2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年河南省郑州市中牟第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i为虚数单位，复数z=1+2i1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′A.2

B.3

C.53.若平面向量a，b，c两两所成的角相等，|a|=|b|=A.2 B.5 C.2或5 D.2或4.已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则此圆锥的母线长为(

)A.2 B.3 C.4 D.65.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：siA.−14 B.14 C.−6.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知AB=8cm，A.872πcm3 B.877.在△ABC中，2csin2A2=c−bA.正三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形8.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆OA.[32,3] B.[3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列命题中不正确的是(

)A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面

B.正四棱锥的侧面都是正三角形

C.用一个平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台

D.平行六面体的每个面都是平行四边形10.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(

)A.复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2 B.若z2∈R，则z∈R

C.11.设z为复数(i为虚数单位)，下列命题正确的有(

)A.复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2 B.若z2∈R，则z∈R

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知向量AB=(−1,2)，AC=(2,3)13.济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征.小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A点测得泉标顶端D的仰角为30°，他又沿着泉标底部方向前进34.2米，到达B点，又测得泉标顶端D的仰角为50°，则小明同学求出泉标的高度约为______米.(参考数据：sin20°14.在复平面内，复数z1，z2对应的点关于直线x+y=0对称，若z1四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

解答下列各题：

(1)已知z是复数，z−3i为实数，z−5i−2−i为纯虚数(i为虚数单位)，求复数16.(本小题15分)

已知向量a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a=(1,−1)．

(1)若|c|=32，且c//a17.(本小题15分)

在△ABC中，设角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且a2−b2−c2+bc=0．

(118.(本小题17分)

如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD=2BD．

(1)若cos∠ADC=−119.(本小题17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当△ABC的三个内角均小于120°时，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的点O即为费马点；当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试用以上知识解决下面问题：已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos2B答案和解析1.【答案】B

【解析】解：z=1+2i1−i=(1+2i2.【答案】C

【解析】解：由直观图知原几何图形是直角梯形ABCD，如图，

由斜二测法则知AB=A′B′=2，BC=B′C3.【答案】C

【解析】解：由向量a、b、c两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°，

则(|a+b+c|) 2=|a|2+|b|2+|c|24.【答案】B

【解析】解：根据题意，圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，

而120°=2π3，

则有2π3l=25.【答案】A

【解析】解：在△ABC中，∵sinA：sinB：sinC=2：3：4，

∴由正弦定理可得a：b：c=2：3：4，

∴a=2b3，c=4b3，

由余弦定理可得cosC=a6.【答案】D

【解析】解：根据题意可得该青铜器的体积为：

π×22×22+13×7.【答案】B

【解析】解：由已知sin2A2=c−b2c，得1−cosA2=c−b2c，即cosA=bc，

由正弦定理可得：cosA=sinB8.【答案】C

【解析】解：如图，取AF的中点Q，

根据题意，△AOF是边长为2的正三角形，

易得|OQ|=3，

PM⋅PN=(PO+OM)⋅(PO+ON)

=PO2+PO⋅ON+PO⋅OM+OM⋅O9.【答案】BC【解析】解：根据题意，依次分析选项：

对于A，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面，故选项A正确；

对于B，正四棱锥的侧面都是等腰三角形，但不一定是正三角形，故选项B错误；

对于C，用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台，而不是用一个平面去截圆锥，故选项C错误，

对于D，平行六面体的每个面都是平行四边形，故选项D正确，

故选：BC．

根据题意，由正四棱锥的概念判断选项B；由旋转体的结构特征判断选项A，C；由平行六面体的特征判断选项D，综合可得答案．

10.【答案】AC【解析】解：复数z=3−2i的共轭复数的虚部为2，故A正确；

若z=i，满足z2=−1∈R，但z∉R，故B错误；

(1+i)z=1−i，

则z11.【答案】AC【解析】解：对于A，因为z=3−2i，则z−=3+2i，其虚部为2，故A正确；

对于B，取z=i，此时z2=−1∈R，但z∉R，故B错误；

对于C，若(1+i)z=1−i，则z=1−i1+i12.【答案】−16【解析】解：由题意可得：BC=AC−AB=(3,1)，BD=AD−AB=(m+1,−13.【答案】38.3

【解析】解：设CD=h，在△ACD中，∠CAD=30°，则AD=CDsin30∘=2h，

在△ABD中，由正弦定理得sin14.【答案】5【解析】解：复数z1，z2对应的点关于直线x+y=0对称，z1=2+i，

则z2=15.【答案】解：(1)设复数z=a+bi(a,b∈R)，

因为z−3i=a+(b−3)i为实数，所以b=3，则复数z=a+3i(a∈R)【解析】(1)设复数z=a+bi(a,b∈R)，根据z16.【答案】解：(1)∵|c|=32，且c//a，a=(1,−1)，设c=xa=(x,−x)，∴x2+(−x)2=【解析】(1)由题意利用两个向量共线的性质、两个向量的数量积公式，计算求得结果．

(2)由题意利用两个向量垂直的性质求得a⋅b

的值，再利用两个向量的夹角公式求得17.【答案】解：(1)因为a2−b2−c2+bc=0，整理得a2=b2+c2−bc，

又由余弦定理得cosA=b2+c2−a22bc=bc2bc=12，

因为0<A<【解析】(1)由余弦定理和三角函数值与角的关系可求出；

(2)由三角形的面积公式得到bc18.【答案】解：(1)根据余弦定理，在△ACD中，

cos∠ADC=AD2+CD2−AC22×CD×AD=CD2−488CD=−14，

则CD=6，所以BC=23CD=9，

则cos∠C=CD2+AC2−AD22×CD×A【解析】本题考查三角形中的几何计算，考查余弦定理，属于中档题．

(1)由题设，结合余弦定理即可求解；

(219.【答案】解：(1)由已知△ABC中cos2B+cos2C−cos2A=1，即1−2sin2B+1−2sin2C−1+2sin2A