2022-2023学年全国甲卷高三年级下册理科数学开学摸底考试模拟卷A含详解

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A(全国甲卷)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知复数z满足z(l-i)=|l-i|,贝”=()

A.1B.-+-iC.^+―iD.1+i

2222

2.已知集合&=卜|、=4-1},B={x|y=lgx},则AB=()

A.(0,+oo)B.[O,+8)C.D.0

3.已知等差数列{%},前"项和为S“，S30-S20=100,贝1|55。=().

A.200B.300C.500D.1000

4.2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348亿元，增长21.2%；进

口173661亿元，增长21.5%.货物进出口顺差43687亿元，比上年增加7344亿元.如图是我国2017—2021年货物进

出口总额统计图，则下面结论中不正确的是()

A.2020年的货物进出口总额322215亿元B.2020年的货物进出口顺差36343亿元

C.2017—2021年，货物进口总额逐年上升D.2017—2021年，货物出口总额逐年上升

5.设a为锐角，且5也仁+£卜11「+”=：,贝Ij()

A.B,。女C.*匕弓JD.

6.如图是一个简单几何体的三视图,若加+〃=6,则该几何体体积的最大值为

正视图侧视图

s

俯视图

7.已知在平行四边形A3CD中，AB=m,AD=2,ZADC=120°,BE=^BC,AB-AE^1S，则冽=()

8.下列结论不正确的是（）

A.若事件A与B互斥，则P（Au3）=尸（A）尸（3）

B.若事件A与B相互独立，则「（4门3）=*4）汽3）

c.如果x、y分别是两个独立的随机变量，那么。[x+y]=o[x]+o[y]

D.若随机变量y的方差。[y]=3,则。[2丫+1]=12

9.已知函数/（x）=cosx+aY-i,oeR,若对于任意的实数x恒有〃尤）20,则实数。的取值范围是（）

1111

A.[—,+oo）B.（—,+oo）C.[—一,+oo）D.（—,+oo）

2244

10.设4]Wogz",2"=logJ,QJ=5,贝心、b、c的大小关系是（）

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.b<c<a

11.已知圆M:x2+y2-6x=0,过点（1,2）的直线4,乙，…，乙（"eN*）被该圆M截得的弦长依次为外,出，…，a,,

若为,%,…，。“是公差为;的等差数列，则”的最大值是（）

A.10B.11C.12D.13

12.已知点A是椭圆三+y2=i的上顶点，用工分别是椭圆左右焦点，直线丁=“无+伙。>0）将三角形A月亮分割为

2

面积相等两部分，则匕的取值范围是（）

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.与函数〃x）=e3-l在点（0,0）处具有相同切线的一个函数的解析式是.

14.杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A2,C三个项目的志愿者工作，每个项目

需1名或2名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加8、C项目，那么共有种不同的志愿者选拔方案.

15.在ASC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,2c边的中点为D,线段A。的中点为E,且AEBC：6,

16.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为正,则该四棱台的体

积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须

作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(-)必考题：共60分.

17.已知数列%=j,6,+2=31ogr"(〃eN*),数列｛g｝满足c.=.

⑴求数列也｝的通项公式；

⑵求数列｛g｝的前”项和S”.

18.某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛.比赛规则如下：在A,3两个

不同的地点投篮.先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得0分；再在3处投篮两次，如果连续两次投中得3分，

仅投中一次得1分，两次均没有投中得。分.小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p,在

2处投篮投中的概率为:•假设小明同学每次投篮的结果相互独立.

⑴若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为5,求p；

(2)若p=1,记小明同学一次比赛结束时的得分为X,求X的分布列及数列期望.

4

19.已知直四棱柱43。-4月G。中，底面ABCD为菱形，E为线段84上一点.

⑴证明：AE，，平面BC[D；

(2)若明=3,A3=2,ZBAO=60,则当点E在何处时，CE与平面所成角的正弦值为与？

20.已知双曲线C：4-4=1人>0)的离心率为毡，点尸(2,3)至其左右焦点工，巴的距离的差为2.

a~b23

⑴求双曲线C的方程；

(2)在直线x+2y+t=0上存在一点Q,过。作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求f的取值范围.

21.已知函数〃尤)=21nx+(a+3)龙,awR.

