2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）已知复数z=1-2i1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|A．2 B．3 C．5 D．73．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，A．0 B．1 C．2 D．34．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+πA．π4 B．π2 C．π D．5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+ab≥2C．a+b≥2|ab| D．a6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，β∥α，则a∥β B．若α⊥β，a⊥β，则a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若a∥α，b⊥α，则a⊥b7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcosC．r+hsinβ=r8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A．3 B．23 C．33 D二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A．该组数据的平均数为1157B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（A．最小正周期为π B．在区间[-π3C．图象的一个对称中心为(-D．图象的一条对称轴为直线x（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（）A．A＝2B B．B的取值范围为(0C．ab的取值范围为(D．1tanB-（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）A．BF与AE异面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为．16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为，OP→⋅AB→的最小值为四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在[018．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．19．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△20．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．22．（12分）设a为正数，函数f（x）＝ax2+bx+c满足f（0）＝1且f（x）＝f(2（1）若f（1）＝1，求f（x）；（2）设g（x）＝log2（x﹣2x+2），若对任意实数t，总存在x1，x2∈[t﹣1，t+1]，使得f（x1）﹣f（x2）≥g（x3）﹣g（x4）对所有x3，x4∈[14

2022-2023学年广东省广州六中、二中、广雅、省实、执信五校联考高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．1．（5分）已知复数z=1-2i1+iA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【解答】解：因为z=1-2i因此，z对应的点(-故选：B．2．（5分）已知平面向量a→与b→为单位向量，它们的夹角为π3，则|A．2 B．3 C．5 D．7【解答】解：∵a→∴|2a故选：D．3．（5分）已知函数f(x)=1x，x＞0x+2，A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：令f（x）﹣3|x|＝0，得f（x）＝3|x|，则方程f（x）﹣3|x|＝0的解的个数即函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象的交点的个数．作出函数y＝f（x）与函数y＝3|x|的图象，可知两个函数图象的交点的个数为2，故方程的解的个数为2个．故选：C．4．（5分）函数y＝sin（x+π3）sin（x+πA．π4 B．π2 C．π D．【解答】解：∵函数y＝sin（x+π3）sin（x+π2）＝（12sinx+32cosx）•cosx=1=14sin2x+32•1+cos2x2∴函数的最小正周期是2π2故选：C．5．（5分）下列不等式恒成立的是（）A．ba+ab≥2C．a+b≥2|ab| D．a【解答】解：对于A：a，b异号是显然不成立，∴A不正确；对于B：a，b异号是显然不成立，∴B不正确；对于C：a，b均小于0时，显然不成立，∴C不正确；对于D：∵（a+b）2≥0（a，b∈R），∴a2+b2≥﹣2ab（a，b∈R），∴D正确；故选：D．6．（5分）已知a，b是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，β∥α，则a∥β B．若α⊥β，a⊥β，则a∥α C．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β D．若a∥α，b⊥α，则a⊥b【解答】解：对于A：若a∥α，β∥α，则a∥β或a⊂β，故A错误；对于B：若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a⊂α，故B错误；对于C：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交；故C错误；对于D：若a∥α，则过a作平面δ，δ∩α＝m，则a∥m，由b⊥α，则b⊥m，则a⊥b，故D正确．故选：D．7．（5分）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为h．将地球看作是一个球心为O，半径为r的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星．若该观测点的纬度值为a，观测该卫星的仰角为β，则下列关系一定成立的是（）A．r+hcosβ=rcosC．r+hsinβ=r【解答】解：如图所示，∠B由正弦定理可得OA即rsin化简得rcos故选：A．