2024年北京市朝阳区高三年级下册质量检测二数学试卷含详解

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学

2024.5

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项

中，选出符合题目要求的一项.

L已知集合A=,*{2,3,4，>则)

A.{2}B,{2,3}C,{3,4}D.{2,3,4}

2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()

A./(x)=sinxB./(x)=cosx

C.f(x)=4xD./(x)=x3

3.设等差数列的前〃项和为S“，若q=l,4=7,贝USQ=()

A.60B.80C.90D.100

4.已知抛物线C:9=4x的焦点为R点P为C上一点.若归月=8,则点P的横坐标为()

A.5B.6C.7D.8

X+1%]

5.已知函数/(%)='—,存在最小值，则实数。的取值范围是()

2-a,x>l

A.,1]B.C.D.(1,-Ko)

6.已知a,,是两个互相垂直的平面，/,根是两条直线，ac(3=1,贝产加，/”是“加J_a”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

兀

7.在平面直角坐标系九0y中，锐角。以O为顶点，Ox为始边.将。的终边绕。逆时针旋转一后与单位圆交于点

4

P(x,y),若cosa=，则V=()

10

4334

A.一一B.--C.-D.-

5555

8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv2,其中夕是空气密度，S是该飞行器的

迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器

克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=加.当，S不变，V比原来提高10%时，下列说法正确的是（）

A.若。不变，则P比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使p不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使p不变，则C比原来降低超过40%

9.已知双曲线C:二—=1（。〉0,6〉0）的右焦点为「c是双曲线C的半焦距，点A是圆N+y2=c2上一

a"

点，线段胡与双曲线c的右支交于点3.若|E4|=a,E4=2EB,则双曲线C的离心率为（）

A4R3百

A.------D.------------

22

C.币D.-

2

10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的

小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有"个小球，第二层有（。+1）。+1）个小球，第三层有（。+2乂"2）个

小球……依此类推，最底层有〃个小球，共有〃层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为

［（2。+4"+（2"+。）°+（-。）］：若由小球堆成的某个长方台形垛积共8层,小球总个数为240,则该垛积的

6

第一层的小球个数为（）

A.1B.2C.3D.4

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.复数z满足（1—i）z=2,贝”的虚部是.

12.已知向量a=（3,4）,6=（-左,2）,且（a+6）/a,则实数仁.

13.在（1—3%）”的展开式中，若二项式系数的和等于64,贝ij〃=,此时/的系数是.（用数字作

答）

14.若直线丁=左（％+2）—1与曲线y=Jl—九2有两个不同的交点,则实数上的一个取值为.

15.设〃为正整数，已知函数/(x)=X2一1,力(%)=%一：，力(x)=,sin27Lx.当左《｛1,2,3｝时，记

22

)其中勾=；(，=』,川.给出下列四个

4=|A(«1)-A(«O)|+|A(«2)-A(«1)|++|Ak)-Ak-1b02,...

结论：

①V〃eN*，人=1;

②VneN*，AS；

③若“=2023,则［2＜/I＜，3；

④若八=2024,则［2＜，＜/3.

其中所有正确结论的序号是.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在_ABC中，NA为锐角，且sin2A=gcosA

(1)求cosA的值；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求c.

条件①：cosB=;

3

条件②:a=9;

条件③:Z?=10.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

17.科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023年1月至12月A,B两地区电动汽

车市场各月的销售量数据如下：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

A地区

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977189.2

(单位：万辆)

B地区

7.88.88.18.39.210.0979.910.49.48.9101

(单位：万辆)

月销量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.68.78.8

月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与8地区的销售量的比值(保留一位小数).

(1)在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率;

(2)从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的

月销量比低于5的概率；

(3)记2023年1月至12月A,B两地区电动汽车市场各月销售量数据的方差分别为s；,s；,试判断s：与s；

的大小.(结论不要求证明)

18.如图，六面体ABC。一瓦6,是直四棱柱ABC。—A4GA被过点口的平面e所截得到的几何体，

。。，底面人3。。，底面A3CD是边长为2的正方形，DDr=4,AE=2,CG=3.

(1)求证：AC±DXF；

(2)求平面.与平面A5C。的夹角的余弦值；

r)p

(3)在线段。G上是否存在一点P,使得AP//平面EFG，？若存在，求出——的值；若不存在，说明理由.

