河北省唐山市滦南县2023-2024学年高二年级下册期中质量检测数学试卷

河北省唐山市滦南县2023-2024学年高二下学期期中质量检测

数学试卷

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知函数/(x)在x=x0处的导数为12,则lim/(尤。+—)一"％)=()

3Ar

A.-4B.4C.-36D.36

2.函数"x)=f-Inx单调递减区间是()

■"],唱小刿’唱

3.北斗七星是夜空中的七颗亮星，我国汉代纬书《春秋运斗枢》就有记载，它们成的图形

像我国古代舀酒的斗，故命名北斗七星.北斗七星不仅是天上的星象，是古人藉以判断季节

的依据之一.如图，用点A,B,C,D,E,F,G表示某季节的北斗七星，其中8,D,E,

F看作共线，其他任何三点均不共线，若过这七个点中任意三个点作三角形，则所作的不同

三角形的个数为()

C.

*G

B・•••

DEF

9A

A.35B.34

C.31D.30

4.(l+2x+/)5的展开式中/的系数为()

A.200B.210C.220D.240

5.数形结合是非常重要的数学思想，以函数为例，数是解析式，形是图像.现有函数

f(x)=(x2-x)e,则它的图像大致是()

6.某校三位同学报名参加数理化生四科学科竞赛，每人限报且必须报两门，由于数学是该

校优势科目，必须至少有两人参赛，若要求每门学科都有人报名，则不同的参赛方案有（）

A.51种B.45种C.48种D.42种

7.函数了（力=依3+/+5x—i恰有3个单调区间的必要不充分条件是（）

A.1巴A）C.（f0）口（0,曰D.（y,。）

8.若函数〃尤）=电竺，且0<%<三<1,设〃=任生,匕=吧三，则的大小关系是（）

X再/

A.a>bB.a<bC.a=bD.〃,匕的大小不能确定

二、多选题

9.下列求导运算正确的是（）

A.（x+-y=i-4

XX

B.A雷=（帆+1）A：

C.C篇+2A；=4974

D./（x）=cos（2x-l）,则f'（x）=-sin（2x-1）

525

10.x=a0+（1—x）+a2（1—x）4---1-a5（l—x）,其中q（，=0,1…,5）为实数，则（）

A.。（）—0B.〃3=-10C.。］+。3+。5=—16D.。］+。2+，,，+。5=1

11.观察图象，下列结论错误的有（）

试卷第2页，共4页

px

A.若图中为，(x)图象，则〃x)在X=-2处取极小值

B.若图中为/(尤)图象，则/(x)两个极值点

C.若图中为y=(x+2)r(x)图象，则/⑺在(0,2)上单调递增

D.若图中为y=(x+2)〃x)图象，贝厅(x)40的解集为{x|-2JW2}

三、填空题

12.若函数满足〃x)=x2/'(l)+lnx,则尸K___________.

13.已知(1-词(l+x『的展开式中/的系数为TO,则实数。的值为.

14.已知函数/(x)=xlnx+Y,且%是函数的极值点.给出以下几个命题:

①0</<一;

e

_1

②尤o>—；

e

③/(%)+%<0；

④+%>。

其中正确的命题是.(填出所有正确命题的序号)

四、解答题

15.(1)一场班级元旦晚会有有2个唱歌节目。和6；2个相声节目1和2.要求排出一个

节目单，满足第一个节目和最后一个节目都是唱歌节目.一共有多少种可能(结果用数字表

示)？并列出所有可能的排列.

(2)7个人排成一排拍照片，若要求甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，有多

少不同的种排法？(结果用数字表示)

(3)从4名男青年教师和5名女青年教师中选出4名教师参加新教材培训，要求至少有2

名男教师和1名女教师参加，有多少种不同的选法？(结果用数字表示)

16.从①第4项的系数与第2项的系数之比是:；②第3项与倒数第2项的二项式系数之和

为36；这两个条件中任选一个，再解决补充完整的题目.

已知=40+"+02*2-1-----(weN*),且(2x-l)”的二项展开式中，.

⑴求”的值；

(2)①求二项展开式的中间项；

②求闻+同+同+…+㈤的值.

17.某集团为获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销.经调查，每年投入费r

(单位:百万元)，可增加销售额约为-r+5/(单位:百万元)(0WfW3).

