2024年天津市南开区中考二模数学试题（解析版）

2023〜2024学年度第二学期九年级质量监测（二）

数学试卷

本监测分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.监测满分120分.时间100分

钟.

第I卷（选择题共36分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

L计算（TH-5）的结果是（）

A.6B.4C.-4D.-6

【答案】B

【解析】

【分析】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握减去一个数等于加上这个数的相反数是解答本题的关

键.根据减法法则计算即可.

【详解】解：(-1)_(_5)=(_1)+(+5)=+(5_1)=4

故选：B.

2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体组成的，它的主视图是（）

【解析】

【分析】根据主视图是从正面看到的图形进行求解即可.

【详解】解：从正面看该几何体，有三列，第一列有2层，第二和第三列都只有一层，如图所示:

【点睛】本题主要考查了简单几何组合体的三视图，熟知三视图的定义是解题的关键.

3.下列无理数中，大小在3与4之间的是（）

A.币B.272C.711D.加

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查无理数的估算，根据无理数的估算可得答案，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键

【详解】解：V7<8<9<11<16<19,

:〈瓜〈囱〈后〈屈〈晒，即«<2忘<3<而<4<W，

故选：C.

4.我国民间，流传着许多含有吉祥意义的文字图案，表示对幸福生活的向往，良辰佳节的祝贺.比如下列

图案分别表示“福”、“禄”、“寿”、“喜”，其中是中心对称图形的是（）

①②③④

A.①③B.①④C.②③D.②④

【答案】D

【解析】

【分析】根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可.

【详解】解：①不是中心对称图形，故本选项不合题意；

②是中心对称图形，故本选项符合题意；

③不中心对称图形，故本选项不合题意；

④是中心对称图形，故本选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，熟悉掌握概念是解题的关键

5.根据联通大数据，2024年清明假期3天，我市共接待游客710.21万人次，单日游客接待量创今年新

高.其中数据“710.21万”用科学记数法表示为（）

A.7.1021xl09B.7.1021xl08C.7.1021xl07D.7.1021xl06

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法的表示形式即可求解，熟练掌握科学记数法的表示形式：

“0X10”,其中。的范围是l<a<10,w是正整数”是解题的关键.

【详解】解：710.21万=7102100=7.1021x106,

故选：D.

6.计算1—-2—的结果等于()

。+1

a-11a

A.OB.------C.------D.------

a+1a+1a+1

【答案】B

【解析】

【分析】本题主要考查了异分母分式减法计算，先通分，再把分子合并同类项即可得到答案.

【详解】解:1———

。+1

〃+12

〃+1〃+1

a—1

〃+1’

故选：B.

7.51!145°(30560°—(30$45°的值等于()

AA/2A/2ry/6-2y/2A/6-4

4444

【答案】A

【解析】

【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的计算，熟知特殊角的三角函数值是解题关键，先计算特殊角的三

角函数值，再进行二次根式计算即可求解.

【详解】解：sin450cos60°-cos450

721V2

-2X22

_A/2V2

一^F

=_比

—4

故选：A

8.若点4（%,—2）,B（x,,-1）,。（项』）都在反比例函数丁=—七士的图象上，则为，巧，吃的大小

X

关系是（）

A.xx<x3<x2B,xx<x2<x3C.x3<x2<\D.x3<xx<x2

【答案】D

【解析】

【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特点，熟知反比例函数图像上各点的坐标一定适合此函数的

解析式是解答此题的关键.先根据反比例函数的解析式判断出函数图像所在的象限，再根据反比例函数的

性质即可得出结论.

【详解】解：•.•反比例函数y=—■中，一（左2+1）<0,

X-

函数图像的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大，

V-2<-1<0<1,

；.A、B两点在第四象限，C点在第二象限，

X3<<X2.

故选D.

9.如果玉=m，々=〃是方程/+2%-4=0的两根，则-----的值为（）

m+n

A.4B.-4C.2D.-2

【答案】C

【解析】

【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系.利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题.