19.己知椭圆E的两个顶点分别为4(—2,0),5(2,0),焦点在x轴上，且椭圆E过点C72,

(1)求椭圆E的方程;

(2)设。为原点，不经过椭圆E的顶点的直线/与椭圆E交于两点?(不例)。(%2,%)(%/%),直线即与直线

OC交于点H,点M与点。关于原点对称.

(i)求点H的坐标(用毛，％表示)；

(ii)若A,H,M三点共线，求证：直线/经过定点.

20已知函数〃尤)二依_山(1_%)(。£R).

(1)求曲线y=/(%)在点(。,7(0))处的切线方程；

(2)若〃力对恒成立，求。的值;

(3)若/(%)有两个不同的零点国,且民—M>e—1,求。的取值范围.

21.设九为正整数，集合4={。1。=(«1，。2,…，ajqW{°，1}/=1，2,•,”}.对于［=(01，%，…，A，设集

合尸(a)=eN|0<Z<n-1,ai+t=at,i=1,2,

(1)若e=(0,1,0,0,1,0),4=(0,1,0,0,1,0,1,001,0)，写出集合F(a),P(乃)；

(2)若1=(4%，.，%)eA，且sJeP(a)满足s<右令a'=(al,a2,,an_s)e4,_5;求证:

t-sGP(a')；

^若^:侬乌丁一见工儿，且P(o)={si，S2，‘，%}(。<§2<<sm,m>3'),求证：

2襄+i21+s&+2(左=1,2,,m—2).

北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测二

数学

2024.5

(考试时间120分钟满分150分)

本试卷分为选择题40分和非选择题110分

第一部分(选择题共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项

中，选出符合题目要求的一项.

L已知集合A=八{2,3,4,5}则)

A.{2}B,{2,3}C,{3,4}D,{2,3,4}

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得A={九eR|-J再<尤<丽},结合交集的定义与运算即可求解.

【详解】由题意知，A={xeR|x2<10}={xeR|-^/i0<x<V10},

又5={2,3,4,5},

所以AB={2,3}.

故选：B

2.下列函数中，既是奇函数又在其定义域上是增函数的是()

A./(x)=sinxB.f(x)=cosx

c.于(X)=GD.f(x)=x3

【答案】D

【解析】

【分析】根据已知的各个函数的性质，可以直接作出判断.

JTJT

【详解】/(x)=sinx是奇函数，它在区间-耳+2版■,»+24万，左eZ上单调递增，在定义域内不是增函数，

所以选项A是错误的；

/(x)=cosx是偶函数，所以选项B是错误的；

/(%)=«既不是奇函数又不是偶函数，所以选项C是错误的；

/(x)=d满足既是奇函数又在其定义域上是增函数，所以选项D是正确的；

故选：D.

3.设等差数列的前〃项和为S〃，若q=l,&=7,则SQ=()

A60B.80C.90D.100

【答案】D

【解析】

【分析】先求出等差数列的公差，再由等差数列的求和公式求解.

【详解】等差数列的公差为：〃=幺二%=2匚=2,

4-13

10x9

则%=104+——-^=10+45x2=100.

2

故选：D

4.已知抛物线C:/=4x的焦点为R点P为C上一点.若归耳=8,则点P的横坐标为(

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解析】

【分析】根据抛物线的标准方程可得b(L0),结合抛物线的定义即可求解.

【详解】由题意知，F(l,0),

由抛物线的定义知，|尸司=号+^=号+1=8,得/=7,

即点尸的横坐标为7.

故选：C

、f%2+1,%<1

5.已知函数/(%)=，存在最小值，则实数a的取值范围是()

2-a,x>l

A.B.(-8,1)C,D,(1,+co)

【答案】A

【解析】

【分析】根据分段函数的单调性求解即可.

【详解】当xWl时，/(x)=x2+l,

所以"％)在(—8,0)上单调递减，在(。』上单调递增，则"X)疝n=/(0)=l，

当x>l时，/(x)=2、—a,所以了⑴在(1,+8)上单调递增，无最小值，

根据题意，/(%)存最小值，

所以2—a21,即a<l.

故选：A.

6.已知a,"是两个互相垂直的平面，/,根是两条直线，ac(3=l,贝产加，/”是“相，。”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C,充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】根据面面垂直的性质与线面垂直的性质，结合充分、必要条件的定义即可求解.

【详解】由题意知，a工/3，aB=l,

若当mu/7时，有m_La；当相<z/7时，加与a可能相交、平行、垂直.

若由/ua,得〃z-L/.

故“加，/”是“m，a”是必要不充分条件.

