体育第八章 体育统计学

第八章方差分析

方差分析，是数理统计的基本方法之一，是分析试验或观察数据

的一种方法。促使观察数据产生方差的因素：一是条件误差（或系统

误差），另一是随机误差（或偶然误差）。方差分析的作用，就是从观

察数据总方差中，将上述两种因素造成的部分，分别求出并加以比较,

寻找出对观察数据起主要影响的因素。在实际工作中，人们已利用方

差分析这一特殊性能改进体育教学和训练方法，提高教学质量和运动

成绩。现实中的事物是复杂的影响它的因素是多种多样的，而且这些

因素间又常常是相互制约、矛盾一、依存的。如何通过有限的观察或试

验数据，分析出各个因素以及各因素之间的交互作用的影响，抓住事

物的主要矛盾解决问题，这就是方差分析要解决的主要课题之一。

第一节单因素多水平的方差分析

一、基本原理

单因素多水平的方差分析，也称一种方式分组的方差分析，即对

要研究的问题的影响因素只有一个。若影响因素不止一个，这时可先

只考察其中的一个因素，把除此之外的其他因素都暂固定下来；然后

再将要考察的这个因素的范围，划分成儿个区段（即水平），分别通

过多次重复试验取得数据；最后将所取得的数据，以一定的格式列表,

进行方差分析。因此，人们就称它为一种方式分组的方差分析。通过

下例，可从中理解方差分析解决问题的思想，并归纳出一种方式分组

的方差分析的一般方法。

例8—1为迎接运动会承制运动员服装，某体委统一购进

一批由同种原料织成的布料。经不同染整工艺处理后进行缩水试验，

测得缩水率的百分数如下表：

五种染整工艺缩水试验（％）

总缩水率E（Z）

染整工艺缩水试验（％）

布样编号-总平均缩水率

IIIIIIIVV）/20

14.36.16.59.39.5

27.87.38.38.78.3

33.24.28.67.211.4

46.54.18.210.17.8

Z21.821.731.635.337.5统）=147.9

组内平均1

5.4505.4257.9008.8259.375Z（£）/20

=-E

4乙

=7.395

试考察哪一种染整工艺结缩水率影响比较显著。

解：（一）由表中数据可以看出

1.布料的缩水率在不同试验，不同工艺中，都存在差异;

2.不同工艺的缩水率的平均值的差异，说明不同工艺对

缩水率有一定影响；

3.同一工艺下四块布样缩水率也存在差异。显见这种差

异不是由工艺引起的，而是由试验误差生成的；

4.由于试验误差存在，自然会对2.的结论产生怀疑，不

同工艺缩水率平均值差异除了工艺影响之外，是否有较大的试验误差

影响？

为了得出正确结论，必须对试验数据进行更加细致的分析。方差

分析的意图，是设法把由不同工艺造成缩水率的误差与其它偶然因素

的试验误差分开。

（二）具体方法

1.用同一工艺的四块布料的离均差平方和反映试验误

差。它们是：

I：（4.3-5.45）2+（7.8-5.45）2+（3.2—5.45）2+（6.5-5.

45)2=13.01；

II：(6.1-5.425)2+(7.3-5.425)2+(4.2-5.425)2+(4.1

—5.425)2=7.23；

III：(6.5-7.90)2+(8.3-7.90)2+(8.6-7.90)2+(8.2-7.

