2023-2024学年河南省开封市高考数学(理)模拟试题(二模)含答案

2023-2024学年河南省开封市高考数学（理）模拟试题

（二模）

一、单选题

1.已知集合/=卜归=24+l#eN},5={x|TVxV3},则/门5=（）

A.{-1,3}B.{1,2,3}C.{1,3}D.{-1,0,1,2,3）

【正确答案】C

【分析】根据交集的定义运算即得.

【详解】由题知集合A为正奇数组成的集合，且B=则/口8={1,3}.

故选：C.

2.若复数z满足（l+i）.z=|亚-亚i|（i为虚数单位），则2=（）

A.^2—V2iB.2—2iC.—1—iD.l—i

【正确答案】D

【分析】根据复数的模长公式及复数的除法运算即得.

【详解】由题知z=2=2ll11=1—i,

l+i2

故选：D.

3.下列函数中，在区间（0,+/）上单调递增的是（）

A.y=x2-xB.y=ex-xC.y^iwc-xD.y=\x\-x

【正确答案】B

【分析】由二次函数的性质可判断A,利用函数的导数可判断BC,根据绝对值的意义结合条件可

判断D.

【详解】对于A,函数图象的对称轴为x=:，函数在上单调递减，在上单调递增，

故A错误；

对于B,当xe（O,+s）时，y=ex-l>0,所以函数在（0,+司上单调递增，故B正确；

对于C,,函数在（0,1）上单调递增，在。,+⑹上单调递减，故C错误；

对于D,当x>0时，y=o是常数函数，D错误，

故选：B.

4.2023年4月9日至15日，2023年世界乒乓球职业大联盟冠军赛在河南省新乡市平原体育中心

举行，某平台从参与网络直播活动的网友中随机选取了一部分，对他们的年龄（单位：岁）进行

调查，根据调查结果制作的频率分布直方图如图所示，由此估计参与直播活动的网友的年龄的中

【正确答案】C

【分析】根据直方图估计中位数即得.

【详解】因为0.02x5+0.04x5=0.3,0.02x5+0.04x5+0.05x5=0.55,

设中位数为x,则0.1+0.2+（x-30）x0.05=0.5,解得x=34.

故选：C.

5.已知tan[e+：)=-3,贝|cos28=()

33

A.B.C.1D.-1

55

【正确答案】A

【分析】由题解得tan。，再由cos26=加…底"J-tan：。求解即可.

sin-6»+cos26»l+tan"

_、.__.（八兀、tan。+1_,.

【详解】由tan--------=-3,角牛得tan<9=2,

I4）l-tan6>

cos26-sin?01-tan263

所以cos20=cos20-sin20二

cos2+sin261+tan205

故选：A.

6.如图，已知正三角形内接于圆。，记445C的内切圆及其内部区域为①，在小5C的外接

圆内随机取一点，此点取自区域口的概率为（）

B,

A

•O

13

AB.一D.

-T44

【正确答案】B

【分析】根据正三角形的性质结合几何概型概率公式即得.

【详解】设正三角形力3C的内切圆与4。的切点为连接。4。河,

故所求概率为八蟹

故选：B.

7.曲线"上小黑s在点¥剂处的切线的斜率为°,则实数”<)

A.--B.gC.-1D.1

22

【正确答案】D

【分析】根据导数的运算法则及导数的几何意义即得.

・、、，z.,7\2cosxfsinx+cosx)-2sinx(cosx-sinx)2

［详解］由题可得/'(%)=---------------------9------------------------^一，

(sinx+cosX)(sinx+cosx)

则“j=所以。=1,

故选：D.

8.2023年1月底，人工智能聊天程序迅速以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人

工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰

p

减的学习率模型为其中“表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，E

表示衰减系数，夕表示训练迭代轮数，。。表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学

习率为0.6,衰减速度为16,且当训练迭代轮数为16时，学习率衰减为0.48,则学习率衰减到0.2

以下（不含0.2）所需的训练迭代轮数至少为（）（参考数据：1g2yo.3,lg3yo.48）

A.75B.77C.79D.81

【正确答案】B

【分析】由题可得M=0,6X0.8公进而可得不等式0.6x0.调＜0.2，解不等式即得.