故选：B

TT

7.在平面直角坐标系九0y中，锐角。以0为顶点，3为始边.将。的终边绕。逆时针旋转一后与单位圆交于点

4

P(x,y)，若cosa=，则V=()

10

4334

A.一一B.--C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根据同角的平方关系求出sina,结合三角函数的定义和两角和的正弦公式计算即可求解.

详解】如图，

由cosa=，0＜。＜=,得sina=Jl-cos?a=，

10210

所以y=sin(a+：)=(sina+cosa)=x~~='•

故选：D

8.假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力/满足公式f=^pCSv\其中「是空气密度，S是该飞行器的

迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数（其大小取决于多种其他因素），反映该飞行器

克服阻力做功快慢程度的物理量为功率尸=户.当，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是（）

A.若。不变，则尸比原来提高不超过30%

B.若C不变，则P比原来提高超过40%

C.为使尸不变，则C比原来降低不超过30%

D.为使p不变，则C比原来降低超过40%

【答案】C

【解析】

12P

【分析】由题意可得尸=/oCSv3,C=]m，结合选项，依次判断即可.

112尸

【详解】由题意，f=-pCSv2,P=fv,所以P=]0CSv3,C=於，

A：当P，S,C不变，v比原来提高10%时，

贝I]6=1pCS（l+10%）3v3=1pCS（y.I）3v3=1.33•|pCSv3,

所以P比原来提高超过30%,故A错误；

B：由选项A的分析知，P^l.33-pCSv3,

所以P比原来提高不超过40%,故B错误；

2P2P2P

C：当P，S,P不变，V比原来提高10%时，G=仃07=13后3=,其，

所以C比原来降低不超过30%,故C正确；

D：由选项C的分析知，C比原来降低不超过30%,故D错误.

故选：C

9.已知双曲线C：=_y_=Ka>0,6〉0）的右焦点为Fc是双曲线C的半焦距，点A是圆N+y2=c2上一

ab2

点，线段曲与双曲线C的右支交于点A若|E4|=a,E4=2EB,则双曲线C的离心率为（）

373

C.不

【答案】A

【解析】

【分析】先根据条件求得IEBI」耳§I,然后解直角三角形即可得答案.

【详解】设双曲线左焦点为不如图：|E4|=a,E4=2EB,可得产3|=ga,

由双曲线的定义字|片例=2a+-a=-a,

22

222s2122

在.ABF｝中，|"IB片|-|AB|=ya--a=6a,

22

在.AFXF中,|耳尸|2=|A耳|+|AF|

即4c*=6«2+cT—IcT>可得e='=■

a2

10.北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中记载了“隙积术”，提出长方台形垛积的一般求和公式.如图，由大小相同的

小球堆成的一个长方台形垛积的第一层有"个小球，第二层有（。+1）伍+1）个小球，第三层有（。+2乂"2）个

小球……依此类推，最底层有〃个小球，共有〃层，由“隙积术”可得这些小球的总个数为

［（26+""+（2"+'）c+（c-［若由小球堆成的某个长方台形垛积共&层,小球总个数为240,则该垛积的

6

第一层的小球个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由题意知，a-b+l,c-d+1,当〃=8时，d=b+7,c=b+8,代入

K2"+d）a+（2d+b）c+…jo,求出匕即可.

6

【详解】由题意知，a^b+l,c^d+l,各层的小球个数可当作数列{4},

则％=ab,a2=(a+1)(Z?+1),%=(〃+2)3+2),•=(a+几一l)(b+n-l)=cd,

[(2Z?+d)a+(2d+b)c+(c-a)]n

当〃=8时,d=b+7,c=b+8,代入

6

殂8[（2口+H7）（7+1）+（2H14++8）+7]

6

整理得廿+助-9=0,解得6=1或-9（舍去），

此时。=2,即第一层的小球有a/?=2个.

故选：B

【点睛】关键点点睛：本题主要考查新文化背景下的数列问题，确定a=6+l,d=c+l与4=（。+”—1）3+〃—1）

是解决本题的关键.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.复数z满足（1—i）z=2,贝口的虚部是.

【答案】1

【解析】

【分析】由已知条件求出复数Z,从而可求出复数Z的虚部.

【详解】：复数Z满足（1—i）z=2,

22（l+i）2+2i,.

*z—-----=--------------=--------=1+i

"1-i（l-i）（l+i）2，

故z的虚部是1.

故答案为：1

12.已知向量a=（3,4）,b=（-k,2）,且（a+人）,a,则实数七.

