2024年新高考新题型数学选填压轴好题汇编9（解析版）

的年新龙唐4ML型檄号遥嫉成“略题汇务方

一、单34H

题目①（2024•广东梅州•二已知点F为双曲线。：《一才=1的右焦点，点N在2轴上（非双曲线顶

点），若对于在双曲线。上（除顶点外）任一点P,/FPN恒是锐角，则点N的横坐标的取值范围为（）

A.（2,号）B.（2,争C.（々%D.0*）

【答案】。

【解析】由题意可得c=，?$=2,所以F（2,0）,

设N（g,0）,F（x,y）,

则无=（2—2,—沙），丽=（g-;c,-y）,

由/FPN恒是锐角，得京•丽=（2—c）（3一⑼+y2>0,

又石一y=1,"=飞--1,

OO

・,•不等式可化为：（2—x）（x（）—X）~\—--1>0,

O

整理得：（g+2）力+（2力o—1）>0,

只需△=（g+2）2—~~（2^0—1）V0,

o

解得2VgV.

o

故选：C.

【题目区（2024•广东•二粕已知球O与圆台002的上、下底面和侧面均相切，且球o与圆台。1。2的体积

之比为则球O与圆台。1。2的表面积之比为（）

•M

由题意，作出圆台的轴截面ABCD,

设圆台的上、下底面半径分别为球的半径OQ=r,

则AE=n,BE=T2,过人作AD-LB。于点打，

由AH2+BH2—AB2，得（2r）?+（全一八）2=（71+/2）2,化简得产=T犷2，

由球的体积公式/=-^-Kr3,

o

圆台的体积公式/）台=：（2丁）•（7rri+7url+V7un-7rr|）=■兀，（『；+港+，i，2），

oo

2

已知球O与圆台的体积之比为4，则,f——=］，

24+4+322

化简得4/2=4+武+丁1/2，

则4为『2=4+港+『1/2，得3Tl/=4+谆,

2

又球的表面积5球=4兀/,圆台的表面积S圆台=7r［（r1+r2）+ri+r2］,

所以.=——Irf——=2^=2*工='，

S圆台2（音+苣+为r2）4+苣+，1,242

故选：D.

题目⑶（2024•广东•二W在平面直角坐标系①。?/中，已知圆。苏+才=i,若等腰直角△ABC的直角边

AC为圆。的一条弦,且圆心。在△ABC外，点B在圆。外，则四边形OABC的面积的最大值为（）

A.亨+1B.V2+1C.乎+1D.V3+1

【答案】A

【解析】如图所示，设AOAC=AOCA=a，则ZAOC=兀-2a,

故SAOC=-^-OA•OCsin/AOC=［sin（兀—2a）=方sin2a,

由余弦定理得ACP=O^+OC2-2OA-OCcos^AOC=1+1-2cos（兀-2a）

=2+2cos2a,

故等腰直角三角形△ABC的面积为yAC-BC=yAC2=1+cos2a,

故四边形O4B。的面积为［■sin2a+cos2a+l=^^sin（2a+0）+1,

其中tan?=2,0VpV,

其中（0号），故2a+9EQ兀+9）3［多兀］,

则当2a+0=£■•时，^^sin（2a+0）+1取得最大值，最大值为+1.

懒曰@（2024•湖南拉闲•模拟演测）已知一⑺的定义域为（0,+8），产⑺是/⑺的导函数，且犹fQ）+

2时(,)=lmc,2e/(e)=1,则/传，，/丽乎/的吟)的大小关系是()

A./(y)</(sin^-)</(tany)B.f(sin-^)</(y)</(tany)

C./(tany)</(y)<^(sin-4)D-/(sin^)</(tany)</(y)

【答案】。

【解析】因为x2f\x)+2xf[x}—Inx,即[宏解㈤]'=Inx,

构造函数g(i)=力IQ),则g[x)—Inx,J(x)=。甲.

x

将/㈤=吟代入•，3)+2时3)=In,,得/'㈤=Tn-2强).

X213

再构造函数h{x}—x\nx—2g(力),则K{x)—Inx+1—2g'Q)=1—Inx,

易知，当力G(0,e)时，”3)>0,函数h[x)单调递增;当cC(e,+co)时，〃(0)<0,函数h(x)单调递减，所

以九(c)max=4e)=e-2g(e)=e-2e2/(e),

由于2ef(e)=1,所以h(e)=0,所以h[x}40,

所以当力G(0,e)时，/'(力)V0,函数/(力)单调递减；

当力6(e,+co)时，/'(/)<0,函数/(力)单调递减，所以/(二)在(0,+8)单调递减.