【详解】根据题意得该指数衰减的学习率模型为M=0.6瑞，当夕=16时，/=0.48,代入得

0.48=0.6£窃解得£=0.8，

p_1

当学习率衰减到0.2以下（不含0.2）时，0.6xO.8面＜0.2，则。⑻15＜屋

即旦＞log”:，则2＞161ogo81=16x~i6x"48=763,

160833l-31g2l-3x0.3

故选：B.

9.某次实验得交变电流i（单位：A）随时间f（单位：s）变化的函数解析式为，=/sin（a+。），

其中N＞0,o＞0,|同且/«0,+功，其图象如图所示，则下列说法错误的是（）

【正确答案】D

【分析】根据五点法结合图象可得i=10sin11007U+：j,进而即得.

【详解】由题知7=2x(0.0225-0.0125)=0.02,则(y=10()7i,又/=10,

则i=10sin(100m+0),所以当"0时，10sinp=5近，

则sin9=，^,又阿工彳，

22

贝1」°=：,因止匕％=10sin11007i/+；）,

所以当，=』时，％=10sin（IOOTIX2+3]=10sin4兀=0,

801804J

9（9兀\3兀

当/=——时，i=10sinIOOTIX——+—=lOsin——=-10,

80I804J2

因此ABC正确，D错误，

故选：D.

22

10.已知直线/：3x+4"ll=0与椭圆C:3+?=l交于48两点，若点尸（1,2）恰为弦的中点,

则椭圆。的离心率是（）

AV3口V2V3nV6

3223

【正确答案】A

【分析】根据给定条件，利用中点弦问题求出加2,再求出椭圆的离心率作答.

3y.—y3玉+工2=2

【详解】依题意，直线/的斜率为-9,设小占,％）,BN，%），则七皂0=一]，且

4X[X]'=4,

—KK

4+

22222

m2%一%%+了2_32_3

Nm2两式相减得：「一千’于是与-------•--------——X———,

u4+4石一%2再+'2---412

加

解得加2=6,此时椭圆C:巨+片=1,

显然点尸（1,2）在椭圆。内，符合要求,

46

所以椭圆C的离心率e

故选：A

11./（X）为定义在R上的偶函数，对任意的马＞再20,都有/（?）一1（再）＞2,且〃2）=4,则

不等式/（"＞2|尤|的解集为（）

A.（-8,-2）U（2,+8）B.（2,+00）C.(0,2)D.(-<»,2)

【正确答案】A

【分析】由题可得函数g(x)=f(x)-2区在[0,+8)上单调递增，且为偶函数，进而可得国>2,即

得.

【详解】对任意的%>工后0,都有‘(斗)一’(xJ>2,则

x2一再

/(x2)-/(xjc[/(X2)-2X2]-[/(X1)-2X1]^N

乙—>V,

x2-xxX2~X]

令g(x)=/(尤)_2国,则g(x)=/(x)-2区在[0,+8)上单调递增，

因为/(尤)为定义在R上的偶函数，

所以g(-x)=/(-x)-2|T=/(x)-2|=49,即g(x)=/(x)-2因为偶函数，

又g(2)=〃2)-2x|2|=0,

由f(x)>2忖，可得g(x)=/(x)-2E>0,即g(W)>g⑵,

所以国>2,

所以/'(x)>2国的解集为(一”,一2)"2,+8),

故选：A.

71

12.在中，角4伐。的对边分别为4也。，若cos(/+2C)=sin2C-cos/,C,则

3"；"+13的值可为()

C

A.473B.672C.8百D.1672

【正确答案】D

【分析】根据三角恒等变换结合条件可得B=g+C,然后利用正弦定理可得

即二廿+13=12sin2C+—大，再通过换元法，构造函数利用导数研究函数的性质进而即得.

csinC

【详角军】由题知cos(4+C+C)=sin2C—cos(4+C—C),

则cos+C)cosC-sin(^4+C)sinC=sin2C-[cos(^4+C)cosC+sin(^4+C)sinC],

BP2cos(^+C)cosC=sin2C=2sinCcosC,

因为所以cosC20,则cos(/+C)=sinC,

所以sinC=-cos8=sinIB-y，则B=]+C,B为钝角，C为锐角,

3sin2c2CJ+cos2c

3a2+b~,c3sin2A+sin2B,_3cos22C+cos2C,

-----7—+13=----------z--------+13='+13=------------；---------+1

c2sin2Csin2Csin2C

3(l-2sin2C)2+l-sin2C

+13=12sin2cH_—

sin2Csin2c

因为B=4+C,则/=7i-8-C=巴一2c>0,贝!]0<C<巴，则Ovsin'CcL

2242

444i

令％=sin?。，则12sin2cH—.市=12,T—,令/«)=12%H—,0<t<—

smCtt2f

则/⑺=12一工号44,

所以/'⑺在上单调递减，又=则如产+13>14,

故选：D.

