2024届陕西省安康市高三年级下册5月联考数学（理）模拟试题（三模）含解析

2024届陕西省安康市高三下学期5月联考数学（理）模拟试题

（三模）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

7

1.已知复数z=2—i,则一=)

z-z

1.1.1.1.

A.——+1B.——1C.—I-iD.-------1

2222

.已知集合(w

2Z=3y=log22-x)J,B=j=2则zn3=()

A.(l,2)B.(l,2]C,[l,2)D,[l,2]

+*若

3.已知向量。

Il6JI6))

+gr+xB),则实数x的值是()

11

A.-2B.一一C.-D.2

22

4.已知4,l2,/是三条不同的直线，a,尸是两个不同的平面，且'Utz,1^/3,aCl尸=I.

设甲：lx//l,乙：lA//l2,则甲是乙的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

5.执行如图所示的程序框图，若输入T的值为100,则输出n的值为

A.4B.5C.6D.7

6.若函数/(x)=x---------,则下列函数中为奇函数的是()

X+1

A./(x+l)-2B./(x-l)-2

C./(x-l)+2D./(x+l)+2

7.在化—在(x+v)6的展开式中，x2y4的系数为()

Vy)

A.-4B.4C.-8D.8

8.已知数列｛%｝对任意左eN*满足%・为+[=2上，则％-陶^二()

A.21012B,21013C,22024D,22025

x+y-1>0

9.已知x,y满足约束条件<2x-y+l<0,若z=/nx-y的最小值为-4,m的值为（

5x-4v+13>0

A.-2B.lC.2D.1或2

10.若函数了=/（x）在第一象限内的图象如图所示，则其解析式可能是（）

AJ(x)=:x+sinxB./(x)=Vx+sinx

C.f(x)=Vx+COSX-1D.f(x)=X+cosx-1

,2,2

11.已知双曲线C：I—3=1（。〉0力〉0）的左、右焦点分别为四，8，点M是双曲线C右支

上一点，直线片〃交双曲线C的左支于N点.若区N|=2,囚M=3,pw|=4,且

△儿有心的外接圆交双曲线C的一条渐近线于点P（Xo,h）,则仅o|的值为（）

3亚3下

B.----C.——D.3

22

12.已知圆锥的轴截面S45是一个正三角形，其中S是圆锥顶点，48是底面直径.若C是底面圆

O上一点，P是母线SC上一点,48=6,AC=SP=2,则三棱锥。—4BC外接球的表面积是

()

107兀109兀1127r11671

A.----B.----C.----D.----

3333

二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分。

x

13.已知函数f（Xyae-x,若曲线y=/（x）在点处的切线与直线

(1—2e)x+y+l=0平行，则实数a

14.已知函数/（%）=/0（%（0%+0）（/>0,0>0,0<0<2兀）的部分图象如图所示，且f（0）=-1,

5兀

0,则刃=

XV1

15.已知椭圆C：二+万=l（a〉b〉0）的离心率为2,F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意

一点，|P川的最大值为30.设点幺^/），则忸旬+归川的最小值为.

16.对于两个实数a,b,定义运算aOb如下：若aNb,则若a<b,则=5.若

x,yeR,则—"。0―x|o|x+H的最小值是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个

试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

为促进中华戏曲文化的传承与发展，某校开展了戏曲进校园文艺活动.该校学生会从全校学生中随

机抽取60名男生和60名女生参加戏曲知识竞赛，并按得分（）统计，分别绘制成频率分布直方图,

如图所示.

男生得分频率分布直方图女生得分频率分布直方图

f蛀

4维

0.028......................................T-।

0.03()............................1一।O95

0.6O22

0.020L............................I—L-,

0.015.......................O

0.010..............................LJ-------0.01

4

0.005......................-^-1..........0.OO5

405060708090100成缅0405060708090100成纨

（1）现有10张某戏剧的演出票送给得分在80分以上（含80分）的同学，根据男生组和女生组得

分在80分以上（含80分）的人数，按分层抽样比例分配，则男生组、女生组分别得多少张该戏剧

的演出票？

(2)假定学生竞赛成绩在80分以上(含80分)被认定为这名学生喜爱戏曲.将参加竞赛的学生成

绩及性别制成下列2x2列联表(x表示参加竞赛的学生成绩)：

男生女生合计

x>80

x<80

合计

根据列联表，判断是否有99%的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关?

n(ad-bey

参考公式：K-=(其中〃=a+b+c+d).

