4.4.3 不同函数增长的差异-高一数学同步备课系列（人教A版2019必修第一册）

第第页4.4.3不同函数增长的差异（2种题型分类基础练+能力提升练）【夯实基础】题型一：几类函数模型的增长差异1.下列函数中，增长速度最快的是()A．y＝2019x B．y＝2019C．y＝log2019x D．y＝2019x【答案】A【解析】指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.2.下面对函数f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的递减情况说法正确的是()A．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度越来越快C．f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h(x)递减速度不变D．f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越快【答案】C【解析】观察函数f(x)＝logeq\f(1,2)x，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x与h(x)＝－2x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可知：函数f(x)的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g(x)的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h(x)的图象递减速度不变．3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x151015202530y1226101226401626901y22321024377681.05×1063.36×1071.07×109y32102030405060y424.3225.3225.9076.3226.6446.907关于x呈指数函数变化的变量是________．【答案】y2【解析】以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.题型二：指数函数、对数函数与一次函数模型的比较4.函数f(x)＝2x和g(x)＝2x的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))与geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，f(2019)与g(2019)的大小．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝2x，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＝g(1)，f(2)＝g(2)从图象上可以看出，当1＜x＜2时，f(x)＜g(x)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＜geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))；当x＞2时，f(x)＞g(x)，∴f(2019)＞g(2019)．5．函数f(x)＝lgx，g(x)＝0.3x－1的图象如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．[解](1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lgx.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．【能力提升】一、单选题1．以下四种说法中，正确的是（

）A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x>0，xn>logaxC．对任意的x>0，ax>logaxD．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax【答案】D【分析】通过举例说明幂函数、指数函数和对数函数以及一次函数的性质，判断选项中的命题是否正确即可．【详解】解：对于A，幂函数增长的速度不一定比一次函数增长的速度快，如和在时，所以A错误；对于B，当时，由幂函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以B错误；对于C，当时，由指数函数和对数函数的性质知，对任意的，不成立，所以C错误；对于D，当时，由幂函数和指数函数、对数函数的性质知，不一定存在，当时，总有，所以D正确．故选：D．2．设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分别将,改写为，，再利用单调性比较即可.【详解】因为，，所以.故选：A.【点晴】本题考查对数式大小的比较，考查学生转化与化归的思想，是一道中档题.3．设函数，则f(x)（

）A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减【答案】D【分析】根据奇偶性的定义可判断出为奇函数，排除AC；当时，利用函数单调性的性质可判断出单调递增，排除B；当时，利用复合函数单调性可判断出单调递减，从而得到结果.【详解】由得定义域为，关于坐标原点对称，又，为定义域上的奇函数，可排除AC；当时，，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，排除B；当时，，在上单调递减，在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据与的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.4．函数的图象大致是A． B．C． D．【答案】B【分析】通过函数在处函数有意义，在处函数无意义，可排除A、D；通过判断当时，函数的单调性可排除C，即可得结果.【详解】当时，，函数有意义，可排除A；当时，，函数无意义，可排除D；又∵当时，函数单调递增，结合对数函数的单调性可得函数单调递增，可排除C；故选B.【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.5．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，之后增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用A．一次函数 B．二次函数C．指数型函数 D．对数型函数【答案】D【分析】分别分析一次函数、二次函数、指数型函数、对数型函数单调性以及其变化快慢结合题意即可得结果.【详解】根据基本初等函数的图象与性质可知，一次函数增长的速度不变，不满足题意；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是二次函数，则必须开口向上，而此时在二次函数对称轴的右侧增长的速度是越来越快，没有慢下来的可能，不符合要求；要满足调整后初期利润增长迅速，如果是指数函数，则底数必是大于1的数，而此时指数函数增长的速度也是越来越快的，也不满足要求；对于对数函数，当底数大于1时，对数函数增长的速度先快后慢，符合要求，故选D．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的性质在实际中的应用，熟练掌握它们的单调性是解题的关键，属于中档题.二、多选题6.已知函数，则下列关于这三个函数的描述中，正确的是（

）A．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于B．随着的逐渐增大，增长速度越来越快于C．当时，增长速度一直快于D．当时，增长速度有时快于【答案】BD【解析】由指数函数，幂函数，一次函数的图像特点逐一分析即可．【详解】如图对于，从负无穷开始，大于，然后大于，再然后再次大于，最后大于，再也追不上，故随着的逐渐增大，增长速度越来越快于，A错误，BD正确；由于的增长速度是不变的，当时，大于，当时，大于，再也追不上，增长速度有时快于，C错误．故选：BD．7．下图是某厂实施“节能减碳”措施前后，总产量y与时间x（月）的函数图象，则该厂（