(1)该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司获得

的收益最大？

(2)该公司准备共投入3百万元，分别用于广告促销和技术改造.经预测，每投入技术改造费x

(单位:百万元)，可增加的销售额为-：丁+/+3工(单位:百万元).请设计一个资金分配方

案，使该公司获得的收益最大.(注:收益=销售额-投入)

18.已知函数/(x)=e*-fcv,(左eR,xeR)

⑴若左>0,且对于任意xNO,/(x)>0恒成立，求实数上的取值范围；

(2)令g(x)=/-21nx,若至少存在一个实数&e[l,e],使/(%)<g(x0)成立，求实数A的取

值范围.

19.已知函数/=ov(aeR).

(1)求函数的单调区间；

(2)当。>0时,求函数在[L2]上最小值.

试卷第4页，共4页

参考答案：

1.B

【分析】由极限的性质结合导数的定义计算即可.

【详解】根据题意，函数“X)在x=x0处的导数尸(x)=12,

则圆/(访+M-/㈤=！同为。+MT⑷」4,

go3Ax3^0Ax3\'

故选：B

2.A

【分析】求导后，令/'(x)WO,解出即可.

2

【详解】/,(x)=2x--1=^?x-^—,1x>0,

XX

令尸(x)W。，解得0<》考，

所以单调递减区间为

故选：A.

3.C

【分析】由间接法，从所有三角形中减去不能构成三角形的情况计算即可.

【详解】从这七个点任意选取三个点有C；=35个，

其中共线的四点中有C：=4个不能构成三角形，

所以不同的三角形个数有31个，

故选：C.

4.B

【分析】变形给定式子，再利用二项式定理求解作答.

【详解】依题意，(l+2x+/)5=((i+x)2]5=(i+xy。，而(1+方。展开式中f的系数为

C：°=C：°=210,

所以(l+2x+/)5的展开式中炉的系数为210.

故选：B

5.D

答案第1页，共10页

【分析】根据函数〃尤图像的特点以及特殊值一一判断即可.

【详解】当f（工）=（3-x）e*=0则有尤=0或x=l,排除A,C,

2x

fXx）=（x+x-l）e=0，则有/+尤-1=0显然方程有两个根占,三，

且为%=-1,/（X）有两个极值点，排除B,

故选：D.

6.A

【分析】由题意，至少两人报名数学竞赛，所以可分为：两人报名数学竞赛和三人报名数学

竞赛两种情况进行讨论.

【详解】解：若三人有两人报名数学竞赛，并且两人选报的学科都相同，则共有C；c；种情

况，

若这两个人选报的另外的学科不同，则共有2仁6a种情况，

若三个人全部都报名数学竞赛，则共有国种情况，

所以不同的参赛方案有：+&=51种情况，

故选：A.

7.A

【分析】由题意得了'（幻=3仆2+2工+5,然后对。分类讨论求出使/（》）=0有两个不等根的。的

范围，结合充分必要条件的判定方法得答案.

【详解】解：由/00=加+x，+5x-l,得1（x）=3/+2x+5,

当a=0时，由广。）=0,解得x=函数/⑺有两个单调区间；

当4>0时，由A=4-60a>0,解得即0<。（上，止匕时函数=+/+5%-1恰有3

个单调区间；

当“<0时，△=4-60“>。，解得即a<0,此时函数/（工）=加+f+5x-l恰有3个单调

区间.

•••综上所述。©（-=o,0）i^0,^是函数"x）=a?+/+5x_i恰有3个单调区间的充要条件,分

析可得ae1双（J是其必要不充分条件.

故选：A.

答案第2页，共10页

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，考查充分必要条件的

判定方法，属于中档题.

8.A

【分析】求导后再次构造g(x)=xcos^-sinx,再求导求出最大值小于零可得广⑺小于零，

进而得到了(X)的单调性，然后求出结果即可.

【详解】由题意可得了《六口。'：[如'

设g(%)=%cosx-sin%,贝！jg'(x)=cosx-xsinjv—cos%=-xsinx

因为Ovxvl,

所以g<x)<0恒成立，故g(x)在(0,1)上单调递减，

所以g(x)1Mx<g(0)=0,

所以当无«。,1)时，r(x)<o,为减函数，

所以四>4,即

为马

故选：A

【点睛】方法点睛：比较不等式大小问题可构造函数，求导判断单调性进而比较大小，若一

次求导不能判断单调性，可二次构造函数求导分析.

9.AC

【分析】利用导数计算公式，排列数和组合数的运算及性质分析各选项可得答案.

【详解】A选项，(x+J_y=(x)'+[J_]=1一!，故A正确；

B选项，因为=(〃+l)〃("-l)L(n-m+V),

(7?7+1)A",=(m+l)n(n-1)L(n-m+I),故B错误；

100x99

C选项，C^+2A^=C?+2A^——+2x4x3=4974,故C正确；

002x1

D选项，/(x)=cos(2x-l),贝i]/'(x)=—2sin(2x-l),D错误.

