人教A版高中数学必修第一册 空间直角坐标系 教案 教学设计

1.3.1空间直角坐标系

（人教A版普通高中教科书数学选修第一册第一章）

一、教学目标

1.了解空间直角坐标系

2.理解空间直角坐标系的知识形成过程和原理，会用空间直角坐标系刻画点的位置，掌握

空间向量的坐标表示

3.学会用空间直角坐标系解决数学问题和实际问题，体会类比归纳的数学思想

二、教学重难点

重点：空间直角坐标系的建立

难点：空间向量的坐标表示

三、教学过程

1.概念形成

1.1复习引入，引发思考

问题L请同学们回忆上节课的内容，什么是空间向量基本定理？它的用途是什么？你

能举出一些具体的例子吗？

【预设的答案】

空间向量基本定理：如果三个向量a,4c不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的

有序实数组（苍丫,2）,使得尸=_«1+功+2<?.我们把｛a,瓦c｝叫做空间的一■个基底，a,反c都叫做基

向量.所有空间向量组成的集合就是｛p|p=xa+yb+zc,x,y,z^R）

应用：可以利用基底表示任意一个空间向量，进而把空间向量的运算转化为基向量的运

算，为解决问题带来方便；比如用基底法判断空间中线、面的位置关系（教材P15-习题6、

7）,用基底法求空间中线段的长度（教材P15-习题5）。

【设计意图】让学生回忆空间向量基本定理以及应用，让学生体会基底概念的引入为几

何问题代数化奠定基础，也为本节课的知识内容做好铺垫，加强知识间的联系.

问题2：请同学们回忆平面向量与平面直角坐标系之间的联系和对应关系，能否利用空间

向量基本定理和空间的单位正交基底，建立空间直角坐标系，进而建立空间向量的坐标与空间

点的坐标的对应呢？

【预设的答案】在平面向量中，我们以平面直角坐标系中的与x轴、y轴方向相同的两个

单位向量为基底，结合平面向量基本定理，建立了向量的坐标与点的坐标的——对应关系，

从而把平面向量的运算化归为数的运算。学生提出可以尝试进行类比，将知识拓展到空间。

【设计意图】让学生回忆平面直角坐标系表示向量及进行运算的形成过程，为本节课的知

识内容做铺垫，同时体会类比的数学思想。

1.2合情推理，形成概念

【探究一】类比平面直角坐标系，你能猜想如何构建空间直角坐标系吗？以小组为单位

进行讨论。

【活动预设】通过类比的数学思想尝试构建空间直角坐标系。

【设计意图】以讨论的形式加强学生间的交流和合作探究能力，为后续建立空间直角坐

标系与空间向量之间的联系做铺垫。

问题3：平面直角坐标系包含哪些要素？类比到空间直角坐标系应该有哪些要素？它们

需要满足什么条件？引导学生填写表格。

【活动预设】

坐标系三要素平面直角坐标系空间直角坐标系

原点坐标原点0坐标原点

坐标轴相互垂直的两条坐标轴X轴三条互相垂直的坐标轴

和y轴

单位长度单位长度单位长度

【设计意图】学生自主或通过讨论完成表格，体会坐标系的三要素、平面直角坐标系与空

间直角坐标系的异同。

问题4：利用单位正交基底概念，我们可以如下这样理解平面直角坐标系（给出左边表

格内容，让学生自主简述右边表格内容）。类比到空间，你能否给出空间直角坐标系的定义

呢？

【活动预设】

平面直角坐标系空间直角坐标系

在平面内选定一点0和一个单位正交基在空间选定一点0和三个基向量，叫做

底{ij}i,j,k,它们是两两互相垂直的单位向量

以。为原点，分别以的方向为正方以0为原点，分别以力的方向为正

向，以它们的长为单位长度建立两条数方向，以它们的长为单位长度建立三条

轴：X轴、y轴数轴：x轴、y轴、z轴

教师讲授：空间直角坐标系定义：

在空间选定一点。和一个单位正交基底{i,j,k}.以点。为原点，分别以i,j,女的

方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标

轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系。移z,。叫做原点，i,j,女都叫做坐标向量,

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，zOx平面，它们把

空间分成八个部分.

