江苏省苏州市2022-2023学年高二年级下册期末学业质量阳光指标调研数学试题（含解析）

苏州市2022〜2023学年第二学期学业质量阳光指标调研卷

高二数学

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第

13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题

结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫未黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知M,N是全集U的非空子集，且N=，则（）

A.NjMB.M受NC.9=陋D.MqN

2.已知a,bwR,则"log2a>log2b”是"2">2""（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

3.曲线y=e-'+l在点（0,2）处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为（）

12

A.-B.-C.1D.2

33

4.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购

买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x,y,z（单位：

本）.现了解到：①x>y>z>0；②4z>x+y,则这些数学专著至少有（）

A.9本B.10本C.11本D.12本

5.已知定义在（0,+8）上的函数/（x）从x到x+Ax的平均变化率为

/(x+—

，则/（x）的单调增区间是（

Axy/x+^X+y/xX2+X-^X

A.(0,+oo)B.(0,1)C.(1,+<»)D.(2,+oo)

6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至

2022年云计算市场规模数据，且市场规模y(单位：千万元)与年份代码x的关系可以用模型y=ae及(其中

e=2.71828...)拟合,设z=lny,得到数据统计如下表:

年份2018年2019年2020年2021年2022年

X12345

ym112036.654.6

Zn2.433.64

由上表可得回归方程)=0.52X+1.44，则的值约为()

A.2B.7.4C.1.96D.6.9

251

7.已知A,B为某随机试验的两个事件，无为事件A的对立事件.若2(4)=彳，P(B)=-,P(AB)=-,

382

则P(5|Z)=()

3513

A.-B.-C.-D.-

8844

8.已知实数a,b,c满足0=11°,5%=3“+4"，c=e"—a，则()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X服从二项分布8(8，!),则()

2

A.E(X)=4B.O(X)=3

7

C.P(X=2)=—D,P(X=3)=P(X=5)

32

io.已知函数/(X)及其导数r(x)的定义域均为R,则下列结论正确的有()

A.若/(x)为奇函数，则/(%)+2/(—x)为偶函数

B.若/(幻+2/(一幻为奇函数，则/")为奇函数

C.若/(x)为奇函数，则/'(划为偶函数

D.若/(x)为偶函数，则/'(x)为偶函数

7T

11.已知函数/(x)=ac-sinx,xe[O,-],则下列结论正确的有()

A.当。=5时，/(x)在处取得极小值

B.当时，/(x)有且只有一个零点

2

2

C.若/(x)40恒成立，则0<aW—

71

D.若/(幻20恒成立，则

12.现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人，

则()

A.2张有奖券分给同一个人的概率是L

4

9

B.2张有奖券分给不同的人的概率是百

3

C.2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为五

3

D.2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为一

22

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(«-2)"(〃€^<)的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的〃的值：.

x

14.某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创

意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表.小星在四个项目中

的成绩均为81分，则小星同学在第个项目中的成绩排名最靠后，在第个项目中的成绩排

名最靠前.(填序号)

序号一二三四

项目新闻六卜秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百

71758185

a4.92.13.64.3

X4-v4-X

15.已知工>0,y>0,2x+y=l,则---------的最小值为

砂

1,

16.已知不等式一一fWor+bVe*对任意xwR恒成立，则a+b的最大值为.

4

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17已知函数/(X)=d—3x?+6.

(1)求，3的极小值；

⑵求f(x)在区间［—1,1］上的最大值和最小值.

18.设(1+x)"=%++a„x",其中〃22,neN*.

(1)当"=9时，求4+4++%的值；

(2)在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3:4:5,求〃的值.

19.已知某校高一有450名学生(其中男生250名,女生200名).为了给学生提供更为丰富的校园文化生活，

学校增设了两门全新的校本课程A,B,学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校

统计了学生的选课情况，得到如下的2x2列联表.

选择课程A选择课程B总计

男生150

女生50

总计

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；

(2)从所有男生中按列联表中选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问

卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X,求X的分布列及数学期望.

n(ad-be)2

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.010.0050.001

6.635787910.828

20.已知函数/'(x)满足/(2+x)-/(2-x)=4.当xe[0,2]时，/(x)=x2-ax+2a-2(a>0).

⑴若/(2)+/(3)=6,求。值;

⑵当xe[0,4]时，都有14/(x)43,求。的取值范围.