又根据单位圆可得三角不等式sin,Vtang,又sin}Vsin~1~,tan?Vtar*,所以/(tan小)<

/佶)</丽4)，&/(tany)</(!)</(sin7)-

故选：c.

题目回（2024•湖南JL阳•模拟预测）如图所示，4个球两两外切形成的几何体，称为一个“最密堆垒”.显

然,即使是“最密堆垒”，4个球之间依然存在着空隙.材料学研究发现，某种金属晶体中4个原子的“最密

堆垒”的空隙中如果再嵌入一个另一种金属原子并和原来的4个原子均外切，则材料的性能会有显著性变

化.记原金属晶体的原子半径为小，另一种金属晶体的原子半径为电,则以和TB的关系是（）

A.2r=V3r

sAB.2rs=V6rAC.2rB=(V3—l)rAD.2rB=(A/6—2)rA

【答案】。

【解析】由题意知，四个金属原子的球心的连线所围成的图形为如图所示的正四面体P—ABC,

设正四面体的棱长为矶Q>0）,高为以九>0）,外接球球心为0,0为正三角形ABC的中心,

则必有PD_L平面ABC且P,0,0三点共线，

在正三角形ABC中，易求得DB-ax9

/oo

在APDB中，由PB2=PD2+DB2，可得h=PD=/2-(卓。,『=乎a,

在△OBD中，由OB2=OD2+DB2，得虎=仇-五>+(空a/,•M

解得灭=乎即

（a=2rA/F

由题意得《血，所以弓一X2TA=「A+TB,

6a=rA+rB4

所以2TB=（V6—2）rA.

故选：D.

I题目回（2024•湖北丈汉•模拟预测）若函数/⑸=3COS（OC+Q（3V0,—冷<”字的最小正周期为

兀,在区间（一点管）上单调递减，且在区间（0,1）上存在零点，则w的取值范围是（）

【答案】8

【解析】由函数/（①）的最小正周期为兀，得YV=兀，而。V0,解得3=—2,

1«1

贝f［x）—3cos（—26+夕）=3cos（2/一p）,由2k兀42力一pW2k兀+7U,fcEZ,

得2k兀+0&2力42卜兀+兀+0,%EZ,又/（力）在（一，，聿）上单调递减，

因此2fc7u+（p4——,且~~W2fc7u+兀+0,kGZ,解得—-2/C7T<cp<——2fc?u,kEZ①,

oooo

由余弦函数的零点、，得2*—0=nn+与neZ,即2力=h兀+^+（p,nEZ,

而f{x}在（0,看）上存在零点，则0V727U+日+0V-^-,n€Z9

于是一?1兀-<—mt—9nez②，又一g<（PvJ,联立①②解得一个V04-

2o2223

故选：B

题目⑺（2024•湖北丈汉•模拟预测）如果aV力V仇记㈤为区间（Q,b）内的所有整数.例如，如果2Vl

V3.5,贝!）［句=3；如果1.2VaV3.5,贝（J［句=2或3；如果2.3V%V2.7,贝！J不存在.已知T=l++

A.36B.35C.34D.33

【答案】B

A3_±1

【解析】令函数/㈤=>0）,求导得/⑸=/4=

1AJ.

则丁N"eN*）可视为函数/（力）=--x^（x>o）在力=九处的切线斜率，

vn3

设A（n,/（n））,B（n+l,f（n+1））,则直线AB的斜率kAB—'⑺~及»=f（n+1）—f（n）,

f

由导数的几何意义有/（n+1）<kAB<f（n）,因此下』V等］（n+1尸一

^/n+1J7n

而+岸一2。+依一3卷）+…+（82总一81。］<人+人+义+…=丁，

3LV）'）'）'）'姆.冷聪招I

即有T>4（82"-1）>4（81T-1）=.X26=34+.,

OOOO

又7=1+/+表+…+焉<1+4（813）=35+1■，因此34+年<7<35+东

所以［T］=35.