【详解】解：尤|=机，々=〃是方程%2+2%-4=0的两根，

.\m+n=—2,=T,

mn-4

----二—=2.

m+n—2

故选：C.

10.如图1,在RtAiABC中，ZABC=90°,BC=2,AB=5如图2,按照如下尺规作图的步骤进

行操作:

图1图2

①以点C为圆心，以2为半径画弧，交AC边于点。，连接3£）；

②以点B为圆心，以2为半径画砂，交CB延长线于点E,交AB边于点B

③以E为圆心，以长为半径画弧，交郎'于点G；

④连接BG,EG,连接。G交A3于点"

则下列结论中正确的是（）

A.BG平分/ABEB.FH=DH

C.四边形6DGE为菱形D.四边形BCDG为菱形

【答案】D

【解析】

【分析】本题是基本作图与四边形综合题，解题关键是清楚作图的过程和结果.

由作法可知之△BEG,NGBE=ZACB,根据NCwNAw45°即可判定选项A不正确，判定四

边形皮JGE为平行四边形，四边形BCDG为菱形，由勾股定理和解三角形求出EH、即可判定选项

BC错误，D正确.

【详解】解：；NABC=90°,BC=2,AB=45.

：.NCwZAw45。，

由作法可知CD=BC=BE=BG=BF=2,EG=BD.

:.△CBD^ABEG，

；.NGBE=ZACBw45。,ZCBD=ZBEG,故A选项结论错误；

BD//EG,

四边形BDGE为平行四边形，

DG//BE,DG=BE,

；•四边形BCDG为菱形，故选项D正确；

•/ZABC=90°,

•­ZAHD=90°,AC=ylBC2+AB-=3-

：.AD=AC-BD=1,

AH=ADcosZCAB=lx—,

33

22

DH=ADsinZCAB=lx-=-,

33

：.BH=AB-AH=-y[5,

3

2i-

•：FH=BF—BH=2——，5,

3

故FH¥DH，故B结论错误，

2

•/BD=y/BH2+DH2=^(|A/5)2+(1)=|^6>

：•BD于BE，故，5DGE不是菱形，故C选项结论错误.

故选D.

11.如图，在直角坐标系中，点A,B的坐标分别为4(0,2),5(-1,0),将,A3O绕点。顺时针旋转得

到月O,若。用，A3,则下列结论中错误的是()

A.4与。的面积为1

B.O^//AB

C.被A4平分

D.点A到X轴的距离为|■石

【答案】C

【解析】

【分析】根据图形旋转的性质和三角形的面积公式可判断A；根据同旁内角互补两直线平行可判断B；证明

。N=:A与，而A5=A3〉AO可判断C；过点A作x轴的垂线，垂足为H,先求出sin/A5O=毡,

25

然后根据sinZA.OH=苛求出A"=警可判断D.

【详解】解：：点A坐标为(0,2),点8坐标为(—1,0),

/.04=2,05=1,

S^OAB=]Xlx2=L

由旋转的性质可知，s450=SOAB=1.故A正确.

令。片与AB轴的交点为M,

Bqx

由旋转可知，ZA1OB1=ZAOB=90°,

OB[1AB,

：.ZAMO^9Q0,

：.ZAMO+幺04=180。，

OA^//AB.故B正确.

令4片与y轴的交点为N,

NBOB]+ZAOBl=NBOB]+ZABO=90°,

NABO=ZAOB].

由旋转可知，NABO=3,

NB[=NAOB],

NO=NB「

又Z4+ZB1=NAfiN+NB0N=90°,

：.N4=NAfiN,

/.A、N=ON.

即0N=w4耳，

A,5,=AB>AO,

/.ON^-AO,

则a耳未平分49.故C错误.

过点A1作x轴的垂线，垂足为”,

AB//A0,

N&OH=ZABO.

在RtAABO中，

AB712s=B

AsinZA.OH

在RtA^OH中,

即点4到尤轴的距离为岸.故D正确.

故选：C.

【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，坐标与图形的性质，平行线的判定，等角对等边，勾股定理，解

直角三角形，熟知图形旋转的性质和锐角三角函数的知识是解题的关键.

