湖北省云学联盟2023-2024学年高二年级下册5月联考数学试题A卷含详细解析

湖北省2024年云学名校联盟高二年级5月联考

数学试卷

时长：120分钟满分：150分

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.计算A：-C：+0!的值为（）.

A.1B.0C.20D.21

则流詈

2.已知等差数列｛4｝,等比数列也｝,满足%+%=4,…7,().

11

A.—B.—C.2D.4

42

3.已知函数/（x）=e*—4，则1鸣.

A.2B.1C.0D.—1

4.设随机变量J~N（0,l）,已知尸44—1.96）=0.025,则P（用<1.96）=（）.

A.0.050B.0.425C.0.950D.0.975

5.+的展开式中含/项的系数为（）.

A.-30B.-20C.50D.10

6.设某批产品中，由甲、乙、丙三个车间生产的产品分别占50%,30%,20%,已知甲、乙车间生产的产

品的次品率分别为3%,5%.现从该批产品中任取一件，若取到的是次品的概率为3.8%,则推测丙车间的

次品率为（）.

A.4%B.3%C.6%D.5%

7.在数学中，自然常数e仪2.71828.小布打算将自然常数的前6位数字2,7,1,8,2,8进行排列得到

密码.如果排列时要求8不排最后一个，两个2相邻，那么小布可以设置的不同的密码个数为（）.

A.30B.32C.36D.48

8.已知函数/（x）=x-l—alnx（a<0）,对任意可,分上（。』，且（w々，都有_]（，2）

成立，则实数a的取值范围是（）.

A.（—3,0）B.[—3,0）C.（—00,—3）D.（—00,—3]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.

9.已知｛%｝是等比数列，S）,是其前〃项和，%=2%+4，下列说法中正确的是（）.

A.若｛&｝是正项数列，则｛4｝是单调递增数列

B.S,,S2n-Sn,S"—S筋一定是等比数列

C.若存在M>0,使㈤对〃eN*都成立，则｛㈤｝是等差数列

D.若对任意M>0,总存在使|%|>”成立，则｛4｝可能是单调递减数列

10.甲、乙、丙、丁四名同学报名参加假期社区服务活动，社区服务活动共有“关怀老人”、“环境检测”、

“图书义卖”这三个项目，每人都要报名且限报其中一项.记事件A为“恰有两名同学所报项目相同”，

事件8为“只有甲同学一人报'关怀老人‘项目”，贝I（）.

A.四名同学的报名情况共有64种

B.“每个项目都有人报名”的报名情况共有36种

14

C.“四名同学最终只报了两个项目”的概率是一

27

D.P（B|A）=1

Y+]

ii.已知函数y（x）=—h-皿-1,则下列说法正确的是（）.

e

A.若/（x）在R上单调递增，则a<—1

B.若a=L则过点（0,3）能作两条直线与曲线y=/（x）相切

C.若/（x）有两个极值点X1,%2，且％2>石，则°的取值范围为（-1,0）

D.若0<a<2,且〃x）>a-l的解集为（八"）（%>㈤,Mn—m>2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知随机变量X〜8（10,川，且期望石（X）=3,则方差D（X）=.

13.若定义域都为R的函数/（x）及其导函数/'（力，满足对任意实数x都有

2024

/（x）-/（2025-x）=2x-2025,贝|工/'（左）=.

k=l

14.各数位数字之和等于6（数字可以重复）的四位数个数为（请用数字作答）.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明,

证明过程或演算步骤.

15.（本小题满分13分）

已知一个袋内有4只不同的红球，5只不同的白球.

（1）若取一只红球记2分，取一只白球记1分，现从袋中任取5只球，且两种颜色的球都要取到，使总分

不小于8分的取法有多少种？（用数字作答）

（2）在条件（1）下，当总分为8分时，先取球再将取出的球随机排成一排，求红球互不相邻的不同排法

有多少种？（用数字作答）

16.（本小题满分15分）

在——I］的展开式中，前3项的系数的绝对值成等差数列.

I2也）

（1）求展开式中二项式系数最大的项及各项系数和；

（2）求展开式中所有的有理项.

17.（本小题满分15分）

某校为了解高二学生每天的作业完成时长，在该校高二学生中随机选取了100人，对他们每天完成各科作

业的总时长进行了调研，结果如下表所示：

时长f（小时）[0,2)[2,2.5)[2.5,3)[3,3.5)[3.5,4]

人数34334218

用表格中的频率估计概率，且每个学生完成各科作业时互不影响，

（1）从该校高二学生中随机选取1人，估计该生可以在3小时内完成各科作业的概率；

（2）从样本“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生中随机选取3人，其中共有X人可以在2小时

内完成各科作业，求X的分布列和数学期望；

（3）从该校高二学生（学生人数较多）中随机选取3人，其中共有J人可以在3小时内完成各科作业，〃人

在3小时及以上完成各科作业，试写出数学期望E（J）,E（〃）并比较其大小关系。

18.（本小题满分17分）

已知等差数列｛4｝与正项等比数列｛%｝满足q=伪=3,且20,%+4既是等差数列，又是等比

数列.