3

【答案】—##—1.5

2

【解析】

【分析】利用已知求得a+b=（3—左,6）,进而根据a,可得（3—左）x4—6x3=0,求解即可.

【详解】因为2=（3,4）,b=（-k,2）,

所以a+〃=（3,4）+（—左,2）=（3—左,6）,

3

又（a+。）a,所以（3—左）x4—6x3=0,解得左=——.

.3

故答案为：—.

2

13.在（1—3%）”的展开式中，若二项式系数的和等于64,贝!]〃=,此时/的系数是.（用数字作

答）

【答案】①.6②.135

【解析】

【分析】利用二项式系数的和等于64,求解九值，利用通项公式求解/的系数.

【详解】由二项式系数的和等于64,贝12〃=64，/=6；

通项公式为Tr+i=晨•尸.(一3町=G(-3)'

令厂=2,所以/的系数为C：(—3)2=135.

故答案为：6；135.

14.若直线丁=左(％+2)—1与曲线y=a—尤2有两个不同的交点,则实数上的一个取值为.

【答案】1(答案不唯一)

【解析】

【分析】画出图，由图可知有两个交点的时候的临界状态为相切与过点(-1,0),求出此时直线的斜率，则实数上的

取值范围即可求解.

直线y=M4+2)—1过定点(一2,—1),

2

曲线y=^l-x-即f+y2=i(y»o),表示半圆，

如图所示，当直线与圆相切时，圆心(0,0)到直线丁=左"+2)—1的距离d=}pU=l,

4

所以左=0(舍去)或左=—,

3

由于直线丁=左(％+2)—1与曲线y=Jl—尤2有两个不同的交点,

当直线y=左(4+2)—1过(―1,0)时，斜率最小为1,

所以由图可知，实数上的取值范围为：l,g],

故实数化的一个取值为1,

故答案为：1(答案不唯一).

15.设九为正整数，已知函数工(%)=f一1,f2(%)=x--,力(x)=Lsin2m.当左e{l,2,3}时，记

22

h=|A(«I)-A(«O)|+K(«2)-A(«I)|+其中4=；(i=0,1,2,给出下列四个

结论:

①V"eN*，A=1；

②V/GN*，k＜h；

③若〃=2023,则［2＜，＜/3；

④若〃=2024,则［2＜/I＜，3.

其中所有正确结论的序号是.

【答案】①③

【解析】

【分析】依据.(%)=*—1在［0』上单调递增，力(动=1在卜』上单调递减，在上单调递增,

/L乙」/

11313

力(x)=5sin2◎在。［和上单调递增，在上单调递减，

利用单调性逐项计算可判断每个选项的正确.

【详解】对于①，因为q=；(，=0/,2,...,“)，所以124+Rae()(i=0,12・1).

又/(x)=f-1在［0,1］上单调递增，所以工(心)〉工(《)，

20222022

所以4=$|力(4+1)—力(0)|=£(力(4+1)-fl(«,))

i=0i=0

=/(%023)一/(%)=°一(一1)=L故①正确；

对于②，当〃=1时，4=区(％)—上(%)|=1—g—。―g=。，

4=1力(。1)_力(。0)|=gsin27t-gsin0=0,所以此时(=4，故②错误；

对于③，当〃=2023时，因为力(x)=；在上单调递减，在上单调递增，且关于直线x=!对

2L，」J2

称.

1011110121011工黑在数轴上关于9对称，所以

又有0＜<—<<1,且-----和

202322023202320232

力（即）＜力（。仙=0，1，2,1010）,力（/2）=力（/J，fi（%!）＞f2（«z）（/=1012,1013,...,2022）.

202210102022

所以A=Z伉（4+1）-力⑷|=Z（力⑷-fl（4+1））+Z（力（4+1）-fl（«/））

z=0i=Qz=1012

=力（/）一力（4011）+力（“2023）一力（囚012）=5-^^+5一^5^=1—^1・

,、1「1］「3"1「13-

而力（x）=—sin27tx在0,—和—,1上单调递增，在—,—上单调递减.

v724444

5051506生<，空<1.

又有0<<—<-------<

202342023202342023

（6+1）

所以人〈人（《）［=0,1,2,504,1518,1519,...,2022）,力（ai+1）>力=506,507,...,1516）.