12.已知某商品每件的进价为40元，售价为每件60元，每星期可卖出该商品300件.根据市场调查反

映：商品的零售价每降价1元，则每星期可多卖出该商品20件.有下列结论：

①当降价为3元时，每星期可卖360件；

②每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为42元或者43元；

③每星期的最大利润为6250元.

其中，正确结论的个数是（）

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】

【分析】设降价尤元，则售价为（60-x）元，每件的盈利（60-x-40）=（20-x）元，每天可售出

（300+20%）件，

①当降价为3元时，每星期可卖（300+20x）=360件；正确；

②根据题意，得（300+20x）（20—£）=6120,整理，得5x+6=0，

解得石=2,%=3,每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；错误；

③设每星期的利润为y元，根据题意，得y=（300+20x）（20—x）=-20x+100x+6000

=-20（x-+6125,故每星期的最大利润为6125元.判断即可.

利用每天销售获得的总利润=每件千克的销售利润x每天的销售量，构造二次函数，根据抛物线的最值，

解之即可得出尤的值即可求得.

本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的最值，最大利润问题，熟练掌握一元二次方程的应用，二次

函数的最值是解题的关键.

【详解】设降价X元，则售价为（60—x）元，每件的盈利（60—X—40）=（20—力元，每天可售出

（300+20%）件，

①当降价为3元时，每星期可卖（300+20%）=360件；

正确；

②根据题意，得（300+20x）（20—x）=6120,

整理，得J-5x+6=0，

解得％=2,%=3,

每星期的利润为6120元时，可以将该商品的零售价定为58元或者57元；

错误；

③设每星期的利润为y元，根据题意，得y=（300+20x）（20—x）=—20x+100x+6000

=—20（x—+6125，

故每星期的最大利润为6125元.错误.

故选C.

第n卷（非选择题共84分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分.请将答案直接填在答题纸中对应的横

线上）

13.在一只不透明的口袋中放入只有颜色不同的白球7个，黑球5个，黄球〃个，搅匀后随机从中摸取一

个恰好是黄球的概率为工，则放入的黄球总数“=.

3

【答案】6

【解析】

【分析】利用概率公式，将黄球个数除以所有球总个数即可得出随机从中摸取一个恰好是黄球的概率.

【详解】解：由题可知：

n_1

〃+7+53

解得：〃=6,经检验，符合题意；

故答案为：6.

【点睛】本题考查了随机事件的概率，解题的关键是牢记概率公式，正确列出方程并求解.

14.计算（后-1）（后+1）的结果等于.

【答案】22

【解析】

【分析】直接利用平方差公式进行简便运算即可.

【详解】解：（后—1）（后+1）=（后『―F=23—1=22,

故答案为：22

【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，熟练的利用平方差公式进行简便运算是解本题的关键.

15.计算（三）2+x6-x5的结果为.

【答案】2/-x5##-x5+2x6

【解析】

【分析】本题考查幕的乘方与合并同类项.根据幕的乘方与合并同类项法则进行解题即可.

【详解】解：九6一九5

=Xs+%6-X5

=2x6—x5■

故答案为：2%6—%5.

16.直线y=-4x+b不经过第一象限，则人的值可以为.（写出一个即可）.

【答案】-1（答案不唯一）

【解析】

【分析】本题考查一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象所经过的象限，可确定一次项系数，常数

项的值的符号，从而确定字母女的取值范围.由直线y=-4x+b不经过第一象限，，可知在范围内

确定b的值即可.

【详解】解：：直线y=-4x+b不经过第一象限，

：.b<0,

故答案为：-1（答案不唯一）.

17.如图，△C45,_CD£均为等腰直角三角形，其中AC=5C,DC=EC,点、A,E,。在同一直线，

AD与相交于点FG为AB的中点，连接EG.

c

D

(1)-4DB的度数为.

(2)若尸为BC的中点，且AB=10,则EG的长为.

