抚州市2024届八年级数学第二学期期末综合测试试题含解析

抚州市重点中学2024届八年级数学第二学期期末综合测试试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）

1.如图，等边三角形ABC的边长为4,点。是4ABC的中心，NR9G=120，NEOG的两边。尸,OG与AB,

分别相交于。,E,NEOG绕。点顺时针旋转时，下列四个结论正确的个数是（）

®OD=OE-,②SAODE=S&BDE；③S四边形"BE=g有；④AfiDE周长最小值是9.

A.1个B.2个C.3个D.4个

2.下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（）

2x

A.y=x2B.y=—D・y

xF

3.如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c,以直角三角形的三边为边（或直径），分别向外作等边三角形、

半圆、等腰直角三角形和正方形。那么，这四个图形中，其面积，、S?、身满足$+S2=S3的个数是（）

4.关于X的一元二次方程x2+ax-1=0的根的情况是（）

A.没有实数根B.只有一个实数根

C.有两个相等的实数根D.有两个不相等的实数根

5.下列图形中，第（1）个图形由4条线段组成,第（2）个图形由10条线段组成，第（3）个图形由18条线段组成,

第（6）个图形由（）条线段组成.

口

(1)

A.24

6.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）

A.3,4,5B.2,3,4C.4,6,7D.5,11,12

7.某商品的标价比成本价高m%,现根据市场需要，该商品需降价n%出售.为了使获利不低于10%,n应满足（）

100m100/n-l000

A.n,,-----------B.0,------------------

100-m100+m

m-10100m

C.n„---------D.%-----------

1+m100+m

8.如图，函数丫=1«和y=-；x+4的图象相交于点A（3,m）则不等式kxN-5x+4的解集为（）

A.x>3B.x<3C.x<2D.x>2

9.已知三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2,则这三条线段首尾顺次相接组成的三角形的形状是（）

A.等腰三角形B.等边三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

io.关于的一次函数y=^+左的图象可能是（）

B.

c.

11.下列说法中：①样本中的方差越小，波动越小，说明样本稳定性越好；②一组数据的众数只有一个；③一组数据

的中位数一定是这组数据中的某一个数据;④数据3,3,3,3,2,5中的众数为4；⑤一组数据的方差一定是正数.其

中正确的个数为（）

12.使分式有意义的x的取值范围是（

A.x>lB.x<lD.x>l

二、填空题（每题4分，共24分）

13.已知a2-2ab+b2=6,贝!）a-b=.

14.如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到长方形AB'CD'的位置，旋转角为a（0°<a<90°）,若N1

=125°,则Na的大小是______度.

15.如图，E是矩形ABC。的对角线的交点，点尸在边AE上，KDF^DC,若NAO尸=25。，则NECZ）=—°.

BC

16.如图，已知平行四边形ABC。，NA=45°,"是AD边的中点，N是A3边上一动点，将线段绕点以逆

时针旋转90。至W,连接NB,N'C,AB=4,AD=20，则MB+N'C的最小值是—.

17.如图，直线，=依+/左＜0）经过点4（3,1）,当日+》＜gx时，x的取值范围为

18.如图，正方形ABC。中,AB=3,点E在边CD上，且CE=2DE；将ADE沿AE对折至八4正,延长Eb交边

9

于点G,连结AG、CF,下列结论：①.BG=GC；②.AGCF.③.S.iFGC=:；.其中，正确的结论有

三、解答题（共78分）

19.（8分）（1）发现规律:

特例3：

特例4：（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）归纳猜想：

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：:

（3）证明猜想：

（4）应用规律：

①化简：J2019+-^―X74042=_____;

V2021

（m,n均为正整数），则m+n的值为

20.（8分）某市开展“环境治理留住青山绿水，绿色发展赢得金山银山”活动，对其周边的环境污染进行综合治理.2018

年对4、3两区的空气量进行监测，将当月每天的空气污染指数（简称：APZ）的平均值作为每个月的空气污染指数,

并将2018年空气污染指数绘制如下表.据了解，空气污染指数W50时，空气质量为优：50〈空气污染指数K100时,

空气质量为良：100〈空气污染指数＜150时，空气质量为轻微污染.

月份

123456789101112

地区

A区1151088510095508070505010045

3区1059590809060908560709045

(D请求出A、3两区的空气污染指数的平均数；

(2)请从平均数、众数、中位数、方差等统计量中选两个对A区、3区的空气质量进行有效对比，说明哪一个地区

的环境状况较好.

21.(8分)如图，在nABCD中，对角线AC,BD交于点O,点E,点F在BD上，且BE=DF连接AE并延长，交

BC于点G,连接CF并延长，交AD于点H.