2022

所以八=Z|力MJ-力⑷|

/=0

50415162022

=Z（力（生甩）一力⑷）+£（力⑷—力（4+1））+E（力（4+1）-力⑷）

z=0z=506z=1518

50415162022

二（力（勾+i）-力⑷）+2（力⑷-力（一））+E（力（生+1）-力（《））

«=0z=506«=1518

=于3（4505）—力（%）+力（“506）—力（每17）+/（4023）—力（《518）

1.101071八1,1012711.3034713036兀

—sin-0+—sin--------------sin-+---0-------sin

22023220232202322023

1.1010711.1011711.1011711.101071

=—sin-----------1--sm----------1--sin----------1--sin---------

22023220232202322023

>2sinWW>2sin^=石.

20233

这就得到/|=1,/2=1———<1,A>6,所以此时，故③正确;

20233

对于④，当八=2024时，因为力（%）=%-；在0,1上单调递减，在上单调递增.

/L乙」L

f

又果|=g，所以力（%_J（力（q）（i=0,L2-,1011）,（ai+1）>2（a,）（z=1012,1013,...,2023）.

202310112023

所以右=z怩（q+i）-力⑷i=z（力⑷一力（勾+1））+z（力（4+i）-力m））

i=0z=0z=1012

二fl（“0）—A（%012）+/2（a2024）-/2（fl1012）=2-0+2-0=1-

所以此时/2=乙，故④错误.

故答案为：①③.

【点睛】关键点点睛：本题是新定义题型，弄清题意与每个函数的单调性是关键，利用单调性比较数的大小去绝

对符号，运算量大，细心是关键.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.在ABC中，NA为锐角，且sin2A=^cosA

(1)求cosA的值；

(2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，求c.

条件①：cosB=

3

条件②:a=9;

条件③：6=10.

注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分.

4

【答案】(1)j

(2)答案见解析

【解析】

3

【分析】(1)利用二倍角的正弦公式可求sinA=g,进而可求cosA；

2

(2)选条件①②:由己知可求sinB=§,进而由正弦定理可求b,再利用余弦定理可求c.

选条件①③：由已知可求sinB=|,进而由正弦定理可求。，后面同选条件①②.

选条件②③:利用余弦定理可求c.

【小问1详解】

因为sin2A=gcosA所以2sinAcosA=gcosA

3

因为/A为锐角，cosA>0,所以sinA=M

又因为画曲+A=,

所以cosA=

【小问2详解】

选条件①②:

2

因为cosB=,又0<B<TT,所以sinB=

33

9x2

,ab,asmB31„

由―—A='n，侍）——；一T~—一Q一—1°，

sinAsinBsinA£

5

,a2+c--b2,7581+C2-100

由cosBD=-----------，得HJ=------------,

lac32x9xc

即。2—6j?c—19=0,又c>o,所以c=8+3j?.

选条件①③：

因cosB=心~，又0<B<n,所以sinB=Jl—=—

3Y⑴3

3

,abbsinA5

sinAsinBsinB4

3

下同选条件①②.

选条件②③：

由cosA="c-2,得3100+。2—81

2bc52xl0xc

即c2—16c+19=0,解得c=8土36.

经检验，符合题意.

17.科技发展日新月异，电动汽车受到越来越多消费者的青睐.据统计，2023年1月至12月A,B两地区电动汽

车市场各月的销售量数据如下：

1月2月3月4月5月6月7月8月9月10月11月12月

A地区

29.439.754.349.456.265.461.168.270.271.977.189.2

（单位：万辆）

B地区

7.88.88.18.39.210.09.79.910.49.48.910.1

（单位：万辆）

月销量比3.84.56.76.06.16.56.36.96.87.6878.8

月销量比是指：该月A地区电动汽车市场的销售量与B地区的销售量的比值（保留一位小数）.

（1）在2023年2月至12月中随机抽取1个月，求A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的概率；

（2）从2023年1月至12月中随机抽取3个月，求在这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的

月销量比低于5的概率；

（3）记2023年1月至12月A,8两地区电动汽车市场各月的销售量数据的方差分别为s；,只，试判断s；与

的大小.（结论不要求证明）

9

【答案】（1）—

(3)s：>si

【解析】

【分析】(1)由表中数据找出符合的月份个数即可求解.

(2)先由表中数据找出月销量比超过8的月份个数和低于5的月份个数再结合组合分配情况即可求解.

(3)由表中数据和方差定义即可判断.

【小问1详解】

设事件C为“A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量”，

在2023年2月至12月中，A地区电动汽车市场该月的销售量高于上月的销售量的月份为2月、3月、5月、6月、

8月、9月、10月、11月、12月，共9个月，

9

所以P(C)=下.