【答案】①.90。##90度②.75

【解析】

【分析】(1)先证-ACE名BCD,得，。05=/。£4=135°进而可求出—4巧的度数；

(2)作CHJ_A。于点H,则C"=EH=。"=工DE,可证明△CHF/4BDF，则CH=BD=AE=EH,

2

再由勾股定理求得AB=士叵，依据S~CF=；S"BC，解得纺=7w＞则DH=CH=BD=而，

22

HB=4DH?+BD?=2有，进而可求出EG的长•

【详解】解：(1)vAC4B,CD£均为等腰直角三角形，AC=BC,DC=EC,

：.ZACB=ZDCE=90°

：.NACE+NBCE=NBCE+/BCD,NDEC=NEDC=45°,

/.ZACE=/BCD,

:"ACEWBCD,

NCDB=NCEA=180°-45°=135°,

NADB=135°-45°=90°.

故答案为90。；

(2)作CT/LAD于点”，则石H=£)H,NCHF=NBDF=9Q°,

：.CH=EH=DH=-DE,

2

为BC的中点，

：.CF=BF,

在.和VBD产中,

ZCHF=ZBDF

<ZCFH=ZBFD,

CF=BF

：.,CHFgBDF(AAS),

，CH=BD,

,:AE=BD,

：.AE=CH=EH,

,；G为AB的中点，

EG'FB,

2

VAB=10,

AC=BC=5A/2，

,,CF——BC------,

22

,/ZACF=90°,

・•・AF=A/AC2+CF2=，

2

・・q—AQ

・°AACF_2，

.•.-X^^XCH=-X-X5V2X5A/2，

2222

,•CH—y/10,

•••DH=CH=BD=屈,

HB=y/DH2+BD2=275，

EG=—x2V5=V5.

2

故答案为6-

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边

的一半、勾股定理、三角形的中位线定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键.

18.如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，&A5C的顶点A,C均落在格点上，顶点8落在格线

上，。是cABC的外接圆.

（1）ABC的面积等于.

（2）请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出直径5P，并在直径8P上找到点。，使得△3CQ

的面积等于5.简要说明点尸，Q的位置是如何找到的（不要求证明）

【答案】①.5②.如图，取圆与格线的交点D,E,连接AE,CD,两条线段交于点。；连接80

并延长，与圆交于点P；取格点F,G,并连接FG,交AC于点连接并延长交格线于点H,连

接HA，并延长交5P于点。点尸，。即为所求.

【解析】

【分析】本题主要考查了90度的圆周角所对的弦是直径，相似三角形的性质与判定，矩形的性质，全等三

角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等：

（1）根据三角形面积计算公式结合网格的特点求解即可；

（2）如图，取圆与格线的交点，E,连接AE,CD,两条线段交于点O；连接80并延长，与圆交于点

P；取格点RG,并连接FG,交AC于点连接雨，并延长交格线于点H，连接HA，并延长交

BP于点、Q,点P，。即为所求.

【详解】解：（1）由题意得，SABC=^X5X2=5,

故答案：5；

（2）如图，取圆与格线的交点DE,连接AE,CD,两条线段交于点0；连接80并延长，与圆交于点

P；取格点RG,并连接FG,交AC于点连接雨，并延长交格线于点H，连接HA，并延长交

BP于点Q,点P,。即为所求.

由90度的圆周角所得的弦是直径，可得AE,CD的交点。，即为圆心，则5P即为直径；

易知点M分别为AC、9的中点，则易证明A4™名△QWS,进而证明则由平行线的性

质可得S&BCQ=^AABC=5.

故答案为：如图，取圆与格线的交点。，E,连接AE,CD,两条线段交于点O；连接80并延长，与圆

交于点P;取格点F,G,并连接FG,交AC于点M,连接并延长交格线于点连接HA,并延

长HA交5P于点0,点、P,。即为所求.

三、解答题(本大题共6小题，共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)

2(x+l)>x①

19.解不等式组。.,八台，请按下列步骤完成解答.

(1)解不等式①，得；

(2)解不等式②，得；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

j।____।____।____।I____।___।_____।____।____।_»

-5-4-3-2-IOI2345

(4)原不等式组的解集为.