故选：B

【题目回（2024•山东•二《）已知函数/（0=sin（5+/）（3>0）,若将加）的图象向左平移等个单位后

所得的函数图象与曲线2/=/（。）关于/=看对称，则。的最小值为（）

O

A-t2B-l1C.lD.f1

【答案】A

【解析】函数/（力）=sinfcoa:+亭）,f{x}的图象向左平移三个单位后所得函数g（6）=sin|~0（6+3）+母］

v673Lv37oJ

兀0兀、

=sm.lc（oa:+--+—

\367

函数y=g（x）的图象与g=f®的图象关于直线i=■对称，则f（x）=—/），

于是sin（0/+~^）=sin［"］^—力）+对任意实数力恒成立，

即sin（0%+专）=sin（—+兀8+看）=sin［兀一（⑦］一兀s+=sin（①力一兀⑦+得二）对任意实数x恒

成立，

因此一neo+=£+2k兀,k£Z,解得3——2k+超~,kGZ,而0>0,则kEZ,k<0,

663

所以当％=0时，⑦取得最小值半

故选：A

:题目⑥（2024•山东•二O已知/（⑼为定义在R上的奇函数，设/'（0为/（土）的导函数，若/（2）=

/（2-2）+42一4,贝酎'（2023）=（）

A.1B.-2023C.2D.2023

【答案】。

【解析】因为f（x）=f（2—x）+4/一4,所以两边求导，得/'（力）=—/（2—x）+4,

即/Q）+f（2—彷=4①

因为f（x）为定义在R上的奇函数，则y（—T）=—J（T）,

所以两边求导，得「（/）=/（一力），所以/‘（/）是定义在R上的偶函数，

所以/'（2—力）=/（力—2）,结合①式可得，/（力）+f（x-2）=4,

所以f'3—2）+f［x-4）=4,两式相减得，/'（/）=f（x—4）,

所以『（土）是周期为4的偶函数，

所以1（2023）=/（-1）=/（1）.

由①式，令①=1,得/'（1）=2,所以/'（2023）=/'⑴=2.

故选：C.

【题目|10）（2024•河南信相•模拟预测）棱长为1的正方体ABCD-4BQQ1中，点P为口。上的动点，O

为底面ABCD的中心，则OP的最小值为（）

【答案】。

[解析】由题意可得OP的最小值为点O到线段BD1的距离，

在平面DQB内过点。作OP_LBDi于点P,

由题意可得=1,DB=四，BA=四，DOi_L平面ABCD,

因为DBU平面ABCD,则DDi_LDB,因为△OPB〜血DB,

故皿=空_即OP=OB.DA=/XI=®

DD,BD/'BDiV36'

故选:C.

[题目|11）（2024・河南信阳•模拟预测）若直线夕=加+6与曲线g=e，相切，则a+6的取值范围为

（）

A.（―co,e]B.[2,e]C.[e,+oo）D.[2,+oo）

【答案】4

【解析】对于g=e',有g'=ei，令切点为（小,暧），则切线方程为g=暧（力—小）+物，

即g=emx+（1—m）em,即有a-\-b—em+（l—m）em=（2—m）em,

令/（力）—（2—6）已，,则/（力）=（1一%）e”,

当力V1时，/'（n）＞0,当力＞1时，/'（力）＜0,

故/（劣）在（-00,1）上单调递增，在（1,+8）上单调递减，

故/Q）＜/（1）=（2-l）e1=e,

又当力趋向于正无穷大时，/（力）趋向于负无穷，

故/（劣）E（―oo,e]，即a+b6（―oo,e].

故选：4

[题目〔12]（2024・福电稿州・模拟预测）函数/⑺=2sins;（每inaxr+cos®（3＞0）在（0号）上单调递

增，且对任意的实数a,/（c）在（a,a+兀）上不单调，则。的取值范围为（）

A.(I，f]B(吟]C.(1,|]D.(14]

【答案】。

【解析】因为f(x)=2sin(7)x(V3sincoT+COSCOT)

=2V3sin2torc+2sin切力costo/

=sin2(7)T—V3COS2COT+V3

=2sin(20i—+V3,

兀28兀兀

又因为力e（04，且°>0,则2a>x—6

O

若/⑸在（0昼）上单调递增,

2幻兀

所以一（■《多所以OV0&],

3

因为对任意的实数Q,于⑸在（Q,Q+兀）上不单调,

所以/（力）的周期T=1％V2兀，所以/>3,

2a）2

所以!V8

24

故选：D

题目HE]（2024•浙江基兴・二W6位学生在游乐场游玩AB,C三个项目，每个人都只游玩一个项目，每个

项目都有人游玩，若A项目必须有偶数人游玩,则不同的游玩方式有（)

A.180种B.210种C.240种D.360种

【答案】。

【解析】若A有2人游玩，则有ClClcl15X(8+6)=210种;

IT

若A有4人游玩，则有CM1=15X2=30种；

所以共有240种，

故选：C.

