江苏省南通市2017届高三第一次模拟考试数学含答案

南通市2017届高三第一次调研测试

数学I

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.

1.函数y=2sin（3x-：）的最小正周期为▲

2.设集合/={1,3},8={a+2,5},/>8={3},则2/8=▲

3.复数z=（l+2i）2,其中i为虚数单位，则z的实部为▲.

4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.已知摸出

红球的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概

率为▲.

5.如图是一个算法的流程图，则输出的〃的值为▲.

2x+yW4,

6.若实数x,y满足则z=3x+2v的最大值为▲.（结束）

x三0,

（第题）

y三0,5

7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下:

学生第1次第2次第3次第4次第5次

甲6580708575

乙8070758070

则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为▲

8.如图，在正四棱柱ABCD-4B1QO1中，48=3cm,

AA{=1cm,则三棱锥。:1-4BD的体积为▲cn?.

9.在平面直角坐标系xOy中，直线2x+y=0为双曲线

W=l（a>0,6>0）的一条渐近线，则该双曲线

（第8题）

的离心率为▲.

10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,

上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为▲升.

11.在△ABC中，9C-BA+2AC-AB=CA-CB,则二W的值为▲

sinC

12.已知两曲线/(x)=2sinx,g(x)=acosx,X€(0,会相交于点。.若两曲线在点P处的切线

互相垂直，则实数”的值为▲.

13.已知函数/■(x)=|x|+k-4|,则不等式〃/+2)>〃x)的解集用区间表示为一4一.

14.在平面直角坐标系xOy中，已知B,C为圆V+「=4上两点，点N(l,1),且AB_LAC,则

线段BC的长的取值范围为▲.

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

15.(本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角a,其终边与单位圆交于点人

以0A为始边作锐角尸，其终边与单位圆交于点B,AB=手.

(1)求COS夕的值；

(2)若点A的横坐标为工，求点3的坐标.

13

(第15题)

16.(本小题满分14分)

如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形八BCD为平行四边形,ZC,BD相交于点0,点E为PC的中点，OP=OC,

PA.LPD.

求证：(1)直线力〃平面BDE；

(2)平面8DE_L平面PCD.

AB

(第16题)

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆W+A=l（4>6>0）的离心率为正，焦点到

ab2

相应准线的距离为L

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若P为椭圆上的一点，过点。作0P的垂线交直线

y=收于点Q,求」的值.

OP-OQ2

（第17题）

18.（本小题满分16分）

如图，某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为4D的中点,

点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C,D分别落在

直线BC下方点M,N处，FN交边BC于点P）,再沿直线PE裁剪.

（1）当NEFP二二时，试判断四边形MA/PE的形状，并求其面积；

4

（2）若使裁剪得到的四边形MNPE面积最大，请给出裁剪方案，并说明理由.

（第18题）

19.（本小题满分16分）

已知函数/（x）=ax2-x-h\x,aeR.

3一

（1）当时,求函数/（%）的最小值；

8

（2）若-IWaWO,证明：函数/（x）有且只有一个零点;

（3）若函数“X）有两个零点，求实数a的取值范围.

20.（本小题满分16分）

已知等差数列｛«„｝的公差"不为0,且气，4,,…，知“，…（耳<k2<—<kn<…）成等比数歹I」,

公比为《.

⑴若尢=1,鼠=3,内=8，求幺的值;

d

(2)当?为何值时，数列优｝为等比数列;

(3)若数列｛左J为等比数列，且对于任意〃eN*,不等式％,+%“>2右恒成立，求q的取值

范围.

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.［选修4T:几何证明选讲］（本小题满分10分）

已知圆O的直径48=4,C为A。的中点，弦OE过

点C且满足CE=2CD,求4OCE的面积.

B.［选修4-2:矩阵与变换］（本小题满分10分）

已知向量二是矩阵A的属于特征值T的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中，点

尸（1,1）在矩阵A对应的变换作用下变为P（3,3）,求矩阵A.

C.［选修4-4：坐标系与参数方程］（本小题满分10分）

在极坐标系中，求直线6=工（夕ER）被曲线夕=4sin6所截得的弦长.

D.［选修4-5：不等式选讲］（本小题满分10分）

求函数y=3sinx+2j2+2cos2x的最大值.