⑴讨论的单调性；

⑵对任意的％>0,/(力4炉]-1恒成立，求。的取值范围.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.

fx=2cos^+l

22.在直角坐标系中，曲线a的参数方程为2.A(。为参数)，以坐标原点为极点，以工轴的正半轴为极

[y=3sm”

jr

轴,建立极坐标系，曲线c°的极坐标方程为e=：(peR).

(1)写出G的直角坐标方程和c2的普通方程;

(2)设G，C2的交点为A,B，若\OA\>\OB\,<|GL4|-|OB|的值.

23.已知函数“无)=卜-1|+元+£.

⑴当a=-4时，求外力45的解集；

⑵若区间［0』包含于不等式〃龙)才》-3|的解集，求。取值范围.

2022-2023学年高三下学期开学摸底考试卷A(全国甲卷)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知复数z满足z(l-i)=|l-i|,贝”=()

A.1B.-+-iC.^+―iD.1+i

2222

C

【分析】根据复数模的计算以及复数的除法，即可求得答案.

【详解】由题意知复数z满足z(l-i)=|l-i|,

即z(l一===立+®，

1-i222

故选：C

2.2知集合A==,B={x|y=lgx),则AB=()

A.(0,+a?)B.[0,+8)C.[l,+oo)D.0

A

【分析】由函数值域和定义域的求法可求得集合AB,由交集定义可得结果.

【详解】x-l>0,y=V-X-1>0,即4=[。,+00)；

由对数函数定义域知：6=(0,内)；3=(0,y).

故选：A.

3.已知等差数列{4},前〃项和为S“，S30-S20=100,贝IJS5o=().

A.200B.300C.500D.1000

C

【分析】由等差数列求和公式及邑o-昆0=100可得2q+49d=20,则由整体法可求勒。.

【详解】设数列的首项为6,公差为"，

则530-S20=30%+15x29d-(20oj+10xl9rf)=100,

50x49

化简得2al+49d=20,S50=50q+——d=25(2%+49d)=500.

故选：C.

4.2021年，我国全年货物进出口总额391009亿元，比上年增长21.4%.其中，出口217348亿元，增长21.2%；进

口173661亿元，增长21.5%.货物进出口顺差43687亿元，比上年增加7344亿元.如图是我国2017—2021年货物进

出口总额统计图，则下面结论中不正确的是()

2017-2021年货物进出口总额

亿元

450000

400000

350000

30000()

250000

200000

150000

100000

50000

0

20172018201920202021

A.2020年的货物进出口总额322215亿元B.2020年的货物进出口顺差36343亿元

C.2017—2021年，货物进口总额逐年上升D.2017—2021年，货物出口总额逐年上升

C

【分析】根据2017—2021年货物进出口总额统计图，依次分析各个选项，即可得到答案.

【详解】对于A,2020年的货物进出口总额为142936+179279=322215亿元，故A正确;

对于B,2020年的货物进出口顺差为179279-142936=36343亿元，故B正确；

对于C,2020年的货物进口总额为142936亿元，相对于2019的货物进口总额143254亿元下降了，故C错误;

对于D,2017—2021年，货物出口总额逐年上升，故D正确.

故选：C

5.设a为锐角，且+=贝I]()

A.0,-^

C

【分析】根据诱导公式及二倍角的正弦公式化简，再由函数的性质可得解.

■、乂h-n..(兀।•।27r।./兀、,7C、1

【详解】sin—+asin-----\-a-sin(—+a)cos(—+a)=—,

16/I3j665

jr21

.•.sin(-+2a)=-<-,且a为锐角

兀C5兀兀L71c71

—F2a>—,a>一,目1.—F2a<兀,。<一,

36433

7171

aG

4,3

故选：C

6.如图是一个简单几何体的三视图，若加+〃=6,则该几何体体积的最大值为

俯视图

C.6D.3

D

【分析】首先由三视图，确定几何体，再利用基本不等式求体积的最大值.

【详解】根据三视图可知，几何体是如图所示的三棱锥A-3cD,四个顶点为长方体的顶点，则几何体的体积

V=-x—mnx2=-mn<-x[m+n^\=3,当且仅当用=几=3时，等号成立，所以几何体体积的最大值是3.

