2024届福建省宁德市福鼎县中考三模数学试题含解析

2024届福建省宁德市福鼎县重点达标名校中考三模数学试题

考生须知：

1.全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色

字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知，如图，AB//CD,ZDCF=100°,则/AEF的度数为（）

A.120°B.110°C.100°D.80°

3

2.在』ABC中，NC=90。,AC=9,sinB^-,贝！JAB=（）

A.15B.12C.9D.6

3.计算tan30。的值等于（）

A.小B.3小C.yD.g

4.下列命题正确的是（）

A.对角线相等的四边形是平行四边形

B.对角线相等的四边形是矩形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

5.已知直线丁=依-2与直线y=3x+2的交点在第一象限，则上的取值范围是（）

A.k=3B.k<—3C.k>3D.—3<k<3

6.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有三人共车，二

车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，每三人乘一车，最终剩余2辆车，

若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？如果我们设有1辆车，则可列方程（）

A.3(x-2)=2x+9B.3(x+2)=2x-9

x+9

C.D.十2=

7.下面的几何体中，主（正）视图为三角形的是（）

A.B.C.D

8.下列图形是由同样大小的棋子按照一定规律排列而成的，其中，图①中有5个棋子，图②中有10个棋子，图③中

有16个棋子，…，则图⑥中有个棋子()

••••••••%•••

•e•••••

••••

①②③

A.31B.35C.40D.50

9.下列图形中，是轴对称图形的是()

10.将抛物线y=3%2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为()

A.y=3(x+2)~+3B.y=3(x—2)"+3C.y=3(x+2)~—3D.y=3(x—2)~—3

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.一次函数丫=(k-3)x-k+2的图象经过第一、三、四象限.则k的取值范围是.

12.点G是三角形ABC的重心，AB=a>AC=6,那么BG=.

13.点(-1,a)、(-2,b)是抛物线y=x?+2x—3上的两个点，那么a和b的大小关系是ab(填，，”或

或

14.如图，在中，直角边04、分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，将△A05绕点5逆时针旋转90。

后，得到AA，。，'且反比例函数y=&的图象恰好经过斜边£5的中点C,若SABO=4,tanNR4O=2,则a=.

X

4k

15.如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tanZAOC=-,反比例函数y=—的图象经过

3x

点C,与AB交于点D,若△COD的面积为20,则k的值等于.

16.从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的

概率是.

17.我国经典数学著作《九章算术》中有这样一道名题，就是“引葭赴岸”问题，（如图）题目是：“今有池方一丈，葭

生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？”

题意是：有一正方形池塘，边长为一丈，有棵芦苇长在它的正中央，高出水面部分有一尺长，把芦苇拉向岸边，恰好

碰到岸沿，问水深和芦苇长各是多少？（小知识：1丈=10尺）

如果设水深为x尺，则芦苇长用含x的代数式可表示为尺，根据题意列方程为.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）某商城销售A,8两种自行车.A型自行车售价为2100元/辆，5型自行车售价为1750元/辆，每辆A

型自行车的进价比每辆5型自行车的进价多400元，商城用80000元购进A型自行车的数量与用64000元购进B型

自行车的数量相等.

（1）求每辆A,8两种自行车的进价分别是多少？

（2）现在商城准备一次购进这两种自行车共100辆，设购进A型自行车“辆，这100辆自行车的销售总利润为y元，

要求购进3型自行车数量不超过A型自行车数量的2倍，总利润不低于13000元，求获利最大的方案以及最大利润.

19.（5分）如图，已知抛物线y=ax?+bx+l经过A（-1,0）,B（1,1）两点.

（1）求该抛物线的解析式；

（2）阅读理解:

在同一平面直角坐标系中,直线h：y=kix+bi（ki,bi为常数,且k#0）,直线L：y=k2x+bz（k2,b2为常数，且k2邦平

若1山2,则ki・k2=T.