题目正（2024・浙江基兴•二O已知定义在（0,+s）上的函数/（⑼满足时'（2）=（1—c）/（c）,且/（I）>

0,则()

A-4)</(1)</(2)

D./(2)</(1)</(1)

【答案】。

/(a;)-xf(x)

【解析】由xf\x）=（1—x）y（x）变形得------------=力，

/(，)

/3）一时'（力）_XT_x

从而有x

产(乃'Lf(x)

所以X=k-ex,

/(力)

因为了⑴>0,所以k=瓦不>0,则/（乃=X

k-ex，

kex-kx-ex_kex(l-x)

则f'Q)

故当0〈6V1时，（x）>0,当力>1时，/'（。）<0,

所以/Q)在(0,1)上单调递增，在(1,+00)单调递减，

所以/(；)</⑴，/⑵</⑴，

3.

又/(4)一/⑵=一内=,而e3>2下弋19.7>16,所以苕>4,

'2"2Weke2ke

所以/⑵

故选：D.

颔目也(2024・浙江宁波•二W在正四棱台ABCD—AiBQQi中，AB=4,AB产2,44尸，若球。

与上底面486。以及棱AB,BC,CD,DA均相切，则球。的表面积为()

A.9兀B.16nC.25兀D.36兀

【答案】。

【解析】设棱台上下底面的中心为N,M,连接D、B1,DB,

则产2V2,DB=4V2,

所以棱台的高MN=YBBTMB—NBy=V(V3)2-(2V2-V2)2=1,

设球半径为A,根据正四棱台的结构特征可知：球。与上底面ABiGR相切于N,与棱AB,BC,CD,DA均

相切于各边中点处，

设中点为E,连接OEQM,ME,

所以。七2=OM2+ME2^&=(&-1)2+22,解得五=T,

所以球。的表面积为4TI五2=25元，

故选：C

题目E(2024•浙江宁波•二费已知集合。={(2,夕)|一+&，-2024=0且g/=2024},若P中的点均在

直线V=2024c的同一侧,则实数a的取值范围为()

A.(-00,-2023)U(2023,+oo)B.(2023,+oo)

C.(-oo,-2024)U(2024,+oo)D.(2024,+oo)

【答案】A

x4-\-ax—2024=0-日*,八

【解析】依题意集合P即为关于c、y的方程组践=2024的解集,显然"°，

y=T+等

所以<”，即2024，令/Q)=—亦+理

¥XX

7X

y—2024%

由“=幺詈’解得二㈤

8

即函数y=2024a;与y=24的交点坐标为(1,1)和(一1,—1),

?。x

又/(—力)=_d+2曰4=_(_/3+2,4)=_/(为，所以八力)为奇函数，

因为g=—d与y=2?4在(o,+co)上单调递减，

所以/(⑼=—/+干鱼在(o,+8)上单调递减，则/(力)=—/+#£在(-00,0)上单调递减,

依题意y=a与y=—d+2024y—2。24的交点在直线y—2024力的同侧，

xx

只需a>/(l)或a</(-l)，即a>2023或a<-2023,

所以实数Q的取值范围为(-a),-2023)U(2023,+oo).

故选：A

题目1F](2024•浙江杭州•二粕在△4BC中，已知粤吟=nsinC,8^*=ncosC.若tan(A+?)=

sinBcosB147

—3,则九=()

A.无解B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】由tan(_A+与)=,+tan,=_§,即tanA=2,则cosA0,

\4f1—tan/L

由=nsinC,=ncosC,次口cosC#0,

smBcosB

则tan3_tan。,则tanA=tanB•tanC=2,

tanr>

又tanA=tan(7T—B—C)=—tan(B+C)=--[=tanB+tanC,

故tanB+tanC=2,设tanB=力，则tanC=2—t,

有t(2—t)=2,即力~—2t+2—0,A—4—8——4V0,

即该方程无解，故不存在这样三角形，即n无解.

故选：A.