【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出

文字说明、证明过程或演算步骤.

22.（本小题满分10分）

如图，在棱长为2的正方体ABCD-4B1G5中，P为棱G5的中点，Q为棱BBi上的点，

S.BQ=ABBl（2^0）.

（1）若2=L，求AP与4Q所成角的余弦值；

2

（2）若直线A4与平面APQ所成的角为45°,

求实数X的值.

（第22题）

23.（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线V=2处（p>0）上的点1）到焦点F的距离为2.

（1）求抛物线的方程;

（2）如图，点E是抛物线上异于原点的点，抛物线在点E处的切线与x轴相交于点P,直

线PF与抛物线相交于4B两点，求△EAB面积的最小值.

（第23题）

南通市2017届高三第一次调研测试

数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.

函数y=2sin（3x-0）的最小正周期为▲.

【答案】—

3

2.设集合/={1,3},B={a+2,5},/口3={3},则ZlJ8=▲

【答案】{1,3,5}

3.复数z=（l+2iy,其中i为虚数单位，则z的实部为▲.

【答案】-3

4.口袋中有若干红球、黄球和蓝球，从中摸出一只球.摸出红球

的概率为0.48,摸出黄球的概率为0.35,则摸出蓝球的概率为

▲.

【答案】0.17/输岂n/

5.如图是一个算法的流程图，则输出的"的值为▲.

（结束）

【答案】5

（第5题）

2x+yW4,

6.若实数x,y满足则z=3x+2v的最大值为▲.

x三0,

y20,

【答案】7

7.抽样统计甲、乙两名学生的5次训练成绩（单位：分），结果如下:

学生第1次第2次第3次第4次第5次

甲6580708575

乙8070758070

则成绩较为稳定（方差较小）的那位学生成绩的方差为一4」.

【答案】20

如图，在正四棱柱A8CD-4B1JD1中，AB=3cmf

AAX=1cm,则三棱锥D1-4BD的体积为▲cm，.

AB

（第8题）

【答案w

9.在平面直角坐标系X0中，直线2x+y=0为双曲

22

线二-斗=1(。>0,6>0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为▲.

ab

【答案】V5

10.《九章算术》中的“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列,

上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则该竹子最上面一节的容积为▲升.

【答案】—

22

11.在△4BC中，若BC•BA+2AC•AB=CA•CB,则网白的值为▲.

sinC

【答案】V2

12.已知两曲线/'(x)=2sinx,g(x)=acosx,xe(0,今相交于点P.若两曲线在点P处的切线

互相垂直，则实数。的值为▲.

【答案】—

3

13.已知函数/^，二国+卜-4，则不等式〃，+2)>〃x)的解集用区间表示为一4一.

【答案】(-oo,-2)U(V2,+oo)

14.在平面直角坐标系xOy中，已知B,C为圆f+/=4上两点，点/(I,1),且AB_LAC,则

线段BC的长的取值范围为▲.

【答案】［指-拒，指+蜴

二、解答题：本大题共6小题，共计90分.

15.(本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边作锐角a,其终边与单位圆交于点人

以。4为始边作锐角"，其终边与单位圆交于点B,AB=芍.

(1)求COSP的值；

(2)若点八的横坐标为上，求点8的坐标.

13

【解】⑴在△40B中，由余弦定理得，

(第15题)

AB2=OA2+OB2-2OA-OBcosZAOB,所以

//OA2+OB2-AB2

cosZAOB=---------------------2分

2OAOB

俨+F一(述)2

53

—2x1x1-5

a

即cosP=~6分

(2)因为cos/?|,0€(0中,

4

所以sin夕=Jl-cos2/=8分

5

因为点的横坐标为工，由三角函数定义可得,5

4cos。=——

1313

12

因为a为锐角，所以sina=Vl-cos2a=10分

13-

5312433

所以cos(tz+P)=cosacos/?-sintzsin(3=——X-------------X—=12分

13513565

sin(a+/)=sinacos〃+cosasin〃=^|xg+[xg=!|

所以点3（-变,四）.

14分

6565

16.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-4BC。中，四边形ABCD为平行四边形，AC,B。相交于点O,点E为PC的中点，OP=OC,

PA_LPD.

求证：（1）直线PA〃平面BOE；

(2)平面BDE_L平面PCD.

