(2)log1.51.6，log1.51.4；(3)log0.57，log0.67；(4)log3π，log20.8.[解](1)因为函数y＝logeq\f(2,3)x是减函数，且0.5<0.6，所以logeq\f(2,3)0.5>logeq\f(2,3)0.6.(2)因为函数y＝log1.5x是增函数，且1.6>1.4，所以log1.51.6>log1.51.4.(3)因为0>log70.6>log70.5，所以eq\f(1,log70.6)<eq\f(1,log70.5)，即log0.67<log0.57.(4)因为log3π>log31＝0，log20.8<log21＝0，所以log3π>log20.8.题型三：解对数不等式6.已知函数f(x)＝loga(x－1)，g(x)＝loga(6－2x)(a＞0，且a≠1)．(1)求函数φ(x)＝f(x)＋g(x)的定义域；(2)试确定不等式f(x)≤g(x)中x的取值范围．[解](1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,6－2x>0，))解得1＜x＜3，∴函数φ(x)的定义域为{x|1＜x＜3}．(2)不等式f(x)≤g(x)，即为loga(x－1)≤loga(6－2x)，①当a＞1时，不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≤6－2x，))解得1<x≤eq\f(7,3)；②当0＜a＜1时，不等式等价于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1<x<3，,x－1≥6－2x，))解得eq\f(7,3)≤x<3.综上可得，当a＞1时，不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(7,3)))；当0＜a＜1时，不等式的解集为eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，3)).7．(1)已知logaeq\f(1,2)>1，求a的取值范围；(2)已知log0.7(2x)<log0.7(x－1)，求x的取值范围．[解](1)由logaeq\f(1,2)>1得logaeq\f(1,2)>logaa.①当a>1时，有a<eq\f(1,2)，此时无解．②当0<a<1时，有eq\f(1,2)<a，从而eq\f(1,2)<a<1.所以a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)因为函数y＝log0.7x在(0，＋∞)上为减函数，所以由log0.7(2x)<log0.7(x－1)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x>0，,x－1>0，,2x>x－1，))解得x>1.即x的取值范围是(1，＋∞)．题型四：对数函数性质的综合应用8.已知y＝loga(2－ax)是[0,1]上的减函数，则a的取值范围为()A．(0,1) B．(1,2)C．(0,2) D．[2，＋∞)【答案】B【解析】(1)∵f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是减函数，且y＝2－ax在[0,1]上是减函数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＞f1，,a>1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(loga2＞loga2－a，,a>1，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1＜a＜2.9.函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)的值域是________．【答案】(－∞，－1]【解析】f(x)＝logeq\f(1,2)(x2＋2x＋3)＝logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]，因为(x＋1)2＋2≥2，所以logeq\f(1,2)[(x＋1)2＋2]≤logeq\f(1,2)2＝－1，所以函数f(x)的值域是(－∞，－1]10．已知a＞0且满足不等式22a＋1＞25a－2.(1)求实数a的取值范围；(2)求不等式loga(3x＋1)<loga(7－5x)的解集；(3)若函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上有最小值为－2，求实数a的值．[解](1)∵22a＋1＞25a－2，∴2a＋1＞5a－2，即3a＜3，∴a＜1，即0＜a＜1.∴实数a的取值范围是(0,1)．(2)由(1)得，0＜a＜1，∵loga(3x＋1)<loga(7－5x)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋1>0，,7－5x>0，,3x＋1>7－5x，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>－\f(1,3)，,x<\f(7,5)，,x>\f(3,4)，))解得eq\f(3,4)<x<eq\f(7,5).即不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(7,5))).