人教A版（2019）高中数学必修第一册3.2.2函数的奇偶性

3.2.2函数的奇偶性

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.奇函数y=/（x）的局部图象如图所示，贝！］（）

A.A2）＞0＞/4）B.A2）＜0＜/4）

C.犬2）＞式4）＞0D./（2）＜A4）＜0

2.若奇函数兀c）在xd（—8,0）上的解析式为y（x）=x（l+x）,则携x）在（0,+8）上有（）

A.最大值一（B.最大值（

C.最小值一（D.最小值;

3.（2021•南宁高一检测）已知定义在R上的函数人乃是奇函数且是增函数，若＜1）=1,则不等式次刈＜1的

解集为（）

A.（-1,1）B.（-1,0）

C.（0,1）D.（-8,-l）u（l,+8）

4.已知偶函数大x）在区间［0,+8）上单调递增，则满足八2x—1）勺包的x的取值范围是（）

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.已知函数五尤）QGR）为奇函数，＞+2）=/x）+l,则爪3）等于.

6.（2021.青岛高一检测）已知定义在（一8,+8）的偶函数八功在［0,+8）上单调递减，五—1）=-g,若

火2x—1）》一百，则x取值范围是.

三、解答题（每小题10分，共20分）

7.已知函数人x）=*,

⑴判断函数的奇偶性.

（2）判断函数在xe（-8,0）上的单调性，并证明.

8.已知函数式尤）是定义域为R的偶函数，且当龙》。时，y（x）=-X2+2X.

⑴求出函数兀0在R上的解析式.

（2）画出函数人功的图象.

I

（3）根据图象，写出函数式》）的单调递减区间及值域.

能力过关

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2021.重庆高一检测）已知人x）=l一不、是定义域为R的奇函数，且对任意实数x,都有五N一,内十

2）>|,则m的取值范围是（）

A.—2<m<2B.0<m<2

C.—4<m<4D.m>2

2.（多选题）已知>=式尤）是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是（）

A.y=AM）B.y=A-x）

C.y=xfix）D.y=fix）+x

二、填空题（每小题5分，共10分）

3.已知函数y=/（x）为偶函数，其图象与x轴有四个交点，则方程7（x）=0的所有实根之和是.

4.已知函数危）是定义在R上的奇函数，且当x20时，火尤）=N—5x,则加）=,不等式於一2）

>於）的解集为.

三、解答题（每小题10分，共20分）

5.已知式x）是定义在（T,1）上的奇函数，且於）在（一1,1）上是减函数，解不等式加一x）+/U—2x）0.

6.已知函数且犬2）=0.

（1）求实数m的值，并判断#x）的奇偶性；

（2）作出函数<x）的图象，并指出五刈的单调减区间；

（3）求xd[—2,3）时函数的值域.

4

3

2

I

-3-2-1°1234x

-1

-2

2

答案解析

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.奇函数>=/")的局部图象如图所示，贝i］()

A.八2)>0>黄4)B.A2)<0</4)

C./2)>/4)>0D.八2)中4)<0

分析选A.由题意可知，函数的图象如图:

可知42)>0><4).

2.若奇函数八x)在xG(—8,0)上的解析式为式x)=x(l+;c),则式尤)在(0,+8)上有()

A.最大值一1B.最大值;

C.最小值一9D.最小值(

分析选B.方法一(奇函数的图象特征)：当％<0时，y(x)=x2+x=(x+£)一1,

所以月入)有最小值一］,因为人工)是奇函数，

所以当x>0时，危)有最大值］.

方法二(直接法)：当x>0时，一兀<0,

所以八一工)=一取1一%).又X一元)=-A%)，

所以/(X)=X(1_X)=_X2+X=_Q_0+/,

所以犬X)有最大值(.

3.(2021.南宁高一检测)已知定义在R上的函数1x)是奇函数且是增函数，若五1)=1,则不等式依x)|Vl的

解集为()

A.(-1,1)B.(-1,0)

C.(0,1)D.(—8,-1)U(1,+8)

3

分析选A.由心以<1得一ivy（x）<i,

因为犬尤）是奇函数且是增函数，yu）=i,

所以六一i）=-/U）=_i,

则不等式等价为八-1）<人¥）〈八1）,

所以一1<尤<1,

即不等式的解集为（一1,1）.

4.已知偶函数次x）在区间［0,+8）上单调递增，则满足五2x—1）勺&的x的取值范围是（）

A.由DB-［II)

1)

分析选A.由题意得|2x—l|<g=—；<2x—l<g

2c412

01<2x<^<X<2.

二、填空题（每小题5分，共10分）

5.已知函数7U）（x£R）为奇函数，7U+2）=/U）+l,则八3）等于.

分析因为/（%）为奇函数，令％=—1,得11）=八-1）+1=—八1）+1,所以11）=；.