【答案】(1)x>-2；

(2)x<-l；(3)见详解；

(4)-2<x<-l

【解析】

【分析】本题考查的是解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式组的解集，熟知“同大取大；同小取小;

大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题的关键.

(1)求出各不等式①的解集；

(2)求出各不等式②的解集；

(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来即可；

(4)求出原不等式组的解集即可.

【小问1详解】

解不等式①，得x>-2,

故答案为：x>-2；

【小问2详解】

解不等式②，得x<-l,

故答案为：x<—l；

【小问3详解】

把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；

,,,1I.......................................r［小问4详解］

-S-4-3-|ot2J45^

原不等式组的解集为：—2<xW—1,

故答案为：—2<x<—1.

20.在一次中学生田径运动会上，根据参加男子跳高初赛的。名运动员的成绩(单位：m),绘制出了如下

的统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列问题：

(2)求统计的这组男子跳高初赛运动员成绩的数据的平均数、众数和中位数.

【答案】⑴15,20；

(2)这组数据的平均数为1.68,众数为1.70,中位数为1.70

【解析】

【分析】本题考查了众数、平均数和中位数定义.

(1)将各组人数相加即可求出。的值，用1.75组的人数除以总数即可求出a；

(2)根据平均数、众数和中位数的定义分别进行解答即可；

【小问1详解】

解：0=1+2+3+5+3+1=15,

加％=3+15=20%,

故答案为：15,20；

【小问2详解】

_1.50x1+1.60x2+1.65x3+1.70x5+1.75x3+1.80x1

解：x=---------------------------------------------------=1.6

1+2+3+5+3+1

这组数据的平均数为1.68,

•••这组数据中，1.70出现了5次，出现次数最多，

，这组数据的众数为1.70,

:将这15个数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间位置的数是1.70,

这组数据的中位数为1.70.

21.已知，O的半径为5.在ABC中，NACB=90。，AC=BC=8,点A在C。上.

图1图2

（1）如图1,ABC的顶点。在,。上，AB,分别交（。于E两点,连接AE,DE.求

ZDEB的大小和DE的长；

（2）如图2,ABC的顶点C在：•。外，且边与「。相切于点M,AC边与。相交于点N,连

接AO,BO,求AN和02的长.

【答案】（1）ZDEB=45°,DE=-J1-

（2）4V=6；OB=y[^i-

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形及三角形的内角和定理得，NC43=/B=45。，点。在CO上，且

ZACB=90°,在RtaAEC中，由勾股定理得：CE=6,从而得EB=2；然后利用圆内接四边形的性质

及解直角三角形即可求解；

（2）如图，连接过点。作OH,AC于点〃，由切线性质得OM_L5c于点即

ZOMC=90°,证四边形为矩形，得OAf=CH=5,OH=CM,即AH=3,又由垂径定理

得AH=HN=3,即AN=6；从而利用勾股定理即可得解.

【小问1详解】

解：VZACB=90°,AC=BC^S,

■■ZCAB=ZB=45°,

:点。在O上，且NACB=90。，

为直径，即AE=10,

..在Rt^AEC中，ZACB=90°,AE=10,AC=8,

由勾股定理得：CE=yjAE2-AC2=A/102-82=6-

EB=BC—CE=8—6=2；

:四边形ADEC内接于圆，且/ACB=90。，

NAZ汨=90。，

..ZEDB=90°,ZDEB=900-ZB=45°,

A/2

DE=EB•sinNB=2xV=四;

【小问2详解】

解：如图，连接31,过点。作于点”,

•••8C切；。于点M,且切为半径，

OM±BC于点M,即ZOMC=90°,

ZC=ZOHC=ZOMC=90°,

，四边形为矩形，

OM=CH=5,OH=CM,

AH=3,

VOH1AC,且OH为半径，

AH=HN=3,即AN-6；

在RtaAOT/中，由勾股定理得：OH=yjAO2-AH2=y/52-32=4-

：OH=CM=4,可知族=5。-0/=8-4=4；

在RtAOBM中，由勾股定理得：OB=y/OM2+MB2=752+42=屈■

【点睛】本题主要考查了勾股定理，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解直角三角形以及切线的性质定

理和矩形的判定及性质，熟练掌握解直角三角形以及切线的性质定理和矩形的判定及性质是解题的关键.