7.已知在平行四边形ABCD中，AB=m,AD=2,ZAZ>C=120°,BE=^BC,ABAE=18^贝1」以=（）

A.6B.4C.3D.2

B

【分析】利用向量加减法运算，对AB.AE进行分解，再利用数量积公式即可求解.

【详解】因为ABC。为平行四边形，所以AB=DC，BC=AD,又BE=3BC

贝ljAB.AE=DC•（AB+=DC{oC+=OC]oC+；A。]

—DC-^DC——DA^=|-^c|——DC-DA,又因为AB=m,AD—2,XADC=120°,贝1j

\DC\--DCDA-m2--x2xmxcosl20=m2+—m=18,因为相>0,解得根=4.

11222

故选：B

8.下列结论不正确的是（）

A.若事件A与8互斥，则尸（4号3）=尸（A）尸（3）

B.若事件A与8相互独立，贝I]尸（Ac3）=尸（A）尸（B）

c.如果X、y分别是两个独立的随机变量，那么。[x+y]=D[x]+o[y]

D.若随机变量y的方差=3,则以2丫+1]=12

A

【分析】由已知，选项A,根据事件A与8互斥，可知P（AB）=P（A）+P（fi）;选项B,根据事件A与8相互独

立，可知P（ACB）=P（A）尸（3）；选项c,根据xj分别是两个独立的随机变量，可得。[x+y]=r>[x]+o[y]；

选项D,由。因=3,可得。[2卜+1]=22*。3=12,即可作出判断.

【详解】由已知，

选项A,若事件A与B互斥，则P（AB）=P（A）+P（B）,故该选项错误；

选项B,若事件A与B相互独立，则P（AcB）=尸（A）P（B）,故该选项正确；

选项c,若X、y分别是两个独立的随机变量，那么。［x+y］=r>［x］+D［y］,故该选项正确；

选项D,若随机变量y的方差。［y］=3,贝1］。［2丫+1］=22*。［丫］=4*3=12,故该选项正确；

故选：A.

9.已知函数/（x）=cosx+ox2—若对于任意的实数无恒有/（X）>0,则实数。的取值范围是（）

A.［；，+8）111

B.(-,+℃))C.[--,+oo)D.(-,+oo)

244

A

【分析】由已知可将题目转化为COSX+改2_120,gPox2>l-cosx>0,显然。NO,运用参数分离和二倍角公式可

sin—

得2az—2-,求出右边函数的范围，即可得解.

X

、2,

【详解】对于任意的实数无恒有BPcosx+ox2-l>0,

即ox?>l-cosx>0，显然

当％=0时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑x>0的情况即可,

(.尤丫

G•2%sin—

2sm—pm。、

当%>0时，1-COSX2,BP2a>2

a>x

x2

2J

2

JQ

由x>0,则]=r>0,则题目转化为2az

令gQ)=sinf-f,r>0,求导g'«)=coslW。，

故函数g⑺在（0,+。）上单调递减，「♦g⑺<g（o）=o,即sin"，,

.*<1,即

<1,所以2a21,解得〃>Q

t

y2J

所以实数。的取值范围是［J+s）

故选：A

10.^QJ=log2a,2:logj,QJ=5)贝！Ja、人、c的大小关系是()

A.b<a<cB.c<b<a

C.a<b<cD.b<c<a

B

【分析】利用零点存在定理计算出。、b的取值范围，利用对数函数的单调性可得出c<0,即可得出。、6、。的

大小关系.

【详解】构造函数/（无）=1。82尤-（；],因为函数y=log2X、y=U在（0,+8）上均为增函数，

1Q

所以，函数/（X）为（o,+8）上的增函数，M/（l）=--<0,/（2）=->0,

因为/（。）=0，由零点存在定理可知1<°<2；

构造函数g（"）=2"Tog;，因为函数>=2晨>=T°g;在（0,+8）上均为增函数，

所以，函数g（x）为（0,+“）上的增函数，且8弓]=2:2<0,gg]=2ll>0,

因为g（b）=0，由零点存在定理可知g<6<g.

因为pl[=5,则c=l°gi5<l呜1=0,因此，

故选：B.