（1）求数列｛凡｝和也｝的通项公式；

（2）若数列｛c“｝的前〃项和满足对任意的“eN*,不等式；IS,2”（%—5）恒成立，求

实数4的取值范围.

19.(本小题满分17分)

已知函数/(X)=xlnx-x+l,其导函数为/'(x).

(1)求函数“X)的极值点；

(2)若直线y=ox+Z?是曲线y=/'(x)+ex的切线，求a+Z?的最小值;

/、、十…In21113TInn11(〜*

(3)证明：----F------FL+———>----------(neN,zt>2).

38n2-l2n+lv)

2024年云学名校联盟高二年级5月联考

数学评分细则

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

11..【答案】D

【解析】计算得A：—C：+0!=24—4+1=21,故选D.

2.【答案】B

【解析】数列｛4｝是等差数列，%+%=4,可得2/=4,即噩=2,

数列也｝是等比数列，好64o=27,可得例=27,可得％=3,

贝小a>3।^^8Idy3361.故选B.

她+3b；+39+32

3.【答案】A

【解析】由题设得/'（力=船+b,/（0）=0,

/（x）/（x）-/（O）/、

从而lim-=lim——.......=f0=2.故选A.

%-0冗0x—0

4.【A卷】【答案】C

【解析】P（同<1.96）=21-P（^<-1.96）=2^-0.025^=0.950.故选C.

【B卷】【答案】C

【解析】由题意得：P（X=1）+P（X=2）+P（X=3）+P（X=4）=mQ+|+|+^=l,

解得：m=—.故选C.

15

5.【答案】D

【解析】（x+l）6的展开式通项为=C"6-r,令厂=2,3,

则（2%-1）（%+1）6的展开式中含/项的系数为2或+（-l）C：=10.故选D.

6.【答案】A

【解析】设丙车间的次品率为P,由题全概率公式知0.5x3%+0.3x5%+0.2xP=3.8%,

解得P=4%.故选：A.

7.【答案】C

【解析】根据题意，分两种情况：

①2排在第一位，则第二位也是2,再从剩下4个位置选出2个，安排两个8,最后安排7和1,

此时有=12个不同的密码；

②2不排成第一位，则第一位安排7或1,将两个2看成一个整体，与两个8和7或1中剩下的数排列,

此时有一C；A：=24个不同的密码；

244

则一共有12+24=36个不同的密码.故选C.

8.【答案】B

【解析】当a<0时，易知函数/(x)在(0,1］上是增函数,

不妨设0<西<4<1,贝!!/(%)</(9)•

所以小)-小心夫51

设/i(x)=/(x)+&=x—1—alnx+&,则/，(%)在区间上(0,1］是减函数.

所以“(x)W0在Xe(0,1］时恒成立，

因为丸'(x)=l—幺―3=三二竽二所以ox—4W0在xe(O,l］时恒成立,

XXX

即aNx—±在xe(O,l］时恒成立，即a2

而y=x—3在区间上(0,1］是增函数，所以y=x—&的最大值为—3,所以aN—3,

又a<0,所以ae［—3,0).故答案为：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的或不选的得0分.

9.【答案】ACD

【详解】A中q>0,q=2,所以｛4｝是单调递增数列，

B中反例当q=—1,〃为偶数，Sn,S2n-SH,邑”—S2,,为零的常数列，故B错；

C中q=—1,贝丹㈤｝是等差数列，C正确；

D中由题设q=2,若q<0,则｛4｝是单调递减数列，故D正确.故答案为：ACD.

10.【答案】BCD

【详解】解：对于A,由题意可知，甲、乙、丙、丁四名同学每人有3种选择，故四名同学的报名情况共

有34=81种,A错误；

对于B,现将四名志愿者分为2,1,1三组，共有C：=6种情况，再将其分到三个活动中，共有A；=6种,

由分步乘法计数原理得到6x6=36种，故''每个项目都有人报名”的报名情况共有36种，B正确；

.22-2.22A2

A2»3c2TL4」3c2

对于C,“四名同学最终只报了两个项目”的概率是一=------7---------=一，C正确；

3427

「2A3Ar2A27

对于D,由已知有：P（A）=^=-，P（AB）=^=—,

所以P（5|A）=q?=g,D正确.