【证明】（1）连结。£,因为。为平行四边形N8C。对

角线的交点，所以。为NC中点.

又因为E为尸C的中点,

所以〃巳4.4分（第16题）

又因为OEu平面ADE,尸/N平面

所以直线尸N〃平面3DE.6分

(2)因为OE〃尸/,PALPD,所以OE_LPD.8分

因为OP=OC,£为尸。的中点，所以OE_LPC.10分

又因为PDu平面尸CD,PCu平面尸CD,PCCPD=P,

所以O£_L平面PCZ）.12分

又因为OEu平面ADE,所以平面BOE_L平面尸CD.14分

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆，+口=1（a>b>0）的离心率为正，焦点到

ab2

相应准线的距离为1.

（1）求椭圆的标准方程；___________kQ

（2）若P为椭圆上的一点，过点。作OP的垂线交直线

”近于点Q,求一'■y+J的值.一—、_

OP2OQ2ColJx

【解】（1）由题意得，£=e，且-c=i,.......2分

a2c1

广（第17题）

解得a=V2,c=1,b=l.

所以椭圆的方程为J+F=l........................................4分

（2）由题意知。尸的斜率存在.

当。尸的斜率为0时，0Pm,。0=也，所以」=.......6分

OP2OQ-

当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx.

由万+r=1'得（2F+I）/=2,解得》2=一_,所以2=二二，

,v>2k1+\2公+1

y=kx,

所以O尸=^±^..................................................9分

2k+1

因为。P_L。。，所以直线。0的方程为/=-：》.

y=V2,

由<]得x=-收,所以002=2产+2.........................12分

112k2+11

所以----1------------1------=1.

OP-OQ22F+22公+2

综上，可矢口-H---7-=1•.........................................14:

OP-OQ2

18.（本小题满分16分）

如图，某机械厂要将长6m,宽2m的长方形铁皮ABCD进行裁剪.已知点F为4D的中点,

点E在边BC上，裁剪时先将四边形CDFE沿直线EF翻折到MNFE处（点C,。分别落在

直线BC下方点M,N处，FN交边BC于点、P）,再沿直线PE裁剪.

（1）当/EFP=工时，试判断四边形MNPE的形状，并求其面积;

4

（2）若使裁剪得到的四边形/WNPE面积最大,请给出裁剪方案，并说明理由.

【解】（1）当NEFP=二时，由条件得

4

JT

ZEFP=ZEFD=ZFEP=-.

4

所以NFPE=二.所以FN_LBC,

2

四边形M/VPE为矩形....3分

所以四边形MNPE的面积

S=PN-MN=2m2.3...............5分

（2）解法一：

1^ZEFD=0(0<6»<-),由条件，知/EFP=/EFD=/FEP=9.

2

所以PF=————=,

sin(K-26)sin20

NP=NF-PF=3———,

sin26

ME=3———....................................................................................................8分

tan。

.2

3———>0,sin2">—,

sin2。3

八2

由，3--------->0,得，tan0>—,(*)

tan。3

TlTl

O<0<~,0<6><-.

22

所以四边形MNPE面积为

S=；(NP+ME)MN

1「22]

二—(3--——)+(3--------)x2

21_sin26tan。_

,22

=6-----------

tan0sin20

22(sin23+cos23)

=6--------------------

tan。2sin0cos0

3

=6-(tan0-\------).........................................................................................12分

tan。

当且仅当tanO=」一,即tanO=JL。=三时取“=”.............14分

tan。3

此时，(*)成立.

答：当/£ED=巴时，沿直线PE裁剪，四边形/WNPE面积最大，

3

最大值为6-2班m2............................................................................................16分

解法二:

设BE=tm,3<t<6,贝！|板=67.

因为NEFP=/EFD=/FEP,所以PE=PF,即“3-BPY+2。=t-BP.

13-»13-?

所以3尸=------,NP=3-PF=3-PE=3-Ct-SP)=3-1+-----------............8分

2(3一)2(3—)

3</<6,

3v，v6,

13-产

由＜--------->0,得《r>V13,(*)

2(3-7)

Z2-12/+31<0.

013-f2

3—tH----------->0,

2(3—)

所以四边形MNPE面积为

S=^(NP+ME)MN

113-/

-(3-+)+(6-力x2

2[2(3-)

3t2-30?+67

12分

__2(3-/)-

=6--(?-3)+—W6-2G.

