2024年新高考数学一轮复习-复数

专题35复数

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.理解复数的基本概念.

2.理解复数相等的充要条件.

3.了解复数的代数表示法及其几何意义.

4.能进行复数代数形式的四则运算.

5.了解复数代数形式的加、减运算的几何意义.

【考点预测】

1.复数的有关概念

(1)复数的定义：形如a+历(a,力GR)的数叫做复数，其中且是实部，2是虚部，i为虚数单位.

(2)复数的分类：

复数z=a+6i(a,6GR)

［实数(6三0),

［虚数(右壬0)(其中，当a三0时为纯虚数).

(3)复数相等：

a+bi=c+<A<=>a=cJ!Lb=d{a,b,c,deR).

(4)共粗复数：

a+6i与c+di互为共辗复数0a=c,b=一d(a,b,c,deR).

⑸复数的模：

向量。的模叫做复数z=a+%的模或绝对值，记作|a+历|或|z|,BP|z|=|a+bi\=yja+lj(a,6GR).

2.复数的几何意义

一一对应

(1)复数z=a+历(a,6GR)----"复平面内的点Z(a,6).

_______,、一一对应—,—

⑵复数z=a+历(a,6GR)=='平面向量。Z

3.复数的四则运算

⑴复数的加、减、乘、除运算法则：

设zi=a+bi,z2=c+di(a,b,c,deR),贝!］

①加法：zi+zz=(a+历)+(c+di)=(a+c)+(6+初i；

②减法：Zi—Zz=(a+6i)—(c+di)=(a—c)+(6—d)i；

③乘法：Zi•z2=(a+Z)i)•(c+di)=(ac-bd)+(ad+6c)i；

_,Zia-\-bi(a+6i)(c——由)ac-\~bdbc-ad,、

④除法s：7^=^TT+^T^i(c+di=0).

Z2c+<71(c+<71)(c—<71)C+<7C+a

(2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行.

如图给出的平行四边形必怒可以直观地反映出复数加、减法的几何意义，即龙=龙+龙，存=龙一成.

【常用结论】

1.i的乘方具有周期性

•4/2t♦4。+1•♦4〃+21♦4〃+3••4/7।•4n+li♦4〃+2i♦4〃+3八,—

1=1,1=1,1=—1,1=—1,1+1+1+1=0,

/“2.1+i.1—i.

2.(l—i)=—2i'—=i；Y+i=~i-

3.复数的模与共软复数的关系

z,Z=Iz|2=I

【方法技巧】

1.解决复数概念问题的方法及注意事项

(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为

代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可.

(2)解题时一定要先看复数是否为a+历(a,6dR)的形式，以确定实部和虚部.

2.复数的乘法：复数乘法类似于多项式的乘法运算.

3.复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共软复数.

4.由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时

可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观.

二、【题型归类】

【题型一】复数的概念

【典例1]如果复数Z詈(6GR)的实部与虚部相等，那么b=()

A.-2B.1C.2D.4

【解析】处也=上?"^^=6—2i，所以实部为儿虚部为一2,故6的值为-2.

11(—1)

故选A.

9

【典例2](多选)若复数z==,其中i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.z的虚部为一1

B.1z|=/

c.「为纯虚数

D.z的共朝复数为一1一i

【解析】7=系=对于A,2的虚部为一1,正确;

对于B,模长1?|=镜，正确；

对于C,因为京=（1—i）2=-2i,故"为纯虚数，正确；

对于D,z的共轨复数为1+i,错误.

故选ABC.

【典例3】（多选）设幻，及是复数，则下列命题中的真命题是（）

A.若|zi—zz|=0,则Z\--Zi

B.若zi=0,则zi=Z2

C.若|Z1|=|Z2|,则Z1•Z1=Z2・0

D.若|zi|=|Z2I,则z?=Z2

【解析】对于A,若|ZLZ2|=0,则为一%=0,幻=如所以/i=Z2为真；

对于B,若z1=Z2,则zi和Z2互为共轨复数，所以©=勿为真；

对于C,设Zi=&+61i,@=82+/^i,9bi,9.29Z?2£R,

若IZ11=IZ21,则总,

即上+总=六十度,

所以zi•zi=a；+6；=m+8=Z2•0,

所以Z1•为=%•Z2为真；

对于D,若4=1,z2=i,

则=而3=1,Z2=—1,

所以云=/为假.

故选ABC.