关键点点睛：本题的关键是通过三角恒等变换得到8=：+C,然后利用边角互化及换元法把问题

转化求函数最值，再利用导数即得.

二、填空题

13.向量词的夹角为0,定义运算“区”：£丽=同丽®若£=便,1）花=卜6,1）,则£区石的

值为.

【正确答案】2月

【分析】根据新定义结合向量的夹角公式即得.

【详解】因为£=（百』）石=卜后1）,

—3+1__1

所以2x2—2

则sin(a1)=等，所以a<8)1=26.

故答案为.26

14.陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的

几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示，43分别为圆柱上、下底面圆的圆心，尸为

圆锥的顶点，若底面圆的半径为血，PA=g,AB=2,则圆柱的外接球的表面积与圆锥的侧面

积的比值是

图1图2

【正确答案】38

【分析】求出圆柱外接球半径及圆锥的母线，代入球的表面积公式和圆锥侧面积公式直接计算即

可.

【详解】由圆柱的对称性知，圆柱外接球的球心为的中点，

则外接球的半径为R=712+(V2)2=V3，

所以外接球的表面积为E=4兀笈=12兀，

22

又圆锥的母线长为I=7(V2)+(V2)=2，则侧面积为S2=nrl=26n，

所以卷=3后.

故3啦

15.已知过抛物线/=20式0>0)的焦点尸的直线交抛物线于42两点，分别过43作准线的垂

线，垂足分别为尸,0,准线与x轴交于点“，S.\MP\=3,\MQ\=1,则？=.

【正确答案】V3

;「[根据条件可得关系式，进而即得.

【分析】由题可得图形，设

2P)

AF\MP\、AP、

【详解】不妨取,EEl为—17—3,所以—3,

BF\MQ\BQ

贝!1+£=31[-+4],解得22=3,贝1

p=也.

2p212P2)

x-^+l>0

16.已知实数x，V满足<3x-y-3V0,则（2-x）y+（2-y）x/的最小值为

x+y-l>0

【正确答案】-15

【分析】画出不等式组的可行域，设f=x+y,可求出1W5,则

（2-x）y+（2-y）x-d=-。-厅+1,利用二次函数的性质即可求解

【详解】不等式组表示的可行域如图所示，为“3C及其内部的阴影区域,

x-y+1=0,、[x—y+1—0/、

由可得C（2,3）,由1+；_1=0可得/（0，1），

3x-y-3=0

3x一＞一3二0

由可得3(1,0),

x+y-l=0

令，=x+y,贝”=-x+匕结合可行域知，当直线尸-x+f与直线43重合时,取得最小值1,经

过点C时才取得最大值5,即1V/V5,

(2—x)y+(2-=2(x+y)—(x+y)~=—1~+2/=_(t-])—+],

故-15

三、解答题

17.在①为+%+%=15,②S5=20,③%(?-9)=0这三个条件中任选一个，补充在下面问题

中，并解答.

已知公差不为0的等差数列｛4｝的前〃项和为S”%是%与％5的等比中项，.

⑴求｛%｝的通项公式；

⑵求数列｛2".“｝的前”项和7；.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【正确答案】(1)%=〃+1

⑵7；=〃x2"i

【分析】(1)根据所选条件，等差数列通项公式，求和公式及等比中项的性质得到方程组，解得%、

d,即可求出通项公式；

(2)利用错位相减法计算可得.

【详解】(1)选条件①：设等差数列｛%｝的公差为〃(440),

则产=%5,所以眄+6/=(《+24)(%+14力,得卜=2,

所以数列｛七｝的通项公式为。“=2+(〃-1)=〃+1.

选条件②：设等差数列｛&｝的公差为

则忤=%%5,所以［(%+64)2-(%+23)(%+144),卜=2,

、［5^+10t7=20'%+2d=4'［d=l'

所以数列｛与｝的通项公式为%=2+5-1)=〃+1.