90)2=2.70；

IV：(9.3-8.825)2+(8.7-8.825)2+(7.2-8.825)2+(10.1

-8.825)2=4.51；

V：(9.5-9.375)2+(8.8-9.375)2+(11.4-9.375)2+(7.8

-9.375)2=6.93o

这五个离均差平方和相加，反映了试验误差大小，称为组内平方和，

记为S2o

S2=13.01+7.23+2.70+4.51+6.93=34.38

2.五种工艺对缩水率的影响，可用每种工艺的平均缩水率与总

平均缩水率差的平方和来表示。由于每种工艺处理四块布样，故将此

平方和四倍，称为组间平方和，记为生。

Si=4x[(5.45-7.395)2+(5.425-7.395)2+

(7.90-7.395)2+(8.825-7.395)2]=55.53

组内平方和S2刻划试验误差大小。组间平方和Si刻划不同工

艺缩水率之间的差异程度，它除了包含着随机因素的影响外，还包含

着不同工艺(条件因素)对缩水率的影响。因此，比较S,与S2的

大小，就可以从中看到不同工艺对缩水率的影响是否显著。

3.S1与S2都是若干项的平方和，其大小与参加求和的项数有

关。为了进行比较，须将项数对它们的影响消去，即各自用自己的自

由度去除(这里的自由度为项数减1)。如一个平方和是由几部分的

平方和组成，则总自由度等于各部分自由度之和。因与是五项的平

方和，它的自由度是5—1=4oS2是四部分平方和的总和，每一

部分的自由度是4—1=3,于是S2的自由度为3X5=15。

4.把Si和S2分别除以各自的自由度，记为Si(平均组间平

方和)和52(平均组内平方和)。

51=8=竺2=13.88；

44

<2=*=也生=2.290

2525

以F表示3与4的比值。

Si13.88/,

Fc===----=6.1

522.29

比值越大，说明不同工艺对布块的缩水率影响越显著；反之，说明不

同工艺对缩水率的影响不显著。

5.判断影响显著与否界限，由F值表（书后附表4）给出，表

z

中nJ为分子的自由度，n2为分母的自由度。

nr=4,112,=15,a=0.05时，临界值Fo.o5=3.1;

nJ=4,n2'=15,«=0.01时，临界值Fo.（n=4.9

若算得的F<3.1=FO.05,说明不同工艺对缩水率影响不大；

若算得的FO.O5=3.1<F<4.9=Fo.oi,说明不同工艺对缩水率影响

显著；

若算得的F>4.9=Fo.oi,说明不同工艺对缩水率影响非常显著。

（三）汇总以上全部结果，编制成如下方差分析表

方差来源平方和自由度均方（Si）F显著性

组间55.53413.886.1**（注）

组内34.38152.29

总和89.9119

注：*：显著；

**：特显著。（以下各表与此相同）

（四）为了减少计算错误，可采用如下两个措施

1.将所有试验（或观察）数据同减一数，上述表中平方和一列

数值不变。将所有试验数据同乘一数，上表中F值不变。

2.将全部计算工作，列成如下表格进行（表中数据是减去5以

后的数值）。

布料编号IIIIIIIVV£

1-0.71.11.54.34.5

22.82.33.33.73.8

3-1.8-0.83.62.26.4

41.5-0.93.25.12.8

E1.81.711.615.317.547.9

(E)23.242.89134.56234.09306.25681.03

Z213.827.9536.3463.0363.49204.63

表中，E是同列各数之和；（Z/是同列各数和的平方；Z?是同

列各数各自平方后的和。表中最后一列（右边），即为全表计算的最

后结果。由此计算

p=—（47.9）2=114.72（式中20是全部试验所得

20

的数据个数）；

Q=-x681.03=170.26（式中4是每种工艺试验的布

4

样数）;

R=204.63

由P、Q、R得

S]=Q—P=170.26-114.72=55.54;

S2=R-Q=204.63-170.26=34.37;