【题型二】复数的四则运算

【典例1】（多选）设为,Z2,Z3为复数，Z1W0.下列命题中正确的是（）

A.若|z2|=|z3］，贝!）Z2=±Z3

B.右Z1Z2=Z1Z3,则Z2=Z3

C.若Z2=Z3,贝UIZ1Z2I=IZ1Z3I

D.若Z1%=|zi『，贝UZ1=@

【解析】由国=口,知A错误；

ziZ2=ziZ3,则zi(z2—Z3)=0,又ziWO,所以Z2=Z3,故B正确;

|Z1Z2I=IZ1IIZ2I,IZ1Z3I=IZ1IIZ3I,

又Z2=Z3,所以|z21=|Z2I=IZ3I,故C正确，

令zi=i,Z2=—i,满足ziZ2=|%|2,不满足©=Z2,故D错误.

故选BC.

ab

【典例2】在数学中，记表达式ad—6c为由所确定的二阶行列式.若在复数域内，Zi=l+i,Z2=1p

cd

1

Z1Z2

则当

时

-ZZ3为--

Z32火的虚部为

Z1Z2

【解析】依题意知，=Z1Z4—Z2Z3,

Z3Z4

因为Z3=Z2,

2+i(2+i)(l+i)l+3i

且z2=1_i=2=2，

5

2

所以0Z3=|Z2|=-,

51

---

因此有l+i)Z422

即(1+i)Z4=3—i,

43-i(3-i)(l-i)r〜

故Z4=]+j=2=]-21.

所以Z4的虚部是一2.

【典例3]若z==p贝!)Iz|=;z+z=.

+-1111

ZZ-2-2-2-2-

【题型三】复数的几何意义

【典例1】已知i为虚数单位，则复数EY的共舸复数在复平面内对应的点位于（）

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

1—i(1—i)(1—21)—1—Si1R

【解析】TV^-=—,其共轨复数为一三+7,在复平面内对应的点位于第二象

1+21(M1十21)(M1—21)555

限.

故选B.

【典例2】设复数幻，及在复平面内的对应点关于虚轴对称，©=2+i(i为虚数单位)，则幻0=()

A.-5B.5

C.-4+iD.-4-i

【解析】因为复数幻，Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，Z!=2+i,所以Z2=-2+i,所以zg=(2+

i)(―2+i)=-5.

故选A.

【典例3]已知复数©=—l+2i,zz=l—i,Z3=3—4i,它们在复平面内对应的点分别为4B,C,若赤=

40A-\-N0B(2,〃eR),贝U>1+〃的值是.

【解析】由条件得龙=(3,-4),应=(—1,2),

OB=(1,-1),

根据狂儿涝+〃应得

f——几+〃=3,-1f

(3,—4)=A(―1,2)+〃(1,—1)=(—4+〃，24一〃)，所以彳解得《所以

[24一〃=一4,[〃=2,

A+JJ=1.

三、【培优训练】

【训练一】在复数列｛a〃｝中，已知a=一i,z=a1i+i(〃》2,〃GN*),则电鲁仁普理=________.

&十&十…十3,2020

【解析】因为"=一i,所以

H2=af+i=(―i)2+i=i—1；

&=(i—l)2+i=­i；

a=(—i)2+i=i—1；

念=(i—l)2+i=­i；

3.2019=—1；

改020—1—1.

31+23+…+&019________—1010i_____—i_1i

人。2+&+，・，+&0201010(i—1)i—122,

2+i

【训练二】在数学中，记表达式ad—A是由ab，所确定的二阶行列式.若在复数域内，为=1+匕勿=4

cdl-i

_Z1Z21

Z3=Z2,则当=J—i时，Z4的虚部为________

Z3Z4/

Z1Z2

【解析】根据题意有=Z1Z4—Z2Z3,

Z3Z4

-2+i

因为Z3=Z2,Z2=^—r,

l-i

一5

所以Z2Z3=Z2Z2=5，

51

因此有(l+i)z4—i,

即(1+i)24=3—i,

整理得Z4=|^!(3-i)(l-i)

=l—2i.

2

所以为的虚部是一2.

【训练三】(2022•青岛模拟)已知复数z满足|z—1—i|Wl,则|z|的最小值为(

A.1B.y/2-1C.y/2D.4+1

【解析】令z=x+yi(x,yeR),

则由题意有(x—l)2+(y—D'Wl,

Iz|的最小值即为圆(x—1产+(y—1¥=1上的动点到原点的最小距离，

二Iz|的最小值为镜一1.

【训练四】己知复数z=x+yi(x,yeR),且满足Iz—21=1,贝色的取值范围是

【解析】复数z=x+yi,且|z—2|=1,

所以(x—2)?+/=1,

它表示圆心为(2,0),半径为1的圆，

f(x—2)2+/=1,

尸kx,贝小

[y=kx,

消去y,整理得々+1)9—4x+3=0,

由zl=16-12(A2+l)=0,

解得k=一半或A=半,

由题意得予的取值范围是[一当,

【训练五】已知复数Z满足z?=3+4i,且Z在复平面内对应的点位于第三象限.