选条件③：因为的是。3与％5的等比中项，所以％W0，由。3(?-9)=0,可得又=9,

设等差数列｛。J的公差为*0),

则忤=%%5,所以1(%+6")一=(%+2d)(%+14d),得卜=2,

、［3q+34=9，1%+d=3，［d=］，

所以数列｛叫的通项公式为。“=2+(〃-1)=〃+1.

(2)令6“=2%“=("+1)2",

则北=4+打+…+4=2x2】+3x2?+4x23+…+(“+1)2"①，

27；=2x2z+3x23+4x24+■••+(«+1)2"+1@,

①一②得=2x21+2?+2?+…+2”-(〃+1)2"+1=2+2(；-;)-(«+1)2"+1=-nx2向，

所以，="2向.

18.2023年五一劳动节放假5天，随着疫情的结束和天气转暖，被“压抑”已久的出行需求持续释

放，“周边游”“乡村游”，等旅游新业态火爆，为旅游行业发展注人了新活力，旅游预订人数也开

始增多.为了调查游客预订旅游与年龄是否有关，调查组对300名不同年龄段的游客进行了问卷调

查，得到数据如下表：

预订旅游不预订旅游合计

16—54岁(含45岁)100

45岁以上80

合计300

7

己知在所有被调查的游客中随机抽取1人，抽到不预订旅游的游客概率为1s.

(1)请将2x2列联表补充完整，能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是否预订旅游与

年龄有关？请说明理由.

(2)以年龄为分层标准，按照分层抽样的方法，从被调查的游客中选取5人，再从这5人中任意选

取2人，求2人中恰有1人是45岁以上的概率.

叱2n(ad-be)24,

附：K-=7----------———,其中〃=a+b+c+d.

2

P（K>k0）0.1000.0500.0100.0050.001

k。2.7063.8416.6357.87910.828

【正确答案】(1)列联表答案见解析，能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是否预订旅

游与年龄有关，理由见解析；

3

⑵十

【分析】(1)由题可得不预定旅游的人数，进而可得列联表，然后利用公式可得K2的观测值，即

得；

(2)根据分层抽样的定义及古典概型概率公式即得.

【详解】(1)由题可得不预定旅游的人数为300x5=140,

则列联表补充完整如下：

预订旅游不预订旅游合计

16—45岁(含45岁)80100180

45岁以上8040120

合计160140300

所以K2的观测值为

n(ad-bc¥_______300x(40x80-80x100)2=W14.286>10.828

(a+ft)(c+(/)(«+c)(&+(7)160x140x180x1207

所以能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为是否预订旅游与年龄有关.

1on

(2)按分层抽样，从被调查的游客中选取5人，16〜45岁(含45岁)的人数为5x端=3,分

别记这3人为“,6,c,45岁以上的人数为5x端120=2,分别记这2人为羽儿

从5人中任意选取2人,则有(a,6),(a,c),(a,x),(a,y),(6,c),(6,x),(6,y),(GX),(c,y),(x,y),共有

10种情况,

恰有1人是45岁以上的有(a,x),(a,y),(瓦x),(6,y),(c,x),(c,y),共有6种情况,

则2人中恰有1人是45岁以上的概率为尸=[=|.

19.如图，在矩形/BCD中，点E在边CD上，且满足4D=DE=2,CE=1,将V/DE沿4E向上

翻折，使点。到点尸的位置，构成四棱锥尸-/5CE.

⑴若点尸在线段4P上，且E/〃平面P3C,试确定点下的位置;

(2)若尸8=近，求四棱锥尸-/BCE的体积.

【正确答案】(1)点尸为线段/P上靠近点尸的三等分点；

⑵也.

3

【分析】(1)过点尸作bG///3交尸3于点G,根据线面平行的性质定理即得;

(2)取4E的中点O,利用勾股定理及线面垂直的判定定理可得尸。，平面48CE,然后利用锥

体的体积公式即得.

【详解】(1)如图，过点尸作厂G〃/3交于点G,连接CG,

因为尸G//48//EC,所以瓦尸,G,C四点共面，

若E尸//平面P3C,由所u平面EFGC,5FffiEFGCnPBC=CG,

所以跖//CG,所以四边形E/GC为平行四边形，FG=CE=%B,

所以当且仅当点下为线段AP上靠近点P的三等分点时，EF//平面PBC.