11.已知圆M:d+y2-6x=0,过点（1,2）的直线4,心…，M〃eN*）被该圆M截得的弦长依次为生,4,…，册,

若为,…，凡是公差为的等差数列，则〃的最大值是（）

A.10B.11C.12D.13

D

【分析】求出弦长的最小和最大值，根据等差数列的关系即可求出〃的最大值

【详解】解：由题意

在圆M:x2-^-y2-6x=0中

M:（x-3）2+y2=9

・・・圆心M（3,0）,半径为3,

过点A（l,2）的直线4,…，/N*）被该圆M截得的弦长依次为％,外,…，an

过圆心作弦的垂线，交圆于，石两点，如下图所示：

由几何知识得，当时，

此时,

直线。E的解析式为：y=-尤+3

直线3c的解析式为：y=x+l

\AM\=-^2^==2y/2

圆心到弦BC所在直线的距离:

|AB|=^32-（2A/2）2=1

A|BC|=2|AB|=2,

，最短弦长4=2,

生，…，。“是公差为;的等差数列

；•设%=2+*_l）=/+g

..•最长弦长为6

・•Q”=-nH—=6

33

解得：〃=13

故选：D.

12.已知点A是椭圆。+丁=1的上顶点，小为分别是椭圆左右焦点，直线＞=办+仪。＞0）将三角形A片与分割为

面积相等两部分，贝防的取值范围是（）

A.（0,1）B.1-*,；

C

B

【分析】由题意，A（0,l）,片（一1,0）,乙（1,0）,先求出直线y=ax+b（a＞0）与x轴的交点为M[-，o],由-£＜。，

可得点M在射线。月上.再求出直线＞="+6（«＞0）和4g的交点N的坐标，分三种情况讨论：①若点M和点片

重合，求得。=；；②若点M在点。和点G之间，求得③若点M在点耳的左侧，求得1一日＜。＜；.求

并集即可得b的取值范围.

【详解】解：因为点A是椭圆7+9=1的上顶点，耳鸟分别是椭圆左右焦点，

所以4=2,b2=l,从而有1,

所以4(0,1),耳(-1,0),区(1,0),

由题意，三角形居的面积为;•耳巴•。4=1,

设直线y=ox+6(。>0)与x轴的交点为由直线y=or+b(«>0)将三角形A耳耳分割为面积相等的两

h

部分，可得>>0,所以-2<0,故点M在射线。斗上.

a

[y=ax+b(\-ba+b\

设直线产QX+0和AB的交点为N,贝岫,1可得点N的坐标为---.

[x+y=l+la+lj

①若点M和点片重合，如图：

②若点M在点。和点耳之间，如图:

由题意可得三角形MWg的面积等于;，即:讶・6=1，

即;+=可得>0,求得

2aja+121-2/72

故-有1,1

③若点M在点耳的左侧,

设直线y=ax+b^AF,的交点为P,则由卜求得点P的坐标为(土二,幺=],

此时，由题意可得，三角形APN的面积等于即1(1-3%-辱|=!，

/22

即〈(1-。)~—7-~7，化简可得2(1-O'=\a2-11.

由于此时；>b>a>0,所以2(1-匕)2=,2-1|=1-02.

两边开方可得0(1-6)=&-片<1,所以〈专，化简可得8>1-g,

故有1-也<6」.

23

(近11

综上，匕的取值范围应是1-*;.

故选：B.

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

13.与函数〃x)=e3'-l在点(0,0)处具有相同切线的一个函数的解析式是.

g(x)=3e，-3(答案不唯一)

【分析】先求出〃x)=e3-l在点(0,0)处的切线为y=3x,再构造g(x)=3e*-3,经检验满足要求.

【详解】r(x)=3e3，，故/，(0)=3e°=3,

则函数〃x)=e3，l在点(0,0)处的切线为y=3x,

不妨令g(x)=3e'—3,g(0)=3e°-3=0,故(0,0)在g(x)=3e'-3上，

g'(x)=3e，，故g<0)=3e°=3,则函数g(x)=3e，-3在点(0,0)处的切线为y=3x,满足要求.

故答案为：g(x)=3e,-3

14.杭州亚运会启动志愿者招募工作，甲、乙、丙、丁等4人报名参加了A8,C三个项目的志愿者工作，每个项目

需1名或2名志愿者，若甲不能参加A项目，乙不能参加8、C项目，那么共有种不同的志愿者选拔方案.