解决问题：

①若直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，则m的值是____；

②抛物线上是否存在点P,使得△PAB是以AB为直角边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请

说明理由；

（3）M是抛物线上一动点，且在直线AB的上方（不与A,B重合），求点M到直线AB的距离的最大值.

20.（8分）如图，在四边形A5C。中，NA=N5a）=90。，BC=CD=2^，CELAO于点E.

（1）求证：AE=CE；

(2)若tanZ>=3,求AB的长.

21.（10分）某通讯公司推出了A,B两种上宽带网的收费方式（详情见下表）

收麦方式月使用要元包月上网时间历超时费（元1min）

A30250.05

B50500.05

设月上网时间为xh（x为非负整数），请根据表中提供的信息回答下列问题

（1）设方案A的收费金额为yi元，方案B的收费金额为y2元，分别写出yi,y2关于x的函数关系式；

（2）当35Vx<50时，选取哪种方式能节省上网费，请说明理由

22.（10分）AB为。O直径，C为。。上的一点，过点C的切线与AB的延长线相交于点D,CA=CD.

（1）连接BC,求证：BC=OB；

（2）E是A3中点，连接CE,BE,若BE=2,求CE的长.

23.（12分）为评估九年级学生的体育成绩情况，某校九年级500名学生全部参加了“中考体育模拟考试”，随机抽取

了部分学生的测试成绩作为样本，并绘制出如下两幅不完整的统计表和频数分布直方图:

成绩X分人数频率

25<x<3040.08

30<x<3580.16

35<x<40a0.32

40<x<45bc

45<x<50100.2

(1)求此次抽查了多少名学生的成绩；

(2)通过计算将频数分布直方图补充完整；

(3)若测试成绩不低于40分为优秀，请估计本次测试九年级学生中成绩优秀的人数.

小频数(人数)

16---------------------------------------------

12-.........................................................................

8........................................................................

4-.......................................................................

/\八________________

253035404550测试成结

24.(14分)如图，在RtAABC中，ZC=90°,以BC为直径的。O交AB于点D,过点D作。O的切线DE交AC

于点E.

(1)求证：ZA=ZADE；

(2)若AB=25,DE=10,弧DC的长为a,求DE、EC和弧DC围成的部分的面积S.(用含字母a的式子表示).

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

先利用邻补角得到NDCE=80。，然后根据平行线的性质求解.

【题目详解】

VZDCF=100°,

/.ZDCE=80°,

；AB〃CD,

/.ZAEF=ZDCE=80°.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等.

2、A

【解题分析】

根据三角函数的定义直接求解.

【题目详解】

在RtAABC中，ZC=90°,AC=9,

VsinB=,

AB

._9__2

••—―,

AB5

解得AB=1.

故选A

3、C

【解题分析】

tan30°=色.故选C.

3

4、C

【解题分析】分析：根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定定理判断即可.

详解：对角线互相平分的四边形是平行四边形，A错误；

对角线相等的平行四边形是矩形，B错误；

对角线互相垂直的平行四边形是菱形，C正确；

对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形；

故选：C.

点睛：本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉

课本中的性质定理.

5、C

【解题分析】

根据题意画出图形，利用数形结合，即可得出答案.

【题目详解】

当左＞3时，两条直线的交点在第一象限.

故选：C.

【题目点拨】

本题主要考查两个一次函数的交点问题，能够数形结合是解题的关键.

6、A

【解题分析】

根据每三人乘一车，最终剩余2辆车，每2人共乘一车，最终剩余1个人无车可乘，进而表示出总人数得出等式即可.

【题目详解】

设有x辆车，则可列方程：

3(x-2)=2x+l.

故选：A.

【题目点拨】

此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，正确表示总人数是解题关键.

7、C

【解题分析】

解：圆柱的主视图是矩形，正方体的主视图是正方形，圆锥的主视图是三角形，三棱柱的主视图是宽相等两个相连的

矩形.故选C.

