2024届湖北宜荆荆高三五月高考适应性考试数学试题（含答案）

2024届湖北宜荆荆高三五月高考适应性考试数学试题含答案

宜荆荆五月高考适应性考试

数学试题

本试卷共2页，共19题。满分150分,考试用时120分钟。

注意事项：L答题前,考生务必将自己的姓名.准考证号填在答题卡上.

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡

皮擦干净后,再选涂其他答案标号,答在试题卷上无效.

3.填空题和解答题答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效.

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的.

1.若角a的顶点为坐标原点,始边在%轴的非负半轴上,终边在直线y=V3%±,则角a的取值集

合是

A.|a—2/OT+g,/cEzj

B.{a|a=2kn+与,kez}

C{a[a=去兀+4,kGz}

D.{a|a=/ot+g,/cCz}

2.从一个容量为Tn(7n>3,meN)的总体中抽取一个容量为3的样本,当选取简单随机抽样方

法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的可能性是*则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总

体中每个个体被抽中的可能性是

3.复数Z1，Z2在复平面内分别对应点4B,Z1=3+4i,将点2绕原点。按顺时针方向旋转90。得到

点B则Z2=

A.3-4i

B.-4—3i

C.4-31

D.-3—4i

4.如果一个等差数列前10项的和为54,最后10项的和为146,且所有项的和为390,则这个数

列有

A.36项

B.37项

C.38项

D.39项

5.直线y=依与圆（久-1）2+（y-I）2=1交于M.N两点,。为坐标原点,则方而•ON-

A.工

1+k2

R1

'1+fc2

C.1

D.2

6.有三个房间需要粉刷,粉刷方案要求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已

知三个房间的粉刷面积（单位:m2）分别为%,%z,且无>y>z,三种颜色涂料的粉刷费用（单位:

元/m2）分别为a,b,c,且a<c.在不同的方案中，最低的总费用（单位:元）是

A.ax+by+cz

B.az+by+ex

C.ay+bz+ex

D.ay+bx+cz

7.互不相同的5盆菊花,其中2盆为白色,2盆为黄色,1盆为红色,现要摆成一排，白色菊花不

相邻,黄色菊花也不相邻,共有摆放方法

A.24种

B.36种

C.42种

D.48种

8.设。=］（久一a）2+（〃一2v^）2+a+1,其中e-2.71828,则。的最小值为

A.V2

B,V2+1

C.V3

D.V3+1

二、选择题:本题共3小题,每小题6分.共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.设u为全集，集合A、B、c满足条件auB=auc,那么下列各式中不一定成立的是

A.BJA

B.CQA

c.an(CVB)=an(c“c)

D.(CM)cB=(小)nc

10.在aaBC中,4B、C所对的边为a、b、c,设BC边上的中点为M,△ABC的面积为S,其中

a—2^/3,b2+c2—24,下列选项正确的是

A.若4-p贝！Js-3A/3

B.S的最大值为3b

C.AM=3

D.角a的最小值为］

n.对于正整数律，卬(71)是小于或等于72的正整数中与n互质的数的数目.函数8(71)以其首名研究

者欧拉命名，称为欧拉函数,例如卬(9)=6(1,2,4,5,7,8与9互质)，则

A.若72为质数，则卬(九)=71-1

B.数列WS)｝单调递增

C.数列｛扁｝的最大值为I

D.数列修(3与｝为等比数列

三、填空题:本题共3小题,每小题5分.共15分.

12.若函数/(%)=ln(e2%-a)-x(xER)为偶函数,则a=.

22

13.已知椭圆:今+y=l(a>V5),M(V3,V6),若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点

口1(久1，%)，口2(久2。2)，有MP；-MP；>1恒成立,则实数a的取值范围是.

14.祖晅原理也称祖氏原理，是我国数学家祖眶提出的一个求体积的著名命题：”易势既同，

则积不容异”，“易”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两个同高的立体，如在等高

处截面积相等，则体积相等.由曲线?—?=l,y=±^x,y=±4围成的图形绕y轴旋转一周

所得旋转体的体积为匕则，=."

四、解答题:本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(本小题13分)

设｛即｝是正数组成的数列,其前几项和为治,已知即与2的等差中项等于上与2的等比中项.

⑴求数列｛33的通项公式；

⑵令%=(等i+至七)(nGN*),求｛.｝的前n项和.

16.(本小题15分)

如图,在三棱锥P-2BC中，侧面P4C1底面4BC,2C1BC,ZkP2C是边长为2的正三角

形,BC=4,E,F分别是PC,PB的中点,记平面2EF与平面4BC的交线为2.