【小问2详解】

设事件。为“这3个月中恰有1个月的月销量比超过8且至少有1个月的月销量比低于5”，

在2023年1月至12月中，月销量比超过8的只有11月和12月，月销量比低于5的只有1月和2月，

则P(£>)=222=五^

【小问3详解】

A地区销售量最低有29.4万辆，最高有89.2万辆，数据波动较大；

相比之下2地区销售量最低有7.8万辆，最高有10.4万辆，数据波动幅度较小，变化较为平稳;

故s：>si，

18.如图，六面体ABC。—EEG，是直四棱柱—4与GR被过点2的平面a所截得到的几何体,

底面A3CD,底面A3CD是边长为2的正方形，DDr=4,AE=2,CG=3.

(1)求证：AC±DXF；

(2)求平面.班G2与平面A3C0的夹角的余弦值;

(3)在线段。G上是否存在一点P,使得4。//平面瓦6，？若存在，求出——的值；若不存在，说明理由.

DG

【答案】(1)证明见解析

⑵-

3

DP1

(3)存在，---=—,理由见解析

DG2

【解析】

【分析】(1)根据线面垂直的性质可得。2,AC,由AC43D,结合线面垂直的判定定理与性质即可证明；

(2)建立如图空间直角坐标系。-孙z,利用空间向量法求面面角即可；

(3)设。P=/lOG(/le[0,l]),由向量线性运算的坐标表示可得AP=(-2,243X),结合AP.〃=O计算即可求

解.

【小问1详解】

连接BD，直四棱柱ABC。—44GR,BFHDDX,

则点歹在平面内.

因为。A，平面A3CD,且ACu平面A3CD,

所以LAC,

又底面A3CD为正方形，所以AC人9,又DDJBD=D,

所以AC，平面D{DBF,RFu平面D{DBF,

故AC，可；

【小问2详解】

因为，平面A3CD,94,。。＜=平面人3。，所以。R，DC,

又底面A3CD为正方形，所以建立如图空间直角坐标系。-孙z,

4

则E（2,0,2）,G（0,2,3），A（0,0,4）,故口£=（2,0,-2）,。0=（0,2,—1）.

设平面EFGDl的一个法向量为〃=(x,y,z),

n-D,E=0Ilx—2z=0

则，即L八令z=2,则x=2,y=l,于是w=(2,l,2).

n'DiG=0[2y—z=0

因为。DJ平面A3CD,所以DR=(0,0,4)是平面A3CD的一个法向量.

设平面EFGD,与平面ABCD的夹角为0,

IIDDX'n\82

则cos0=cosDD.,n\=------,--=------=—,

111DD\\n\3x43

2

所以平面环GQ与平面A3C0的夹角的余弦值为§；

【小问3详解】

DP1

存在一点P使得AP//平面呼62,此时——=-,理由如下：

DG2

设DP=/LDG(；l且0,1]),

则AP=AD+DP=AD+ADG=(-2,0,0)+2(0,2,3)=(-2,22,32),

线段。G上存在一点P使得AP//平面EFGR等饰于APn=0>

即Y+2X+6X=0,解得％=,

2

所以黑=；

19.已知椭圆E的两个顶点分别为4(—2,0),8(2,0),焦点在x轴上，且椭圆E过点CJ5,

(1)求椭圆E的方程;

(2)设。为原点，不经过椭圆E的顶点的直线/与椭圆E交于两点。(七例)。卜”2)(石/9)，直线8P与直线

0C交于点H,点M与点。关于原点对称.

(i)求点”的坐标(用3，%表示)；

(ii)若A,H,M三点共线，求证：直线/经过定点.

【答案】(1)土+/=1

4-

4%,2%

(ii)证明见解析

、2%一%+22y1-x1+2>

【解析】

【分析】(1)根据椭圆的顶点和椭圆上的点列方程求解即可;

(2)(i)设直线2尸的方程为y=』％(x-2),联立方程求得H的坐标即可;

石一2

(ii)设直线/的方程为y=辰+机，与椭圆方程联立韦达定理，根据三点共线结合两点斜率公式列式化简得机=-2左

或加=2k-1,从而求解直线恒过的定点.

【小问1详解】

22

设椭圆E的方程为a+六=1(。6〉0).

a=2

a—2

由题意得《21J解得＜

官+赤=1b—\

无2

所以椭圆E的方程为土-+y2=i.

4

【小问2详解】

(i)由题可知：X］力士2且