(1)求证：AAOE^ACOF；

(2)若AC平分NHAG,求证：四边形AGCH是菱形.

学校要购买A,B两种型号的足球，按体育器材门市足球销售价格(单价)计算：若买2个A型足球和3个B型足球,

则要花费370元，若买3个A型足球和1个B型足球，则要花费240元.

(1)求A,B两种型号足球的销售价格各是多少元/个？

(2)学校拟向该体育器材门市购买A,B两种型号的足球共20个，且费用不低于1300元，不超过1500元，则有哪

几种购球方案？

23.(10分)如图，，A3。的对角线AC与80交于点O,ACLAB.若A5=6cm,AD=10cm,试求03的长.

24.(10分)某经销商从市场得知如下信息:

某品牌空调扇某品牌电风扇

进价（元/台）700100

售价（元/台）900160

他现有40000元资金可用来一次性购进该品牌空调扇和电风扇共100台，设该经销商购进空调扇x台，空调扇和电风

扇全部销售完后获得利润为y元.

（1）求y关于％的函数解析式；

（2）利用函数性质，说明该经销商如何进货可获利最大？最大利润是多少元？

a9/7—4—

25.（12分）先化简，再求值：------+（1-^^））,其中〃=仃-2.

"+4。+4矿一4

26.折叠矩形A5CZ>,使点。落在5c边上的点尸处.

(2)若OC=8,CF=4,求矩形A3C£＞的面积S.

参考答案

一、选择题（每题4分，共48分）

1、B

【解题分析】

首先连接OB、OC,如图，利用等边三角形的性质得NABO=NOBC=NOCB=30。，再证明NBOD=NCOE,于是可

判断ABOD电/IXCOE,利用全等三角形的对应边相等可对①进行判断；再利用S.B”=S8K得到四边形ODBE的面

2

积=！SABC，则可对③进行判断，然后作OHLDE,则DH=EH，计算出SODEOE,利用SAODE随OE

34

的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断，

接下来由ABDE的周长=BC+DE=4+DE=4+百OE,结合垂线段最短，当OELBC时，OE最小，4BDE的周长最小，

计算出此时OE的长则可对④进行判断.

【题目详解】

连接OB,OC,如图.

VAABC为等边三角形,

:.ZABC=ZACB=60°.

•.,点O是AABC的中心，

.*.OB=OC,OB.OC分别平分NABC和NACB,

ZABO=ZOBC=ZOCB=30°,

.,.ZBOC=120°,BPZBOE+ZCOE=120°,

而NDOE=120°,即NBOE+NBOD=120°,

/.ZBOD=ZCOE.

在ABOD和ACOE中，ZBOD=ZCOE,BO=CO,ZOBD=ZOCE,

/.△BOD^ACOE,

；.BD=CE,OD=OE,所以①正确；

,•SBOD=S»COE，

2

，四边形ODBE的面积=S0BC=7sABC=^—x4二正,所以③正确;

3343

作OHJ_DE,如图，贝（JDH=EH,

VZDOE=120°,

.\ZODE=ZOEH=30°.

.*.OH=—OE,HE=J3OH=^OE,

22

；.DE=GOE,

/.SAODE=—•--OE-J3OE=—OE2,

224

即SODE随OE的变化而变化，而四边形ODBE的面积为定值,

••sODErSBDE，所以②错误；

VBD=CE,

:.ABDE的周K=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+6OE,

当OE_LBC时，OE最小，ABDE的周长最小，此时OE=2叵，

3

.1△BDE周长的最小值=4+2=6,所以④错误.

故选B.

【题目点拨】

此题考查旋转的性质、等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是牢记旋转前、后的图形全等.

2、C

【解题分析】

试题解析：A、y是x的二次函数，故A选项错误；

B、y是x的反比例函数，故B选项错误；

C、y是x的正比例函数，故C选项正确；

D、y是x的一次函数，故D选项错误；

故选C.

考点：正比例函数的定义.

3、D

【解题分析】

分析：利用直角^ABC的边长就可以表示出等边三角形Si、S2、S3的大小，满足勾股定理；利用圆的面积公式表示出

Sl、S2、S3,然后根据勾股定理即可解答；在勾股定理的基础上结合等腰直角三角形的面积公式，运用等式的性质即

可得出结论；分别用AB、BC和AC表示出Si、Sz、S3,然后根据AB2=AC?+BC2即可得出Si、S2>S3的关系.

详解：设直角三角形ABC的三边AB、CA、BC的长分别为a、b、c,则c2=a?+b2.