_2t-3_

当且仅当&f-3)=二一,即/=3+、曰=3+拽时取"="

14分

2t-3\33

此时，(*)成立.

答：当点E距B点3+拽m时，沿直线PE裁剪，四边形MNPE面积最大,

3

最大值为6-26m2............................................................................................16分

19.(本小题满分16分)

已知函数/(x)=ax2-x-lux,a£R.

(1)当时，求函数/(%)的最小值;

8

(2)若-IWaWO,证明：函数/(x)有且只有一个零点；

(3)若函数/(x)有两个零点，求实数a的取值范围.

Qa

【解】(1)当。=—时，/(X)=—X2-X-lux.

88

所以+0x+当—2),(x>0)..............................................2分

令r(x)=0,得x=2,

当x£(0,2)时,f\x)<0；当x£(2,+oo)时，f\x)>0,

所以函数/(x)在(0,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增.

所以当x=2时，〃x)有最小值/(2)=-/一In2..................................................4分

(2)由/(工)="2—x-lnx,Wf\x)=2ax-1--=^ax~x~^,x>0.

2

所以当aWO时，/>(x)=2ax-x-l<0；

函数/(x)在(0,+oo)上单调递减，

所以当aWO时，函数/(x)在(0,+8)上最多有一个零点.................6分

因为当TWaWO时，/(l)=a-l<0,/(1)=e"+g>0,

所以当TWaWO时，函数〃x)在(0,+8)上有零点.

综上，当TWaWO时，函数“X)有且只有一个零点...................8分

(3)解法一：

由(2)知，当aWO时，函数〃x)在(0,+8)上最多有一个零点.

因为函数“X)有两个零点，所以。>0...............................................................9分

丫2_y_1

由/W-办2-x-Inx,得fr(x)=---------------，(x>0),令g(x)=2ax2-x-1.

x

因为g(0)=-1<0,2a>0,

所以函数g(x)在(0,+8)上只有一个零点，设为飞.

当X£(0,%)时，g(x)<0,f\x)<0；当X£(%0,+8)时，g(x)>0,f\x)>0.

所以函数/(X)在(0,%)上单调递减；在(如+00)上单调递增.

要使得函数/(X)在(0,+8)上有两个零点，

只需要函数/(%)的极小值/(x0)<0,即办;-x0-lnx0<0.

又因为g(Xo)=2ax；-x0-1=0,所以21nx°+x0-1>0,

又因为函数〃(x)=21nx+x-l在(0,+8)上是增函数，且〃⑴=0,

所以%>1,得0<—<1.

2

又由—x0—1=0,得2Q=(—了H=(1—)—，

xQxQxQ24

所以。.......................................................13分

以下验证当0<。<1时，函数/(x)有两个零点.

当0<a<1时，=—>0,

aaaa

所以1</<』.

a

因为/d)=£」+i=三二磬>o,且/®)<o.

eeee

所以函数/a)在(L/)上有一个零点.

e

又因为/(2)=?-2-ln222-(2-l)=l>0(因为InxWx-l),>/(x0)<0.

aaaaaa

所以函数〃x)在(％,2)上有一个零点.

a

所以当0<。<1时，函数/(%)在(乙i，0)内有两个零点.

ea

综上，实数o的取值范围为(0,1)...................................16分

下面证明：Inx^x-1.

1y_1

设E(x)=x-l-lnx,所以/(x)=l—=---,(x>0).

xx

令，(x)=0,得x=l.

当X£(0,1)时，t\x)<0；当％£(1,+00)时，t\x)>0.

所以函数*x)在(0,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增.

所以当x=l时，心)有最小值(1)=0.

所以Z(x)=x-1-Inx20,得InxWx-l成立.

解法二：

由(2)知，当QWO时，函数/(x)在(0,+oo)上最多有一个零点.

因为函数/(x)有两个零点，所以Q>0...............................9分

由/(x)=办？-x-lux=0,得关于x的方程-='+,(x>0)有两个不等

的实数解.

又因为InxWx-l,

所以=1>+1,（x>0）.

JC2JC2X

因为x>0时，一g-iy+lWl,所以aWl.