21.十番棋也称十局棋，是围棋比赛的一种形式.对弈双方下十局棋，先胜六局者获胜.这种形式的比赛因

对局较多，偶然性较小，在中国明清时期和日本都流行过.在古代比较有名的十番棋有清代黄龙士和徐星

友的“血泪十局'’以及范西屏和施襄夏的“当湖十局已知甲、乙两人进行围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率

和乙获胜的概率均为且各局比赛胜负相互独立.

(1)若甲、乙两人进行十番棋比赛，求甲至多经过七局比赛获胜的概率；

(2)甲、乙两人约定新赛制如下：对弈双方需赛满2〃(〃eN*)局，结束后统计双方的获胜局数，如果一方获

胜的局数多于另一方获胜的局数，则该方赢得比赛.研究表明：〃越大，某一方赢得比赛的概率越大.请从

数学角度证明上述观点.

22.已知函数/(x)=/ax2_]nx-l与函数g(x)=e'-"有相同的最小值.

(1)求实数。的值；

X依2

e--------<0

(2)求不等式1+lnx的解集.

苏州市2022〜2023学年第二学期学业质量阳光指标调研卷

高二数学

注意事项

学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求：

1.本卷共6页，包含单项选择题（第1题~第8题）、多项选择题（第9题~第12题）、填空题（第

13题~第16题）、解答题（第17题~第22题）.本卷满分150分，答题时间为120分钟.答题

结束后，请将答题卡交回.

2.答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫未黑色墨水的签字笔填写在答题卡

的规定位置.

3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效.作答必须用

0.5毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整，笔迹清楚.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知M,N是全集U的非空子集，且N=，则（）

A.NjMB.M受NC.9=陋D.MqN

【答案】B

【解析】

【分析】根据韦恩图以及集合与集合之间的关系可得答案.

【详解】因为M，N是全集U的非空子集，且N=电”，

所以韦恩图为：

由韦恩图可知，A不正确；B正确；C不正确；D不正确.

故选：B

2.已知则“log2a>log2b”是“2">2””的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

【分析】根据指数函数与对数函数的单调性以及充分不必要条件的定义可得答案.

【详解】若log2a>log2匕，则a>6>0，则2">2"，

所以“log?a〉log2b”是“2">2〃”的充分条件;

若2">2"，则”>/，，只有当a>6>0时，才能推出Iog2a>log2b，

所以“log2a>log28”不是“2°>2"”的必要条件，

所以“log?a>log2人''是"2">2"”的充分不必要条件.

故选：A

3.曲线y=e-'+l在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()

12

A.-B.-C.1D.2

33

【答案】C

【解析】

【分析】求导，根据导数的几何意义得出切线方程.作出三条直线的图象，求出相关点的坐标，即可得出答

案.

【详解】由已知可得，y'=—e-',

根据导数的几何意义可知，曲线y=e-'+1在点(0,2)处的切线斜率为k=—l.

所以，切线方程为/：x+y-2=0.

x+y—2=0/、

解｛_n可得，A(2，°)-

y=。

所以，SQB=：X2X1=L

故选：C.

4.为全面贯彻党的教育方针，落实立德树人的根本任务，着力造就拔尖创新人才，某校为数学兴趣小组购

买了一些数学特色专著：《数学的意义》《现代世界中的数学》《数学问题》，其数量分别为x,y,z(单位：

本).现了解到：①x>y>z>0：②4z>x+y,则这些数学专著至少有()

A.9本B.10本C.11本D.12本

【答案】A

【解析】

【分析】根据国y,zeN*,先令z=l，推出矛盾，再令z=2,求出这些数学专著的本数.

【详解】因为尤,y,zeN*,x>y>z>0,

不妨先令z=l，则4z=4>x+y,此时由于ymin=2，/皿=3,(x+y)min=5>4,不合要求，舍去；

令z=2,则4z=8>x+y,此时用而=3,%,=4，(x+加=7<8,满足要求,

故这些数学专著至少有2+3+4=9本.

故选：A

5.已知定义在(0,+8)上的函数f(x)从x到x+Ar的平均变化率为

」(x+Ar)_/(x)_2_____________[

则/(x)的单调增区间是()

AxJx+Ax+石龙

A.(0,+oo)B.(0,1)C.(1,+<»)D.(2,+oo)

【答案】C

【解析】

【分析】求极限可得hm'.于=hm—)•设g(x)=J,化简可得

■->0Ar->0

("T[石+；)+1.解g(x)>0,

根据导数的概念，即可得出答案.

g(x)=/

【详解】由己知可得，lim）（」+祠—、（幻=hm----Z_一——L----

心f°ArAx+Jxx+%-Ax）

设83=吗±

(Gi)[«+』+1

由g（x）>0可得，V%-l>0.所以x>l,

即x>l时，有lim〉0.