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.(12分)

,且26sin[N+—2a=c.

已知△48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c

(1)求B；

(2)若N4BC的平分线交ZC于点D,且BD=2,a=3,求△4BC的面积.

19.(12分)

如图，在三棱锥S—4BC中，SCL平面48C,AB=BC=1,SA=2,SC=42,E为S4的

中点，CV，55于点F.

(1)求证：CFISA；

(2)求平面C£尸与平面CEB所成锐二面角的余弦值.

20.(12分)

已知抛物线C：/=272x(72>0),准线/与x轴交于点M,4。。，乂3为抛物线^:上一点，

40_1_/交y轴于点D.当%=4，^时，MA-MD+MF.

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线4M与抛物线C的另一交点为B(点B在点A,M之间)，过点F且垂直于x轴的直

线交于点N.是否存在实数几，使得MM忸N|=X忸MMM?若存在，求出4的值；若不存

在，请说明理由.

21.(12分)

已知函数f(x)=xln(x+l)-x2+ax(aeR).

(1)若/(x)在定义域内是单调函数，求a的取值范围；

(2)若/(X)有两个极值点X1,工2，求证.X］+X2〉0

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计

分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］(10分)

x=a+/cos—

已知直线/的参数方程为14

。为参数，aeR).以坐标原点0为极点，x轴正半轴

.兀

y=Zsm—

I4

为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为0=2cos。+2sina

(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程;

JT

(2)设4,B是曲线C上的两点，且［48|=2.若直线/上存在点P,使得N4PB=］,求。的取

值范围

23.［选修4-5：不等式选讲］(10分)

设函数f(x)=2|x+l|-|x-a|+eR).

(1)若/(—3)〉/(l),求实数a的取值范围；

(2)当a=5时，函数/(x)有两个零点X］,%(玉＜%),且满足西+》2=-4,求实数b的值.

理科数学•全解全析及评分标准

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

12345678910112

1

ACABDCDADBDC

1.A因为z=2-i,所以z=2+i,所以

；_2+i_2+i_(2+i>i_-l+2i=-，+i.故选A.

z-z2—i—(2+i)-2i(-2i)-i22

2.C因为/=(—oo,2),5=[l,+oo),所以/口8=[1,2).故选C.

3.A由题意，得卜|=W=1,a=0.因为ga@+口)，所以ga+征)+0,所

以2M+x|5|=0,所以x=-2.故选A.

4.B当4〃/时，取4为平面厂内一条与/垂直的直线，得/』，充分性不成立；当/i〃，2时，因

为bu/3，4仁/，所以4〃万.结合口口尸=/,所以/〃/,必要性成立.综上可知，甲是乙的

必要不充分条件.故选B.

5.D逐步运行程序，得〃=0,

S=0<100；〃=1,S=1<100；n=2fS=5vl00；〃=3,S=14<100；〃=4,

S=30<100；n=5,S=55<100；n=6,S=91<100；〃=7,5=140>100,止匕时输

出〃=7.故选D.

rY_i_1_111

6.C因为f(x)=x-----=x+1---------------1=x+l+---------2,所以/(x-l)+2=x+—为奇

X+1x+1x+1X

函数.故选C.

7.D因为在(x+y)6的展开式中，,初5的系数分别为c：,C；,所以在［上—至］(x+y)6的

展开式中，的系数为c：—2c：=8.故选D.