⑴证明：直线，1平面P4C;

(2)设点Q在直线，上,直线PQ与平面2EF所成的角为出异面直线PQ与EF所成的角为仇求当ZQ

为何值时a+。=£

17.(本小题15分)

已知函数/(%)=ex-Inx-a,g(x)=ex-ln(x+a),,其中a为整数且a>1.记%0为f(%)的极

值点,若/(%)存在两个不同的零点%1，型(%1<%2)：

(1)求a的最小值；

⑵求证:gQn%D=g(ln%2)=0;

18.(本小题17分)

已知抛物线E:/=2py(p>0)的焦点为凡”为E上任意一点,且|HF|的最小值为1.

(1)求抛物线E的方程；

(2)已知P为平面上一动点,且过P能向E作两条切线,切点为,M.N,记直线PM,PN,PF的斜率分

别为矶k,k,且满足三十三=『.

23用13亿3

(1)求点P的轨迹方程;

⑵试探究:是否存在一个圆心为Q(O,QQ>0),半径为1的圆，使得过P可以作圆Q的两条切线

h，12,切线匕,％分别交抛物线E于不同的两点4(S1，t1),B(s2,12)和点C(S3,G)，O(S4,%)，且

S1S2s3s4为定值?若存在,求圆Q的方程,不存在,说明理由.

19.(本小题17分)

龙泉游泳馆为给顾客更好的体验,推出了A和B两个套餐服务,顾客可选择A和B两个套餐之一，

并在App平台上推出了优惠券活动，下表是该游泳馆在App平台10天销售优惠券情况.

日期t12345678910

销售量y(千张)1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4

经计算可得:歹=g％=2.2,盛1%=118.73,型汨=385.

(1)因为优惠券购买火爆,app平台在第io天时系统出现异常,导致当天顾客购买优惠券数量

大幅减少，已知销售量y和日期t呈线性关系,现剔除第10天数据,求y关于t的经验回归方程

(结果中的数值用分数表示)；

(2)若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为;,选择B套餐的概率为并且A套餐可以用一

张优惠券,B套餐可以用两张优惠券,记App平台累计销售优惠券为n张的概率为匕,求匕；

(3)记(2)中所得概率分的值构成数列｛4｝(>GN*).

(1)求心的最值：

⑵数列收敛的定义：已知数列｛即｝,若对于任意给定的正数当总存在正整数时,使得当n>No

时，|与-a|<当(a是一个确定的实数)，则称数列｛即｝收敛于a.根据数列收敛的定义证明数列

｛匕｝收敛

参考公式：.力(x,-7)(X-7)为物-前亍

b=J----;—=气-------，a=y-bx.

力(芍-工)之力-我

/-I/-I

宜荆荆五月高考适应性考试

数学试题

参考答案

1234567891011

DACDCADAABCABCACD

13.(石,2应]14.3271

2

15.解(1)由题意，有等2=，整理得Sn=1(an+2)，

由此得S”+i+2)2，'勺+1=S〃+|-S,+2)2-@+2)2]2分

O

整理得(%“+%)(%+1-q-4)=0,

由题意知4“+|+勺*0,•••。7一/=4,..........................................4分

即数列｛%｝为等差数列，其中4=2,公差4=4,

/.«?„=«!+(«-!)«/=2+4(n-1),即｛与｝通项公式为%=4〃-2.6分

("€2),令4="-1=；

⑵4=3+2+J,8分

4+1/

r.1t7-.I、111

则c„=-(z-^-+-^--2)=-(--•-1)+-•)=10分

2an%2L2n-12n-12n+I,

^bl+b2+-+b„-n=ci+c2+-+cn

=("»(H)+...+(I一七

••T=n+l———..........................................................................................................13分

"2/J+I

16.解：(1)证明：•••£•,/分别为PC,P3中点，

：.BC//EF,2分

又E/u平面£B4,BCa平面£E4,

.•.SC〃平面EE4.............................................................................................................3分

又8Cu平面48C,平面EE4c平面4SC=/,

:.I//BC,.4分

■：PA=PC=AC=2,

AEA.PC,

•：AC1BC,平面P/CJ■平面ABC,平面HCc平面48C=/C,BCu平面ABC,

,8CJ■平面P4C,

^11IBC6分

二直线/工平面刃C........................................................................................................7分

(2)如图，

答案第I号

以C为原点，以C4C8所在直线为轴，过。作Cz_L平面4C8,建立如图所示的空间直角坐标

系：.......................................................................................8分

则C(0,0,0),4(2,0,0),F(g,2冷,尸。,0,白)，。(2,九0),

二荏=(1,0,6)为平面4f尸的法向量，而=(0,2,0)，

PQ=(1j，-G)...................................................10分

cos<CP,'pQ>=—-2,cos<PQ,而>=―>....................12分

2也+/77+42也+.2也+/

设直线尸。分别与平面NM、直线E尸所成的角分别为。，6,a+6=5，

sina=/1,cos。=,,sina=cos0,.........................................