-AJC

根据导数的概念，可知X>1时，有/"（力=典"X+9―/（X）〉0

所以，f（x）的单调增区间是（1,+8）.

故选：C.

6.云计算是信息技术发展的集中体现，近年来，我国云计算市场规模持续增长.已知某科技公司2018年至

2022年云计算市场规模数据，且市场规模y（单位：千万元）与年份代码x的关系可以用模型>=痣床（其中

e=2.71828...）拟合,设z=lny,得到数据统计如下表:

年份2018年2019年2020年2021年2022年

X12345

ym112036.654.6

Zn2.433.64

由上表可得回归方程z=0.52x+1.44,则加的值约为（）

A.2B.7.4C.1.96D.6.9

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由回归方程z=0.52%+1.44过点（京今，可得〃=2,再由z=lny即可求得”.

【详解】由题意可得，x=g(l+2+3+4+5)=3,将x=3代入)=0.52尤+1.44可得2=0.52乂3+1.44=3,

-1

且z=g(〃+2.4+3+3.6+4),所以〃=2,

又因为z=lny,即2=ln/n,所以〃z=e2H7.4.

故选:B

2si

7.已知4,B为某随机试验的两个事件，无为事件A的对立事件.若尸(4)=一，P(B)=|,P(AB)=：,

382

则P(5|X)=()

35〃13

A.—B.-C.-D.一

8844

【答案】A

【解析】

【分析】根据已知可求得尸P(可=g，然后根据条件概率，即可得出答案.

【详解】由已知可得，网初)=玖8)-尸(■)=[-；=：,网可=1—P(A)=L

8283

根据条件概率可知,

故选：A.

8.已知实数mb,c满足a=l.T°,5“=3"+4"，c=e"—a，贝I()

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

【答案】B

【解析】

【分析】先利用二项式定理展开式判断出”的范围，再构造函数/(x)=e*-2x,利用导数判断其单调性,

可比较出。，c的大小，再利用作差法比较a,。的大小，从而可得结果.

【详解】因为。=11°=(1+0.1)'°

245

=C,o+C；oxO.l+C：oxO,l+C：oX0.P+C：oxo.l+C：oxO.l

+C；ox0.16+C：。x0.17+xOf+x0.『+c,xO.l10

=1+1+45X0.12+120X0.13+210X0.14+252X0.15

+21OXO.16+12OXO.17+45XO.18+1OXO.19+O.110.

所以2.5<a<2.6,

令/(x)=e*—2x,则/'(x)=e*—2,

当x>l时，.f'(x)>0,所以/(x)在(1,+8)递增,

因为a>l,所以/(a)>/(l)=e—2>0,

所以e"—2a>0，所以e"—a>a，即c>"，

由夕=30+4"，得。=logs(3"+4"),

a

则6—a=logs(3。+¥)—a=log5(30+4)-log55"

.3"+4".%3丫(4丫一

=1唱卞-=1呜旧

(3产(3Y、2

因为2.5vav2.6,所以巳<-

⑸㈤<

/

所以1%0+电

<0,

所以b-a<0,即b<a,

综上人<a<c，

故选：B

【点睛】关键点点睛：此题考查比较大小，考查二项式定理的应用，考查导数的应用，解题的关键是利用

二项式展开式判断出a=l.严的范围，然后再比较。的大小和a,b的大小即可，考查计算能力，属于较难

题.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知随机变量X服从二项分布8(8,1)，则()

2

A.E(X)=4B.O(X)=3

7

C.P(X=2)=—D.P(X=3)=P(X=5)

【答案】AD

【解析】

【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断AB；利用二项分布的概率公式计算判断CD作答.

【详解】随机变量X服从二项分布8(8$),

对于A,E(X)=8xg=4,A正确；

对于B,D(X)=8xix(l-i)=2,B错误；

22

11A7

对于C,P(X=2)=C0^(-)20(l--)6=—,C错误；

对于D,尸(X=3)=C；(；)3(g)5=C；(g)5(g)3=P(X=5),D正确.