22.校庆期间，小南同学从家到学校瞻仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事.他从家出发后，导航

给出两条线路，如图：①AfM；②AfCf经勘测，点E在点A的北偏西

45°方向1200米处，点。在点E的正北方向，点M在点。的正东方向90米处，点B在点E的正东方

向，且在点A的北偏东30°方向；点C在点〃的正东方向406米处，且在点8的北偏西37°方向.

D

r

E5南

\：30/

17

A

（1）求EB的长度；（结果保留根号）

（2）由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择哪条

路线距离更短（参考数据：^2«1.41»6=1.73，sin370取0.6,cos370取0.8,tan37°^0.75）.

【答案】⑴EB的长度为（120+406）米；

（2）选择路线②距离短，见解析

【解析】

【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，矩形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键；

（1）过点A作APLEB,于点P,分别在RtEAP,RtZXBAP中，利用三角函数求解/，石，AP,BP

即可得到答案；

（2）过点B作垂足为。，证明四边形。EQB为矩形，求解CQ=30；在Rt^CQB中，

在RtZXBAP中进一步求解即可得到答案.

【小问1详解】

解：过点A作于点P，

A

由题意得：N£AP=45°,ZB4P=30°,ZEPA=ZBPA=90°,9=120近米.

:在Rt-EAP中，ZEAP=45°,EA=12OJ2>

EP=AE•sin45°=—x12072=120，

2

同理AP=AE•cos450=120；

:在RtA/MP中,NB4P=30°,AP=120,

■■■^P=BP-tanSO0=—X120=40A/3-

3

EB=EP+BP=120+40存

即EB的长度为（120+40⑹米.

【小问2详解】

过点8作BQ，。。，垂足为。，

由题意得：NDEB=ND=NDQB=90°,

.•.四边形。EQB为矩形，

DE-QB,DQ=EB,

DQ=DC+CQ=90+40^3+CQ,

且助=120+40石，

90+4073+CQ=120+4073

.­.CQ=30；

•.•在RtZ\CQ3中，ZCBQ=37°,CQ=30,

tanZCBQ=—,sinZCBQ=空，

BQ2BC

DE=QB=40

:在RtA8Ap中，ZB4P=30°,AP=120,cosZPAB=—,

AB

=80A/3:

cosNPABcos30°

路线①的长为AE+DE+DM=120V2+90+40=130+12072工299.2（米），

而路线②的长为AB+BC+CM=50+120石a257.6（米），

显然257.6<299.2,

，选择路线②距离短.

23.甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往8地，甲车匀速行驶4h至距离A地160km的C地

时发生故障原地维修，2.4h后维修完毕，于是甲车匀速行驶1.6h到达8地.乙车匀速行驶4〃到达距离A

4

地240km的8地，接着花费一h卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车

3

到达8地.在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离y（单位：km）与它们离开A地的时间尤

（单位：/I）之间的函数图象如图所示.

y（km）4

请结合图象信息，解答下列问题:

（1）填表:

甲车离开A地的时间（单位:

甲车离A地的距离（单位:

km)

（2）请直接写出乙车行驶的全过程中y与x的函数关系式.

（3）填空：

①图中6的值为;

②当x=(h)时，甲、乙两车相距60km.

【答案】(1)40；160；240；

(2)当0WxW4时，y=60x；

当4<x<3时，y=240；

3

当时，y=—90X+720；

5047

(3)①144；②3；——；一

97

【解析】

【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是：

(1)根据图象直接求解即可求解；

(2)待定系数法求一次函数解析式；

(3)①把％=6.4代入y=—90%+720,即可求解；

②分0<xK4,4<x<y,y<x<6|,6|<xV8四种情况讨论即可.