故选：AC.

10.BC

答案第3页，共10页

【分析】根据给定的条件，把炉写成口-(I-X)F，再利用二项式定理结合赋值法，逐项计算

判断作答.

5525

【详解1依题意，令f(x)—X=[1—(1—x)]=%+%(1—%)+a2(1—X)4---F4Z5(1-x),

对于A,%=/⑴=1,A错误；

对于B,%是口-(1-x)F按(1-刈展开的第4项系数，因此。3=C>(-1)3=-10,B正确；

对于C,%+%+〃2+/+%+%=/(°)，_q+。2_々3+〃4-〃5=/⑵，

所以卬+q+/=幽产2=与"=一16,C正确；

对于D,4+%+/+%+%=/(。)—4=。―1=—1,D错误.

故选：BC

11.ABCD

【分析】根据导函数以及原函数图象关系，极值，单调性，逐个选项判断即可.

【详解】对于A,若图中为了(幻图象，/(-2)=0,且/⑴在x=-2左右均为增，A错；

对于B,若图中为/(X)图象，则在(—e,—2)和(0,2)上递减,“T在(—2,0)和(2,+8)

上递增，所以Ax)有两个极小值点和一个极大值点，B错；

对于C,若图中为y=(x+2)/'(x)图象，则xe(O,2)时,已知图象与f'⑺正负相同，所以

ra)<o,“X)单调递减，c错；

对于D,若图中为y=(x+2)/(x)图象，贝良4-2时，x+2W0,(x+2)/(x)W0,贝|/(x)20,

当一2<x<0时，x+2>0,(x+2)/(x)>0,贝i]/(x)>0,

当0VxW2时，x+2>0,(x+2)/(x)W0,贝i]/(x)W0,

当x>2时，x+2>0,(x+2)/(x)>0,贝i]/(x)>0,

所以的解集为{x|0WxW2},D错.

故选：ABCD

12.1

【分析】对求导，求出〃x)=xV'(l)+lnx,即可求出广(x)=-2x+J再将x=g代

答案第4页，共10页

入即可得出答案.

【详解】因为/(x)=£f⑴+lnx,

所以「(无)=2尸⑴x+J,则广⑴=2-⑴+1,解得：/'⑴=」，

贝|:(司=一2彳+!，贝!]/'(：)=一2x：+2=l.

XJ乙

故答案为：1.

13.2

【分析】由(1一or)(1+x)6=(l+x)6-av(l+x)6,分别写出(1+x)和以(1+x)6的展开式通项，

分别令x的指数为3,求出对应的参数值，代入通项可得出关于。的等式，进而可求得实数。

的值.

【详解】(1—av)(l+x)6=(1+%)6—av(l+x)6,

6

(1+X)的展开式通项为Tk+i=C/d,

所以如。+x)6的展开式通项为Ar+1=axq•，=y・X』，

[k=3[k=3

令口“可得<

[r+l=3[r=2

由题意可得C：-“C：=20-15a=-10,解得。=2.

故答案为：2.

14.①③.

【详解】试题分析：/T(x)的定义域为工>0,.手侬一物产.十舐畿，所以有

/)xlnx--2.\+1=0,所以有2遍m—顺1理.带:巅费，电即Inx-v-1即Inx.<Ind"，

1.、

所以有u<：[<一；/lx.i-x，+%=%由x.-1+1，因为

g

=-即值书:期,所以有

1

ar•'、V•-.=11/t.?.ir-\V*-x1/=x.Vi\tax-+x.V-1)<=-Xj<4r<0•

考点：导数在求函数极值中的应用

15.(1)共4种；答案见解析(2)432；(3)80.

【分析】(1)利用排列的定义即得；

答案第5页，共10页

(2)利用捆绑法，插空法即得；

(3)由题可分选2名男教师与2名女教师，选3名男教师与1名女教师两类，即得.

【详解】(1)歌唱节目记为6,相声节目记为1,2,满足第一个节目和最后一个节目都是

唱歌节目的排列为：al2b,a21b,b12a,b21a.共4种

(2)甲乙丙3人必须相邻，把他们捆绑看作一个元素与除甲乙丙丁戊外的两个元素排列，

然后排其内部顺序，再在3个元素形成的4个空中插入丁和戊，

故甲、乙、丙3人必须相邻，并且丁和戊不相邻，共有A；A；A；=432(种).

(3)选2名男教师与2名女教师，共有C；C；=60(种)，选3名男教师与1名女教师，共有

C：C；=20(种)，

所以共有60+20=80(种).

