天津市红桥区2022-2023学年高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市红桥区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知平面向量，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.2.化简：（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.故选：C.3.在△中，，，，那么等于（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可知，，根据正弦定理得.故选：A.4.是虚数单位，若为纯虚数，则实数的值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意为纯虚数，所以，解得.故选：C.5.复数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗.故选：A.6.若球的表面积扩大到原来的倍，那么该球的体积扩大到原来的（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设扩大前后球半径分别，由表面积之比为，得，则体积之比为.故选：D.7.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（）A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度〖答案〗D〖解析〗对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.8.设m，n是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（）A.若m∥α，n∥α，则m∥n B.若m∥α，n∥α，则m⊥nC.若m⊥α，n⊥α，则m∥n D.若m⊥α，n⊥α，则m⊥n〖答案〗C〖解析〗由m，n是两条不同的直线，α是一个平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故B错误；在C中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m∥n，故C正确；在D中，若m⊥α，n⊥α，则由线面垂直的判定定理得m∥n，故D错误．故选：C．9.已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：①函数的图象关于原点对称；②在区间上，的最大值为；③是的一条对称轴；④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．其中正确的结论个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗，，将代入，得．又，．，不是奇函数，的图象不关于原点对称，①错；当时，，由的单调性可知：，即的最大值为，②对；由，得的对称轴方程为，不是的对称轴，③错；，由，得，，相邻两个交点的横坐标之差为，将代入，得到交点的纵坐标为，面积的最小值为，④对．故选：B．二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，共24分.10.若是虚数单位，则复数=____________.〖答案〗〖解析〗.故〖答案〗为：.11.函数的最小正周期为，则_______.〖答案〗〖解析〗的最小正周期，.故〖答案〗为：.12.已知平面向量，，若共线，则___________.〖答案〗〖解析〗共线，，解得：.故〖答案〗为：.13.用与球心距离为1的平面去截该球，所得截面面积为π，则该球的体积_____________.〖答案〗〖解析〗截面面积为π⇒截面圆半径为1，又与球心距离为1⇒球的半径是，所以根据球的体积公式知V球＝故〖答案〗为：.14.已知圆锥的侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线与底面半径的比为_______.〖答案〗〖解析〗设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，由题意可知，底面圆的周长为，故，，则该圆锥的母线长与底面半径的比为.故〖答案〗为：2.15.在中，，，，点在线段上（点不与端点重合），延长到，使得，（为常数），（ⅰ）若，则___________；（ⅱ）线段的长度为____________.〖答案〗〖解析〗如图，以为坐标原点建系如图，则，所以，由得，整理得，由得解得或，当时，，此时重合，由可得，此时，因为点不与端点重合，所以不满足题意，舍去，当时，，的直线方程为，的直线方程为，联立解得，所以，所以，若，则解得，此时.故〖答案〗为：.三、解答题：本大题共4个小题，共40分.解答写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.在中，内角所对的边分别是，已知，，.（1）求：的值；（2）求：面积.解：（1）已知，由正弦定理得，，由于，所以，因为，所以.（2）由于，所以是锐角，所以，则.17.已知函数.（1）求函数的最小正周期及单调递增区间；（2）在中，内角所对的边分别是，若，，，求的值.解：（1），的最小正周期；令，解得：，的单调递增区间为.（2）由（1）得：，，，，，解得：，由余弦定理得：，.18.如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，，是的中点.（1）求证：平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）因为平面，平面，所以，由于四边形是矩形，所以，由此，以坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则；所以，因为，所以，由于，所以，由于，平面，所以平面.（2）设平面的法向量，则，即，不妨令，可得，且为平面的一个法向量，于是，所以平面与平面夹角的余弦值为.（3）设点到平面的距离为，由（2）可知平面的法向量，，设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.19.已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．（1）若为中点，求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．解：（1）证明：如图，连接，四边形为矩形，与交于点，为的中点，又因为为的中点，，而平面，平面，平面.（2）如下图，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，根据题意，则有，0，，，1，，，2，，，0，，所以，0，，，1，，，2，，假设平面的一个法向量为，，，则，取，得，1，，设直线与平面所成角的平面角为，则，直线与平面所成角的正弦值为．（3）假设存在