8.A因为%・%+]=2j所以%+/％+2=2*+1，所以生包=2,所以

ak

咏・咏・咏••…幺=2碇，即咏=>”①.又因为％。=2,①②两式相乘，

^2022。2020。2018^^6^^4^^2^^2

得生々2024=吸"2,故选A.

x+y-1>Q

9.D作出不等式组12x-y+IWO表示的可行域如图中阴影部分所示（包含边界），其中4（0,1）,

5x-4j+13>0

8（—1,2）,C（3,7）,所以z=mx—y的最小值为-4等价于直线y=%x+（—z）的纵截距—2的最大

值为4,所以直线y=ZMX+（-Z）经过点（0,4）.结合图象，知直线y=mx+（-z）经过点

8（-1,2）或C（3,7）时满足题意，所以m的值为1或2.故选D.

10.B对于A,/（x）=gx+sinx,点（0,/（0））,（兀,/（兀）），（2兀,/（2兀）），（3兀,/（3兀））在同

一条直线y=上，与图象不符，舍去；

对于C,/（x）=Vx+cosx-l,/（兀）=6一2<0,与图象不符，舍去；

对于D,f（x）=x+cosx-l,/r（x）=1-sinx>0,所以/（x）在（0,+8）上单调递增，与图象

不符，舍去.故选B.

11.D因为点M,N分别在双曲线C的右支和左支上，所以闿-=刃-|八圜=2〃.

又用N|=2,怩M=3,|ACV|=4,

所以a=:|叫|=5,所以1M

所以NNM乙是直角.

在放与中，阳心『=|丹儿/f+l儿啊\所以（24=62+32,

所以/=c2—a2=6+3——=9,即6=3.

44

又△儿用石的外接圆交双曲线。的一条渐近线于点P（x0,%）,

2

%+》0c

所以|。尸|=c,所以点Pa,比）的坐标满足＜

0

db2

x=a

解得40,故选D.

Jo=b

12.C如图，设点。在母线S4上且SD=SP=2,

因为△/C3是直角三角形，所以三棱锥P-/BC外接球的球心E在SO上，所以EP=ED,

即三棱锥P-ABC外接球的球心E也是三棱锥D-ABC外接球的球心，且两个外接球的表面积相

等.

由NO=CO=80,得AABD的外心即为三棱锥A-BCD外接球的球心E.

在△AB。中，BD=j4L)2+而—24D-4BcosND4B=,+6?—2x4x6xg=2月,

所以AABD的外接圆的直径2R=BD2774VH

smZDABsin6003

["IC

所以三棱锥P-4BC外接球的表面积是MR?=兀（2幻2=笠.故选C.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.2因为/'(%)=ae"—1,所以(1)=ae—1=2e—1,所以a=2.故填2.

14.—由题意，知4=2,最小正周期丁二」①.注意到一②.

5(D46

912

结合①②，解得

将点(0,-1)代入/(%)=2cos(cox+cp),得cos0=—；.

2IT471

因为0<"<2兀，所以9=7或？

得。・=左兀+乌（左）

依题意,2+0EZ.

62

当"二g时，。二号°&02),取尢=2,得。=£,满足题意；

47r6kQI?

当夕二1-时，G=不存在使成立的整数左2,舍去•

故填一.

5

15.4夜—3设椭圆。的半焦距为c,由题意，得£=!，Q+C=3M,

a2

所以c=J^,a=2V2.

设椭圆C的左焦点为歹'，则尸'3,0）

所以归H+|PF|=陷+（2a_附1）=2a+附-附［＞2a-\AF'\=4^/2-3.

故填4夜-3.

16.一依题意，得aOb=max{a,b},所以|a+4一.=max加+耳,,一同}.

M>\a+b

设max{a+b|,|"4}=M

M>\a-b

所以2M>|a+£>|+|a-b\>2|a|,则|a+Z>|o|a-Z>|>同,

3

所以min{|x-j|o|3-x|o|x+j||=minj|o|x+j|o|3-x||=min^x|o|3-x||=—,

2

33

当且仅当》=—,歹=0取等号.故填一.