S=Si+S2=R-P=204.63-114.72=89.91

这就是一种方式分组的方差分析的基本原理和计算过程的计算格式

的表达方法。

二、一般计算程序和格式

对一般情况，可从上述叙述中归纳出更一般的计算格式。

若要研究某一因素（A）对某种试验结果有无显著影响，这时可

按如下程序进行。

（一）将因素A（试验条件）在要考察的范围内，划分为A1，

A2,............,Ab个水平（试验条件）。

（二）在每一水平Aj下进行a次试验，每次试验结果所得数据

以乂叮表示。Xj表示在Aj水平（条件）下进行第j个试验的结果。

1=1,2,•••••••••,b;j=l,2,♦••••••••,ao

（三）将全部试验结果Xij,写入如下表内，并按表格内要求计

算的内容，依次进行计算。（表8—1）

表8—1单因素多水平方差分析计算表

试验次数AiA?…Ai…Abz

1X11X21XiiXb1

2X12X22Xi2Xb2

•***

***

X・・

jXij2j...八X1-J-•Xbj

*****

aXlaX2a……Xba

…xia…

aaa…£axbjba

…之Xij…ZZXu

EXXijEX2j…

j=lj=lj=lj=li=lj=l

a.a与…（'aXj...a与ba

（ZX|j）22…（ZXjZ（Zxp2

（少（Zx2j）-

j=lj=ij=l>1i=lj=l

aaaaba

­•IX……*ZZx；j

2IXXjj…

ZJXzJ

月j=lj=lj=li=lj=l

（四）计算平方和

令

1ba

P---(ZZXjj)~(8―1)

abi=i月

1ba

Q=±z(zXjj)2(8—2)

ai=i>i

ba

R=ZEX*(8-3)

i=lj=l

由此有

组间平方和Si=Q—P,自由度(b-1)(8-4)

组内平方和S2=R-Q,自由度b(a—l)(8—5)

总平方和S=S]+S2=R—P,自由度(ab—l)(8-6)

（五）写出方差分析表

表8—2方差分析表

方差来源平方和自由度均方F显著性

Si=3-Si

组间S1b—1

b-1sT

s0_S2

组内2b(a—1)02二

b(a-l)

总和Sab—1

如与A]，A?,，Ab相应的试验次数不等，而是

的,r,ab时，则上述各式写成如下形式。

bai,

p-b2

(ZExSj)(8-7)

Aai'=>

i=l

b-(：Xij)2

Q=Z(8-8)

i=lai>1

baj

R=,ZEx：j(8-9)

i=lj=l

其余步骤与前述相同。

三、例题

例8-2某体院，从体操专业中抽取条件基本相似的学生15

人，由5位教师分别采用不同方法进行教学（每个教师教3名学生）。

期终，按统一规定标准，连续进行三次测验，取得不同教法各次测验

的学生成绩平均值如下表。

不同教师不同教法的水平（平均值）

学生成绩-E

A1A2A3A4A5

19097968484

29293968386

38892938882

£2702822852552521344

组内平均数909495858489.6

试分析不同教法的效果如何。

解：假定这5位教师的教学水平无显著差异。本例要研究的问题

是教师的教法对学生成绩的影响。因此，教法是影响学生成绩的因素,

将这因素按不同教法划分为5个水平，即Al，A2,A3,A4,As。

学生成绩，是经过三次测验取得的，因此重复数是3,即1、2、3o

所以，本题是单因素（5水平）方差分析，可用（表8—1）进行计算。

因表中成绩数字比较大，可将表中各数都减去90,用减剩的余数进

行计算。

不同教师不同教法的水平（平均值）

学生成绩---------------------------------------£

A1A2A3A4A5

1076—6—6

2236-7—4

3-223-2-8

X01215-15-18-6

(E)20144225225324918

Z28628189116356

由此计算

P=-(-6)2=2.4(式中15是试验所得数据的总计个数);

15

Q=1X918=306(式中3是每种教法的重复测验次数)；

R=356

由此计算

S|=Q—P=306—2.4=303.6;

S2=R—Q=356—306=50;