故选：BCD.

11.【答案】AC

【解析】对于A,对/(x)求导得：/，(x)=—$—a,

e

因为函数/(x)在R上单调递增，所以;^力二一4一口^)恒成立，

e

即一恒成立，记g(x)=；lr，则一a2g(£L「

因为g，(x)=W，当X<1时，g'(x)>0,即函数g(x)在(YO,1]上单调递增,

e

当%>1时，g'(x)<o,函数g(x)在(1,+8)上单调递减,

因此，函数g(x)在％=1处取得最大值g(l)=l,所以—即a<—l,故选项A正确;

对于B,a=l时，/(%)=—/'(x)=--^--1>

ee

设/(X)图象上一点9，/⑺)，则/⑴=告——1,

e

故过点，的切线方程为y—f——j—/—1]=[————,

P+1—/—1jf——1）（0—/）,整理得4e''—?2—?—1=0,

将(0,3)代入上式得3-

构造函数/?（。=4ez-1-r-r-l,则”（/）=4eM-2r-l,

构造函数机（1）=4eM-2r-l,则加（f）=4eM-2,

令加⑺=4尸—2>0得r>l+ln；,令加⑺=4尸—2<0得/<l+lng,

所以函数加«)=4e'T—2/—1在1―oo,l+lng)上单调递减，在0+lng,+oo]上单调递增,

所以〃2⑺2〃“+lngj=21n2—l〉0,所以〃⑺>0,

所以函数/z(f)=4e'T—/—1单调递增,

X/z(-l)=4e-2-l<0,/z(0)=4e-l-l>0,

即方程4e'T—『一♦一1=o在区间(—1,0)仅有一解，从而在R上也仅有一解,

所以过点(0,3)只能作一条直线与曲线y=f(x)相切，B选项错误.

对于C,因为函数/(x)有两个极值点X],*2,

所以/'(力=一*-“有两个零点再，/，即方程有两个解为花，〜

ee

记g(x)=;lr，因为g'(x)=]?，

cc

当无<1时，g'(x)>0，即函数g(可在(—8,1)上单调递增，

当%>1时，g'(x)<0,函数g(尤)在(L+co)上单调递减,

因此，函数g(x)在X=1处取得最大值g(l)=l,

XX

方程-。=告有两个解为再，％等价于y=-a与y=Wr图像有两个不同公共点,

ee

所以所以一1<。<0,C选项正确;

由/(x)>a—1,得W〉a(x+l),等价于(x+l)[3—a]>0,即(x+D(e—ae)>0,

对于D,

当x>—1时，acx<e,尤vl—Ina,又0vav2,故Inavln2Po.69,所以一1vjrvl—Ina,

当xv-l时，acx>e,尤>l-lna无解，故〃的解集为(一1,1一Ina),

此时〃一加=(1—Ina)—(—1)=2—Ina,

当1<。<2时，0<Ina<In2ao.69,n—m—2—\na<2,从而D错误.

故选：AC.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.【答案】2.1

【详解】E（X）=3,则有2=0.3,D（X）=np（l-p）=2.1.

13.【答案】2024

【详解】Xt/（x）-/（2025-x）=2x-2025,两边同时求导导数得了'（x）+/'（2025—x）=2,

则/'⑴+/'（2024）=4,/（2）+/（2023）=4,…，/,（1012）+/,（1013）=4,

2024

从而Z/'（左）=2x1012=2024.故答案为：2024.

k=l

14.【答案】56

【详解】设％，4，%，应对应个位到千位上的数字，则%eN*,qeN（i=1,2,3）且。]+4+%+%=6,

相当于6个相同的球排成一排，先拿一个球装入应，转化为5个球装入4个盒子，每盒可空，等价于9个

球用3个隔板分成4组（各组不可为空），故共有C；=56种.故答案为：56.

四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

%+y=5

2x+y>8

15.解：（1）设取出x个红球y个白球，<

l<x<4

l<y<5

x=3x=4、

因为x,yeN,所以v或v，（2分）

〔y=2[Iy=l

...符合题意的取法种数有C：C；+C：C；=45种.（6分）

（2）总分为8分，则取的个数为红球3个，白球2个，将取出的球排成一排分两步完成，第一步先取球,

共有C：C；=40种，第二步再排，先把两个白球全排列，再将3个红球插空，共有A；A；=12,

根据分步乘法计数原理可得，440x12=480种.（13分）

【只回答A；A；=12的给到9分】.

