安徽省马鞍山市2024届高三年级下册教学质量监测数学试题（含答案与解析）

2024年马鞍山市高三教学质量监测

皿I、、九

数学

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，务必将自己的姓名和考号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上

无效.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1,已知集合A=W-0}1=&5＞0},则低A"（）

A.（0,4）B.（0,4]C.（1,4]D.[1,4]

2.已知平面向量C],e,不共线，a=（2左一1）G+2e、,Z?=q—e?，且a!lb，则左=（）

13

A——B.0C.1D.-

22

3.已知数列{q}是公差为2等差数列，若4+2,%+2吗4成等比数列，则[4=（）

B.12C.18D.27

4.已知角a则数据sin/sin（兀—a）,cosa,cos（兀一c）,tan2的中位数为（）

A.sinaB.cos（兀一2）C.cosaD.tana

5.已知函数＞=/（%）的大致图象如图所示，则＞=/（%）的解析式可能为（）

x-3x

B./（x）=

9l+l

ln(|x|+l-X

cD/(功=

-f(x)=.(x?+l)ln(国+2)

x2+l

6.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务，每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选

择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为()

39612

B.——C.—D.

20502525

7.已知函数/(%)=sin20x+cos2a»x3>l)的一个零点是巴，且/(尤)在||上单调，则①=

2I616J

27911

A.B.D.

4444

8.已知点A,B,C,D,P,。都在同一个球面上，A3CD为正方形，若直线尸。经过球心，且

工平面A3CD.则异面直线E4，所成的角最小为()

A.30°B.45°C.60°D.75°

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知四棱锥P—A6CD,平面ABCQ,则()

A若尸CLBZ),则AC13DB.若ACLBD,则依=PD

C.若PB=PD,则AB=ADD.若AB=A£),则PCLBD

10.已知点P,A,8在抛物线犬=2。尤(Q。)上，线段48,PA,P8的中点分别为。，M,N,线段M,N

的中点为E,若直线力，尸8的斜率之和为0,则()

A.点跖N不在x轴上B.点E在x轴上

C.点。与点尸的横坐标相等D.点。与点P的纵坐标互为相反数

11.已知函数/(x),g(x)是定义在R上的可导函数，其导函数分别为1(x),g'(x),其中/⑴的图象关于点

(1,0)对称，g(x)的图象关于直线x=l对称，/(x)—g(x+l)=2,g(l)=—3,则()

A.广。)+/(-%)=0B.g，(2024)=0

2024

c.g(2024)=-2D.£f(k)=0

k=l

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足z-5=2(z+刃=4,若z在复平面内对应的点不在第一象限，贝|z=.

22

13.已知双曲线「：鼻―==1(。〉0力〉0)的左、右焦点分别为耳，F2,过点心的直线与「的右支交于

A,8两点，若|时|=8,忸耳|=5,NA73=60°,则”.

14.已知不等式(％+1)2＜几(九2+1)(无2—2%+5)对任意龙€区恒成立，则实数丸的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=31nx+a(x2+25)—B，直线/在＞轴上截距为3,且/与曲线y=/(1)相切于点

(1,7(1)).

(1)求实数。的值；

(2)求函数“X)的单调区间与极值.

16.如图，在四面体ABCD中，DA,DB,DC两两垂直，DA=DB—DC,M是线段AD的中点，

P是线段的中点，点。在线段AC上，且AQ=3QC.

(1)求证：PQ〃平面5cD；

(2)若点G在平面ABC内，且DGL平面BMC,求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.

17.如果X,丫是两个离散型随机变量，X的所有可能取值为：xpx2,.,xn,则称

E(x\y=y)=£x『(x="y=y)为x在y=y事件下的条件期望.已知甲每次投篮的命中率均为

P,其中。设随机变量X是甲第一次命中时的投篮次数，随机变量y是甲第二次命中时的投篮次

(1)若p=g,求尸(X=4),尸(y=4)；

(2)已知”22,“eN,求E(X|Y=n).