(3)∵0＜a＜1，∴函数y＝loga(2x－1)在区间[1,3]上为减函数，∴当x＝3时，y有最小值为－2，即loga5＝－2，∴a－2＝eq\f(1,a2)＝5，解得a＝eq\f(\r(5),5).【能力提升】一、单选题1．三个数，之间的大小关系为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】结合指数函数、对数函数的单调性，以及临界值，求解即可.【详解】由题意，即，，即，，综上：故选：A2．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】由题知函数为偶函数，且在上单调递增，上单调递减，再结合，根据函数图像平移得时，，时，，再分和两种情况讨论求解即可.【详解】解：函数的定义域为，，所以，函数为偶函数，因为在上均为单调递增所以，当时，为增函数，所以，当时，为增函数，当时，为减函数，因为，所以，当时，，当时，，所以，当时，，当时，所以，当时，不等式显然成立，当时，不等式的解集为，综上，的解集为故选：C3．已知函数满足，若在区间上恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先判断函数的单调性，依题意恒成立，再根据对数函数的性质得到不等式组，解得即可.【详解】解：因为且，又单调递减，在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递减，因为在区间上恒成立，所以恒成立，所以，解得，即；故选：C二、多选题4．下列说法中正确的是（

）A．函数的值域为B．函数的零点所在区间为C．函数与互为反函数D．函数与函数为同一函数【答案】ABC【分析】根据函数性质分别判断各选项.【详解】A选项：函数，当时，取最小值为，所以函数的值域为；B选项：因为函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，且，，所以其零点所在区间为，B选项正确；C选项：，即，可得，所以函数与函数互为反函数，C选项正确；D选项：函数与函数的定义域均为，，，不为同一函数，D选项错误；故选：ABC.5．下列判断错误的是（

）A．的最小值为2B．若，则C．若，则D．如果，那么【答案】AC【分析】根据不等式的性质判断．【详解】时，，A错；由不等式的性质有，B正确；时，，C错；，D正确．故选：AC．6．已知函数，，且，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【分析】由题意得关系后对选项逐一判断【详解】由题意得，且，则，故，故A错误，对于B，，而，故，故B错误，对于C，，故C正确，对于D，，故D正确，故选：CD7．关于函数，下列说法中正确的有（

）A．的定义域为B．为奇函数C．在定义域上是减函数D．对任意，，都有【答案】BCD【分析】由函数的奇偶性，单调性等性质对选项逐一判断【详解】对于A，由得，故的定义域为，故A错误，对于B，的定义域为，，则为奇函数，故B正确，对于C，，由复合函数的单调性知在上是减函数，故C正确，对于D，任意，，，，，故D正确，故选：BCD8．设函数，则下列命题中正确的是（

）A．函数的定义域为 B．函数是增函数C．函数的值域为 D．函数的图像关于直线对称【答案】AD【分析】根据对数型复合函数的性质对选项逐一判断即可.【详解】A正确，∵恒成立，∴函数的定义域为；B错误，函数在上是增函数，在上是减函数；C错误，由可得，∴函数的值域为；D正确，函数的图像关于直线对称．故选:AD．三、填空题9．下列命题中：①与互为反函数，其图像关于对称;②已知函数，则;③当，且时，函数必过定点；④已知，且，则实数.上述命题中的所有正确命题的序号是___________.【答案】①③【分析】对于①，由与互为反函数，其图像关于对称即可判断；对于②，令可得，从而可求得函数值；对于③，根据指数函数过定点的性质即可求得所过定点；对于④，由指对互换得到，再由对数换底公式可得，代入即可求得.【详解】对于①，因为与互为反函数，其图像关于对称；所以当时，与互为反函数，其图像关于对称，故命题①正确；对于②，因为，所以令，得，故命题②错误；对于③，因为，所以令，即，则，故过定点，故命题③正确；对于④，因为，所以，所以，故由得，即，即，所以，故命题④错误.故答案为：①③.10．已知定义在上的函数，设为三个互不相同的实数，满足，则的取值范围为_______.【答案】【分析】先判断函数的性质以及图像的特点，设，由图像得是个定值，及的取值范围，即可得出结论．【详解】解：作出的图像如图：当时，由，得，若互不相等，不妨设，因为，所以由图像可知，由，得，即，即，则，所以，因为，所以，即，所以的取值范围是．故答案为：．11.已知函数是定义在上的偶函数，当时，若则的取值范围是__________.【答案】【分析】由奇偶性得的值，再根据函数的奇偶性与单调性化简后求解，【详解】由题意可得则当时，单调递增，因为是偶函数，所以当时单调递减，而故等价于，得，解得或，故答案为：12.已知函数，若，，则________．【答案】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，又由，变形可得，由此可得答案．【详解】解：因为，所以，所以，所以函数的定义域为，又因为，，，所以，所以，故答案为：．四、解答题13．已知函数(1)求函数的定义域；(2)判断并证明函数的奇偶性；(3)求不等式的解集.