第4课时 余弦定理、正弦定理的综合应用 同步练习 高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.4.3余弦定理、正弦定理第4课时余弦定理、正弦定理的综合应用一、基础巩固1.在△ABC中,若sinAa=cosCA.30° B.45° C.60° D.90°2.在△ABC中,已知b+c=2+1,C=45°,B=30°,则()A.b=1,c=2 B.b=2,c=1C.b=22,c=1+22 D.b=1+223.在△ABC中,已知a=3,b=5,sinA=13,则sinB=(A.15 B.59 C.534.在△ABC中,已知角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且a=3bsinA,则sinB=()A.3 B.33 C.63 D.5.在△ABC中,已知A=60°,a=13,则a+b+A.833 B.2393 C.266.下列判断三角形解的情况中,正确的是(填序号).

①a=8,b=16,A=30°,有两解;②b=18,c=20,B=60°,有一解;③a=15,b=2,A=90°,无解;④a=40,b=30,A=120°,有一解.7.在△ABC中,A=60°,AC=4,BC=23,则△ABC的面积等于.

8.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=3,b=2,A=60°,则角B=,△ABC的面积是.

9.在△ABC中,已知c=10,cosAcosB=ba=4310.如图所示,在四边形ABCD中,D=2B,且AD=1,CD=3,cosB=33(1)求△ACD的面积;(2)若BC=23,求AB的长.二、能力提升11.(多选题)在△ABC中,已知A=π3,BC=3,则下列选项中,可能是△ABC的两边AC+AB的取值的是(A.3 B.4 C.5 D.612.在△ABC中,已知角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(3,-1),n=(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,则角A,B的大小分别为()A.π6,πC.π3,π13.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且3acosC=4csinA,已知△ABC的面积等于10,b=4,则a的值为()A.233 B.283 C.26314.已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,ba+c+sinCsinA+sinB=1,AB·A.3 B.2 C.23 D.4315.在△ABC中,若A=120°,AB=5,BC=7,则cosC=,sinB=.16.在Rt△ABC中,已知C=π2,且A,B,C所对的边a,b,c满足a+b=cx,则实数x的取值范围是17.在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,acosC+ccosA=bsinB,b=2c.(1)求角C的大小;(2)若点D与点B在AC两侧,且满足AD=2,AB=1,求平面四边形ABCD面积的最大值.三、拓展创新18.在△ABC中,a+b=11,再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知,求:(1)a的值;(2)sinC和△ABC的面积.条件①:c=7,cosA=-17条件②:cosA=18,cosB=9注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分.参考答案一、基础巩固1.答案:B解析:由正弦定理得sinA则cosC=sinC,即C=45°.2.答案:A解析:∵b+csinB+sinC=b3.答案:B解析:在△ABC中,由正弦定理asinA=b4.答案:B解析:因为a=2RsinA,b=2RsinB(R为△ABC外接圆的半径),又a=3bsinA,所以sinA=3sinBsinA,故sinB=335.答案:B解析:由a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC(R为△ABC外接圆的半径),得a+b+csin6.答案:④解析:①中a=bsinA,有一解;②中csinB<b<c,有两解;③中A=90°且a>b,有一解;④中a>b且A=120°,有一解.综上,④正确.7.答案:23解析:在△ABC中,根据正弦定理,得ACsinB=BCsinA因为0°<B<120°,所以B=90°,所以C=30°,所以△ABC的面积S△ABC=12·AC·BC·sinC=238.答案:45°3+解析:由正弦定理asinA=b∵b<a,∴B<A,∴B=45°.∴C=180°-A-B=75°,∴S△ABC=12absinC=19.解:由正弦定理知sinBsinA=即sinAcosA=sinBcosB,∴sin2A=sin2B.又a≠b且A,B∈(0,π),∴2A=π-2B,即A+B=π2∴△ABC是直角三角形,且C=π2由a2+b2=10∴内切圆的半径r=a+b-10.解:(1)因为D=2B,cosB=33所以cosD=cos2B=2cos2B-1=-13又D∈(0,π),所以sinD=1-因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积S=12AD·CD·sinD=12×1×3×(2)在△ACD中,因为AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cosD=12,所以AC=23.又BC=23,所以∠B=∠CAB.由正弦定理,得ACsin即23sinB=二、能力提升11.答案:BCD解析:∵A=π3,∴B+C=2∴AC+AB=BCsinA(sinB+sinC)=332[sin=2332sinB∵B∈0,2π3,∴sinB+π6∈1212.答案:C解析:∵m⊥n,∴3cosA-sinA=0,∴tanA=3,又A∈(0,π),∴A=π3由正弦定理及已知条件,得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,∴sin(A+B)=sin2C,即sinC=1,∴C=π2,B=π13.答案:D解析:∵3acosC=4csinA,∴由正弦定理可得3sinAcosC=4sinCsinA,∵sinA≠0,∴3cosC=4sinC,即cosC=43sinC∴sin2C+cos2C=sin2C+169sin2C=259sin2解得sinC=35或sinC=-35∵b=4,△ABC的面积S=10=12absinC=12×a×4×35,∴14.答案:C解析:由已知及正弦定理,得ba+c+ca+b=1,化简得b2+c2-a∵0°<A<180°,∴A=60°,∴AB·AC=bccos60°=4,∴∴S△ABC=12bcsinA=12×8×32=15.答案:11解析:由正弦定理,得ABsin即sinC=AB·由题意可知C为锐角,∴cosC=1-∴sinB=sin(180°-120°-C)=sin(60°-C)=sin60°·cosC-cos60°sinC=3316.答案:(1,2]解析:∵a+b=cx,C=π2,∴x=a+bc=sinA+sinB∵A∈0,π2,∴∴sinA+π4∈22,117.解:(1)因为acosC+ccosA=bsinB,所以由正弦定理,知sinAcosC+sinCcosA=sin2B,即sin(A+C)=sin2B.又A+B+C=π,所以sinB=1,所以B=π2因为b=2c,所以sinB=2sinC,得sinC=12又C∈0,π2,所以(2)因为AB=1,∠BCA=π6,B=π2,所以AC=2,BC=设∠DAC=α,则四边形ABCD的面积S=12×1×3+12×2×2×sinα=32+2sin当sinα=1,即α=π2故四边形ABCD面积的最大值为2+32三、拓展创新18.解:选条件①.(1)由已知及余弦定理,得a2=(11-a)2+49-2(11-a)×7×(-17),∴a=8(2)∵cosA=-17,A∈(0,π),∴sinA=4由正弦定理asinA=c由(1)知b=11-a=3,∴S△ABC=12absinC=12×8×3×32=