2r24

18.己知椭圆C:二v+±=l(a〉6〉0)的离心率为点PQ5)在椭圆C上，过点T(OJ)«#±5)的直

线/与椭圆C交于A,B两点，直线B4,PB与直线V=f分别交于点M,N

(1)求椭圆C的方程；

(2)若T为椭圆。的上焦点，求面积取得最大值时直线/的方程；

(3)若一PMN的外接圆经过原点。，求，的值.

19.已知S是全体复数集C的一个非空子集，如果总有x+y,x—则称S是数

%

环.设F是数环，如果①尸内含有一个非零复数；②尸且ywO,有一eF,则称歹是数域.由

定义知有理数集Q是数域.

(1)求元素个数最小数环S；

(2)证明：记Q(6)={a+J0|a,AeQ},证明：Q(、后)是数域；

(3)若可，鸟是数域，判断耳门巴是否是数域，请说明理由.

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的.

1已知集合A3炉一曲叫刈小小〉。},则&A)c3=()

A.(0,4)B.(0,4]C.(1,4]D.[1,4]

【答案】C

【解析】

【分析】本题先解不等式求出集合A、B,再结合补集和交集的定义即可求解.

【详解】因为集合A={巾2-4x>0)={小>4或x<0},

B=|x|lnx>0}={x|x>l},

所以为4={司0<%<4},

故为AC3={M<X<4}=（1,4]

故选：C.

_,・•-imuii

2.已知平面向量,，G不共线，。=（2左一1）,+262，b=ex-e2,且〃〃。，贝！）左=（

13

A.---B.0C.1D.一

22

【答案】A

【解析】

【分析】依题意可得a=防，根据平面向量基本定理得到方程组，解得即可.

【详解】因为〃二（2左一l）q+24，b=q—4且。〃Z?，

所以〃二仍，即（2左一l）q+2e2=一心），

又6,G不共线，

t——2

2k—l=t

所以《c，解得《

2=-tk=--'

、2

故选：A

3.已知数列{4}是公差为2的等差数列，若6+2,4+2,14成等比数列，则。14=（

A.9B.12C.18D.27

【答案】D

【解析】

【分析】利用等比中项列式，借助等差数列通项公式求解即得.

【详解】由4+2,4+2,%成等比数列，得（%+2『=（%+2）x%,

所以（q+gAHa+ZHa+ZG）,解得q=l,

所以%=1+2x13=27.

故选：D

4.已知角则数据sin。,sin（兀一。）,cosc,cos（兀-c）,tantz的中位数为（

A.sinaB.cos（兀一0C.cosaD.tana

【答案】A

【解析】

【分析】结合诱导公式对己知式子进行化简，然后结合三角函数的性质判断各式的大小，结合中位数的概念

即可判断.

【详解】因为角

cos（兀一a）=-cosa£-1,----,tana£（0,1）,

l2）

所以0Vsin。VCOSa,0<sinavtana,

按照从小到大的顺序排列时，前3个数为cos（兀一a）,Sina,sin（兀一a）,

则中位数为sina（或sin（兀-a））.

71

其中当0<%<大时sinx<x<tanx的证明过程如下：

2

则A（l,0）,设=弓J,则P（cosx,sinx）,

过点A作直线AT垂直于九轴，交0P所在直线于点T，

AT

由万彳二tanx,得AT二tanx,所以T（l,tanx）,

由图可知SOPA<S扇形°尸A<Sma,

即工x1xsin冗〈工x

l2xx<-xlxtanx,

222

即sinx<x<tanx.

故选：A.

5.已知函数>=/(%)的大致图象如图所示，贝!!>=/(%)的解析式可能为()

x-3'v

A./(%)=B./(x)=A^

9A-19"+1

ln(|x|+l一龙

D./(x)=

c-f(x)=(必+l)ln(|x|+2)

x2+l

【答案】D

【解析】

【分析】利用排除法，取特值，求/⑴即可判断结果.

3

【详解】对于选项A：因为/(1)二—〉0,与图象不符，故A错误;

8

3

对于选项B：因为/(1)=而>0,与图象不符，故B错误;

对于选项C：因为/'(1)='>0,与图象不符,

故C错误;

故选：D.