8、C

【解题分析】

根据题意得出第n个图形中棋子数为1+2+3+…+n+l+2n,据此可得.

【题目详解】

解：•.•图1中棋子有5=l+2+lx2个，

图2中棋子有10=1+2+3+2x2个，

图3中棋子有16=1+2+3+4+3x2个，

二图6中棋子有1+2+3+4+5+6+7+6x2=40个，

故选C.

【题目点拨】

本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情

况.

9、B

【解题分析】

分析：根据轴对称图形的概念求解.

详解：A、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项符合题意；

C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选B.

点睛：本题考查了轴对称图形，轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，

那么这个是轴对称图形.

10、A

【解题分析】

直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.

【题目详解】

将抛物线y=3/向上平移3个单位，再向左平移2个单位，根据抛物线的平移规律可得新抛物线的解析式为

y=3(x+2)2+3,故答案选A.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、k>3

【解题分析】

%—3>0

分析：根据函数图象所经过的象限列出不等式组,.八通过解该不等式组可以求得左的取值范围.

详解：•••一次函教y=(—3)xi+2的图象经过第一、三、四象限，

.卜-3>0

一女+2<0,

解得,k>3.

故答案是：k>3.

点睛：此题主要考查了一次函数图象，一次函数>=履+6的图象有四种情况：

①当%>03>0时，函数>=履+6的图象经过第一、二、三象限；

②当上>0/<0时，函数>=丘+6的图象经过第一、三、四象限；

③当上<03>0时，函数丫=履+6的图象经过第一、二、四象限；

④当左<0口<0时，函数y=丘+6的图象经过第二、三、四象限.

1,2

12、一b---a.

33

【解题分析】

根据题意画出图形，由AB=a，AC=b.根据三角形法则，即可求得5。的长，又由点G是△A3C的重心，根据

重心的性质，即可求得.

【题目详解】

如图：30是△ABC的中线，

*'AC=b，

1

：•AD=~b7，

■:AB=a，

■17

・・BD=~^~Q，

■1点G是4ABC的重心，

212

：・BG=—BD=—b-—a,

333

1?

故答案为：~b~.

33

本题考查了三角形的重心的性质：三角形的重心到三角形顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍，本题也考查了向

量的加法及其几何意义，是基础题目.

13、<

【解题分析】

把点(-1,a)、(-2,b)分别代入抛物线y=/+2%—3,则有：

a=l-2-3=-4,b=4-4-3=-3,

-4<-3,

所以a<b,

故答案为V.

14、1

【解题分析】

设点C坐标为(X,J),作咬边6。，于点D,

,:tanZBA0=2,

・BO.

•・-/9

A0

1

■:SAABO--9AO9BO=4

29

：.AO=2,60=4,

frf

：.AO=AO=2,BO=BO=49

丁点。为斜边£5的中点，CDVBOf,

11

rff

：.CD=-AO=l,BD=-BO=2f

22

：.x=BO-CD=4-1=3,y=BD=2,

:.^=x,j=3x2=l.

【解题分析】

分析：

4

如下图，过点C作CFLAO于点F,过点D作DE〃OA交CO于点E,设CF=4x,由tan/AOC=］可得OF=3x,

由此可得OC=5x,从而可得OA=5x,由已知条件易证S菱形ABCO=2SACOD=40=OA-CF=20X2,从而可得X=0,由此可

得点C的坐标为（-3/4夜）,这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.

详解：

如下图，过点C作CFLAO于点F,过点D作DE〃OA交CO于点E,设CF=4x,

•.•四边形ABCO是菱形，

/.AB//CO,AO/7BC,

VDE/7AO,

•*.四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，

••SAAOD=SADOE>SABCD=SACDE>

AS菱形ABCD=2SADOE+2SACDE=2SACOD=40,

4

VtanZAOC=-,CF=4x,

3

.\OF=3x,

...在RtACOF中，由勾股定理可得OC=5x,

•\OA==OC=5x,

；S菱形ABCO=AO,CF=5X.4X=20X2=40，解得：x=0，

:・OF=3\[^,CF=4^/5，

・••点C的坐标为（-3",虎）,

V点C在反比例函数y=-的图象上,

X

•,-k=-372x472=-24.