又当a=l时，x=l,即关于x的方程。=山底有且只有一个实数解.

x

所以0<a<1......................................................13分

（以下解法同解法1）

20.（本小题满分16分）

已知等差数列｛a“｝的公差d不为0,且气,%,.以“，…（左<左2V…<k“<…）成等比数列，

公比为

（1）若匕=1,鼠=3,内=8，求幺的值；

d

（2）当》为何值时，数列优｝为等比数列；

（3）若数列代J为等比数列，且对于任意〃eN*,不等式a“+”>2亳恒成立，求外的取值

范围.

【解】（1）由已知可得：1,a3,%成等比数列，所以（q+2d?+7d）,......2分

整理可得：4屋=34d.因为dHO,所以幺=3.......................4分

d3

（2）设数列优｝为等比数列,则k；=明.

又因为气，气，”成等比数列，

所以[%+（尢—l）d][%+（左3—1）。]=[%+（左2—1）"].

整理，得6（2左2—尢—左3）=d（左1左3—k；—左]—左3+2k2）.

因为左所以q（2左2-左1一左3）=d（2左2-左一左3）,

因为2k2手k[+后3，所以4—d，即巧~=1................................6分

d

当幺=1时，=%+（〃-l）d=,所以久=knd.

dn

又因为=%q〃T=/dg〃T,所以左〃=《q〃T.

4+1%”

所以=q,数列代｝为等比数列.

综上，当时，数列优｝为等比数列...............................8分

(3)因为数列优｝为等比数列，由(2)知q=",k“=k\q'q>».

nxnxnx

ak=akq~=kxdq~=kxaxq~,an=ax+(n-1)<7=nax.

因为对于任意几EN*,不等式+”>2左恒成立.

nxnx

所以不等式加1+kxaxq~>2kxq~,

2kqjn+kqn~x1JL2L

即a>0<—<x+恒成立.10分

xnxn

n+k{q~%2例i22klq

下面证明：对于任意的正实数2(0<2<1),总存在正整数々，使得

q'

要证,即证In"1<nxIn^+lne.

/]--

因为InxW—x<—x,则Inn=2In,

e2x

j__LL

角牟不等式%Ing+Ine,即(z/J)2Inq-n^+\ns>0,

'所以“(”叵广

可得>亘叵

21nq

不妨取“0=(1+1,41n“ln£)2+],则当〃]>/时，原式得证.

21nq

所以0<Lw；,所以422,即得4的取值范围是[2,+00)..........16分

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.

若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4-1:几何证明选讲](本小题满分10分)

已知圆O的直径48=4,C为4。的中点，弦DE过点C且满足CE=2CD,求^OCE的面积.

【解】设CD=x,贝l]CE=2x.

因为C4=l,CB=3,

由相交弦定理，得CACB=CD-CE,

所以1*3=犷2》=2必，所以x=Y^........2分

2

(第21-A题)

取。E中点77,则O8_LDE.

因为OH2=OE2-EH2=4-(|x)2=|,

所以3=巫...........................................................6分

4

又因为C£=2x=C,

所以△OCE的面积S=!OH-CE=」X®XC=«^......................10分

2244

B.［选修4-2：矩阵与变换］(本小题满分10分)

已知向量二是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量.在平面直角坐标系xOy中，点

P(l,1)在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),求矩阵4

ab

【解】设/=

Cd

因为向量1是矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量,

-1

—1[a—b=—If

所以"•所以鼠=1.4分

因为点尸(1，D在矩阵A对应的变换作用下变为P(3,3),

a「3］\a+b=3,八

所以，/1=R-所以q.........................................8分

cuJ［_1J\c+a=J.

,「121

尚军得a=l,b=2,c=2,d=1,所以)=..........................10分

_21

C.［选修4-4：坐标系与参数方程］(本小题满分10分)

在极坐标系中，求直线6=；(/?£R)被曲线夕=4sin。所截得的弦长.

【解】解法一：

在夕=4sing中，令6=工，MP=4sin—=2^/2,BPAB=2>/2................10分

44

解法二：

以极点O为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.

直线J=：GoeR)的直角坐标方程为y=x①，................................3分

曲线夕=4sin。的直角坐标方程为f+J?-4、=()②.......................6分

由①②得厂二°'或卜=2，...........................