S=S]+S2=303.6+50=353.6

写出方差分析表

方差来源平方和自由度均方F显著性

组间303.6475.915.18**

组内50.5105.0

总和353.614

由F值表（书后附表4）查临界值F。：

在nr=4,n2'=10时,查得Fo.05=3.48,-01=5.99。进

行判断：

因F=15.18>Fooi=5.99,故不同教法对学生的成绩的影响非

常显著。

第二节双因素多水平的方差分析

一、基本原理

在实际问题中，影响一个量的因素常是很多的，这些因素对一个

量的影响如何，哪些因素是主要的，因素之间有无交互作用。关于这

类问题，下面通过介绍双因素方差分析方法，逐项给予解答。现以下

例来说明用双因素方差分析求解这类问题的原理和方法。

例8-3某运动鞋生产厂，为改进运动鞋橡胶的质量，在橡胶

的配方中，采用了三种不同的促进剂（A|、A2、A3）和四种不同

份量的氧化锌（Bi、B2、B3、B4）o同样的配方测试定强两次，

测得300%定强数据如下表。请问氧化锌（B）、促进剂（A）,以及两

者的交互作用，对橡胶定强（一个量）有无显著影响？什么是主要

矛盾？

解：本题是研究两个因素（A和B）对一个量（橡胶300%定强）

的影响的问题，用方差分析解决这类问题的基本思想，与单因素方差

分析是一样的，先把定强的总平方和分解为：

一部分是试验误差；

一部分是氧化锌引起的；

一部分是促进剂引起的；

一部分是氧化锌与促进剂交互作用引起的。

然后以这些平方和，分别与试验误差平方和进行比较，来确定它们对

定强的作用是否显著。

S=SA+SB+SAXB+Se（8-10）

式中：Se是试验误差的平方和。现在的任务是设法算出上式中的各

项平方和。

用Xjjk表示在AiBj条件下，作第K次重复试验的数据。用Xij

=Ajk表示在AiBj条件下所有试验数据的和。令a表示因素A的

水平数。b表示因素B的水平数，C表示同条件下的试验重复数。在

本例中a=3,b=4,c=2o

计算

1ba

R=—E(ZXij)2(8-13)

ac月i=i

1ab

T=-££X：j(8-14)

Ci=lj=l

abc

W=zzZX：jk(8-15)

i=lj=lk=l

式中

Xij=£Xijk(8-16)

k=l

于是，所求的平方和为

S=W-P(8-17)

SA=Q—P(8-18)

SB=R—P(8-19)

SAXB=T—Q—R+P(8—20)

se=W-P(8-21)

为计算方便，将以上各式列成表格进行计算。在计算时，将题中原表

内所有数据都减去37后，仍以乂机记之。

本例双因素方差分析的P、W、T值计算表

ZX：jk=X；j]+X；j2X2.

XijiXij2Xjj=Xiji+Xiji

AB1J

k=l

B.-6—4-1052100

B-3—1—41016

Ai2

-2—1-359

B3

21359

B4

B.—4-3-72549

B2—10—111

A?

02244

B3

1451725

B4

B,-20-244

B201111

B32351325

571274144

B4

abcP=1W=211cT=387

由表中最后倒数第一、二两行分别算得

P=—xl=—i—X1=0.042^0;

abc3x4x2

W=211；

T」X387=1X387=193.5

c2

利用上表中Xij列的数据，按下表算Q和R值。

本例双因素方差分析的Q、R值计算表

X---

八1J-z(E『

BiB2B3B4

Ai—10—4-33—14196

AA2—7—125—11

-2151216256

A3

X—19—4420bcQ=453

(Z)23611616400acR=793

由表右下角两个数得

1

Q=—X453=X453=56.6；

be4x2

1

R=—X793=X793=132.2；

ac3x2

于是

S=W—P=2U—0=211；

SA=Q—P=65.6—0=56.6；

SB=R—P=132.2—0=132.2；

SAXB=T—Q—R+P

=193.5-56.6-132.2+0=4.7;

Se=W-T=211-193.5=17.5。

将计算结果列成方差分析表：

本例双因素(A及B)方差分析表

方差来源平方和自由度均方（S）F注显著性

A56.6a-1=3-1=228.319.4**

B132.2b-1=4-1=344.130.2**

AxB4.7(a—1)(b—l)=2x3=60.80.55

误差17.5ab(b-l)=3x4x(2-l)=121.46

总和211.0abc-1=3x4x2-1=23

注：F值等于各因素的均方除以误差的均方。

查F值表（书后附表4）求临界值F，，、：

ag,n2）

Fo.oi（2,⑵=6.93;F（）.oi（3,⑵=5.95;F（）,o5（6,⑵=3.00。

从方差分析表知

FA=19.4>Fo.01（2,12）=6.93;FB=30.2>F0,01（3,12）=5.95;