（1）求复数z；

，1+z、

2021

(2)设aGR,且T~=+a=2,求实数a的值.

1IZ

【解析】⑴设z=c+di(水0,cKO),

则z—(c+di)2=。-d+2cdi=3+4i,

{c-d=3,c=-2或fc=2二,（舍去）•

解得

12cd=4,d=~l

z=-2—i.

.1+z—1—i1+i(l+i)2

(2)Vz=-2+i,1•^7=-i+i=T^T=^-

'1+z、

・---------2021•2021.2020+1-505X4+1•

••1+\z=1=1=1=1,

\7

/.|a+i|=-\fa+l=2,:.a=±/.

【训练六】若虚数z同时满足下列两个条件:

①z+&是实数；

Z

②z+3的实部与虚部互为相反数.

这样的虚数是否存在？若存在，求出z；若不存在，请说明理由.

【解析】这样的虚数存在，z=—1—2i或z=-2—i.

设2=@+历%,Z?GR且6W0）,

z+'a+历+』=a+历

za-vbia-vb

=[+言？）+,一用）上

55A

因为z+一是实数，所以6—FHR=0.

za十b

又因为6W0,所以才十万=5.①

又z+3=S+3）+bi的实部与虚部互为相反数,

所以a+3+6=0.②

〃+6+3=0,

由①②得

才+层=5,

a=-1,a=-2

解得

b=~2b=­l

故存在虚数z,z=—l—2i或z=—2~i.

四、【强化测试】

【单选题】

1.设Z=—3+2i,则在复平面内3对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解析】由题意，得5=-3—2i,其在复平面内对应的点为(—3,—2),位于第三象限.

故选C.

2.若复数2=^+1为纯虚数，则实数a=()

A.-2B.—1

C.1D.2

【解析】因为复数2=±+1=+1=3+1—'为纯虚数,所以。1=0且一彩0,解得

1十1(1十1)<1—1722z2

a=~2.

故选A.

3.已知复数z=(l+2i)(l+H)(a£R),若z£R,则实数a=()

11

--

2B.-2

C.2D.-2

【解析】z=(l+2i)(1+ai)=(1—2a)+(2+a)i,因为z£R,所以2+a=0,即女=-2.

故选D.

4.如图，已知复数z在复平面内对应的向量为OZ,。为坐标原点，贝修，|为()

A.1

D.2

【解析】因为向量应=(1,1),所以复数z对应的点为(I,I),所以|z|=，F钉

故选B.

5.在复平面内，复数z对应的点与1+i对应的点关于实轴对称，则z等于()

A.1+iB.-1-i

C.—1+iD.1—i

【解析】1+i在复平面内对应点为(1,1),关于实轴对称的点为(1,—1),・・.z=l—i.

故选D.

6.若复数z满足z(l—i)=|l—i|+i,则z的实部为()

A平21B.^/2—1

C.1D?

r融诉】in11-ii-小+i(/+i)(l+i)=A/2—1+^2+1..士双头＞亚二1

【解析】由z(l—=—i|+i,=(i-i)(i+i)22故z的头部为一.

故选A.

7.已知i是虚数单位，则“a=i”是“#=-1”的()

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】i是虚数单位，则1=-1,“a=i”是“/=—1”的充分条件；

由a2=—l,得a=±i,

故“a=i”是“才=—1”的不必要条件；

故“a=i”是“「=—1”的充分不必要条件.

故选A.

8.在复数范围内，已知0,g为实数，1—i是关于x的方程l+px+gnO的一个根，则0+g等于()

A.2B.1C.0D.-1

【解析】因为1—i是关于x的方程f+px+g=O的f•根，则1+i是方程f+px+g=O的另一根，由根

(l+i)+(l-i)=-P，

与系数的关系可得

(l+i)(l-i)=<7，

解得P=—2,°=2,

所以p+g=0.

故选C.

【多选题】

9.已知i为虚数单位，复数z='^一,则以下说法正确的是()

Z—1

A.z在复平面内对应的点在第一象限

7

B.z的虚部是一£

5

C.|z|=3邓

D.若复数幻满足|幻一z|=1,贝I]|zj的最大值为1+逗

3-1-9-i)(9J-i)A7,47、

【解析】•；z=K=(2—i)(2+i)=匚+中2在复平面内对应的点为匚，5>在第一象限，故A

正确;

7

Z的虚部用故B不正确;

Iz\故C不正确;

22

设Zi=x+yi,x,yGR,由|0一z|=1得(x—春)+(y—=1,则点(x,y)在以((，为圆心，以1为半径

,即|川的最大值为1+胆，故

的圆上，贝U(x,力到(0,0)的距离的最大值为1+

0

D正确.