故选：AD

10.已知函数Ax)及其导数/'(X)的定义域均为R,则下列结论正确的有()

A.若/(x)为奇函数，则/(x)+2/(-x)为偶函数

B.若/(x)+2/(-x)为奇函数，则/")为奇函数

C.若/⑶为奇函数，则f(x)为偶函数

D.若/⑶为偶函数，则/'(X)为偶函数

【答案】BC

【解析】

【分析】根据奇偶函数的性质，以及复合函数的求导法则，即可得出答案.

【详解】对于A项，由己知可得〃—无)=一/(力，

设g(X)=/(x)+2/(-x)=/(%)-2/(x)=-/(%),

则8(-力=一/(一£)=/(£)=-8(%),所以g(x)为奇函数,故A项错误；

对于B项，因为g(-x)=/(-%)+2/(x),g(x)为奇函数，

所以有g(-%)=—g(x),即/(-x)+2/(x)=-[/(%)+2/(-%)],

整理可得/(—x)=—/(x),所以/")为奇函数，故B项正确；

对于C项,由己知可得/'(—%)=—〃x),

根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，，

所以/'(一%)=/'(x),所以f'(x)为偶函数，故C项正确;

对于D项,由己知可得了(—x)=/(x),

根据复合函数的求导法则，两边同时求导可得，-/'(-x)=7'(x),

所以/''(一%)=-7'(尤)，所以/'(x)奇函数，故D项错误.

故选：BC.

7T

11.已知函数/(x)=ax—sinx,xe[O,-],则下列结论正确的有()

A.当时，Ax)在处取得极小值

B.当。=,时，/⑴有且只有一个零点

2

2

C.若/(x)<0恒成立，则0<。<一

71

D.若_/(x)NO恒成立，则

【答案】ABD

【解析】

【分析】选项A、B；当时，f(x)=^x-sinx,结合导数研究函数的单调性，求解函数的极值、零

点问题；选项C、D：利用导数解决函数恒成立问题；

1171

【详解】选项A、B：当a=]B寸，/(x)=--cosx,当xe[0,§]J'(x)<0,单调递减；

当尤，/(幻>°，/(x)单调递增；故在x=g处取得极小值，故A正确；

又因为/(0)=0,/(])=：—1<0,所以x€[0,5],/(x)有且只有一个零点，故B正确；

选项C、D：/(©WO恒成立，当％=0时，aeR；

ITTsinx

当xw0,一时，即ox—sinx<0,a<-~-恒成立，

I2Jx

以3rs/、sinx，/、xcosx-sinx人,/、

构造函数g(x)=----,g(x)=------------,令〃(x)=xcosx-sinx,

xx

/zr(x)=cosx-xsinx-cosx=-xsinx<0,〃(x)在工力。,]单调递减，又〃(0)=0,所以

.71

••//•\sin——

，/、xcosx-smx八一」/、smx(八兀,乂、e-、华,sinx，2一

g(x)=------；-----<0,所以g(x)=-----在XG|0,—上单倜递减，a<-----=-----=—,综

x尤I2」Ix；min巴兀

2

2

上可得。4一，故C错误；

71

函数y=sinx-x,y'=cosx-l,<0,函数单调递减，则y<0,

故有,sinx<x即弛”<1；

I2」x

/(x)N0即办一sinxNO恒成立，x=0时，aeR;

n兀，a>^,又如<1,所以选项D正确;

X€0,—

I2XX

故选：ABD.

12.现有12张不同编码的抽奖券，其中只有2张有奖，若将抽奖券随机地平均分给甲、乙、丙、丁4人,

则()

A.2张有奖券分给同一个人的概率是-

4

9

B.2张有奖券分给不同的人的概率是百

3

C.2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为五

3

D.2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为，

22

【答案】BD

【解析】

【分析】先分组，再分配，结合分类加法计数原理以及古典概型的概率公式，即可得出答案.

【详解】对于A项,

将10张没有奖的奖券按照1,3,3,3分成三组，不同的分法种数为

然后分配给4个人的分法为A：,

・A：

所以，2张有奖券分给同一个人的概率是A；2_>故A项错误;

c〉c；.c；.CTT

29

对于B项，由A可得，2张有奖券分给不同的人的概率是1--,故B项正确;

1

对于C项，由A可知，2张有奖券都分给丙的概率是

22'

=I

2张有奖券都分给丁的概率是

C：2cge22,

若2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁

厂3「3z~12/~i2

jo17JJ

将10张没有奖的奖券按照2,2,3,3分成四组，不同的分法种数为

A；•A；

然后分配给4个人的分法为A]A；,

「3「3「2z-12

222

jo.5~4,A-A-A

所以，2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是A[A；222=3,

所以，2张有奖券都没有分给甲和乙的概率为1一+1——+3±=二5，故C项错误；

22222222

对于D项，因为2张有奖券，1张分给丙、1张分给丁的概率是一豆A；•2.2。2=3,

3

同理可得，2张有奖券分给甲和乙各一张的概率为一，故D项正确.