【答案】(1)(2)奇函数，证明见解析(3)【分析】（1）由对数的真数大于零，解不等式组可求得答案，（2）利用奇偶性的定义判断，（3）利用对数函数的性质直接解不等式即可.（1）由，得，所以函数的定义域为，（2）函数为奇函数，证明如下：因为函数的定义域为，所以定义域关于原点对称，因为，所以为奇函数，（3）由，得，所以，因为在定义域内为减函数，所以，解得，所以不等式的解集为.14.已知函数（且）.(1)求函数的定义域，并判断的奇偶性；(2)是否存在实数m，使得不等式成立？若存在，求出m的取值范围，若不存在，请说明理由.【答案】(1)定义域为，奇函数(2)存在，当时，，当时，【分析】（1）由对数函数的性质求定义，由奇偶性定义判断奇偶性；（2）分类讨论得函数的单调性，则单调性解不等式可得，注意对数函数的定义域．（1）由得.所以的定义域为，因为函数的定义域关于原点对称，且，所以为奇函数.（2）①当时，在上为增函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.②当时，在上为减函数，假设存在实数m，使得不等式成立，则，解得.综上，①当时，存在，使得不等式成立；②当时，存在，使得不等式成立.15．已知函数，有意义时的取值范围为，其中为实数．(1)求的值；(2)写出函数的单调区间，并求函数的最大值．【答案】(1)(2)增区间为，减区间为，最大值为【分析】（1）由一元二次不等式的解集，结合韦达定理可解；（2）根据复合函数的单调性将问题转化为求内层函数的单调区间问题，然后可得.（1）因为有意义时的取值范围为，所以的解集为，所以和是方程的两根．由韦达定理可得，解得．（2）由（1）知，，令，因为为增函数，且在上单调递增，在上单调递减，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以当时，取得最大值16．已知定义在R上的函数满足且，．(1)求的解析式；(2)若不等式恒成立，求实数a取值范围；(3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根据，代入计算可得；（2）根据单调性得，分离参数求最值即可.（3）因为对任意的，存在，使得，等价于，先求的最小值，再分类讨论对称轴与区间的位置关系，使的最小值满足小于等于1的条件，求解即可.（1）由题意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所以在R上单调递增，所以不等式恒成立等价于，即恒成立.设，则，，当且仅当，即时取等号，所以，故实数a的取值范围是.（3）因为对任意的，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因为在上单调递增，所以当时，，又的对称轴为，，当时，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，在上单调递增，，解得，所以；当时，在上单调递减，，解得，所以，综上可知，实数m的取值范围是.17.已知，函数(1)若函数过点，求此时函数的解析式；(2)设，若对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）将点代入可求出，进而得到解析式；（2）由复合函数的单调性知在区间上单调递增，进而得到最大值与最小值，再由已知得到问题的等价不等式对任意恒成立，构造新函数，求最值可得出答案.（1）解：因为函数过点，即，解得，故；（2）因为是复合函数，设，，，在区间单调递增，单调递增，故函数在区间上单调递增，，由题意对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，即对任意恒成立，设，，只需即可，因为的对称轴为，图像是开口向下的抛物线，故在单调递减，故，故.18.已知函数与函数，函数的定义域为．(1)求的定义域和值域；(2)若存在，使得成立，求的取值范围；(3)已知函数的图象关于点中心对称的充要条件是函数为奇函数．利用上述结论，求函数的对称中心．（直接写出结果，不需写出过程）【答案】(1)，值域为；(2)(3)【分析】（1）写出的解析式，求解即可；（2）原问题可转化为．利用二次函数性质求解；（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，即是奇函数，利用奇函数性质列式求解即可．（1）由题意可得．由，得，故．又，且，的值域为；（2），即，则．存在，使得成立，．而，当，即时，取得最小值，故；（3）设的对称中心为，则函数是奇函数，即是奇函数，则恒成立，恒成立，所以恒成立，所以，因为上式对任意实数恒成立，所以，得，所以函数图象的对称中心为．【点睛】关键点点睛：本题考查了函数值域和定义域的计算，考查了不等式恒成立以及对称关系的应用，第（3）问解题的关键是根据题意设的对称中心为，则函数是奇函数，然后列等式求解即可，属于较难题．19．若函数的自变量的取值范围为时，函数值的取值范围恰为，就称区间为的一个“和谐区间”.(1)先判断“函数没有“和谐区间””是否正确，再写出函数的“和谐区间”；（直接写出结论即可）(2)若是定义在上的奇函数，当时，.求的“和谐区间”.【答案】(1)正确；(2)和【分析】（1）根据“和谐区间”的定义判断两根函数即可；（2）根据函数为奇函数求出函数的解析式，再利用“和谐区间”的定义结合函数的单调性求出函数的“和谐区间”即可.（1）解：函数的定义域为，且函数