x=3\x=4-

【评分细则】15题.所以4或1.（2分）（到这一步给2分）

J=2[y=l

因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为C；,-gc；,:C；,

所以C；=C：+；C：,即9〃+8=0,所以〃=8.（或”=1舍去）.（3分）

jY35

因为〃=8,所以4x=二兀展开式中二项式系数最大的项为第5项,（4分）

8

即4=5=之（五）［-志］=*.（6分）

令x=l得［1-工］=—,即展开式各项系数和为

（8分）

I2）256256

0<r<8,reN欲

求有理项，令4——eZ,Ar=0,4,8,即当r=0=、4、8时对应的项为有理项，（12分）

4

351

所以所有有理项为：T1=x\T5=yx；4=友”.（15分）

【评分细则】16.（1）—5］展开式的通项为（+1

(1

分）

因为前3项的系数绝对值成等差数列，且前三项系数为C：,-；C；,旨,

所以C；=C：+；C；,即〃2—9〃+8=0,所以〃=8.（或〃=1舍去）.（3分）

因为〃=8,所以G——厅展开式中二项式系数最大的项为第5项，（4分）

此处只写出第5项二项式系数最大，没有写结果，扣1分。

令x=l得［1-工］,即展开式各项系数和为一二.（8分）

I2）256256

此处学生把展开式中所有项的都加起来得到的结果正确不扣分，结果不正确不得分.

（2）由（1）〃=8知通项公式：7；+i=C；（«）''_]、

0<r<8,reN,(9

分）

欲求有理项，令4—七eZ,，r=0,4,8,即当r=0、4、8时对应的项为有理项，（12分）

4

所以所有有理项为：7]=%4;（13分）

T=—x；（14分）

58

T9=—二"（15分）（漏一个扣1分）

9256/

17.解:（1）设“从该校高二学生中随机选取1人，这个学生可以在3小时内完成各科作业”为事件A,

3+4+33402

所以P（A）=（3分）

1001005

（2）因为样本中“完成各科作业的总时长在2.5小时内”的学生有3+4=7（人），其中可以在2小时内

完成的有3人，若从这7人中随机取3人，则X的所有可能取值为0,1,2,3,

c3噌4尸（X=1）=罟rlC218

贝次（X=。）宝

-35

d

P（X=2）=皆C2c=||,P（X=2）=|=1

J35

所以X的分布列为:

X0123

418121

p

35353535

（8分）

41R191Q

所以X的数学期望为纶）=。怎+1怎+2x^+3怎0（10分）

（3）由题意可知，4〜5（3,0.4）,〃〜5（3,0.6）,（13分）

所以£（4）=3x0.4=1.2,£（7）=3x0.6=1.8,

所以E（J）<E（77）.（15分）

【评分细则】17题严格要求原评分细则给分。

18.解：（1）因为4-%，20，%+4既是等差数列，又是等比数列，

所以4—=2。=。5+”2.（2分）

又4=2=3,设公差为d、公比为q（q>0）,

7

q=——

3八（3+2d）=20q=3、2

则,\,解得1或＜（舍去），

（3+4d）+3q=20d—2,55

d——

8

n

所以。〃=2“+1,bn=3.(7分)

⑵由⑴可得的=42“=(2〃+1)><3",

所以，解法一(错位相减法)S“=3x3】+5x3?+7x3,+L+(2〃+l)x3",

234

3Sn=3X3+5X3+7X3+L+(2〃+1)义3向，

123,!n+1

所以-2Sn=3X3+2X3+2X3+L+2x3-(2w+l)x3

=9+2X3^~3^-(2n+l)x3n+1=3"+1-(2n+1)x3n+1=-Inx3n+1,

所以S“=〃x3"+l(11分)

n/,+1,2

解法二(裂项相消法)cn=an-bn=(2«+l)x3=zzx3-(«-l)x3,

=1X32+(2X33-1X32)+L+(HX3"+1-(n-l)x3")=HX3,!+1.(11分)

因为对任意的九eN*,不等式>“(%—5)恒成立，

即对任意的〃eN*,不等式23,,+122〃—4恒成立，

2〃一4

所以对任意的〃eN*,不等式22聆？恒成立，(12分)

.2n-4/n।2n—22"-42n-2-6n+1210-4〃

令Z,则———=---------------=

22

—,所以丸2e,

从而对〃eN*,(x„)max=%3

即实数义的取值范围为—,+®(17分)

19.解：(1)/'(x)=lnx,x>0,

当尤e(O,l)时，/(%)<0,/(%)单调递减;

当xe(l,y)时，/(%)>0,/(%)单调递增;

所以函数/(x)的极小值点为x=l,没有极大值点.(4分)

(2)令g(x)=y=/'(x)+ex=lnx+ex,则g'(x)=—+e,x>0,

设切点为