22

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17〜21题为必考题，每个

试题考

生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

（1）由频率分布直方图，

知男生组得分在80分以上（含80分）的有（0.010+0.005）x10x60=9（人）,

女生组得分在80分以上（含80分）的有（0.025+0.010）x10x60=21（人），

921

男生占比为,女生占比为

9+219+21

-9

所以男生组分得票数为-----xlO=3,

9+21

女生组分得票数为xl0=7,

9+21

所以男生组、女生组分别得3张和7张该戏剧的演出票.

（2）由（1）,知男生组得分在80分以上（含80分）的有9人，80分以下的有51人；女生组得

分在80分以上（含80分）的有21人，80分以下的有39人，

所以得如下2x2列联表:

男生女生合计

x>8092130

x<80513990

合计6060120

,120x（9x39-21x51）32

根据列联表中数据计算，得力=-------------------L=一=6.4<6.635.

60x60x30x905

根据临界值表，知没有99%的把握认为学生喜爱戏曲与性别有关.

18.（12分）

（1）由正弦定理及2bsin[/+tJ—2〃=c,f#2sin5sin^24+-^j-2siny4=sinC,

所以sinB（y/3sinA+cos2sin4=sin（4+B）,

整理，WV3sinsin5-2sinA=sinAcosB.

因为sin/wO,所以Gsin3—cosB=2,即

八兀（兀5兀\ll」「2〃

因为3——G—一,——,所以5=——.

6166J3

（2）因为8。为N4B。的平分线，所以S=SBCD+SBAD，

即一acsinZ.ABC=一x2csin-------F—x2tzsin------

22222

化简，得QC=2（Q+C）,

由Q=3,得C=6,

=-acsin5=-x3x6xsin—=-^

所以S^ABC

2232

19.（12分）

（1）因为SC，平面48C,/Cu平面4BC,所以SCLNC.

因为£4=2,SC=42,所以ZC=也.

结合N5=5C=1,得4B_LBC.

因为SC,平面4BC,48u平面4BC,所以4BLSC.

又SC,BCu平面SBC,且SCn5C=C,所以48,平面SBC.

又C尸u平面SBC,所以48，。尸.

又CF1SB,8民45匚平面545,且58口48=8,所以。尸，平面S4g.

又£4u平面£45,所以CEL”.

（2）如图，以点C为坐标原点，过点C且平行于45的直线为x轴,CB,CS所在的直线分别

为y轴、z轴建立空间直角坐标系,

/11后、/n2^2、

则/（1,1,0）,5（0,1,0）,C（0,0,0）,S9,0,Ji）rU,—,----

233

J7

所以9=1（1、、

CF=

77

设平面CE尸的法向量为加=（工1，%，4）,

1141

二0

CE-m=0/+/+丁】

所以《一一，即

CF-m=02V2_n

取必=1,则$=1,Z]=-，所以加二

设平面CEB的法向量为M=（x2,j2,z2）,

CE-n=0

所以4_____，即"『I。

CB-n=0*=o

6血,0」）是平面CEB的一个法向量,

取z2=1,贝ij%=0,x2=-V2,所以〃=

-2A/2_V6

所以cos（加=\-\\-\二

\m\\n\74x73—3

所以平面CEF与平面CEB所成锐二面角的余弦值为—.

3

或另解：如图，以点B为坐标原点，BC,切所在的直线分别为x轴、y轴,

过点B且平行于CS的直线为z轴，建立空间直角坐标系，

仕J也）

则4(0』,0),5(0,0,0),C(1,0,0),51,0,行),EFfP105TV2

廿527

所以小［］，亨

,C5=(-1,0,0),CF=

33

<7

设平面CE尸的法向量为加=（百,％/1）,

11V2_

_万/+］必+^-zi=0

CE-m=0

所以《一一，即

CF-m=026c

nXi+TZi=0

取Z［=J5,则西=1,必=-1,所以机=1,-1,虚）是平面CE尸的一个法向量.