8．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP∥平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（）A．3 B．23 C．33 D【解答】解：如图所示，E，F，G，H，N分别为B1C1，C1D1，DD1，DA，AB的中点，则EF∥B1D1∥NH，MN∥B1A∥FG，∴平面MEFGHN∥平面AB1D1，∴动点P的轨迹是六边形MEFGHN及其内部．∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为2，∴EF＝FG＝GH＝HN＝NM＝ME=2即六边形EFGHNM是边长为2的正六边形，则其面积S=6×故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑．（多选）9．（5分）已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（）A．该组数据的平均数为1157B．该组数据的中位数为13 C．该组数据的第70百分位数为16 D．该组数据的极差为15【解答】解：将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25，对于A，该组数据的中位数为23+25+13+10+13+12+197=115对于B，该组数据的中位数为13，故B正确；对于C，由7×70%＝4.9，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误；对于D，该组数据的极差为25﹣10＝15，故D正确．故选：ABD．（多选）10．（5分）把函数f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）的图象，下列关于函数g（A．最小正周期为π B．在区间[-π3C．图象的一个对称中心为(-D．图象的一条对称轴为直线x【解答】解：f（x）＝sinx的图象向左平移π3个单位长度，再把横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）得到函数g（x）＝sin（2x+π所以函数的最小正周期为π，当x=π12时，函数取得最大值故选：AD．（多选）11．（5分）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b（b+c），则下列结论正确的有（）A．A＝2B B．B的取值范围为(0C．ab的取值范围为(D．1tanB-【解答】解：因为a2＝b（b+c），又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，即b（b+c）＝b2+c2﹣2bccosA，所以bc＝c2﹣2bccosA，所以b＝c﹣2bcosA，即c﹣b＝2bcosA，由正弦定理可得sinC﹣sinB＝2sinBcosA，又sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，∴sinAcosB+cosAsinB﹣sinB＝2sinBcosA，即sinAcosB﹣sinB＝sinBcosA，∴sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B）＝sinB，∵A，B，C为锐角，∴A﹣B＝B，即A＝2B，故选项A正确；∵0＜2B＜π∵ab=sinA∵1tanB又π3＜A令t＝sinA（32＜t＜1），则由对勾函数性质可知，f(t)=又f(∴1tanB-1故选：AC．（多选）12．（5分）如图是一个正方体的侧面展开图，A，C，E，F是顶点，B，D是所在棱的中点，则在这个正方体中，下列结论正确的是（）A．BF与AE异面 B．BF∥平面ACD C．平面CDF⊥平面ABD D．DE与平面ABD所成的角的正弦值是2【解答】解：由展开图还原正方体如下图所示，其中B，D分别为NP，AM中点，对于A，∵AE∩平面EFPN＝E，BF⊂平面EFPN，E∉BF，∴AE与BF为异面直线，A正确；对于B，连接BD，DG，∵B，D分别为AM，NP中点，∴BD∥AP，BD＝AP，又AP∥FG，AP＝FG，∴BD∥FG，BD＝FG，∴四边形BDGF为平行四边形，∴BF∥DG，又BF⊄平面ACD，DG⊂平面ACD，∴BF∥平面ACD，B正确；对于C，假设平面CDF⊥平面ABD成立，∵AG⊥平面ABD，AG⊄平面ABD，∴AG∥平面CDF，∵AG⊂平面AGCM，平面AGCM∩平面CDF＝CD，∴AG∥CD，显然不成立，∴假设错误，平面CDF与平面ABD不垂直，C错误；对于D，连接DN，直线DE与平面ABD所成角即为直线DE与平面AMNP所成角，∵EN⊥平面AMNP，∴∠EDN即为直线DE与平面AMNP所成角，设正方体棱长为2，∵DE=∴sin∠EDN=NEDE=23，即直线故选：ABD．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡的相应位置上．13．（5分）已知树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n10名学生参加湿地保护知识竞赛，已知参赛学生中男生比女生多10人，则n＝1000【解答】解：树人中学高一年级总共有学生n人，其中男生550人，按男生、女生进行分层，并按比例分配抽取n1已知参赛学生中男生比女生多10人，按比例分配抽取n10则参赛学生中男生人数为550×110参赛学生中女生人数为55﹣10＝45人，∴n＝（55+45）×10＝1000．故答案为：1000．14．（5分）在直角三角形ABC中，已知AC＝2，BC=23，∠C＝90°，以AC为旋转轴将△ABC旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为8【解答】解：如图，圆锥任意两条母线为AB，AD，则截面为等腰△ABD，∴截面面积为S△ABD=12×AB×AD由图可知当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°，∴∠BAD∈（0°，120°），∴sin∠BAD最大值为1，∵AB＝AD=A∴当sin∠BAD最大时截面面积最大，∴截面面积最大为12×故答案为：8．15．（5分）已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为8π，则此正四棱台的侧棱长为2．