故答案为：-24.

点睛：本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x,结合已知条件把OF和OA用含x的式子表

达出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，SACOD=20得到S菱形ABCO=2SACOD=40.

4

16、一・

5

【解题分析】

试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、

4

圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为二.

【题目点拨】

本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.

17、（x+1）；x2+52=（x+1）2.

【解题分析】

试题分析：设水深为x尺，则芦苇长用含X的代数式可表示为（X+1）尺，根据题意列方程为V+52=a+l）2.

故答案为（x+1）,%2+52=（%+1）2.

考点：由实际问题抽象出一元二次方程；勾股定理的应用.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；（2）当购进A型自行车34辆，B型

自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元.

【解题分析】

⑴设每辆5型自行车的进价为x元,则每辆A型自行车的进价为(x+10)元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到

结果；

⑵由总利润=单辆利润x辆数，列出y与x的关系式，利用一次函数性质确定出所求即可.

【题目详解】

(1)设每辆B型自行车的进价为x元，则每辆A型自行车的进价为(x+10)元，

根据题意，得迎黑=蟹四，

x+400x

解得x=1600,

经检验，x=1600是原方程的解，

x+10=l600+10=2000,

答：每辆A型自行车的进价为2000元，每辆B型自行车的进价为1600元；

(2)由题意，得丫=(2100-2000)m+(1750-1600)(100-m)=-50m+15000,

根据题意，得［100-Y2m,

l-50m+15000>1300C

解得：33-^<m<L

•••m为正整数，

.*.m=34,35,36,37,38,39,1.

Vy=-50m+15000,k=-50V0,

••.y随m的增大而减小，二当m=34时，y有最大值，

最大值为：-50x34+15000=13300(元).

答：当购进A型自行车34辆，B型自行车66辆时获利最大，最大利润为13300元.

【题目点拨】

本题主要考查一次函数的应用、分式方程的应用及一元一次不等式组的应用.仔细审题，找出题目中的数量关系是解答

本题的关键.

19、(1)y=-^x2+J_x+i；(2)①-！；②点P的坐标(6,-14)(4,-5)；(3)—.

2225

【解题分析】

(1)根据待定系数法，可得函数解析式；

(2)根据垂线间的关系，可得PA,PB的解析式，根据解方程组，可得P点坐标；

(3)根据垂直于x的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得MQ,根据三角形的面积，可得二次

函数，根据二次函数的性质，可得面积的最大值，根据三角形的底一定时面积与高成正比，可得三角形高的最大值

【题目详解】

解：(1)将A,B点坐标代入，得

a-Z?+l=O(l)

[a+A+l=l(2)，

1

a=——

2

解得，

b=-

[2

抛物线的解析式为y=-1x2+1x+l；

(2)①由直线y=2x-1与直线y=mx+2互相垂直，得

2m=-1,

即m=--；

2

故答案为--；

2

②AB的解析式为y=；X+；

当PA±AB时，PA的解析式为y=-2x-2,

_1211

y——xH—x+1

联立PA与抛物线，得『22,

y——2%—2

x=-lfx=6

解得八（舍），1,

即P（6,-14）；

当PB±AB时，PB的解析式为y=-2x+3,

J211

联立PB与抛物线，得,22,

y=-2%+3

x=l[x=4

解得《（舍）\,

U=iU=—5

即P(4,-5),

综上所述：APAB是以AB为直角边的直角三角形，点P的坐标(6,-14)(4,-5)；

(3)如图：

2222

1

SAMAB=—MQ|XB-XA|

当t=0时，S取最大值即M(0,1).