6.甲、乙等5名学生参加学校运动会志愿者服务,每个人从“检录组”“计分组”“宣传组”三个岗位中随机选

择一个岗位，每个岗位至少有一名志愿者，则甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为()

39612

A.—B.—C.—D.——

20502525

【答案】C

【解析】

【分析】分类讨论人数的配比情况，分别求总共不同的安排方法和甲、乙两人恰选择同一岗位时不同的安排

方法，结合古典概型运算求解.

【详解】若人数配比为3:1:1时，则有C；A；=60种不同安排方法;

若人数配比2:2:1时，则有C；C；Cj=90种不同安排方法；

所以共有60+90=150种不同安排方法.

若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为3:1:1时，则有C；A；=18种不同安排方法;

若甲、乙两人恰选择同一岗位且人数配比为2:2:1时，则有C；蜀=18种不同安排方法;

所以共有18+18=36种不同安排方法.

所以甲、乙两人恰选择同一岗位的概率为。=曳=包.

15025

故选：C.

TT

7.已知函数/(无)=51112。%+＜：052。%(0＞1)的一个零点是一，且/(无)在上单调，则刃=

2

()

579

A.—B.-C.一

444

【答案】B

【解析】

【分析】整理可得/(x)=0sin120x+；],以+：为整体，根据单调性分析可得1＜。W2,再结合

零点分析求解.

【详解】因为/(x)=sin2a)x+cos2a)x=A/2sinIIcox+：J，

，且外＞1时,

一,口,7171兀兀兀「兀兀八兀71

可得2&)XH---E-------CD~\---,一CDH---,且-----CD-\---<0<一(t)~\-----,

413484)3484

71兀、兀

——G+—2——

(7171]342

若“%)在一工，77上单调，则，解得1<刃《2,

I616；71兀,兀

一①+一V—

〔842

兀71I

又因为了(尤)的一个零点是一，则兀①+―=E，左wZ,解得口=左一一,keZ,

244

7

所以左=2,。=一.

4

故选：B.

8.己知点A,B,C,D,P,。都在同一个球面上，A3CD为正方形，若直线尸。经过球心，且

PQ1平面A3CD.则异面直线Q4，所成的角最小为（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【答案】C

【解析】

【分析】设球的半径为火（火>0），记A3CD中心为。，依题意可得PQ过点。且PQ的中点为球心，设

球心为G,建立空间直角坐标，设Q4=r（r>0）,G（0,0/）（—利用空间向量法表示出

cosPA,QB,求出cosPA,Q3的最大值，即可得到.

【详解】设球的半径为火（火>0）,记A3CD中心为。，

因为A3CD为正方形，直线尸。经过球心，且PQ工平面A3CD，

所以P。过点。且P。的中点为球心，设球心为G,

以。为原点，OB、OC,0P分别为一兀z轴正半轴，建立空间直角坐标系。一孙z,

设6M=O6=OC=OD=r（r>0）,G（0,0,t）［-R<t<R）,

则4（0,—r,0）,B（r,0,0）,P（0,0,7?+r）,Q（0,0,H—r）,

所以丛=（0,-r,—HT）,QB=（r,0,t-R），

所以弱.而=_(/+H)«_R)\=R2-t2,

所以(

PA=Jr2+R+“2,g网=J/+(RT)2,

又OG°+OB?=K，即/+产=R2,

PA.0B__________R2T2__________

所以cosQB=।口r=

J/+(R+/)2XJ/+(R_02

_火2"_J-2一/<j?1

-=当且仅当/=0时等号成立,

一产一2R一2R2

设直线上4,所成的角为1，贝i]costz=kosR4,Qqwg,

又0°WaW90°，所以4nhi=60°.

【点睛】关键点点睛：本题解答是建立空间直角坐标，利用空间向

量法求出cosPA,QB的最大值.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.己知四棱锥P—ABCD,上4_L平面ABC。，则()

A.若PCLHD,则AC13DB.若AC上BD,则必=9

C.若PB=PD,则A3=ADD.若A3=A£),则尸

【答案】AC

【解析】

【分析】对于AD：根据线面垂直分析可知：？。，加＞等价于4。13。，结合选项分析判断；对于BC：

根据三角形全等可得PB=PD等价于AB=AD,进而结合选项分析判断.