10

【分析】由题意可得乙一定参加A项目，再分A项目只有一个人和A项目有2人两种情况讨论，再根据分组分配问

题即可得出答案按.

【详解】解：由题意可得乙一定参加A项目，

若A项目只有一个人时，即为乙，

则先将甲、丙、丁分为两组，有C；种，

再将两组分配到民C两个项目，有A；种，

则有C%A；=6种不同的志愿者选拔方案，

若A项目有2人时，又甲不能参加A项目，

则只能从丙、丁中选1人和乙组队到A项目，有C；种，

再将剩下的2人分配到昆C两个项目，有A；种，

则有=4种不同的志愿者选拔方案，

综上，共有6+4=10种不同的志愿者选拔方案.

故答案为：10.

15.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c,边的中点为。，线段AD的中点为E,且4曰2。=/,

tanB

则

tanC

5

【分析】由向量的代数运算和数量积公式，可得从-02=4/,再利用同角三角函数的关系及正余弦定理角化边,

,tanBa2+b~-c2

由----=-5~~5——7计算即可.

tanCa+c-b"

【详解】BC边的中点为D,线段AO的中点为E,••.AE=jAr>=；（AB+AC）,5LBC=AC-AB，

：.AE-BC=^AB+AC）.（AC—A3）=；（AC、=：伊-c2）=a2,Bpb2-c2=4a2,

由同角三角函数的关系及正余弦定理，有：

22

sinBa-+Z?2-c

2ab/+〃一,2〃2+4/5

tanB_cos_sinBcosC_b

tanCsin。sinCcosBca2+c2-b2a2+c2-b2a2-4a23'

cosC2ac

故答案为：

16.四棱台的上底面是边长为2的正方形，下底面是边长为3的正方形，四条侧棱的长均为则该四棱台的体

积为.

【分析】如图，过4作3/18D,垂足为£,求出怛目、忸闽，利用相似三角形的性质求出户。力,结合锥体的体

积公式分别求出四棱锥尸瓦G2和P-ABCD的体积即可.

【详解】如图，该四棱台为A8C。-,

p

四棱锥尸―ABCD的高产。交3。于。，交8a于。一

由题意知，怛。|=3日,国0|=2四,过B1作B1E1BD,垂足为E,

则忸目="二皿=变，又忸叫=&,所以忸田=，忸耳『一忸同2=通,

在四棱锥―458中,瑞喘愕=*

所以斑=周=£黑°广热而|。。卜国同=等，

解得|pq|=",

所以四棱锥尸一ABCQ的体积为K〜他=\sm/\pox\=^,

四棱锥P-ABCD的体积为VP_ABCD=|SABCD.（|POj+|OQ|）=半，

所以四棱台ABC。-4月£。的体积为LTBS-V-向=乎一半=竽.

故答案为：唔

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须

作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17.已知数列2+2=31og["（〃eN*）,数列,“｝满足g=风心.

⑴求数列也｝的通项公式;

⑵求数列｛g｝的前”项和斗.

⑴包=3〃一2

4+3〃

⑵J=4一

【分析】（1）首先求l°g;4=",再代入即可求数列圾｝的通项公式;

（2）由（1）可知q,=a“也=（3〃-2）[g],再利用错位相减法求和.

【详解】（1）

logy”=n,

2

又6“+2=31ogy“=3w

2

：.bn=3n-2,

（2）由（1）知＞=3”2,

.应=4）+4x。+7x（；）++（37）义出①,

；SLlxgj+4xg；+7xg：++（3〃一5）xg[+（3”一2）x，["②，

故①-②得3小+心[+3x]J+3xg）++3xg）-（3〃-2）x]J

=2一7

2n+1

4+3九

•••\

T

18.某校为减轻暑假家长的负担，开展暑期托管，每天下午开设一节投篮趣味比赛.比赛规则如下：在A,B两个

不同的地点投篮.先在A处投篮一次，投中得2分，没投中得。分；再在8处投篮两次，如果连续两次投中得3分，

仅投中一次得1分，两次均没有投中得。分.小明同学准备参赛，他目前的水平是在A处投篮投中的概率为p,在

B处投篮投中的概率为（.假设小明同学每次投篮的结果相互独立.