故选AD.

10.若复数z满足(1+i)•z=5+3i(其中i是虚数单位)，贝)

A.z的虚部为一i

B.z的模为必

C.z的共轨复数为4—i

D.z在复平面内对应的点位于第四象限

【解析】由(1+i)•z=5+3i得

5+3i(5+3i)(l—i)8—2i

Z=1+i=(l+i)(l-i)=2=4-1>

所以z的虚部为-1,A错误；

z的模为寸42+(—1)2=4记,B正确；

z的共辆复数为4+i,C错误；z在复平面内对应的点为(4,-1),位于第四象限，D正确.

故选BD.

9

11.下面是关于复数的四个命题，其中真命题的是()

—1+1

A.|z|—2B.z=2i

C.z的共辆复数为1+iD.z的虚部为一1

［解析］Vz=-i+i=（-i+i）（-i-i）1-i,

|z|=-\/2,z?=2i,z的共朝复数为-1+i,z的虚部为一1.

故选BD.

12.在复平面内，下列命题是真命题的是（）

A.若复数z满足‘GR,则zGR

Z

B.若复数z满足zkR,则zGR

C.若复数zi,zz满足Z1Z2GR,则©=Z2

D.若复数zdR,则GR

11a—ATahi

【解析】对于A,设复数z=a+历（a,66R）,贝卜=工-=7^^~不=-±0-若一则

za-vb\（a-tbi^a—bi）a-vba~\~bz

6=0,所以z=a£R,故A为真命题；

对于B,若复数z=i,则/=—1£R,但去R,故B为假命题；

对于C,若复数zi=i,Z2=2i满足ZIZ2=—2£R，但ziWz2,故C为假命题；

对于D,若复数z=a+6i£R,则6=0,z=z£R,故D为真命题.

【填空题】

13.设复数z满足5=|1—i|+i（i为虚数单位），则复数z=.

【解析】复数Z满足z=11—i|+i=/+i,则复数Z=/—i.

4+2i

14.已知复数z=（i+i）2（i为虚数单位）在复平面内对应的点在直线x—2p+/=0上，则m=.

【解析】Z=2=彳1=（412?i=—2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为（1,-2）,将其

I1.IJ.）乙_L乙_L

代入x—2y+/=0,得277=—5.

一4i

15.当复数z=E+3）+（勿一l）i（%£R）的模最小时，一=.

z

［解析］IzI=y/（刃+3）'+（皿-1）2

=、2盆+4勿+10=、2（4+1）2+8,

所以当加=—1时，|z|min=2，^,

m/i4i4i（2+2i）-

所以—=9一厂=Q——1+i.

z2—21o

16.已知复数zi=l—i,Z2=4+6i（i为虚数单位），则卫=；若复数z=l+6i（6£R）满足z+为

Zi

为实数，贝！J|z|=.

「、，,4+6i(4+6i)(1+i)-2+10i,

【解析】因为幻=1—i,Z2=4+6i,所以一=-j~r--y.—=-------=—l+5i.因为z=l

zil—i(l—i)(1十i)2

+6i(6GR),所以z+zi=2+(6—1)i,又因为z+zi为实数，所以6—1=0,得6=1.所以z=l+i,则|z|

=小

17.设复数5满足2=1l—i|+i(i为虚数单位)，则复数z=.

【解析】复数Z满足z=11—i|+i=M+i,则复数z=Y^—i.

4+2i

18.已知复数z=(i+i)2(i为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x—29+卬=0上，则m=.

【解析】z=:三2i,复数z在复平面内对应的点的坐标为(1,-2),将其

\J.IX)乙JL乙J.

代入x—2y+勿=0,得力=-5.

19.已知d£R,则复数z=(才一2女+4)一(才一2a+2)i所对应的点在第象限，复数z对应点的轨

迹是.

【解析】令z=x+yi(笛HR)，

x—a—2d+4=(a—1)?+323,

y=—(a2—2a+2)=—[(a—1)2+1]^—1,消去才一2〃得y=-x+2(x23),故复数z所对应的点在第四

象限，z对应点的轨迹为一条射线，其方程为尸一£+2(x23).

20.如图所示，在复平面内，网格中的每个小正方形的边长都为1,点4夕对应的复数分别是为，勿，则

IZ\—.

【解析】由图象可知zi=i,%=2—i,