【详解】因为PA_L平面ABCD45,4。,8。(=平面48。。，则PA_LAB,PA_LAD,PA_L8。,

对于选项AD：若PCLBD,且。APC=P,PA,PCu平面B4C,

可得5D工平面B4C,且ACu平面B4C,所以AC13D,

同理：若AC，BD,可得尸CLBD,

即PC±BD等价于AC1BD,

由A3=A。不能推出AC/即A3=A。不能推出尸CLBD,

故A正确；故D错误；

对于选项BC：若PB=PD,可知Rt-BABNRJM）,所以AB=A£）,

反之，AB=AD,可知RtK45MRt所以PB=PD,

即PB=PE）等价于A3=A。，

由AC1BD不能推出A3=A£>,即AC18D不能推出尸3=如，

故B错误，故C正确；

故选：BC.

10.已知点P,A,8在抛物线俨=20尤（p>0）上，线段48,PA,P8的中点分别为。，M,N,线段N

的中点为E,若直线力，尸8的斜率之和为0,则（）

A.点、M,N不在x轴上B.点E在x轴上

C.点。与点尸的横坐标相等D.点。与点尸的纵坐标互为相反数

【答案】ABD

【解析】

【分析】令尸（七,%）,A（x,,%）,3（七，%）且引00,则0A+KPB=上互+上1=0,且

一x2-Xx冗3一%

代=2Pxi

<yi=2pX],结合坐标的中点公式判断名项正误.

4=2川3

【详解】解：如图所示：

令尸&,%）,4々,为），3（%,为）且%¥°，

则kpA+kpB=三二互+为二&=0,

寸=2Pxi_

又相=2庶2，贝U五R2P%-%=2P

,X,­X]%+%七一%X+%

%=2庶3一

而加工”宥

所以q=£,q=3，

%一%yM与一石yN

则2+J,

yMyN

故y“+yN=o,而％=加;=o,则B选项正确；

若点M或N在％轴上，则＞“=)^=0，即％+%=%+%=。，

故为=%=。与题设矛盾，

所以点M或N不在无轴上，A选项正确；

由上+=X+=x+V。=0，

则点。与点尸的纵坐标互为相反数，D选项正确；

显然。不可能在抛物线上，点。与点尸的横坐标不相等，C选项错误.

故选：ABD.

11.已知函数/(x),g(x)是定义在R上的可导函数，其导函数分别为了'(x),g'(x),其中/(x)的图象关于点

(1,0)对称，g(x)的图象关于直线x=l对称，/(x)—g(x+l)=2,g(l)=—3,则()

A.r(x)+/J)=0B.g，(2024)=0

2024

c.g(2024)=-2D.E/W=0

k=\

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据函数/(%)与g(x)的对称性得到周期性，利用导数法则求导判断A,利用g(x)的周期性判

断C,利用/(%)的周期性求和判断D,利用g'(x)的周期性判断D.