题目18](2024•浙江杭州•二设集合河=(-1,1},N={c|rc>0且rc#1},函数/(C)=俄+加一”(a>0

且afl),贝I()

A.V/leA/HaeNJO)为增函数B.m』eM,VaCN,/0)为减函数

C.V4eM,maeNJ(，)为奇函数D.maeA£VaeN,/(，)为偶函数

【答案】。

【解析】当4=1时，/(切=ax+a~x,a>1时，/(c)在(一8,0)上不是增函数，故人不正确；

当』=—1时，/(约=口3；-&-0,&>：1时，/3)在(0,+00)上为增函数，3不正确；

xxs4

当4=1时，/(，)=a+a~,f(-x)=a+a-=/(x),f(x)为偶函数，故。不正确；

当』=1时，/(2)=ax+a~x,f(—x)=1+&-"=/Q),f(x)为偶函数，故。正确；

故选：D.

题目,(2024•浙江台州•二O设区，耳是双曲线C：弓—%=l(a>0,b>0)的左、右焦点，点M,N分

ab

别在双曲线。的左、右两支上,且满足，丽=2标，则双曲线。的离心率为()

O

A.2C.V3D.日

O/

【答案】B

【解析】如图，设人的与上网的交点为P,|人园=,，

因为丽=2丽，所以|而|=2]就|=2c,

所以，由双曲线的定义可知：=\MFi\+2a=2a+x,|7VF]|=2a+\NF^\=2x+2a,

因为丽=2刷，所以NE〃1用，

所以4NF2P〜△EMF,HM%ZMFN=看，

20

所以|所理=■IMI=-1(2a+x),|PN|=^\NF,\=a2a+2c),

oooo

所以，在中，4PF?N=AMFN=^,

2o

|刊伊+/N『一|PN『=,〈光£=工

所以，由余弦定理有：cos/P^N=21P即四N|一（"os至-万

代入\PFi\—暮(2a+x),\PN\—"|~(2a+2a?),\NF^\—2c,整理得3x2—10ax—0,

O0

解得x—,x—0(舍),

o

所以，|7V困|=c=芈a,iMFJl=2。+力=芈。，㈤月=2c,

oo

lwl2+lwl2-l^l21

所以，在中，由余弦定理有：cos/鼻ME=

2|Wl-IWl2

代入数据整理得：7a=3c,

所以，双曲线的离心率为：e=£*=1.

a3

故选：B

题目,（2024•江苏扬州•模拟预测）已知菱形ABCD的边长为2,/ABC=60°,动点P在BC边上（包括

端点），则赤•毋的取值范围是（）

A.[0,1]B.[-1,2]C.[-2,2]D.[-1,1]

【答案】。

如图，作Oy_LCB,以C为原点，建立平面直角坐标系，

易知C（0,0）,A（1,V3）,n（-l,V3）,

设P（rc,0）,且口G[0,2],故AD=（—2,0）,AP=（x—1,—V3）,

10

故赤・/=-2(1-2)=2—22,而一226[-4,0],2-2xE[-2,2].

故选：C

If丸(2024•江苏扬州・模拟预测)设方程2。+2+3=0和方程log2x+2+3=0的根分别为p,q,设函

数/(c)=(2+2)(2+[),则()

A./(2)=/(0)</(3)B./(0)=/(3)>/(2)C./(3)</(2)=/(0)D./(0)</(3)</(2)

【答案】B

xx

【解析】由2+x+3=0得2=—x—3,由log2a;+a;+3=0得log2a;=—x—3,

x

所以令y=2,y=log2a：,y=—x—3,这3个函数图象情况如下图所示：

x

设g=2,y——x—3交于点B,y—log2x,y——x—3交于点C,

由于V=2:夕=log2s的图象关于直线v=2对称，

而?/=-/—3,9=c的交点为4-,,一~|~)，所以p；」=一~t"'

注意到函数/(re)=(a?+p)(c+q)=a?+(p+q)x+pq的对称轴为直线a:=—'；",即，=2",

且二次函数/(①)的图象是开口向上的抛物线方程，

从而/(0)=/(3)>/(2).

故选：B.