2

第一幅图：•••$3=且自SF旦旨,S2=—Z»

444

二Si+Sz=—3+方)=且c=S3；

44

第二幅图：由圆的面积计算公式知：S3=5c2,S=-TZ-AC2,S!=-7VAB2,

8288

222

贝(ISi+S2=-7TAB+-7rAe2=1^-(AB+AC)=-兀BC?=S3;

8888

第三幅图：由等腰直角三角形的性质可得：S=-c2,S=-b2,Si=-a2,

34244

则83+82=—(a2+b2)=—c2=Si.

44

第四幅图：因为三个四边形都是正方形则：

222222

.*.S3=BC=C,S2=AC=b,,Si=AB=a,

S3+S2=a2+b2=c2=Si.

故选：D.

点睛：此题主要考查了三角形、正方形、圆的面积计算以及勾股定理的应用，解题关键是熟练掌握勾股定理的公式.

4、D

【解题分析】

.•.方程有两个不相等的实数根.故选D.

5、D

【解题分析】

由题意可知：第一个图形有4条线段组成，第二个图形有4+6=10条线段组成，第三个图形有4+6+8=18条线段组成，

第四个图形有4+6+8+10=28条线段组成…由此得出，第6个图形4+6+8+10+12+14=54条线段组成，由此得出答案即可.

【题目详解】

解：•.•第一个图形有4条线段组成，

第二个图形有4+6=10条线段组成，

第三个图形有4+6+8=18条线段组成，

第四个图形有4+6+8+10=28条线段组成，

由此得出，

...第6个图形4+6+8+10+12+14=54条线段组成，

故选：D.

【题目点拨】

此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字的运算规律，利用规律解决问题是解答此题的关键.

6、A

【解题分析】

利用勾股定理的逆定理：如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.最长边所

对的角为直角.由此判定即可.

【题目详解】

A、•.•32+42=52,.•.三条线段能组成直角三角形，故A选项正确；

B、•••22+32*2,.•.三条线段不能组成直角三角形，故B选项错误；

C、•••42+62k2,.•.三条线段不能组成直角三角形，故C选项错误；

D、•••52+112丹22,.•.三条线段不能组成直角三角形，故D选项错误；

故选A.

【题目点拨】

考查勾股定理的逆定理，如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形.

7、B

【解题分析】

根据利润=售价-进价，列出出不等式，求解即可.

【题目详解】

设成本为a元,由题意可得：«(1+m%)(l-n°/o)-a>10%a,

则(1+m%)(l-«%)-l>10%,

rviri

去括号得：1—“%+7〃％---------1>10%,

10000

整理得：100〃+wnW100m—1000,

故选B.

【题目点拨】

考查一元一次不等式的应用，熟练掌握利润=售价-进价是列不等式求解的关键.

8、A

【解题分析】

将点A(m,3)代入y=-Jx+4得,--m+4=3,

解得，m=2,

所以点A的坐标为(2,3),

由图可知，不等式kx》-；x+4的解集为x>2.

故选D

【题目点拨】

本题考查了一次函数和不等式(组)的关系以及数形结合思想的应用.解决此类问题的关键是仔细观察图形，注意几个

关键点(交点、原点等)，做到数形结合.

9、C

【解题分析】

根据勾股定理的逆定理判断即可.

【题目详解】

•.•三条线段长a、b、c满足a2=c2-b2,

:.a2+b2=c2,

即三角形是直角三角形，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理的逆定理、等腰三角形的判定、等边三角形的判定、等腰直角三角形等知识点，能熟记勾股定理

的逆定理的内容是解此题的关键.

10、B

【解题分析】

分析:根据一次函数图象与系数的关系逐项分析即可，对于尸丘+方，当b>0,广丘+6的图象在一、二、三象限;

当4>0,b<0,方的图象在一、三、四象限；当左<0,b>0,y=fcr+Z>的图象在一、二、四象限；当

左V0,6<0,广发x+Z>的图象在二、三、四象限.

详解:A.由函数的增减性得由图像与y轴的交点得左>0,二者矛盾，故不符合题意；

B.由函数的增减性得4>0,由图像与y轴的交点得4>0,二者一致，故符合题意；

C.由函数的增减性得妙0,由图像与y轴的交点得上0,二者矛盾，故不符合题意；

D.由函数的增减性得《>0,由图像与y轴的交点得左=0,二者矛盾，故不符合题意；

故选B.

点睛：本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键.

11、B

【解题分析】

①样本的方差越小，波动性越小，说明样本稳定性越好，故①正确；

②一组数据的众数不只有一个，有时有好几个，故②错误；

③一组数据的中位数不一定是这组数据中的某一数，若这组数据有偶数个即是将一组数据从小到大重新排列后最中间

两个数的平均数，故③错误；

④数据：2,2,3,2,2,5的众数为2,故④错误；

⑤一组数据的方差不一定是正数，也可能为零，故⑤错误.