【小问1详解】

解：：甲车匀速行驶4h至距离A地:160km的C地，

甲车的速度为160+4=40km/h,

当x=l时，y=lx40=40,

由图象可知，当x=6.4时，y=160；,当％=8时，y=24。，

故答案为:40,160,240；

【小问2详解】

解：当0<九44时，设y与x的函数关系式为丁=区，

把x=4,y=240,代入得240=4无，

解得上=60,

/.y=60x；

416

当4<x<4+—,即4<x<、时，y=240；

33

当:<x<8时，设y与x的函数关系式为丁=g+〃，

—m+n=240

把x=y=240；_x=8,y=。，代入，得＜3

3

8m+n=0

m=-9Q

解得《

〃二720

y=-90x+720；

综上：当0<x<4时，y=60x；

当4<%<3时，y=240；

3

当时，y=—90尤+720；

【小问3详解】

解：①把x=6.4,y=6代入y=-90x+720,

^=-90x6.4+720=144,

故答案为：144；

②当0<xW4时，

:乙车匀速行驶4/2到达距离A地240km的8地,

/.乙车速度为240+4=60km/h

根据题意，得60x—40x=60,

解得x=3；

当时，两车相遇240—160=80km,故不符合题意，舍去;

3

把y=160代入y=-90%+720,得160=-90%+720,

2

解得x=6§<6.4

当”<xW62时，

39

根据题意，得—90x+720—160=60,

解得x=—,

9

2

当63cxW8时，

设甲车行驶中y与尤的函数关系式为y=ox+b,

把尤=6.4,y=160；%=8,y=24。代入,

[6Aa+b-160

得V

[8〃+b=240

a=50

解得《

b=-16Q

y=50%—160,

根据题意，得50x—16。一（一9。%+72。）=6。,

解得力岩47

综上，x=3；y；y（h）Bt,甲、乙两车相距60km,

5047

故答案为：3；

~9；~1'

24.如图1,将一个矩形纸片Q4BC放置在平面直角坐标系中,点0(0,0),点A(36,o),点0(0,6),

点。在边OC上（点。不与点O,C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点。，并与直线AB相

交于点R且NCZ)E=60°,点c的对应点为c'.设。=九

图1图2图3

(1)如图2,当折痕经过点3时，求/的值和点C的坐标;

（2）若折叠后的图形为四边形，点8的对应点为"，3'C’与A3边相交于点G,CD,B'C'分别与x

轴相交于点8，/,设折叠后四边形DEB'C'与矩形Q46c重合部分的面积为S.

①如图3,当折叠后四边形DEB'C'与矩形Q4BC重合部分为五边形时，试用含有r的式子表示S,并直

接写出f的取值范围；

717

②当一＜/＜一时，直接写出S的取值范围.

23

【答案】（1）/=3；点C'的坐标为百

（2）①S=—2舟+18后-33/;（4<Z<5）；■布<S*6.

【解析】

【分析】（1）在Rt_5CD中，利用正切定义求出CD即可，过C作C7/LOC于H,在RtHCZ>中，利

用余弦定义求出DH即可，利用勾股定理求出C'H,即可求解；

（2）①解直角三角形，分别用才表示出OH,FG,AG,〃，然后S=S梯形2必6-5。附-5//求解即

可；

717

②分一</W4：4<r<5；5wr<q三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可.