【详解】由/⑴的图象关于点(1,0)对称，则/(l—x)+/(x+l)=o,

即“2—x)+/(x)=0,所以/(X)=—/(2—%),又g(x)的图象关于直线％=1对称，

则g(l+x)=g(l_%),又/(x)_g(x+l)=2,所以/(-x)_g(_x+l)=2,

所以/(x)=/(一X),两边同时求导得/'(%)=—/'(—X),即/'(X)+/'(一%)=。，故A正确；

由/(九)=—〃2-力，可得/(—%)=—"2—X),即/(X)=-/(2+力,

所以/(x+4)=-y(x+2)=/(x),所以函数/(力的周期为4，

又/⑴=0，/(—1)=-/(1)=0,/(2)=-/(0),结合/(0)—g⑴=2,g⑴=一3,

得/(。)=一1,〃2)=1，又函数/(%)的周期为4,所以/(3)=/(-1)=0,f(4)=/(0)=-l,

2024

所以/(1)+/(2)+/(3)+/(4)=0,则£f(k)=506[/(1)+/(2)+/(3)+/(4)]=0,故D正确；

k=\

再/(x)—g(x+l)=2,所以/(x+4)—g(x+5)=2,

结合了(%+4)=/(%)得8(%+1)=8(%+5),即g(x+4)=g(x),所以函数g(x)的周期为4，

所以g(2024)=g(0),

又g(0)=/(T)—2=0—2=—2,所以g(2024)=-2,故C正确；

由A选项知:fXx)+f\-x)=0,所以尸(0)+/(0)=0,即尸(0)=0,

再/(x)—g(x+l)=2,所以r(x)—g'(x+l)=。，所以/'(O)-g'⑴=0,/'(0)—g'⑴=0,即

/'(0)=g'(l)=。，又g(x+4)=g(x),所以g'(x+4)=g'(x),

所以g'(2024)=g'(0)丰g"),故B错误.

故选：ACD

【点睛】关键点点睛：本题主要是研究抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为

桥梁，发现函数“X)与g(x)的性质关系，以及解析式的关系.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知复数z满足z•彳=2(z+刃=4,若z在复平面内对应的点不在第一象限，贝|z=

【答案】1-V3i

【解析】

【分析】设2=。+4,。/611,结合复数的运算以及共轨复数求4力，并结合复数的几何意义取舍.

【详解】设2=4+历,4361<,贝！|5=。一历，

z・zz=(a+Z?i)(a—历)=。2+Z?2=4

因为Z•乞=2(z+N)=4,则＜

2(z+z)=2[(〃+bi)+(〃-Z?i)]=4〃=4

a=la—1

解得《厂或＜

b=6b=-C

a—\

又因为z在复平面内对应的点不在第一象限，可知/?<0,可知<

b=-A/3

所以Z=1—.

故答案为：1-6i.

13.己知双曲线「：二一2=l（a〉O力〉0）的左、右焦点分别为耳，F],过点4的直线与「的右支交于

ab

A,8两点，若|A耳|=8,忸周=5,/4片5=60°,则。=.

3

【答案】一##1.5

2

【解析】

【分析】根据双曲线的定义表示出|短|典即可得到|AB|,再由余弦定理计算可得.

【详解】依题意过点工的直线与r的右支交于A,5两点,

且防二8,忸耳1=5,NA£3=60。,

则0<a<5,|9|=8—2a,忸6|=5—2a,

所以|AB|=|A闾+忸闾=13—4a,

W（13-4A）2=82+52-2X5X8COS60°,

3

解得〃=一或〃=5（舍去）.

2

14.已知不等式（％+1）2<4（尤2+1）（尤2—2%+5）对任意工€区恒成立，则实数X的取值范围是

【答案】

【解析】

(X+l)2

【分析】参变分离可得<2对任意xeR恒成立，换元令x+1=7,整理得

x*2+l)(x?-2x+5

(X+1)21

x2+l)(x2-2%+5,结合对勾函数性质分析求解.

t+--3I+1

【详解】因为（工+1）2«/1（尤2+1）（x2-2x+5),>%2+1>0,X2-2%+5>0,

(X+l)2

可得三彳对任意工6区恒成立,

x2+1)(—-2x+5

令％+1=1,则％=

(X+If

二0

若x=—1,贝卜=0,可得x2+l)(x?-2x+5

(X+l)2,2

若XW—1,贝卜a0,可得X2+1)(X2-2X+5

211

?-6z3+18r-24/+16户+11_6”24+18Z+4-3I+1

4

由对勾函数M=/+—可知“24或"WY,

2

则/H--4-321或/H--4-3<—7,可得(/'+'—3|>1,

(X+l)2

则(/+1)卜2-2x+5)

=2x+5广旭

综上所述:

(X+l)2

即(无2+1)(^2-2%+5)的最大值为则JN—,

2

所以实数彳的取值范围是g,+8

故答案为：-,+°°j,

【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题

(1)分离参数法

第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的最值；

第三步：根据要求得所求范围.

(2)函数思想法

第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；

第二步：利用导数求该函数的极值；

第三步：构建不等式求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=31nx+a(x2+25)—苧，直线/在＞轴上的截距为3,且/与曲线y=/(x)相切于点

(1,/(D).

