人教版高中数学必修一《基本初等函数》章末复习学案

数学•必修1(人教版)

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弟一早

基本初等函数(I)

书山有路勤为径

本章概述

学习内容

1.指数函数

(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的气的衰减，药物在人体内残留量的变

化等)，了解指数函数模型的实际背景.

(2)理解有理指数哥的含义，通过具体实例了解实数指数塞的意义，掌握塞的运算.

(3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探

索并理解指数函数的单调性与特殊点.

(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型.

2.对数函数

(1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对

数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用.

(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概

念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,

探索并了解对数函数的单调性与特殊点.

(3)了解指数函数尸a”(a>0,且aWl)与对数函数y=logax(a>0,且aWl)互为反函

数.

3.嘉函数

通过实例，了解事函数的概念；结合函数y=x[a=l，2,3,—1)的图象，了解

它们的变化情况.

4.学习指数函数、对数函数、幕函数等基本初等函数要注意的问题

(1)指数幕的学习，应在回顾整数指数幕的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例,

理解有理指数累及其运算性质，了解实数指数塞的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近

无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.

(2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y=a*(a>0,

且a=l)和对数函数y=logzx(a>0,且a=l)互为反函数.

(3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数

概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理

解和处理现实生活和社会中的简单问题.

知识结构

%y威。m

2.1指数函数

2.1.1指数与指数幕的运算（一）

沙场点兵好体力行提高考能课时钢珠冬

A基础达标

1.化简下列各式：

（1）口5=

答案：口一3

（2）工=.

答案：』

2.下列根式与分数指数哥的互化中，正确的是（）

B.y(y^O)

_________________J_

3.设a..才:〉0，化简（？7屋5

L-3・二）一的结

果是）

o

A.3a，)aB.3a

C.3小D.3aJC~

解析：(27「上.a2・J?)=3•a§・a

112

a3.118=3。9.

答案：C

(2

4.化简一(7WN)的结果是()

4"-8一

A4B.22n+5

2L7

C2”-2”.+6D.

2

+122/7+1

2"2/?+2

|22A+1

解析:-222”-6

，•8

_21_2〃+627—2A

1

答案：D

5.设a20,化简：^[2

由此推广可得：瞌(zz7,n,0GN*).

答案：「a

＞巩固提高

6若8VX12则yjx—8~、+yjx—12~电

解析：dx—8"+Nx—12"(丁8Vx<12)—x—8+12—x—4.

答案：4

7.设a,6GR,下列各式总能成立的是()

A.(船-跖)6a-b

B.导£+、

C.y[^—yl^—a-b

D.yja~\~b~R=a+6

答案：B

、±J.X_7.13±

解析：原式=（〃2a2）3+（a3a3）2

一a+a—1.

答案：1

＞巩固提高

9.计算：_+'1-2衿Xn

a-十2\/a7j+4b〔UaJ

±±

缶刀+crrv_a，（a-8b）a34

角单析：原式一£匚工工~------T义a3

a3十2a3Ip+4b3a3—2b3

a（a—8b）_

10.已知0〈2x—l〈3,化简（1-4x+4f+21xT|.

解析：由0〈2x—1＜3,得於＜2,

yj1—4x+4x~+2Ix—21=yl2x—1'+2|x—21=2x—1—2（x—2）=3.

☆课堂小结

1.熟记整数幕的运算性质.

2.理解〃次方根与根式的概念.

3.掌握根式运算性质.进行指数塞的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘

方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幕

的运算法则.

2.1.2指数与指数赛的运算（二）

沙场点兵躬体力行提高考能课时和I怪耳

A基础达标

1.化简[（一由力一;的值等于（）

A.^/3B,—y[3

解析：[（一志）2]-尹3-3=雪.

答案：c

2.后=会成立的条件是（）

A.x<lB.

x-2

CROD.x》2

x—220,x22,

解析:<=>•

x-l>0x>l,

答案：D

3.(—2)1°°+(—2)1°1等于()

A.-1B.2100

C.(-2)100D.-2100

解析：(-2)100+(-2)101

=(-2)100+(-2)(-2)100

=(-2)100[l+(-2)]

答案：D

4若*2=9,贝!]x=；若丁=8,贝(!x=

答案：±32

5.已知a^+a—^=3,则a2+a~2=

角军析：:+Q2—(a+a1)2——2

2

=[(Q)+a)2—2|—2

=49—2=47.

答案：47

6.设b>0,用分数指数易表示下列各式：

⑴冰木=；

答案：(1)7)"(2)

7.计算2—1+螯+号■—5(1一小)°的结果是()

A.1B.2^2C.^2D.2-1

泛+11:2也.故选B

答案：B

A巩固提高

8.求值：2#*折1乂际=,

解析：2也X近7X<712=2X3^X()3X3«X2^-

11-U1.1.I_L|,L

2—3+3.32+3+6=2X3=6.