(2)如图，取NE的中点。，连接05,取8C的中点连接OM,则。M=2,8M=1,所以

又PA=PE=2,贝l」CM=O£=OP=VI，又PB=&,贝！JOB?+。尸2=232,

所以PO_LOB.

因为P。J.NE/OLOB./EcOBn。，/瓦。8<=平面/3CE,

所以P。工平面48CE,

则四棱锥尸-ABCE的体积为「二』x拒x("3)x2=逑

323

22

20.已知双曲线C:十%=l(a>0,6>0)的一条渐近线方程为后x7=0,且双曲线经过点2(2,2).

(1)求双曲线C的方程；

⑵过点3(1,0)且斜率不为0的直线与C交于M,N两点(与点A不重合)，直线分别与直线

PB

工=1交于点尸,0,求的值.

【正确答案】⑴二-£=1；

24

PB

⑵而5

【分析】(1)由题得4三-24=1b,2=后I-，进而即得；

aba

(2)设直线MN的方程为x=%y+l,联立双曲线方程，根据直线/M,/N的方程表示出力，为结

合韦达定理即得.

【详解】(1)由题意可知三4-54=1二b=拒r-，

aba

解得。=血,6=2,

所以双曲线的方程为二-q=1.

24

(2)设直线7W的方程为％=町+1,代入工―廿二1中，

24

可得(2相一1)必+4町-2=0,设”(西,弘),"(乙,%),

直线的方程为了="—(x-2)+2,

X]_2

2—v,

令X=l,得点尸的纵坐标为力=一m+2,

xx-2

直线4¥的方程为^="一(》-2)+2,

工2—2

2—y

令X=l,得点。的纵坐标为此=亡19+2,

-16m2+4

因为2f+2--=-2孙%+(2〃?+1)(-+-4=病t=_4

2

'X1-2x2-2(myt-l)(my2-1)4m-1

2m2-1

\PB

所以yp+y°=o,即胃=L

方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：

(1)设直线方程，设交点坐标为(玉,“),(尤2,%)；

(2)联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x(或了)的一元二次方程，必要时计算A；

(3)列出韦达定理；

(4)将所求问题或题中的关系转化为再+苫2、尤述2(或%+%、乂%)的形式；

(5)代入韦达定理求解.

21.已知函数/(x)=g+lnx-ax,其中e为自然对数的底数.

⑴当。=1时，求/(x)的单调区间；

⑵若函数g(x)=〃X)-W有两个零点再,%2(%<%),证明

e

【正确答案】(1)单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(I+8)

(2)证明见解析

【分析】(1)将。=1代入后得/(X)=1+1M-X,对其求导，利用导数与函数的单调性即可得解;

2[--1]

(2)由题意得山X=%,山％=%，从而利用分析法将玉.工2>e?变形为in巡——』,构造函

国1+三

项

数〃⑺=In”乎?("I),利用导数证得由此得证.

【详解】⑴当°=1时，/(x)=[+lnx—xj(x)的定义域为(0,+动,

则/⑴=『「=（「M力

因为x>0,则e*>l>0,所以4+1>0,

e-x

当0<x<l时，*x）〉0,则f（x）单调递增；当x>l时，r（x）<0,则单调递减；

所以/（无）的单调递增区间为（0,1）,单调递减区间为（1,+8）.

（2）若函数g（x）=〃x）-卞=Im-ax有两个零点，则g（xj=g（x2），

即ln$=叼,111I2=%，两式相减，可得"牛，两式相加得加再+111%2=。（玉+%），

2

要证再F〉。？，只要证hUi+hu2>2,即证。（石+工2）>2,即证。>-----,

XyI*^2

只须证蚂二!出〉，即证1吨-1%>2（"一再）,即证1n寇>_C_）,

X

%一再玉+/X1+X2再]+2

再

令;强，则由0<再得£>1，故须证ln%>2"T）,

再Z+1

令M，）=血一合则"⑺=*，

当,>i时，〃«）>o,所以力。）在（1,+8）上单调递增，

所以当，>1时，A（z）>/7（1）=O,即in/>止D成立，

，+1

故原不等式西外>62成立.

方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题.注意分类讨论与数形结合思想

的应用；

二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.