9

⑴若小明同学完成一次比赛，恰好投中2次的概率为三，求p；

3

（2）若p=z，记小明同学一次比赛结束时的得分为X,求X的分布列及数列期望.

3

⑴P=W

⑵分布列见解析；E（X）=3.06

【分析】（1）将小明同学恰好投中2次分成三种情况，分别求得概率相加与已知概率相等构造等式，解方程即可求

出P的值；

（2）首先由题意可得得分X的可能取值分别为5,3,2,1,0,分别计算每种情况的概率即可求得X的分布列，

最后根据数学期望的计算公式求解X的数学期望即可.

【详解】（1）设小明在A处投篮为事件A,在3处投篮分别为与，鸟

已知小明同学恰好投中2次，分三种情况

A中鸟中鸟不中；

A中与不中层中;

A不中B］中中;

39933393

二其概率为：p.1.三+p.三.1+(1一7)w=w,解得：P=%.

JJJJJJ/UT-

(2)由题意可得得分X的可能取值分别为5,3,2,1,0

p(X=5)=-x-x-=—；

'7455100

D/VQ133332323459

1745545545510020

八2八322123

'745510025

p(x=i)="2+L。。j

v745545510025

P(X=0)=-x-x-=—=—.

'745510025

综上所述可得X的分布列为

X53210

279331

P

10020252525

口/V、＜27245°12112c43062”

石(X)=5x------F3x------F2x------F1x------F0x----=-----=3.06

,)100100100100100100

19.已知直四棱柱ABC。-44GA中，底面A8CD为菱形，E为线段3Q上一点.

4

A

(1)证明：AE平面5G。；

(2)^M=3MB=2,ZBAD=60,则当点E在何处时，CE与平面g。所成角的正弦值为苧？

⑴证明见解析；

⑵详见解析；

【分析】(1)先证明平面A耳2平面BCQ,进而证明AE，平面BCQ；

(2)以。为原点建立空间直角坐标系，利用向量表示CE与平面所成角的正弦值为牛，进而求得点E位置为

13

44

【详解】(1)直四棱柱ABCO-ABiG。中

四边形为平行四边形，则A4//CQ

又AgtZ平面GDu平面BGD,贝1]44〃平面BCQ

四边形ABGR为平行四边形，则明//g

又ARa平面BCQ,2C|U平面BCQ,则AR〃平面BCQ

又AQu平面ABQ,A旦u平面ABR,AD^AB^A

则平面「平面BCQ，又AEu平面4月2

则AE,平面2CQ

(2)取中点M,连接DM

又直四棱柱A3CO-A耳GA中，底面A2CD为菱形，ZBAD=60

则DM、DC、£)2两两垂直，

以。为原点，分别以。/、DC、。"所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系

又AAj=3,AB=2,

则A(V3-1,0),B(A/3,1,0),C(0,2,0),D(0,0,0),。(0,0,3),耳(疯1,3),百(0,2,3)

则丽=(百,1,0),DC,=(0,2,3),。4=(6,1,0)

设E(尤,y,z),令RE=AD]4(0W2W1),则(x,y,z-3)=2(石,1,0)

则x=7^l,y=/l,z=3,则E(V§2,2,3),CE=(V32,2-2,3),

设平面5CQ一个法向量为〃=(九九/),

1

贝1]£>2力=0，DCxn=Q),贝

令m=#>,则〃=—3,t=2,则〃=(^3,-3,2)

设CE与平面3G。所成角为e

32-3(2-2)+66

则sin0=cos(CE,n

/分+(4-2)2+32々3+9+47

13

解之得人]或右"

则当RE=；。闰或。流=：。耳时，CE与平面BCQ所成角的正弦值为!

20.已知双曲线C：£_斗=1">0,匕>。）的离心率为迫，点尸（2,3）到其左右焦点耳，总的距离的差为2.

a~b23

⑴求双曲线C的方程；

⑵在直线x+2y+f=0上存在一点Q,过。作两条相互垂直的直线均与双曲线C相切，求才的取值范围.