22

故选：BD.

【点睛】方法点睛：根据已知，先将抽奖券分组，然后再分配.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知(«—2)"(〃eN")的展开式中存在常数项，请写出一个符合条件的”的值：

x

【答案】3(答案不唯一，3的正整数倍即可)

【解析】

【分析】利用二项式定理写出通项公式，得到〃=3r,写出答案.

2(10

【详解】(«——)"(〃wN*)的展开式的通项公式为妙•(—2)'(一)’=C：(—2)''丁，

*I)

72—3r

要想展开式中存在常数项，则要------=0有解，即〃=3〃，”为3的正整数倍即可

2

故答案为：3(答案不唯一，3的正整数倍即可)

14.某新闻媒体举办主持人大赛，分为四个比赛项目：“新闻六十秒”“挑战会客厅”“趣味绕口令”“创

意百分百”，每个项目独立打分，成绩均服从正态分布，成绩的均值及标准差如下表.小星在四个项目中

的成绩均为81分，则小星同学在第个项目中的成绩排名最靠后，在第个项目中的成绩排

名最靠前.（填序号）

序号—■二三四

项目新闻六十秒挑战会客厅趣味绕口令创意百分百

471758185

a4.92.13.64.3

【答案】①.四②.二

【解析】

【分析】根据已知用各组〃,b表示出P（X»81）,然后根据正态分布的性质，即可得出答案.

【详解】项目一：由已知可得，从=71,0=4.9,则尸（X281卜P（X271+2x4.9）=P（X之4+2巧）；

项目二：由已知可得，“2=75,3=21，则P（X281卜P（X275+3x2.1）=P（X之4+3。2）；

项目三：由已知可得，4=81，%=3-6,则P（X281）=P（X24）；

项目四：由已知可得，4=85,2=4.3,则P（X281）aP（X285—4.3）=P（X2〃4-b4）.

根据正态分布的性质可得，

P（X之4+3%）=P（X之4+3<TJ<P（X之4+21）<P（X之h）=P（X2必）

=P（X>Ju4）<P（X>p4-a4）,

所以，小星同学在第四个项目中的成绩排名最靠后，在第二个项目中的成绩排名最靠前.

故答案为：四；二.

22

X4-V4-X

15.已知x>0,y>0,2x+y=1,则----:-----的最小值为.

孙

【答案】2V3+1##1+2V3

【解析】

22

X+V4-X

【分析】利用2x+y=l将——一化为积为定值的形式，再根据基本不等式可求出结果.

孙

【详解】因为x>0,y>0，2x+y=l,

.x2+y2+xxy1xy2x+yxy2x.

孙yxyyxyyxy

=匹+上+122月+1=26+1，

yx\yx

3尤y

当且仅当——=上，即y=A，又2x+y=l,所以X=2—G，y=26一3时，等号成立.

yx

2?

_1_y-

故:——:——-的最小值为2百+1.

孙

故答案为：26+1.

16.已知不等式—24+b«e*对任意xeR恒成立，则a+b的最大值为.

4ax

【答案】2

【解析】

【分析】由题可得一炉+公+〃20,炉一火―820对任意xeR恒成立，根据二次不等式恒成立可得

4

b>a2,构造函数"x)=e'-G：—仇利用导数求函数的最值可得alna,进而可得0<aWl,结

合/</?«。一。1114进而可得。+匕的最大值.

【详解】因为不等式一工幺<原+匕(/对任意工€11恒成立，

4

1,_

所以一产+奴+万之。，e*-以一。20对任意xeR恒成立，

4

，

由一1f+ax+8之0可得A=a2一人<0，即人2/,

4

令/(x)=e*—or—Z?,则/(无)=e*—a,

当aWO时，/”)>0,函数/(x)单调递增，/(x)=e"—以一心。显然不恒成立，不合题意，

当a>0时，由r(x)<0,可得x<lna,函数/(x)单调递减，

由用x)>0可得x>lna,函数/(x)单调递增，

所以=/(1na)=a-a\na-b>0,即6<a—alna,

所以/<h<a-a\na>

由"wa-aina，可得aWl-lna,即a+lna-lWO,

因为函数g(a)=a+lna-l单调递增，且g(a)=a+lna-lWg(l)=O,

所以0<aWl,

当a=l时，1=。2«8<。一。111。=1，即b=l,

所以。+匕的最大值为2.