【解答】解：设上下底面互相平行的两对角线分别为DC，AB，则由球O的表面积为8π，可得球O的半径R=2又正四棱台的上下底面边长分别是1和2，故DC=2，AB＝22所以球O的球心正好在AB中点，故OA＝OB＝OC＝OD=2，所以△ODC是正三角形，故∠ODC＝∠DOC＝60°，所以△ODA故此正四棱台的侧棱长AD＝OA=2故答案为：2．16．（5分）如图是正八边形ABCDEFGH，其中O是该正八边形的中心，P是正八边形ABCDEFGH八条边上的动点．若OA＝2，则该八边形的面积为82，OP→⋅AB→的最小值为﹣【解答】解：在正八边形ABCDEFGH中，OB=所以正八边形ABCDEFGH的面积为8S因为AB所以AB=8-42，又cos所以OA→⋅AB因为OP→⋅AB→=(OA又设〈AP所以AP→⋅AB→=|又|AP→|cosθ表示向量AP→点P不可能在路径BCDE上（在此路径上θ为锐角），所以点P在路径EFGHAB上，延长BA与GH，延长线交于M点，则AMH为等腰直角三角形，且MA=所以BM=所以当点P在GH上时，向量AP1→在向量AB即|AP所以(AP所以(OP故答案为：82四、解答题：本大题共6小题，第17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效17．（10分）已知函数f（x）＝sin（﹣2x）+cos（﹣2x），x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；（2）求函数f（x）在[0【解答】解：（1）因为f(由题意得：T=2π|ω由2kπ解得：-π故函数f（x）的单调递减区间为[-（2）由x∈[0，∴cos(2∴f（x）在区间[0，π2当cos(2x+π4)=-1，即18．（12分）5月11日是世界防治肥胖日．我国超过一半的成年人属于超重或肥胖，6～17岁的儿童青少年肥胖率接近20%，肥胖已成为严重危害我国居民健康的公共卫生问题．目前，国际上常用身体质量指数（BodyMassIndex，缩写BMI）来衡量人体胖瘦程度以及是否健康．我国成人的BMI数值标准为：BMI＜18.5为偏瘦；18.5≤BMI＜24为正常；24≤BMI＜28为偏胖；BMI≥28为肥胖．为了解某公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用比例分配的分层随机抽样方法抽取了60名男员工、40名女员工的身高和体重数据，通过计算得到男女员工的BMI值并将女员工的BMI值绘制成如图所示的频率分布直方图：（1）求图中a的值，并估计样本中女员工BMI值的70%分位数；（2）已知样本中男员工BMI值的平均数为22，试估计该公司员工BMI值的平均数．【解答】解：（1）由题意，2×（0.08+0.13+a+0.06+0.07+0.02+0.01+0.03）＝1，解得a＝0.10，因为2×（0.08+0.13+0.10）＝0.62＜0.7，2×（0.08+0.13+0.10+0.06）＝0.74＞0.7，故70%分位数在[22，24）之间，设为x，则0.62+0.06×（x﹣22）＝0.7，解得x=70故估计样本中女员工BMI值的中位数为703（2）由题意，样本中女员工BMI值的平均数为：2×（17×0.08+19×0.13+21×0.10+23×0.06+25×0.07+27×0.02+29×0.01+31×0.03）＝21.64，故估计该公司员工BMI值的平均数x=1100×（22×60+21.64×4019．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足2bcosC＝2a﹣c．（1）求角B；（2）如图，若△ABC外接圆半径为263，D为AC的中点，且BD＝2，求△【解答】解：（1）因为2bcosC＝2a﹣c，由余弦定理可得2b•a2+b2-整理可得：a2+c2﹣b2＝ac，再由余弦定理可得a2+c2﹣b2＝2accosB，可得cosB=12，B∈（0，可得B=π（2）设△ABC外接圆半径为263，设外接圆的半径为r，由正弦定理可得：bsinB由（1）可得AC＝b＝2×263D为AC的中点，可得AD＝CD=12AC在△ABC中，由余弦定理可得cosB=a可得a2+c2﹣b2＝ac，可得（a+c）2＝b2+3ac＝8+3ac，①而BD＝2，在△ADC中，由余弦定理可得cos∠ADC=A在△BCD中，由余弦定理可得cos∠BDC=D又因为∠ADC，∠BDC互为补角，所以cos∠ADC+cos∠BDC＝0，所以6﹣AB2+6﹣BC2＝0，即a2+c2＝12，所以（a+c）2＝12+2ac②，由①②可得a+c＝25，所以△ABC的周长为a+b+c＝25+2220．（12分）近年来，我国在航天领域取得了巨大成就，得益于我国先进的运载火箭技术．据了解，在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式v=v0lnMm计算火箭的最大速度v（单位：m/s）．其中v0（单位m/s）是喷流相对速度，m（单位：kg）是火箭（除推进剂外）的质量，M（单位：kg）是推进剂与火箭质量的总和，Mm称为“总质比”，已知参考数据：ln230≈5.4，1.648＜e0.5＜1.649．（1）当总质比为230时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度；（2）经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质比变为原来的13，若要使火箭的最大速度增加500m/s，记此时在材料更新和技术改进前的总质比为T，求不小于T【解答】解：（1）v=v0lnMm=2000×ln230≈2000（2）v1=v要使火箭的最大速度增加500m/s，则v2即：6ln∴ln(M3m即M27m=∵1.648＜e0.5＜1.649．∴Mm=27e12∈不小于T的最小整数为45．21．（12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为梯形，AB∥CD，PA＝PD＝PB，BC＝CD＝1，AB＝2，∠BCD=π3，直线PA与底面ABCD所成角为（1）若E为PD上一点且PE＝2ED，证明：PB∥平面ACE；（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．【解答】解：（1）证明：连接AC，BD，设AC∩BD＝M，因为AB∥CD，CD＝1，AB＝2，所以DMBM又因为PE＝2ED，所以DEPE所以EM∥PB，又因为EM⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE；（2）过P作PF⊥AB于点F，则PF⊥底面ABCD，过F作FO⊥AD于点O，连接P