设平面CEB的法向量为n=（x2,y2,z2\

CE-n=0

所以4_____，即

CB-n=Q

_%2二0

取22=1,贝|%2=0，%=-后，所以〃=。,一行,1）是平面C£3的一个法向量,

2A/2_V6

所以cos(m,n)=二

HHA/4x>/33

所以平面CEF与平面CEB所成锐二面角的余弦值为—.

3

20.(12分)

(1)因为当为=4虚时，MA=MD+MF,所以四边形〃72。为平行四边形,

所以|4D|=|〃F|=p,即x0=p,所以/Q,4后)

将幺[,4后)代入「=2px,得32=2p2,

解得夕=4,

所以抛物线C的方程为V=8x.

(2)如图，由题意，得M(-2,0).设直线的方程为x=“V-2(7%w0),BQ],%),

则N(2,

km

p2_Qy

由＜,得/—8叼+16=0,△=64m2-64>0,

x=my-2

所以％)+M=8m‘yoyi=16.

|皿网

假设存在实数九，使得|/叫忸N|=X忸MHM，即^~_=2.

|w||^|

由题意，知陷=阻.网=生日=包二4

BM

\\|%|'|训|/-2|\my0-4\!

忸N|_尻|Ml_4|_Mo%-4%|

\BM\\AN\|JJ\my0-4\|明弘-4城

又先+必=8阳，％必=16，

所以以M忸N=|"%-仪=|16加-4yoi=|16二-4%,|=1

\BM\\AN加比必-4必|16掰-4(8掰-打)14yo-16时

即存在实数2=1,使得\AM\\BN\^A\BM^AN\成立.

21.(12分)

(1)由已知，得函数/(x)的定义域是(—1,+oo),/'(x)=ln(x+l)——1——2x+l+a.

JC+1

①若/(x)在定义域内是单调递增函数，则/'(x)=ln(x+l)-一1——2x+l+a20在

X+1

(-1,+00)上恒成立.

注意到ln(x+l)<x,当且仅当x=0时取等号，

所以/,(x)=ln(x+l)————2%+1+Q<X—2%+1+Q=~X+1+Q

X+1

若1+aZ—1,即当—2时，取玉)>1+a,则f(玉))<-x0+1+a<0；

若l+a<-l,即当。<一2时，取玉〉一1,则/+l+a<0,

所以/,(x)=ln(x+l)-----2x+l+a»0在(-l,+oo)上不可能恒成立，舍去.

X+1

②若/(x)在定义域内是单调递减函数，则/'(x)=ln(x+l)——-——2x+l+aW0在

X+1

(T+co)上恒成立.

令g(x)=ln(x+l)---2x+l+〃,

x+1

11c-2x2-3x-x(2x+3)

-2=------▽=—~~^-(zx>-1)A,

则g'(x)---------1-------------722

x+1(X+1)(X+1)(x+1)I)

所以当—l<x<0时，g'(x)〉O,g(x)在(—1,0)上单调递增;

当x>0时，g'(x)<0,g(x)在(0,+oo)上单调递减,

所以g(x)max=g(0)=*所以由/'(x)<0恒成立，得a<(E

即当/(x)在(-1,+oo)上单调递减时，a的取值范围是(-8,0].

综上，当/(x)在定义域内是单调函数时，a的取值范围是(-8,0].

(2)由(1),知/(x)在定义域内是单调函数时，必有a<0,所以/(x)有两个极值点X],x2,

必须a>0,X],&是g(x)=ln(x+l)---2x+l+a=0的两个根,

X+1

所以g(玉)=g(%2)=0，Q=—ln(x+l)H-----F2x—1.

X+1

由(1),知g(x)在(-1,0)上单调递增，在(0,+00)上单调递减.

不妨设-1<Xj<0<x2.

要证须+%2〉0，即证>—西•

因为一王〉0,x2>0,所以亦即证g(%)<g(-Xj),所以要证0<g(-再).

1

注意到g(-X1)=In(一石+1)-+2X]+1+Q

~Xy+1

=ln(f+l