［题目药(2024•河北邢台•一模)如图，正四棱台容器ABCD—ABGA的高为12cm,AB=10cm,AxBr

=2cm,容器中水的高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中(57个小铁球均被淹

没)，水位上升了3cm,若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为()

【答案】A

【解析】正四棱台容器ABCD—ABiGA的高为12cm,AB=10cm,A1B1=2cm,

11

正四棱台容器内水的高度为6cm，由梯形中位线的性质可知水面正方形的边长为y(2+10)=6,

223

其体积为y；=X(62+102+A/6xl0)x6=392cm;

放入铁球后，水位高为9cm，沿AB作个纵截面，从4,8分别向底面引垂线，如图，

其中EF是底面边长10cm,是容器的高为12cm,GH是水的高为9cm,

由截面图中比例线段的性质察=与£=；，可得GN=1,此时水面边长为4cm,

Hr4

此时水的体积为％=-1-(42+102+V42X102)X9=468cm3,

放入的57个球的体积为468-392=76cm3,

设小铁球的半径为丁，则57X-^7rr3=76,解得丁=

3V兀

故选：A

：＞t叵(2024・河北邢台•一模)倾斜角为。的直线Z经过抛物线C：/=16c的焦点且与。相交于A,

B两点.若。C则的取值范围为()

L64」

A.[128,256]B.[64,256]C/64,竽]D.[竽,1281

【答案】A

首先，我们来证明抛物线中的焦半径公式，

如图，对于一个抛物线y2=2卯;,倾斜角为6的直线/经过抛物线C:y2=2Px的焦点F,且与。相交于A,B

两点.作准线的垂线44,BE,过F作EM_LAA,

则\AF\=|AA[=\MA\+\AM\^p+\AF\cos0,

解得|AF|=।「°，同理可得\BF\=1°,

1—COSC71+COSC7

••

如图，不妨设4在第一象限，由焦半径公式得\AF\=,8八,\AF\=,8n,

1—cos"1+cost/

则\AF\\BF\=8x8=,

1—cost/1+cos”sin9

而个©I"由个]，可得sin汨CrH],故一号一e[128,256],故A正确，

L64」L42」sin0

故选：A

二、多选题

I题亘叵（2024•广东梅州•二W已知数列｛册｝的通项公式为厮=3n,neN*,在｛厮｝中依次选取若干项

（至少3项）%,外,%,…，出“，…，使｛%｝成为一个等比数歹U,则下列说法正确的是（）

A.若取自=1,k2=3,则k3=9

B.满足题意的｛鼠｝也必是一个等比数列

C.在｛册｝的前100项中，的可能项数最多是6

D.如果把｛厮｝中满足等比的项一直取下去，｛&J总是无穷数列

【答案】

【解析】因为数列｛册｝的通项公式为an-3n,

对于A,取fci—1,k?=3,则a&=o；i=3,a斑=G-3=9,

由于｛公｝为等比数列，则ak=27,则有3A：3=27,即k3=9,故A正确；

对于B,数列｛a“｝的通项公式为an—3n,则a%=3kn,

若｛aJ为等比数列，即3kl,3e，3花，…，3鼠，…是等比数列，

则fci,k2,k3,,kn,…，是等比数列，

故满足题意的｛k„｝也必是一个等比数列，故B正确；

对于。，在｛④｝的前100项中，可以取%产1,无=2,履=4,—=8,k5—16,k6—32,k7—64,

可以使｛a』成为一个等比数列，此时｛aj为7项，故。错误；

对于。，取ki~4,%=6,则a&=12,a&=18,则%=27,%=,

%=号不是数列｛册｝的项，

所以把｛aj中满足等比的项一直取下去，｛&J不总是无穷数列，故D错误.

故选：AB.

直目区（2024•广东梅州•二W如图，平面ABNLa,|AB|=|AW|=2,M■为线段AB的中点，直线AW

与平面a的所成角大小为30°,点P为平面a内的动点，则（）

N

A.以N为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2兀

B.若P到点用■和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C.若P到直线MN的距离为1,则/ARB的最大值为俳