【小问1详解】

解：由题意，得NCOS=60°,

:矩形纸片。4BC放置在平面直角坐标系中，点0（0,0）,点A（3g,0）,点C（0,6）,

；.OC=AB=6OA=BC=3f，ZAOC=ZOCB=ZABC=ABC=90°,OC//AB,

在Rt_5CD中，t=———=色昼=3,

tanZBDCtan60°

过C作C'”_LOC于X,

:.C'D=CD=3,NBDC=ZBDC=3。,

：.ZHDC'=60°,

3

在RtHC'D中,DH-CD-cosZC'DH=：3xcos60°=-,

2

/--------------3l3

C'H^yJCD2-DH2=-V3,OH^OC-CD-DH=-,

22

...点c'坐标为

【小问2详解】

解：①过/作EK_LOC于K,

则四边形AOK",CKFB都是矩形,

FK=OA=3有，

在Rtz\DEK中，DK=———=2^=3,

tanZKDFtan60°

:.CK=BF=t—3,

・・・OC//AB,

：.ZBFD=1800-ZCDF=120°,ZDFG=ZCDF=60°,

..•折叠，

ADC=DC'=t,PF=BF=t—3,ZBFD=ZB'FD=120°,

ZB'FG=6O°,

：.ZB'GF=ZAGT=30°,

在中，OD=6-t,NOL>H=60。,

/.OH=ODtanNODH=同6-1),

在RtB'FG中，B'F=t—3,NB'FG=60°,

B'F

FG==263),

cos/B'FG

/.AG=AB-BF=FG=15-3t,B'G=>JFG2-B'G2=百(/一3)，

在Rt^AGZ中，AG=15-3t,ZAGT=30°,

AT=AGtanNAG/=

S=S梯形。OAG-SODH—S,AG/

=1(6-?+6-?+3)xV3-1(6-Z)x^(6-Z)-1(15-3?)x^

=-2后+18囚-33百，

折叠后3'C'与AB边相交于点G,CD,3'C'分别与x轴相交于点H,/,

百(6-。+三(15-30<3百

15-3Z>O

4<Z<5,

S=-2后+18后-33百(4</<5)；

=S梯形5CDF—SB'FG

=一争2+6每一9/

=—争—6)2+9/

当/<6时，S随/的增大而增大，

.•.当r=:时，s有最小值为

28

当才=4时，S有最大值为7百；

当4</<5时，S=—2技2+18技—336=—2若［—g)+yV3-

抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小，

V4<Z<5,

当r=2时，s有最大值为"G，

22

-471s91

2222

当/=4或/=5时，S有最小值为76，

=1（6-Z+6-Z+3）x3^-1（6-Z）xV3（6-?）

一走一+38+2省

22

=-^（?-3）2+9A/3，

当f>3时，S随/的增大而减少，

l1749l

...当/=5时，S有最大值为76，当/=了时，S有最小值为勺6,

,71749/-15/-

综上，当一</<—时，—V3<SV—A/3.

2392

【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，二次函数的性质等知识，理解重叠图形的变

化规律是解题的关键.

25.已知抛物线y=ox?+6x+c（其中a,b,c为常数，a<0,cwO）与无轴交于A,B两点（其中点A

在点2的左侧），与y轴相交于点C,且点A坐标为（3-c,0）.点。（3,c）在抛物线上，连接AD,过抛物

线的顶点E作直线EP〃A£）,石P交抛物线于点P,设点尸的横坐标为加.

（1）若c=6时，求抛物线的解析式及点£的坐标；

(2)若c=—10a,求a,m的值；

(3)过点P作尸。〃x轴交直线AD于点。连接3Q,恰有8。〃了轴，求。，机的值(直接写出结果即

可).

【答案】(1)抛物线解析式为y=——+彳■，点后的坐标为I?，彳｝

(2)a=—，m的值为---;

22

6-3^2

⑶…迪m=---------

34

【解析】

【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质、定系数法求一次函数的解析式等知

识，解题的关键是:

(1)把A、。的坐标代入y=。%2+加；+6求解即可；

(2)把A、Z)的坐标代入)=以2+法—10〃，求出〃，匕的值，然后利用待定系数法求出直线AD解析式，

进而求出直线AD解析式，然后联立方程组求解即可；

3^-1

(3)把。的坐标代入y=。%2+法+。，求出Z?=-3a,把A的坐标代入y=ax?一3〃%+。，求出c=------,

a

则y=⑪2—3ax+%」，Af-,o\D(3,网二］,求出顶点'矿—4］,利用待定系数法

a\aJaJ(24a)

1—9a26〃—A

求出加解析式为y=结合小〃皿可求出PE解析式为y=x联立方程组

-9a2+6〃一4

y_JQ_|_______________

4a，求出乜?],山=到2,结合尸。〃了轴，求出。的横坐标为

2.3a-l12a4)2a

y-ax-5ax-\--------

a