答案：6

9.化简下列各式：

2__±±j_

,]、(3•]))2•山•13

(])6/

VU,,I)

((»•J-i।)2•fj2•A3

解析：(1)—一。,；a~~—

(2)~~~a"•ir~(-3a•/尸)+(4a，•，尸)？

6

解析：

5工八工J_±

(2)—a3•b2(-3a~2•b](4ci3•b3)2

6

5工±A5工3

-a6.b；+(2q3•万—2)=----YaT2b~~~

L4

5\[ab

4qb2

\lCa1)~2(刈2)IC.

解析:

IITT2__3_

V(5)2(a2)13—(u32)3

513±5_41

(a-•a下)2=a衣a-2=a-18

10.已知xGR,«>0,设罐+“-'=",将下列各式分别用"表示：

_______________3_^一迎

(1)a-a2;(2)a2a-.

,r.rI上上

解析：(l)a2fa2=V(a24^a2)"

=+2Xa2X「；~~a~

=心工+一支+2=五+2.

3：r3：r

(2)a2+a-2

2

=(a+n2)(LLT—Xa-ha工)

=(a'T'-\-ar-1)(a2+a*)

-(u1)，N+2.

☆课堂小结

i.进行指数黑运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用黑的运算法则.

2.注意根式运算与有理数指数嘉的相互转化.

3.利用指数嘉的运算性质进行化简变化时，要注意次序.

4.含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.

2.1.3指数函数及其性质（一）

沙场点兵躬体力行提高考能课时钠糅①

＞基础达标____

1.函数/1(x)=，Fz亍的定义域是()

A.(—8,o)B.[0,+°°)

C.(—8,0]D.(—8,+8)

解析：由1—2'20,得2』W1,由指数函数y=2"的性质可知x〈0.

答案：C

2.一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每

天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细

胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是（）

A.5天B.6天

C.8天D.9天

答案：D

3.若0<a<l,b<—2,,则函数y=a*+6的图象一定不经过（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

答案：A

—看的定义域是

4.函数=

O

解析：由眇r-*。,得眇一白眇

：.3x-l^3,解得乂号函数的定义域为1-8,

答案:卜8,

5.函数»=0.7~的值域是

解析：设f=，£（-8,O）u（o,+8）,

r=0.7r,-oo,o)u(o,+°°

故所求值域为(0,1)U(1,+°°).

答案：(0,l)U(L+8)

6.某厂去年生产某种规格的电子元件a个，计划从今年开始的"年内，每年生产此种

元件的产量比上一年增长庚，此种规格电子元件年产量y随年数x变化的函数关系是

答案：y=〃(l+庚)”(OWAR)

>巩固提高

X

7.已知a,b>l,f(x)a,g(x)=",当/(xi)=g(x2)=2时，有xx>X2,则a,b

的大小关系是（)

A.a=bB.a>b

C.a<.bD.不能确定

解析：Va>l,b>\,

由图示知b>a.

答案：C

8.定义运―［例如】*2=1,则函数

*2"的值域为

1,QO,

解析：由定义知J'=Bv,AY0

故所求其值域为(0周.

答案：(0国

9.若函数f(x)=ai+3恒过定点R试求点户的坐标.

分析：研究/的图象和/'(x)=a-+3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推

导.

解析：将指数函数尸a、(a>0,且aWl)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平

移3个单位，即可得到了=&门+3的图象，因为尸/的图象恒过(0,1),故相应的尸a''

+3恒过定点(1,4).

10.若0＜彳＜2,求函数v=4r-4-3X2/:+5的最大

值和最小值.

解析：丁=公--3X2、+5=1(2V)2-3X2V+5.

令2*=f,贝j=；(f-3)2+；,

Is

.,.当f=3时，.12=］；当f=l时，JhaL；.

・4

故该函数的最大值为Jhax=2，最小值为Jmin=J.

☆课堂小结

1.熟记指数函数的图象和性质.

2.研究与指数函数相关的函数性质时，要用好指数函数的图象和性质，有时需要把一

些式子当成一个整体.

3.在实际问题中，抽象出指数函数的模型后，需注意定义域以及函数的性质.

2.1.4指数函数及其性质（二）

沙场点兵躬体力行提高者能课时位I珠&

>基础达标

1.已知指数函数尸a*（a>0,且aWl）在［0,1］上的最大值与最小值的和为3,则a等

于（）

1

A.-B.2

解析：•••指数函数在其定义域内是单调函数,

；•端点处取得最大、小值，

a°+a=3,故a=2.

答案：B

2.下列不等关系中，正确的是（）

解析：•.•函数》一广在R上是减函数,

12

而0<77<~77・

OO

答案：D

3.函数/"(x)=a'(a>0且aWl),对于任意实数x,y都有()

A.f(xy)=f(x)f(近

B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+力=Ax)f(y)

D.f(x+y)=f(x)+/"(力

解析：F(x+y)=a+r=aV=f(x)F(y).故选C.

答案：C

4.将函数y=2、的图象先向右平移1个单位,再向上平移2个单位可得到函数

的图象.

答案：y=21+2

5.函数尸《）一2,在区间［-1,1］上的最大值为.

解析：..，=9'-2,在区间［—1,1］上是单调减函数，；.当户一1时，有最大值为|.

答案：］

6.比较下列各组数的大小：

__3