13

令x=l,得13）=/（1）+1=5+1=2-

3

答案：5

6.（2021.青岛高一检测）已知定义在（一8,+8）的偶函数"x）在［0,+8）上单调递减，八—1）=—3,若

黄2x—1）》一3,则无取值范围是.

分析因为偶函数危）在［0,+8）上单调递减，/（—1）=--,根据偶函数的对称性可知，於）在（一8,0）上

单调递增，且八1）=一；,由火2x—1）》一3，可得一lW2x—1W1,解得OWxWl.

答案：［0，1］

三、解答题（每小题10分，共20分）

7.已知函数y（x）=m,

⑴判断函数的奇偶性.

（2）判断函数在xd（—8,0）上的单调性，并证明.

分析（1）因为y（x）=5的定义域为{x|x#o},

4

fi-x）=（,）2=9=八%），所以函数yu）为偶函数.

（2）函数«x）在x£（—8,0）上单调递增，

证明如下：任取Xi,X2e（—oo,0）,且Xi<X2，

~11A—/

所以犬为）一大冗2）=了一7="

（也―为）（愈+处）

因为Xl，X2e（—oo,0）,且为<12，

所以检一方>0，xi+xi<0,

〜（愈―Xl）（xz+xi）„

所以-----------------<0,即人XI）勺（X2）,

则函数加0在尤e（—8,0）上单调递增.

8.已知函数八x）是定义域为R的偶函数，且当x20时，式X）=-N+2X.

⑴求出函数式x）在R上的解析式.

（2）画出函数式x）的图象.

（3）根据图象，写出函数xx）的单调递减区间及值域.

分析（1）因为函数4x）是定义域为R的偶函数，

所以式x)=/(—x).当x<0时，-x>0,

所以fix)=/—X)=一尤2—2x

一N+2X,X》0,

综上，危）=

~x2~2x,x<0.

（2）函数y（x）的图象如图所示:

（3）由（2）中图象可知，式x）的单调递减区间为[-1,0],[1,+8）,函数八%）的值域为（一8,1].

能力过关

一、选择题（每小题5分，共10分）

1.（2021.重庆高一检测）已知危）=1一f、是定义域为R的奇函数，且对任意实数x,都有小2—妙+

2）>|,则m的取值范围是（）

A.-2<m<2B.0<m<2

5

C.—4<m<4D.m>2

分析选A.由奇函数的性质可得，>(0)=1—=0,得〃=2,所以危)=1—,所以11)=1一弓=1.

而兀声―g；+2)>g=yq)且犬%)单调递增，所以12—祖工+2>1恒成立，即12—如+1〉。恒成立，

故有/=机2—4<0,得一2Vm<2.

2.(多选题)已知y=/(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()

A.y=/(W)B.y=/(—x)

C.y=xj(x)D.y=J{x}+x

分析选BD.由奇函数的定义验证可知BD正确.

二、填空题(每小题5分，共10分)

3.已知函数>=兀0为偶函数，其图象与冗轴有四个交点，则方程人%)=0的所有实根之和是.

分析由于偶函数的图象关于y轴对称，所以偶函数的图象与x轴的交点也关于y轴对称，因此，四个交点

中，有两个在x轴的负半轴上，另外两个在入轴的正半轴上，所以四个实根的和为0.

答案：0

4.已知函数於)是定义在R上的奇函数，且当时，於)=N—5%,则於)=,不等式於一2)

>作)的解集为.

分析因为於)是定义在R上的奇函数，且当x20时，兀0=/—5羽

所以xVO时，一%>0,

所以火一元)=(一%)2+5x

=x2+5x=­y(x),

所以y(x)=-A2—5元，

［x2—5x,%20

故，

〔一N—5x,x<0

因为4%—2)>大工)，

①%—220即%22时，(x—2)2—5(x—2)>x2—5x,

77

解得,此时.

②xV。时，一(x—2)2—5(%—2)>—x2—5x,

33

解得x>一］,此时一］<x<0.

③当0W%V2时，一(x—2)2—5(%—2)>x2—5%,

解得一1VXV3,此时0WxV2.

37

综上可得一,<x<^.

2

答案：二(x—25-x,5…x20＜。卜(一3尸5T

6

三、解答题(每小题10分，共20分)

5.已知1x)是定义在(一1,1)上的奇函数，且八尤)在(一1,1)上是减函数，解不等式式1—x)+/(l—2x)<0.

分析因为兀0是定义在(一1,1)上的奇函数，

由犬1—X)+式1—2x)<0,

得犬1—x)<一Al—2x),

所以五l—x)勺Qx.l).

又因为五x)在(一1,1)上是减函数，

-1<1-x<L

所以<―1<1-2x<l,

—x>2x—1,

2

解得0<x<^，

所以原不等式的解集为(0,1).

6.已知函数y(x)=g：—x|x|,且12)=0.

(1)求实数m的值，并判断汽幻的奇偶性；

(2)作出函数的图象，并指出兀0的单调减区间；

(3)求x£[—2,3)时函数的值域.