D.满足/MNP=45°的点P的轨迹是椭圆

【答案】BC

【解析】对于A,由于AiN与平面a的所成角大小为30°,所以点N到平面a的距离d=|儿W|sin30°=1,

故半径为_R=2的球面在平面a上截面圆的半径为r故截痕长为2兀7=A错误，

对于B,由于平面ABN_La,所以以AB为y,在平面a内过河作/_L43,平面ABN内作z_LAB,建立如

图所示的空间直角坐标系，

则河(0,0,0),8(0,1,0),4(0,—1,0),N(0,3,1),

设P(x,y,0),则EM=PMnx2+y2=®2+(y-V3)2+l,

化简得“=叠，故P到点加■和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线，B正确，

2

磁=(0,6,1),赤=(2,%0),所以P到直线AW的距离为^MP-^MP-)2=Jd+y2_(

2

=1,化简可得"+(=1,

所以点P的轨迹是平面a内的椭圆rc2+^-=1上一■点，如图，

当P在短轴的端点时，此时AAPB最大，由于\BM\=\MP\=1,故2BPM=g,因此/APB=2ZBPM=

5，。正确，

对于。，NM=(0,—V3,-1),7VP=(rc,y—V3,-1),MP=(x,y,0),

若AMNP=45",则cos^MNP=cosNM,NP=吧•二=-―岛+4==容，

\NM\­\NP\2y/x2+(y-^y+l2

化简得("一；⑸之—3=1且夕＜*1，故满足乙MNP=45°的点P的轨迹是双曲线的一部分，D错误,

故选：BC

题目,(2024•广东・二«)设O为坐标原点，抛物线。4=4x的焦点为F,准线I与c轴的交点为E，过

点F的直线与抛物线。交于AB两点，过点45分别作，的垂线，垂足分别为A［，氏，则下列说法正确的

14

有（）

A.I4EHB闿=|年『B.以同42|F同

C.\OA\■|OB|=Q4|•|OB1|D.\OA\+\OB\>QAJ+QBj

【答案】ACD

［解析］由已知F（l,0）,后（一1,0）,设过点F的直线方程为：c=小沙+1,

设点A（g,%）,B（，2,例），则Ai（—1,%）,

由4",1,得y2—4：my-4=0,

［x=my+1

~,、》（viv?）2

1

所以的+夕2=4m,阴％=—4,Xr+x2=m（yr+y^+2=An^+2,x1x2=—左一=1,

出现•\B^\=-yiy2=4,网2=22=4,所以出区HB出|=|FZ铲，故A正确，

I4BI=|明一例|=d（阴+%）2—4用92=V16m2+16>4=2|F局,故B错误，

22

\OA\-\OB\=（。+状）（届+=）=淄鼾入口+意褶+必*=17+彘忧+力滋=17+4X2XI+4XIX2=17+4电电

2

（xt+x2）=25+16m,

\OiA\2-|O1B|2=（1+K）（1+褶）=1+K+诏+诏褶=17+yi+y2=17+（%+例）2-2夕曲=25+16m2,故\OA\

•QB|=|。41HoBJ,。正确，

222222

（\OA\+|OB|）-（|OA|+\OBS）=|OA|+|OB|-|OA1|-|OB1|+2|OA|•\OB\-2|O4|•|OBj,

2

由选项。可知\OA\-\OB\~\OA1\-QB」，所以（|OA|+|OB|）-（|OA|+\OB^=\OA^+\OB^-\OA^

—|OBI|2=（冠+诏）+（冠+若）一（1+褶）一（1+向=（屑+忌）—2=（g+。2）2—2必巡2-2=（4m2+2）2—4>0,

故\OA\+\OB\>\OA,\+|OBJ，。正确；

故选：ACD

遒互区］侬24•湖南地相•模拟预测）如图1所示，为曲杆道闸车库出入口对出人车辆作“放行”或“阻拦”

管制的工具.它由转动杆OP与横杆PQ组成，PQ为横杆的两个端点.在道闸抬起的过程中，横杆PQ

始终保持水平.如图2所示，以点。为原点，水平方向为a:轴正方向建立平面直角坐标系.若点。距水平

地面的高度为1米，转动杆OP的长度为1.6米，横杆PQ的长度为2米，OP绕点。在与水平面垂直的平

面内转动,与水平方向所成的角。6［30°,90°］（）

A.则点P运动的轨迹方程为二+（沙+1>=瑞（其中2e［。,胃］,沙e［A1］）

B.则点Q运动的轨迹方程为Q-2）2+y2=磊（其中①ef2,10+4V^Ue［441）

25L5」L55J

C.若OP绕点O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则横杆PQ距水平地面的高度为

13来

与米

D.若OP绕点、O从与水平方向成30°角匀速转动到与水平方向成90°角，则点Q运动轨迹的长度为乌米

5

【答案】BC

【解析】对于A:点P的轨迹显然是以。为原点，OP为半径的圆，

故点P运动轨迹方程为/+/=黑（其中/C［。，义旦］e心,管）,故A错误；

25L5」L55J

对于设Q（0,g）,P（力o,go）,因为PQ平行于力轴，

所以［/=3+2,所以（刈=，—2,又因为「在加圆才=黑上，

ly=y«Uo=y25

所以点Q