【设计意图】利用单位正交基底的概念，类比平面直角坐标系，自然而然地生成空间直角

坐标系的定义。

问题5：请回忆平面直角坐标系是怎么画的？空间坐标系又如何画呢？回忆学习立体几何

时用到的斜二测画法。先讨论，再找学生代表板演讲解。

【活动预设】

学生回想平面直角坐标系。孙的画法：在平面内画两条与单位正交

基底向量方向相同的数轴x轴和y轴，它们互相垂直、原点重合。

拓展到空间中，在x轴和y轴的基础上添加与x轴和y轴都垂直的

z轴。

借鉴在立体几何中学习的斜二测画法，在画空间直角坐标系。孙时，让x轴与y轴所成

的角为135°（或45°）,即为Qy=135°（或45°）,画4轴和y轴垂直，即4@=90°

在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指

指向％轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系.

【设计意图】

(1)通过回忆斜二测画法掌握直角坐标系的画法;

(2)直观感受直角坐标系的图像与立体感。

1.3具体感知，理性分析

【探究二】在平面直角坐标系中，每一个点和向量都可以用一对有序实数(即它的坐

标)表示，对空间直角坐标系中的每一个点和向量，是否也有类似的表示呢？

问题6：空间中任意一点A与哪个向量的坐标相同？在空间直角坐标系中如何定义瓦5的

坐标呢？那么对于给定的向量a又该如何定义它的坐标呢？

【活动预设】

(1)点A的坐标与从原点出发的函坐标相同

(2)

平面直角坐标系内空间直角坐标系内

取与x轴、y轴方向相同的两个单位向取与X轴、J轴、z轴方向相同的单位向量

量为基底，由平面向量基本定理，有ijk为基底,由空间向量基本定理，存在

且只有一对实数x,y,使得我们唯一的有序实数组(X,y,z),使得

把有序数对(x,仍叫做a的坐标，记作a=xi+y/+zk.

a=(x,y)

所以，在单位正交基底｛i,j,力｝下与向量函对应的有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直

角坐标系中的坐标，记做A(x,y,%),其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，％叫做

点A的竖坐标。

(3)因为空间向量是可以进行平移的，我们在空间直角坐标系以死中可以作瓦肚a。由

空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,幻，使历+zA,有序实数组(x,y,%)叫做a

在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记为

a=(x,y,z)

这样，在空间直角坐标系中，空间中的点和向量都可以用三个有序实数表示。

【设计意图】通过层层启发和类比思想，引导学生理解空间直角坐标系中每一个点和向

量的表示与一一对应关系O

【探究三】在空间直角坐标系佻yz中，对空间任意一点A,或任意一个向量工?，你能

借助几何直观确定它们的坐标(x,以外吗？

过点A分别作垂直于x轴、y轴、％轴的平面，依次交x轴、y轴、4轴于点8,C和D可

以证明函在x轴、y轴、z轴上的投影向量分别为丽、0C,而,由向量加法的意义可知，

OE=OB+OC,OA=OE+EA=OE+OD即砺=砺+双+砺.设点5,C和。在x轴、y轴、z

轴上的坐标分别是x、y、Z,那么a=xi+力+zA,即点A或者向量函的坐标就是(x,y,N).

【设计意图】从空间向量基本定理出发，得到空间内任意点和向量的坐标表示.

2.初步应用，理解概念

例1：如图，在长方体。4BC—D'A'HC中，04=3,0。=4,

00=2,以函，：反，g丽为单位正交基底，建立如图所示

的空间直角坐标系Oxyz.

(1)写出。'，C,A',E四点的坐标；

(2)写出向量H瓦丽土的坐标.

【预设的答案】(1)D'(0,0,2)C(0,4,0)A'(3,0,2)B'(3,4,2)

(2)

AB'=OC=0i+4j+0k=(0,4，0)

B7B=-ODl=0i+0j-2k=(0,0,-2)

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