故答案为：2.

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若/(“)在区间。上有最值，则

(1)恒成立：Vxe/(x)>0=/(x)min>0；Vx€/(X)<0O/(x)nra<0:

(2)能成立：3x&D,/(x)>0o/(x)3>0；HxeO,/(x)<0o/(%)蹄“<。・

若能分离常数，即将问题转化为：。>/(耳(或。</(力)，则

⑴恒成立：a>f(x)oa>f(x)1mx；a</(x)<»a<f(x)nin：

⑵能成立：a>/(x)oa>/(x)m，n；a</(x)=a</(现环.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.已知函数/(只=/一3炉+6.

⑴求了(X)的极小值；

⑵求/(X)在区间上的最大值和最小值.

【答案】(1)2(2)最大值为6,最小值为2

【解析】

【分析】(1)求出导函数，根据导函数得出函数的单调区间，进而得出答案；

⑵根据(1)的结论得出/(x)在区间卜1,1］上的单调性，结合端点处的函数值，即可得出答案.

【小问1详解】

由已知可得，r(x)=3/-6x=3x(x-2).

由/'(x)=0可得，x=0或x=2.

由/'(x)<0可得，0<x<2,所以/(x)(0,2)上单调递减；

由/'(x)>0可得，x<0或x>2,所以/(x)在(一。,0)上单调递增，在(2,+8)上单调递增.

所以，/(x)在x=0处取得极大值/(0)=6,在x=2处取得极小值/⑵=2.

【小问2详解】

由⑴可得，/(x)在［-1,0)上单调递增，在(0』上单调递减.

又/(T)=T_3+6=2,./•⑴=1—3+6=4,/(0)=6,

所以，在区间t,/(x)在x=-l处取得最小值2,在x=0处取得最大值6.

2

18.设(1+x)"=%+。/+。2%++anx",其中〃22,neN*.

(1)当"=9时，求q+4++%的值；

(2)在展开式中，若存在连续三项的系数之比为3:4:5,求”的值.

【答案】⑴511(2)62

【解析】

【分析】(1)分别令x=l以及x=0,即可得出答案;

生3

4

(2)设第%,女+1/+2项的系数之比为3:4:5,由已知得出展开式的系数，列出方程组《,整理化

4

卜〃5

简求解，即可得出答案.

【小问1详解】

令x=1可得，a()+4+a,++t/g=29=512.

9

令x=0可得，a0=I=1,所以4+生++“9=511.

【小问2详解】

设第上次+1/+2项的系数之比为34:5.

2

(1+x)"=a0+atx+a2x++a„x"展开式的通项公式

rrrrr

Tr+i=Cn-r-x=Cn-x,r=0,1,2,,n.

Ck：'3

C47Z=3〃+3%=27

则,整理可得《9k=4-5’解得<

c4n=62

c¥一5

19.已知某校高一有450名学生(其中男生250名,女生200名).为了给学生提供更为丰富的校园文化生活,

学校增设了两门全新的校本课程A,B,学生根据自己的兴趣爱好在这两门课程中任选一门进行学习.学校

统计了学生的选课情况，得到如下的2x2列联表.

选择课程A选择课程B总计

男生150

女生50

总计

(1)请将列联表补充完整，并判断是否有99.9%的把握认为选择课程与性别有关？说明你的理由；

(2)从所有男生中按列联表中的选课情况进行分层抽样，抽出10名男生，再从这10名男生中抽取3人做问

卷调查，设这3人中选择课程A的人数为X,求X的分布列及数学期望.

n(ad-be)2

n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

0.010.0050.001

6.6357.87910.828

【答案】(1)列联表见解析，有99.9%的把握认为选择课程与性别有关；

(2)分布列见解析，E(X)=：

【解析】

【分析】(1)根据男生和女生人数，结合表中数据，将列联表补充完整，利用公式求得力2,与临界值比较，

即可得到结论；

(2)按分层抽样计算抽取10名男生中选择课程A