）A．前3个月的月产量逐月增加 B．第5月的月产量比第4个月少C．第6月的月产量与第5个月持平 D．第3个月结束后开始减产，直至停产【答案】ACD【分析】根据图象的性质可得正确的选项.【详解】前三个月，图象缓慢上升，且函数值增加越来越大，故前3个月的月产量逐月增加，A正确.从3月开始到5月，图象缓慢上升，但函数值增加的幅度变小，且第6月的月产量与第5个月持平，故CD正确，B错误.故选：ACD三、填空题8.如图所示是某受污染的湖泊在自然净化过程中某种有害物质的剩留量y与净化时间t(月)的近似函数关系：y＝at(t≥0，a>0且a≠1)的图象．有以下叙述：①第4个月时，剩留量就会低于；②每月减少的有害物质量都相等；③若剩留量为，，时，所经过的时间分别是t1，t2，t3，则t1＋t2＝t3.其中所有正确叙述的序号是________．【答案】①③【解析】根据题意，函数的图象经过点，故函数为令时，，故①正确；令时，，减少，当时，减少，每月减少有害物质质量不相等，故②不正确；分别令，解得t1＋t2＝t3故③正确；9．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3h，晚到1h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．【答案】①②③【详解】看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．故答案为①②③.10．已知函数，，（且），给出下列四个结论：①当时，对，函数的图象恒在函数的图象上方；②当时，函数与的图象有两个交点；③，当时，恒有；④，方程，，都有解．其中正确结论的序号是___________．【答案】③④【分析】对于①.取可判断；对于②.当时，由结合函数图像可判断；对于③根据指数对数和幂函数的图像的增减性可判断；对于④作出函数图像可判断.【详解】对于①.取，则满足满足所以此时，不满足函数的图象恒在函数的图象上方，故①不正确.对于②.当时，函数,,作出函数,的图像根据图像可得，在时，函数,有1个交点.所以当时，函数与的图象有三个交点，故②不正确.对于③.当时，的图像在轴下方；的图像在轴上方.此时显然满足条件.当时，对于对数函数和幂函数，在区间，随着的增大，增长得越来越慢，图象就像与轴平行一样．尽管在的一定变化范围内，可能会大于，但由于的增长快于的增长，因此总存在一个，当时，就会有成立，故③正确.对于④.,在同一坐标系中作出函数，，的图像如图函数，，两两都分别有交点，所以方程，，都有解，故④正确.故答案为：③④四、解答题11．函数f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝x的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a，b，c，d，e为分界点)．【解析】由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C1对应的函数是f(x)＝1.1x，曲线C2对应的函数是h(x)＝x，曲线C3对应的函数是g(x)＝lnx＋1，由题图知，当x<1时，f(x)>h(x)>g(x)；当1<x<e时，f(x)>g(x)>h(x)；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．12．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式的植树活动，某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，现有两种方案如下：方案一：每年植树1万平方米；方案二：每年树木面积比上一年增加9%.哪个方案较好？【答案】方案二较好.【解析】试题分析：最优方案问题，需要将两种方案的函数模型都求解出来，再进行比较，得到最优方案。本题中，方案一的函数模型为，方案二的函数模型为，根据题意，将代入，进行比较即可。试题解析：方案一：5年后树木面积为：10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10(1＋9%)5≈15.386(万平方米)，因为15.386>15，所以方案二较好．13．某国2013年至2016年国内生产总值(单位：万亿元)如下表所示：年份2013201420152016x(年份代码)0123生产总值y(万亿元)8.20678.94429.593310.2398（1）画出函数图象，猜想y与x之间的函数关系，近似地写出一个函数关系式；（2）利用得出的关系式求生产总值，与表中实际生产总值比较；（3）利用关系式预测2030年该国的国内生产总值．【答案】（1）图象见解析，y＝0.6777x＋8.2067；（2）与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元；（3）19.7276万亿元．【分析】（1）根据题意作出函数的图象，进而观察函数的图象特征，设出解析式，然后代入点的坐标解出即可；（2）根据（1），分别算出两年的国内生产总值，进而和表格中的数据对比即可；（3）将x＝17代入即可得到答案.【详解】（1）画出函数图象，如图所示．从函数的图象可以看出，画出的点近似地落在一条直线上，设所求的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)．把直线经过的两点和代入上式，解得k＝0.6777，b＝8.2067.所以函数关系式为y＝0.6777x＋8.2067.（2）由得到的函数关系式计算出2014年和2015年的国内生产总值分别为0．6777×1＋8.2067＝8.8844(万亿元)，0．6777×2＋8.2067＝9.5621(万亿元)．与实际的生产总值相比，误差不超过0.1万亿元．（3）2030年，即x＝17时，由（1）得y＝0.6777×17＋8.2067＝19.7276(万亿元)，即预测2030年该国的国内生产总值约为19.7276万亿元．14．某租赁公司拥有汽车100辆.当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出.已知每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆.租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元.（1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？【答案】（1）88辆车；（2）当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.【分析】（1）根据每辆车的月租金每增加50元，未租出的车将会增加一辆可求出结果；（2）根据题意求出租赁公司的月收益关于每辆车的月租金的函数解析式，再根据二次函数知识可求出结果.【详解】（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为，所以这时租出了88辆车.（2）设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益（单位：元），整理得.所以当时，最大，其最大值为.所以当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大，最大收益为307050元.15．分别比较下列各组数的大小：(1)，，；(2)，，；(3)与．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对于同底数的对数，利用函数单调性，对于不同底数的对数，利用中间值法；（2）对数与指数之间的比较，利用中间值法；（3）对于真数相同的对数，利用函数图象.（1）因为在上是增函数，所以．又在上是增函数，所以，所以．（2）因为在R上是增函数，所以．因为在上是增函数，所以．因为在上是减函数，所以．所以．（3）方法一：函数和的图象如图所示．当时，的图象在的图象的上方，所以．方法二：因为，，又，所以．16．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h(x)万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本