⑴=1

（2）［-厢，啊

【分析】（1）根据双曲线离心率以及点尸到左、右焦点的距离之差为2,可求得a,b,c,进而求得双曲线C的标

准方程；（2）根据过点。作两条相互垂直的直线与双曲线C相切，讨论斜率不存在和斜率存在两种情况，①若其中

一条切线的斜率不存在,则另一条切线的斜率为0,则不满足条件;②若切线的斜率存在,则设其斜率为％,,

--_y2=1

从而得到切线方程，再根据切线与双曲线C相切，联立方程组3）,得A=0,进而可得关于左的一元

y=k（x-x0）+y0

二次方程，再根据两切线互相垂直有匕？网-1,即可得到需+$=2,再结合。（如为）在直线x+2y+f=0上，推

|0+0+r|

出d」/,"也r,求解即可得到f的取值范围.

V1+22

【详解】（1）依题意有双曲线的左、右焦点为M-c,0）,月（c,0）,

则。2=°2-。2=4—3=1,

所以双曲线C的方程为、->2=1；

（2）①若其中一条切线的斜率不存在,则另一条切线的斜率为0,则不满足条件;

②若切线的斜率存在，则设其斜率为左，则切线方程为y=Mxr0）+%,

匚2=1

联立’3，，消y并整理得（1—3发2卜2+6左（而0—%）彳一3左飞+6卮（）%—3yd—3=0,

、>=碎一/）+%

则A=[6左（筑一%）丁-4x（1一3k2卜（-3%飞+6fct0%-3y；-3）=0,

化简得12（5-%J-（36Z:2-12）=0,即（线-%丫_（3公-1）=0,

化成关于k的一元二次方程（君一3*2-2xQy0k+^+1=0,

设该方程的两根为左，右，即为两切线的斜率，所以《论==-1,即片+y；=2,

又点。（x。,%）在直线x+2y+r=。上，所以直线x+2y+f=0与圆/+产=2有交点,

所以〃=嘿竺，40,即，《可，即一幅4/4而，

V1+22

故f的取值范围为卜&6,加].

【点睛】直线与圆锥曲线的位置问题，常见思路是先讨论直线的斜率是否存在，再联立直线与圆锥曲线，必要时根

据A的情况得出相应的关系式，再根据题目中的其他条件，可求得参数的值或者参数之间的关系式，最后求解即可.

21.已知函数/(力=2111%+(0+3卜,4€口.

⑴讨论“X)的单调性；

⑵对任意的X>o,/(X)wxV-1恒成立，求。的取值范围.

(1)答案见解析.

⑵3，-2]

【分析】(1)由题知J(x)=2+(13人,进而分。+320和。+3<0两种情况讨论求解即可；

(2)由题知x>0,a+3V尤/-』-圆吧恒成立，进而令g(x)=-21nx-1=*+'-2In无一1,*>0,再根据

e-x+l,当且仅当尤=0时等号成立得g(x)21,进而得a+3Vl即可得答案.

【详解】(1)解：函数的定义域为(0,+功，尸(x)=2+a+3=2+S+3)x,

XX

当a+320时，即3时，制勾>。在(0,+动上恒成立，〃尤)在(0,+“)上单调递增，

2

当a+3<0时，即av-3时，令/'(九)=。得％=-,

所以，当时，f>0,“可单调递增；

当时，/")<°，，(x)单调递减；

综上，当时，在(0,+力)上单调递增；当a<-3时,在上单调递增，在1-总,上单

调递减.

(2)解：因为对任意的％>0,/(%)4X2y一1恒成立，即无>0,2111%+(〃+3)%412d一1恒成立，

所以彳>0,。+3(打，一,一次恒成立,

2

人/\xQX_2In%—1

令g(x)二------------x>0,

x2ex-2Inx-1d-21nx-16小—2inx-1

因为g(%)=x>0,

xXX

^/z(x)=ex—x—1,则”(x)=e"-1,

所以，当X£(9,O)时，"(x)<0,M%)单调递减，当%£(0,+oo)时，”(x)>0,M%)单调递增，

所以，/z(x)>/z(o)=o,即e-%+1,当且仅当x=0时等号成立，

所以，e1M；2+x>lnx2+x+l=21n.r+x+l，当且仅当21nx+x=0时等号成立,

2

令《x)=21nx+x,贝此'(x)=—+1>0恒成立,

所以，（x）=21nx+x在（0,+