2

由勾股定理，得

AB=汇+俨=逐,

设M到AB的距离为h,由三角形的面积，得

点M到直线AB的距离的最大值是心.

5

【题目点拨】

本题考查了二次函数综合题，涉及到抛物线的解析式求法，两直线垂直，解一元二次方程组，及点到直线的最大距离,

需要注意的是必要的辅助线法是解题的关键

20、(1)见解析；(2)AB=4

【解题分析】

⑴过点B作BFLCE于F,根据同角的余角相等求出NBCF=ND,再利用“角角边”证明△BCF和△CDE全等，根据

全等三角形对应边相等可得BF=CE,再证明四边形AEFB是矩形，根据矩形的对边相等可得AE=BF,从而得证；

(2)由(1)可知：CF=DE,四边形AEFB是矩形，从而求得AB=EF,利用锐角三角函数的定义得出DE和CE的长，即

可求得AB的长.

【题目详解】

(1)证明：

过点5作38，CE于7/,如图1.

'：CELAD,

：.ZBHC^ZCED^W°,Zl+ZD=90°.

VZBCZ)=90°,

...Nl+N2=90。，

：.Z2=ZD.

又BC=CD

：.ABHC^/^CED(AAS).

:.BH=CE.

'：BHLCE,CELAD,ZA=90°,

四边形A5HE是矩形，

：.AE=BH.

J.AE^CE.

(2)•.•四边形ABHE是矩形，

：.AB=HE.

CE

•・•在R3CED中，tanD=——=3,

DE

设D£=x,CE=3X9

CD=Mx=2M.

•\x=2.

：.DE=2,CE=3.

•:CH=DE=2.

：.AB=HE=3-2=4.

图1

【题目点拨】

本题考查了全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，锐角三角函数的定义，难度中等，作辅助线构造出全等三

角形与矩形是解题的关键.

,30,0g!k25[50,0>50

21、(1)%=uc；(2)当35Vx<l时，选择B方式能节省上网费,

3%—45,x>25~3%-100,x>50

见解析.

【解题分析】

(1)根据两种方式的收费标准，进行分类讨论即可求解;

(2)当35VxVl时，计算出yi-y2的值，即可得出答案.

【题目详解】

,30,®25

解：(1)由题意得:X=<

一[30+0.05x60x(%-25),x>25

30,O^xlk25

即％=；

1[3%-45,x>25

,50,0^!k50

2150+0.05x60x(%-50),x>5Q

50,0i!k50

即%=<；

-[3%-100,x>50

(2)选择B方式能节省上网费

当35<xVl时，有yi=3x-45,y2=l.

：yi-y2=3x—45—1=3x—2.记y=3x-2

因为3>4,有y随x的增大而增大

当x=35时，y=3.

所以当35Vx<1时，有y>3,即y>4.

所以当35Vx<l时，选择B方式能节省上网费

【题目点拨】

此题考查了一次函数的应用，注意根据图表得出解题需要的信息，难度一般，正确理解收费标准求出函数解析式是解

题的关键.

22、(2)见解析；(2)2+73.

【解题分析】

(2)连接OC,根据圆周角定理、切线的性质得到NACO=NDCB,根据CA=CD得到NCAD=ND,证明ZCOB=ZCBO,

根据等角对等边证明；

(2)连接AE,过点B作BFLCE于点F,根据勾股定理计算即可.

【题目详解】

(2)证明：连接OC,

BD

；AB为。O直径，

/.ZACB=90°,

；CD为。O切线

.,.ZOCD=90°,

/.ZACO=ZDCB=90o-ZOCB,

VCA=CD,

，NCAD=ND.

.\ZCOB=ZCBO.

.\OC=BC.

/.OB=BC；

(2)连接AE,过点B作BFLCE于点F,

是AB中点，

AAE=BE,

；.AE=BE=2.

；AB为。O直径，

.,.