所以说法正确的个数是1个.

故选B.

12、C

【解题分析】

分式的分母不为零，即x-1丹.

【题目详解】

X

解：当分母X“再，即X丹时，分式一；有意义;

故选：C.

【题目点拨】

从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义O分母为零；

（2）分式有意义0分母不为零；

（3）分式值为零o分子为零且分母不为零.

二、填空题（每题4分，共24分）

13、二R

【解题分析】

由题意得（a-b）2="6,"则。一/?=二Jg

14、35.

【解题分析】

利用四边形内角和得到NBAD"从而得到Na

【题目详解】

如图，由矩形性质得到NBAD，+Na=90°；因为N2=N1=125°,所以NBAD'=180°-Z2=55°,所以

Za=90°-55°=35°,故填35

【题目点拨】

本题主要考查矩形性质和四边形内角和性质等知识点，本题关键在于找到N2与/BAD互补

15、17.1.

【解题分析】

根据矩形的性质由NAOF求出ZCDF,再由等腰三角形的性质得出NEC。即可.

【题目详解】

解：•.•四边形ABC。是矩形，

:.NADC=90。,

NAO歹=21°,

/.ZCDF=ZADC-ZADF=90°-21°=61°,

'：DF=DC,

故答案为：17.1.

【题目点拨】

本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是求出NC。尸.是一道中考常考的简单题.

16、2710

【解题分析】

如图，作交A3于E,连接EN'、AC.作CFLA3于歹，首先证明AN'=5N',因为

N,B+N,C=N,A+N,C,即可推出当A、N‘、C共线时，N8+N'C的值最小，最小值=AC.

【题目详解】

如图，作VE_LA£＞交AB于E,连接EN'、AC,作A3于尸.

ZM4E=45°

.•.AM4E是等腰直角三角形，

：.MA=ME，

ZAME=ZNMN'=90°,

:.ZAMN=ZEMN',

MN=MN',

:.AAMN=AEMN'

ZMAN=AMEN'=45°,

:.ZAEN'=90°,

EN'AB

AM=DM=6,AB=4,

AE=2>EB=2>

AE=EB，

:.N'B=N'A,

:.N'B+N'C=N'A+N'C,

，当4、N'、。共线时，N8+N'C的值最小,

最小值=AC,

在HfAfiCF中，BC=AD=2,

ZCBF=ZDAB=45°

.-.CF=BF=2,

在胆AAB中，AC=A/22+62=2^.

故答案为：2回.

【题目点拨】

本题考查了四边形的动点问题，掌握当A、N'、C共线时，NB+N'C的值最小，最小值=AC是解题的关键.

17、x>3

【解题分析】

根据题意结合图象首先可得>=的图象过点A,因此便可得依+》<；x的解集.

【题目详解】

解：•.•正比例函数y=；尤也经过点4,

/.kx+b<-x的解集为x>3,

3

故答案为：x>3.

【题目点拨】

本题主要考查函数的不等式的解，关键在于根据图象来判断，这是最简便的解题方法.

18、①②③

【解题分析】

分析：根据折叠的相知和正方形的性质可以证明Hr/ABG丝Hr/A/G；根据勾股定理可以证得6G=GC；先证

得N1=N2=N3=N4,由平行线的判定可证得AGCF.由于/CGF和/GCE等高的•故由

S/CGF:S/GCE求得面积比较即解得.

详解：•.•AB=>1D=AF,AG=AG,ZB=ZAFG=90

/ABG^Rt/AFG(HL),

:.Z1=Z2,BG=GC故①正确的.

VCE=2DE,

:.EF=DE=gcD=WAB=$3=l,CE=2,

设3G=FG=尤，则CG=3—x,GE=x+l,

在处/GCF中，根据勾股定理有：GC2+EC2^EG2，即(3—x)2+22=a+I)2,

3333

解得％=—即BG=GE=—，则CG=3--=-,

2222

：.GE=GC,

/.Z3=Z4,

；N1=N2且满足ZL+N2=N3+N4,

/.Z1=Z3,

AGCF故②正确的.

335

♦:GF=j,GE=l+5=%，且/CG尸和/GCE等高的.

：.SACGF\SAGCE=3\5,

'：SAGCE=-GC-CE=-x-x2^-,

2222

3339

S/CGF——SAGCE=-x—=—,故③正确的.

55210

故答案为：①②③.