FAXB=0.55<Fo.05（6,12）=3.00。

故可结论：A与B都是影响定强的重要因素，其中B因素更重要。A、

B两因素无交互作用，相应的平方和是误差的一种反映，可将该项与

误差项合并，相应的自由度也合并，以提高分析的精度。于是，方差

分析表变成

方差来源平方和自由度均方F显著性

A56.6228.322.8**

B132.1344.035.4**

误差22.3181.24

思、和211.023

在本例中，如每种配方只做一次试验(即C=l),没有重复，这

时交互作用和误差混在一起，就无法分析交互作用的大小，其总平方

和只能分解成

S=SA+SB+Se(8-22)

若仍用Xij表示在AiBj条件下的数据，解P、Q、R、T的计算式变

为

1ba

P=—(ZZXjj)2(8-23)

abi=lj=l

1ab

Q=-Z(ZXij)?(8-24)

bi=ij=i

[ba

R=-Z(ZXij)2(8-25)

aj=ii=i

ab

T=zZX：j(8-26)

i=lj=l

W项不复存在，相应的平方和为

S=T-P,SA=Q—P，SB=R—P,Sc=T—Q—R+P(8—27)

其它与前述步骤类似。在有条件时，最好能作重复试验(C>1),以

提高分析精度。

二、一般计算程序和格式

(-)根据课题所给内容，确定要研究的对象和影响“对象”的

因素个数，以决定将要采用的方差分析方法。

(二)根据要考察的因素的范围划分各因素水平，通过试验(最

好是重复试验)，取得数据Xijk。

(三)将数据Xijk填入下表，进行p、w、T值计算。

当Xijk值过大时，可将每一数据减去一常数；过小时，可乘以

一常数，经此处理后的数，仍以Xijk记之(所有数据减去一常数，

表中平方和一列不变；如同乘一常数，F值不变)。

表8-3双因素方差分析的P、w、T值计算表

c

XX：jk

ABXijiXijk.....XijcXijxu

k=l

fx?lk

BiXinXukXllcX”x?,

k=l

jjkX2

A)BjXijiXijkXljcXijXlj

k=l

BXibiXibkXibcXibjbkX2

bAlb

k=l

B!XiiiXiikXilcX£xZkX2

i)Ail

k=l

c

X2-

AjBjxijiXijkXijcXij

之X:jk1J

k=l

XibiXibkXibcXibZx：bkv2

BbAib

k=l

B!XallXalkXaleXZXalkX2

alAal

k=l

2

AaBjXajlXajkXajcXajZxjjkV

j

k=l

BbXabiXabkXabe£XabkX2

xabAab

k=l

VabcP=w=cT=

ababcab

注。工xjZ2X

i=lj=li=lj=lk=li=lj=l

表中

i=1,2,3,.......,a;j=1,2,3,........,b;k=1,2,3,.........,c。

Xij=X,jj+Xjj2+.....+Xjjc；

EX;上卜=X；"+X^2+......+X：jc(8—28)

k=l

由表的最后两行求得

lab

p=-zZXij(8—29)

abci=i月

abc

W=ZZZX：jk(8—30)

i=lj=lk=l

1ab

T=-SZX：j(8—31)

ci=lj=i

（四）利用（表8—3）中Xij列的数据，按下表计算Q、R值

表8—4双因素方差分析的Q、R值计算表

BZ（E）2

Xij

B-BB'

ijb

bb

xibx[j(ZX]j)