13分

V/+4|V/+4|

即1=3,求解y=±l,存在。(2,1,0)或。(2,T,0),

即当，。=1时，ay..................................................................15分

17.解：(1)/«)=/-g(x>0),广口)=/+3>0,故八%)在(0,+8)上调递增，.......2分

尸(g)=G2V0,r⑴=e-l>0,.....................................................3分

由零点存在性定理知，存在唯一的X。6(1,1),使得/'(X°)=0,即/》=」-,

2X。

/(x)在(0,%)上单调递减，在(%，+8)上单调递增..........................................5分

Xo

当/(x)min=f(x0)=e-lnx0-a=x0+--a,.............................................7分

X。

若/(x)存在两个不同的零点，则•/'(Xo)VO，即X。■!-----。<0,。>玉)"1---,

由玉,w(；,1)知X。+Je(2,g)，所以a的最小值为3.........................................9分

(2)由题意/(再)=/(々)=0，即a=e*—lnX[=e*—Inx2,...............................12分

x

故g(lnxj=须一ln(lnX]+e'-lnx()=x}-xt=0,同理gOnx?)=0.

g(lnx1)=g(lwx2)=0....................................................................15分

:,共2页

18•解：（1）设抛物线E的准线/：y=一^,〃为抛物线上任意一点过〃作J■/于点M，

由抛物线的定义得：\HF\=\HHt\,

所以当，与原点。重合时，|“总京=5=1，所以〃=2,

所以抛物线E的方程为/=4y..........................................................................................................................4分

（2）设P（%〃）,过点P且斜率存在的直线/：y=〃（x-优）+”,

联立，*=4y，消去y,整理得：x2-4kx+4km-4n=0.（*）

y=k（x-m）+n

由题可知A=16芯-4（4hw-4〃）=0,即《2一加4+〃=0,

勺，左2是该方程的两个不等实根，由韦达定理，?'+?2=W....................................5分

I桃2=〃

又♦.•尸（0,l）,..&=T,mx0，

m

由工+，=2,有AdA=2,.,.%=生，.................................................7分

k}k2k、kJ?k3n/i-l

因为:加W0,・・=2〃,.\n=-b

所以点尸的轨迹方程为y=-l（x工0）（没有写范围的扣1分）.....................................9分

（1）由（2）知P（用,-1）,

设4:夕=女式》一机）一1,，2-y=ni）-\,tn^±^mwO

所以（*）式即为/-4%》+4《"+4=0.

又4（s"1）,BQ2冉）C3冉），，幻，

由韦达定理，5岛=4k4m+4,s3s4=4AsM+4,

所以SR2s3s4=（4后衲+4）（4&/«+4）=1644Asm2+16m（/c4+々）+16...............................................................11分

又因为4和以圆心为。（0M）U>0）,泮径为1的圆相切。

所以|勺（0二切）~1-4=J即（用2_］氏2+2m（A+1）e+万+24=0.

71777

2

同理（加2-1*；+2机（九+1）%+A+2A=0.....................................................................................................13分

所以％的分别是方程（评-1*+2团q+1）%+；12+2/1=0的两个根，

所以由韦达定理，，

,,22+22

k"=2।

m-1

所以S|S253s4=16%内苏+16"；（幻+与）+16=^^~（；12+2/1—2；1—2）+16=^^~（；12-2）+16...............15分

"1-1tn-1

若S|S2s3s4为定值，则A2-2=0,X1.,2>0,.,.2=应。

所以圆。的方程是：X2+（^-V2）2=1..............................................................................................................17分

答案第2：

19.解：(1)剔除第10天数据的(刃新=g&,=22xl；-04=2.4,

必67342207斫以-6732207

故4=2.4-----x5=-----»丹］以、=----/+.....5分

6000120060001200

（2）由题意可知E=；2T+；2.2（〃A3），.