16.(1)条件选择见解析，〃=8

⑵①岂=1120/；②387.

【分析】(1)由题意，根据系数、二项式系数等知识，列出等式，解出"的值.

(2)由题意，利用通项公式求出二项展开式的中间项，再判断出、出、%、右、%为正数，

%、的、。5、%为负数，再给X赋值，从而求出|闻+|?|+|。3|+…+|。"|的值.

【详解】(1)若选择①第4项的系数与第2项的系数之比是:，

4

贝!I有C：.2"-3.(-iy=3x2x1=("T)("2)=7,

4»244

化简可得〃②—4〃-40=0,求得力=8或”=-7(舍去).

若选择②第3项与倒数第2项的二项式系数之和为36,

则有C；+C7=C；+C；=若4+n=曾=36，

化简可得〃2+〃—72=0,求得〃=8或〃=—9(舍去).

(2)由(1)可得〃=8,

①(2%-球的二项展开式的中间项为4=小(2"、(-1)5=1120/.

②二项式(2x-1)8展开式的通项公式为q-(2%广■(-i)r=(-i)r-2"，.q.一，，

答案第6页，共10页

所以“0、42、。4、。6、正数，、〃3、〃5、07^/负数.

2

在(21—1丫=a0+aix+a2xH--F%%8中，令九=0,%=］.

再令x=—1,可得38=%—%+。2—%T—•+4=1++|4|+1生卜--卜|4|，

「・|力+同+同+…+同=3'-1.

17.(1)2百万元

⑵答案见解析

【分析】(1)由题意结合二次函数的性质解出即可；

(2)根据题意，得到收益模型为g(x)=-；x3+4x+3,再用导数研究其最值即可.

【详解】(1)设收益为了⑺，则有

f(t)=-t2+5t-t=-t2+4f=-(r-2)2+4,0<r<3,

所以当f=2百万元时，公司获得的收益最大.

(2)设此时的收益为g(x),则

g(x)=—§尤3+无~+3x+［—(3—x)+5(3—元)］—3=——+4x+3,0W/W3,

所以g'(x)=-x2+4,

令g'(x)=0,解得x=2,或-2(舍)，

又当0Wx<2时，g'(x)>0；当2<xV3时，g'(x)<0,

所以g(x)在［0,2］上是增函数，在［2,3］上是减函数，

所以当x=2时，g(x)取最大值，

即将2百万元用于技术改造，1百万元用于广告促销，将该公司由此获得收益最大.

18.⑴(0,e)

⑵(。，+8)

【分析】(1)先由导数得出了。)的单调区间，再讨论InZWO,ln%>0得出/⑺在［。,+8)上

答案第7页，共10页

的单调性，由此得出实数上的取值范围；

（2）将问题转化为至少存在一个实数与使左＞四包成立，求出F（x）=&吧的最小

入0X

值，进而得出实数左的取值范围.

【详解】（1）由f（x）=（-fcv,可得解（x）=e*-A,

若x＞ln左，贝！J/'（x）＞0；若xclnA:,贝！］/'（元）＜0；

故/*）的单调递增区间为（In左,内），单调递减区间为（y,lnk）.

当InkV0,即0＜心1时，/*）在［0,+8）上单调递增，

则/。）2〃0）=1＞0,即0＜左41符合题意；

当In左＞0,即％＞1时，/（X）在（in^+co）上单调递增，在［0,In左］上单调递减，

则=In左）＞0,解得l＜%＜e；

综上所述：实数上的取值范围为（0,e）.

（2）若/（%）＜8（%）,则e%-g,＜e而一21nx0,可得网区，

故原题意等价于至少存在一个实数X。e［l,e］,使％＞也乜成立，

构造F（x）=网工，贝U9（x）=2（."）z0对Vxe［1,e］恒成立，

%X

故尸（尤）在［Le］上单调递增，则尸（x）N尸（1）=0,可得左＞0,

故实数上的取值范围为（0,+"）.

【点睛】方法点睛：L两招破解不等式的恒成立问题

（1）分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围.

（2）函数思想法

第一步将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解.

答案第8页，共10页

2.利用导数解决不等式存在性问题的方法技巧

根据条件将问题转化为某函数在该区间上最大（小）值满足的不等式成立问题，进而用导数求

该函数在该区间上的最值问题，最后构建不等式求解.

19.（1）答案见解析；（2）答案见解析.

【分析】（1）求导后，根据导函数在定义域内的正负可确定/'（*）的单调区间；

（2）由（1）可知/'（X）单调性，分别在'VI、工22和1/＜2三种情况下，根据单调性确