(1)求实数。的值；

(2)求函数“X)的单调区间与极值.

【答案】(1)-

4

⑵单调递增区间为(0,2),(3,^o),单调递减区间为(2,3),〃尤)极大值=31n2+；,极小值=31n3+l

【解析】

【分析】（1）求出函数的导函数，根据导数的几何意义得到切线方程，由切线过点（0,3）代入计算可得;

（2）由（1）可得了（%）的解析式，利用导数求出函数的单调性，即可求出极值.

【小问1详解】

因为/（x）=31nx+a（^x2+25）—当,则广（无）=。+2公一：,

所以广⑴=2o+g,/（1）-26«-|,

故直线/：y=[2a+；]（x-l）+26a-g,

又直线/在丁轴上的截距为3,所以j2a+H+26a-g=3,解得

I24

【小问2详解】

由⑴得〃x）=31nx+J-弓+?，"％）的定义域为（。,+“），

又广（2+各|=―誓—3）,

由/<x）>0,解得0<%<2或x>3；由/'（x）<0,解得2<x<3,

所以函数4％）的单调递增区间为（0,2）,（3,+8）；单调递减区间为（2,3）,

所以〃力在x=2处取得极大值，即/（%）极大值=〃2）=31112+1,

在X=3处取得极小值,即〃尤）极小值="3）=31n3+1.

16.如图，在四面体ABCD中，DA,DB,。。两两垂直，DA=DB=DC,M是线段AD的中点,

产是线段8M的中点，点。在线段AC上，且AQ=3QC.

（1）求证：PQ〃平面5Q）；

（2）若点G在平面ABC内，且。G,平面BMC,求直线MG与平面ABC所成角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析

⑵迈

3

【解析】

【分析】⑴PEYBD,交BD于点E，作Qb_LC。，交CD于点、F,证明四边形EFQP为平行四边形,

然后证明PQ〃平面5CD.

（2）以。为原点，分别以DC,ZM为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，根据Ge平面

L4LU11IIIBI

ABC,可设AG=2A8+〃AC,4,〃eR,即可表示出G点坐标，再由DG_1_平面BMC,由

8c-DG=MC-OG=0求出X、〃，从而确定G点坐标，再由空间向量法求出直线MG与平面ABC所成

角的正弦值.

【小问1详解】

作尸瓦），交5D于点E，作Q歹J_C。，交CD于点P，

因为又是线段A。的中点，P是线段雨的中点，AD±BD，

所以PE〃AD且，

4

QAQ=3QC,ADLCD,所以。尸〃AD且QP=工AD,

4

PE//QF且PE=，所以四边形EFQP为平行四边形，

：.PQHEF,又PQ<Z平面3C。，石户匚平面吕^^二尸0“平面台。.

【小问2详解】

以。为原点，分别以03,DC,DA为x,y,z轴正方向建立空间直角坐标系，

不妨设DA=DB=DC=2,则4（0,0,2）,B（2,0,0）,C（0,2,0）,M（0,0,1）,

设G（x,y,z）,则AB=（2,0,-2）,AC=（0,2,-2）,AG=（九,y,z—2）,

ULHJ,LILIUILILUJ

Ge平面ABC,可设AG=2A8+〃AC,2,〃eR,

即(x,y,z-2)=(22,2//,-22-2//),

x=22

则y=2〃，即G(2/l,2〃,2—24—2〃)，则£>G=(2/l,2〃,2-22—2〃),

z—2—24—2从

DG,平面BMC,又BC=(—2,2,0),MC=(0,2,-1),

〃

C—4X++24"2==0。’解得八〃二1’所以点G坐标为

•'•BCDG=MCDG=0,即<

MG=IT0r

设平面ABC的法向量为〃=dc),

n-AB=2a-2c=0

则〈令a=l,则b=c=l,得〃

n-AC=2b-2c=Q

所“1〜

故直线MG与平面ABC所成角的正弦值为亚

3

17.如果X,F是两个离散型随机变量，X的所有可能取值为：xl,x2,--,xn,则称

n

E(X\y=y)=Zx『(x=xJ丫=丁)为乂在丫=丁事件下的条件期望.己知甲每次投篮的命中率均为

Z=1

P，其中。设随机变量X是甲第一次命中时的投篮次数，随机变量F是甲第二次命中时的投篮次

(1)若P=g，求P(X=4),P(y=4)；

(2)已知“22,〃eN,求E(X|Y=n).