点睛：本题是一道综合性较强的几何题，其中勾股定理与方程思想的结合起来为破解②③提供了有力的支撑，技巧性

比较强，也是本题的难点所在，对于大多数同学来说具有一定的挑战性.

三、解答题（共78分）

19、（1）,4+g=5。；（2）+=（77+1）^-^-；（3）见解析；（4）①21210；②m+n=2

【解题分析】

（1）根据题目中的例子可以写出例4；

（2）根据（1）中特例，可以写出相应的猜想；

（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题;

(4)①②根据(2)中的规律即可求解.

【题目详解】

(3)证明：•.•左边=l[+2"+1

加+1)2

Vn+2Vn+2Vn+2

；n为正整数,

/.n+l>l.

・,•左边=|n+l(n+1)

又:右边二(n+1)

・•・左边二右边.

即Jn+」一

Vn+2

(4)@J2O19+^—x，4042=2121Q2Q2]XJ4042=2121-^2;

V2021

故答案为：212172;

m+l=19,解得m=18,

/.n=m+2=21,

/.m+n=2.

【题目点拨】

本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并

应用规律解题.

20、(1)A区的的空气污染指数的平均数是79,B区的的空气污染指数的平均数是80；(2)A区

【解题分析】

(1)根据平均数的计算公式分别进行计算即可；

(2)根据平均数和众数的定义先求出各地区的平均数和众数，再进行比较即可得出答案.

【题目详解】

(1)A区的空气污染指数的平均数是：—(115+108+85+100+95+50+80+70+50+50+100+45)=79；

12

B区的空气污染指数的平均数是：—(105+95+90+80+90+60+90+85+60+70+90+45)=80；

12

(2)区的众数是50,B区的众数是90,

A地区的环境状况较好.

VA区的平均数小于B区的平均数，

•*.A区的环境状况较好.

【题目点拨】

此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义，熟记定义和计算公式是解题的关键.

21、(1)见解析；(2)见解析.

【解题分析】

(1)先由四边形ABCD是平行四边形，得出OA=OC,OB=OD,贝!]OE=OF,XVZAOE=ZCOF,利用SAS即可

证明AAOE丝△COF；

(2)先证明四边形AGCH是平行四边形，再证明CG=AG,即可证明四边形AGCH是菱形.

【题目详解】

证明：(I)二•四边形ABCD是平行四边形，

/.OA=OC,OB=OD.

VBE=DF,/.OE=OF.

在AAOE与△COF中，

OA=OC

<ZAOE=ZCOFAAAOE^ACOFCSAS).

OE=OF

⑵由⑴得aAOE四/XCOF,

,\ZOAE=ZOCF,；.AE〃CF.

又•••AH〃CG,...四边形AGCH是平行四边形.

VAC平分NHAG,ZHAC=ZGAC.

VAH/7CG,/.ZHAC=ZGCA,

.\ZGAC=ZGCA,，CG=AG,

cAGCH是菱形.

【题目点拨】

本题考查全等三角形的判定与性质，菱形的判定，难度适中，利用SAS证明aAOE之ACOF是解题关键.

22、(1)A,B两种型号足球的销售价格各是50元/个，90元/个.(2)见解析

【解题分析】

试题分析：(1)设A,B两种型号足球的销售价格各是a元/个，b元/个，由若买2个A型足球和3个B型足球，则要

花费370元，若买3个A型足球和1个B型足球，则要花费240元列出方程组解答即可；

(2)设购买A型号足球x个，则B型号足球(20-x)个，根据费用不低于1300元，不超过1500元，列出不等式组

解答即可.

解：(1)设A,B两种型号足球的销售价格各是a元/个，b元/个，由题意得

‘2。+36=370

3a+b=240

a=50

解得《

[b=90

答：A,B两种型号足球的销售价格各是50元/个，90元/个.

(2)设购买A型号足球x个，则B型号足球(20-x)个，由题意得

50%+90(20-%)=1300

<50%+90(20-%),,1500'

解得7.5<x<12.5

；x是整数，

；.x=8、9、10、11、12,

有5种购球方案：

购买A型号足球8个，B型号足球12个；

购买A型号足球9个，B型号足球11个；

购买A型号足球10个，B型号足球10个；

购买A型号足球11个，B型号足球9个；

购买A型号足球12个，B型号足球8个.

23、OA=4cm,OB=2y/13cm.

【解题分析】

由平行四边形的性质得出OA=03OB=OD,BC=AD=10cm,由勾股定理求出AC=，1()2一$2=8cm,得出0A=；AC=4cm,再由

勾股定理求出0B即可.

【题目详解】

解：解：:四边形ABCD是平行四边