A,X-X之

11Ij

>ij=i

•・・・・

bb

AAiX-XiXib'Xjj(£*与)

i1ij

j=ij=i

,,,•

bb

Zx(Zx)2

AaXa1Xaj....Xabajaj

j=1j=i

…：iXjabcQ=Z(Z)：

z£x”.......XXib

i=li=li=li=l

aaa_b_

(Z)2(LV……(二应)2……》b)2acR=Z(Z)2

i=li=li=l>1

由表右下角两个数得

1a

Q=；Z(Z)2(8-32)

bei=l

1b

R=—Z(Z)2(8—33)

acj=,

(五)计算平方和

S=W-P；SAxB=T-Q-R+P；

SA=Q-P；SC=W-TO(8-34)

SB=R-P；

(六)编写方差分析表

表8-5方差分析表

方差来源平方和自由度均方F显著性

ASA=Q-Pa—1SA=SA/(a-l)SA/Se

BSB=R—Pb-lSB=SB/(b-l)SB/Se

AxBSAXB=T—Q—R+P(a-l)(b-l)SAXB—SAxB/SAXB/Se

[(a-lXb-l)]

误差Se=W-Tab(c—1)Sc=Se/[ab(c-l)]

总和S二SA+SB+SAXB+SCabc—1

（七）给定显著性水平进行判断

取a=o.05或0.01,查F值表（书后附表4）得Foo5（n；,n；）

及Fooi（n；,n］）临界值。若

F<Fo05（n；,n1）,不显著；

F0.05（n；,n］）VF<F（）,0】（n；,n［）,显者;

F>Fo01（nJ,n2）,非常显著。

第三节系统分组的方差分析

系统分组，有时也叫多层分组、成套设计。在社会调查中经常采

用这种方法，如对中学生的体质调查，开始时总是先在全国范围内有

计划地选取儿个城市，然后在选定的城市中，又随机选取儿个中学。

如需要的话，还可在选定的中学中随机选取儿个班的学生进行调查。

象这样层层深入的，大范围套小范围的调查方法，就是所谓系统分组

法。由这种方法取得的数据在进行方差分析时，不能再使用前述两种

分析方法。

例8-4为治疗运动员的膝关节扭伤，大夫用不同的两种中

药，配制成A、B两种外敷药膏，这两种药膏的贴敷对温度的要求是

不一样的。A药膏要求在20—30℃下，B药膏要求在35—40℃时贴

敷。通过试验取得如下数据。

药膏AB

温度(℃)202530354045

治愈率(％)44631011

2689129

试分析药膏和温度对膝关节扭伤治愈率的影响。

解：解决这一问题的想法同前，也是把治愈率的总平方和S分解

成三个部分，即一部分是药膏的；一部分是温度是；一部分是误差的。

即

S=S药杼+S温度+se

前两种方差分析，都是用因素的均方，分别和误差的Se比较来

确定因素的显著性。而系统方差分析，则是用8温与Ge、8药膏与3温

比较来确定温度与药膏的影响是否显著。

表8—6本例系统分组方差分析计算表

84行的数据个数

1J

3

£Xjj

3054L=2

>j

X，j61014122220M=6

44631011

XijN=12

2689129

注：表中“K”为重复实验数。

计算时，先将数据自下而上逐步累加,然后分别计算:

p=l(yx)2

H(8—35)

N片,J

=—x842=588

12

123

Q=0(2)2(8—36)

ivl1=1J=1

=-x[(6+10+4)2+(12+22+20)2]=636;

6

123

T=zX2.(8-37)

，J

=-(62+102+42+122+222+202)=680;

2

232

w=(8-38)

i=lj=Ik=l

=42+22+62+•....十92=780

由此得：

S药膏=Q-P自由度(L-l)(8-39)

=636—588=48,自由度L—1=2—1=1；

S温度=T-Q自由度(M—L)(8-40)

=680-636=44,自由度K—L=6—2=4；

Se=W-T自由度(N-M)(8-41)

=708-680=28,自由度N-M=12—6=6；

S=W-P自由度(N—1)(8-42)

=708—588=120,