13

【答案】(1)p(x=4)=—,p(y=4)=—；

1616

⑵

2

【解析】

【分析】(1)根据独立事件的乘法公式求解即可；

(2)先求出X的所有可能取值，然后利用条件概率求得分布列，进而利用期望公式求解即可.

【小问1详解】

X=4时，前三次投篮都不中，且第四次投篮命中，

j11

所以P(X=4)=[1—gIX2-16

F=4时，前三次投篮命中一次，且第四次投篮命中,

所以(；1|2

Py=4)=Cxgx(l—g।X2-16

2

【小问2详解】

在y=〃的条件下X的所有可能取值为1,2,3,

X=i,y="时，第i次和第〃次命中，其余〃—2次均未命中，

所以p(x=，,y=")=(l—0"~.p2,i=i,2,3,,n-l,

y=〃时，第九次命中，前n—l次只有一次命中，

所以P(y=〃)=c；,_ljP(i-p)-2•p=5—I)p2(I-p厂2,

/.、P(X=i,Y=n)1

所以P(Xy=〃)=----――---------=-----,1,2,3,,n-l,

P\Y=〃)n—l

ii1n(n~

故有E(X|y=〃)=lx——+2x——++(n-l)x——=-^-

n—1n—ln—l2

2r24

18.已知椭圆C：二v+》=l（a〉6〉0）的离心率为二，点尸（。,5）在椭圆。上，过点T（OJ）Q，±5）的直

线/与椭圆。交于A,8两点，直线B4,PB与直线y=Z分别交于点M,N

（1）求椭圆C的方程；

（2）若T为椭圆。的上焦点，求面积取得最大值时直线/的方程；

（3）若二？MN的外接圆经过原点。，求才的值.

22

【答案】（1）^+―=1

259

（2）?叵x4

3

⑶竺

16

【解析】

【分析】（1）根据题意结合离心率可得a=5,c=4,进而可得即可求椭圆方程;

（2）设直线/：y=Ax+4,联立方程可得韦达定理，结合面积关系运算求解;

（3）设直线4x+5,直线PB:y=&x+5,可得的坐标，联立方程结合韦达定理可得

25”5)

,再根据圆的性质列式求解.

9”+5)

【小问1详解】

「4

由题意可知：e=—=—,a—5,则。=4,//=一，=9,

a5

所以椭圆C的方程为工+三=1.

259

【小问2详解】

由题意可知：直线/的斜率存在，设/:丁=辰+/,4（%,%）,6（%2，%），

由⑴可知：T（0,4）,贝叶PT|=1,且直线/:丁=履+4与椭圆°必相交,

y=Ax+4

联立方程1y2%2,7肖去y得(9左2+25)尤2+72区一81=0,

—+—=1

〔259

12k81

则％+X,=-,X|X='O，

1-9k29+25129r+25

可得s2册中「让"需加4x81_45A/r+l

+9)t2+25—942+25

4515

9g8,

展2+1

当且仅当9,左2+1=*,即左=±且时,

等号成立，

所以.Q4B面积取得最大值时直线/的方程为y=?—x4.

3

【小问3详解】

1t—5t—5

设直线P4:y=%x+5,直线PB:y=&x+5，则M,t,N,t

I!)l)

yk

P

uO—x

y=kx+t

联立方程《,2冗2,消去y得(9左之+25)x?+18左比+9卜2—25)=0,

-----1-----1

[259

则△=(188)2_36(9左2+25),2_25)=900(9左2+25-产)>0,

可得%+々=―5=9£-25),

9k2+25-9k2+25

则左芯=『.21^=向+/—5.区2+1—5

左2元]%2+左，一5)(%]+元2)+(%—5)

%九2

9F(r-25)18F?(?-5)

+"5)一_25"5)

9公+25—94+25

至―25)—9,+5)，

9k2+25

(t-5、

又因为70