安徽省皖北五校联盟2024届高三第二次联考数学试卷（含答案与解析）

颍上一中蒙城一中淮南一中怀远一中涡阳一中

2024届高三第二次五校联考试题

数学

考生注意：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.

2.答题前、考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.

3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对

应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题

区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1设全集U=R,&=｛小+1<°｝,集合3=｛刈1限芯<1｝,则集合@4）c5=（）

A[—1,2]B.(0,2)C.[—l,+oo)D.[—1,1)

2.已知z为复数且z-（l—i）=l+3i（i为虚数单位），则共轨复数三的虚部为（）

A.2B.2iC.-2D.-2i

3.已知等差数列｛4｝的公差d/0,且%,%，%成等比数列，则5=（）

d

A.2B.4C.5D.6

4."。=2"是"直线融+2y+2=0与直线x+（a-l）y+l=O平行”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

角的对边分别为"c,若5：1”1=，3,0=3,432。=3，则

5.在锐角ABC中,

2

b+c

-----------=（）

sinB+sinC

A.这

n2而R2A/7n4721

333

6.甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在A5C,。，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有

一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游

玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

7.已知不等式ow、+x>l—Inx有解，则实数。的取值范围为（）

A.B.cD."1

?=i,则

8.已知实数X,y满足工忖+-我+丁-4的取值范围是（)

跖）)

A.4-2B.4,4C.D.

]2J

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.一组数据看,％2,…，不。是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则（）

A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差没变

10.已知一ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的是（）

A.若acosA=bcos5,贝U_ABC一定是等腰三角形

B.若cos（A-5）<05（3—0=1,贝UABC一定是等边三角形

C.若acosC+ccosA=c,则一ABC一定是等腰三角形

D.若cos（2B+C）+cosC>0,则一ABC一定是钝角三角形

11.已知正四面体O-A5C的棱长为3,下列说法正确的是（）

A.平面。与平面ABC夹角的余弦值为工

3

B.若点尸满足OP=xQ4+yO3+（l—x—则的最小值为的

C.在正四面体O-A5c内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为也

12

D.点。在一ABC内，且|OQ|=2|QA|,则点。轨迹的长度为马鲁兀

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若九为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式(也+｝］的展开式的常数

项是.

13.已知抛物线。：丁=2°尤(0>0)的焦点为尸，抛物线。的准线/与x轴交于点A,过点A的直线与抛物

线。相切于点尸，连接尸尸，在，AP尸中，设sin/R4/=2sinNAEP,则2的值为.

14.对于函数〃力=|8阂-阳％当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为―当该函

数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为夕，求(1+。卜in"。.".2"=_________.

a1_/

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(x)=^+办2+法+5,曲线y=/(x)在点尸处的切线方程为y=3x+l

(1)求a,b的值；

出求丁=/(力在［-2,2］上最大值和最小值.

16.如图，在平行四边形ABC。中，AB=\,BC=2,ZABC=60°,四边形ACEF为正方形，且平面A8CZ)_L

平面ACEF.

(1)证明：ABLCF-,

(2)求点C到平面的距离；

(3)求平面BEP与平面尸夹角的正弦值.

17.现需要抽取甲、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个

正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将

首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲

箱或乙箱的概率均为g.

(1)求首次检验抽到合格产品的概率;

(2)在首次检验抽到合格产品条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；

(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首

次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.

18.设圆f+y2+2x—15=0的圆心为A,直线/过点3(1,0)且与x轴不重合，/交圆A于CD两点，

过8作AC的平行线交AD于点E.

(1)设动点E轨迹为曲线C,求曲线。的方程；

(2)曲线。与无轴交于A，4.点4在点人的右侧，直线加交曲线。于点两点(加不过点4),直

9

线与直线N%的斜率分别是匕,融且k&直线A.M和直线%N交于点P(x0,y0).

①探究直线〃z是否过定点，若过定点求出该点坐标，若不过定点请说明理由；

②证明：%为定值，并求出该定值.

19.在数学中，把只能被自己和1整除的大于1自然数叫做素数(质数).历史上研究素数在自然数中分布

规律的公式有“费马数"22"+1(“WN)；还有“欧拉质数多项式"：/+〃+41(〃eN).但经后人研

究，这两个公式也有局限性.现有一项利用素数的数据加密技术一DZB数据加密协议：将一个既约分数的分

子分母分别乘以同一个素数，比如分数;的分子分母分别乘以同一个素数19,就会得到加密数据一.这个

357

过程叫加密，逆过程叫解密.

511285458759

⑴数列｛4｝中a”,,久经OZB数据加密协议加密后依次变为-一,——,---------.求经解密还原的

I"341542786444

数据6,生,%的数值；

(2)依据％,。2，。3的数值写出数列｛4｝的通项公式(不用严格证明但要检验符合).并求数列｛4｝前几项

的和S”；

(3)为研究“欧拉质数多项式”的性质，构造函数〃x)=Y+x—1,。,力是方程/(x)=0的两个根

/(4)

(。＞0,/'(同是/(力的导数.设%=1,。〃+15=1,2,).证明：对任意的正整数“，都有

f'M

生〉u•(本小题数列｛4｝不同于第(1)(2)小题)

参考答案

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合

题目要求的.

1,设全集U=R,A={小+1<0},集合3=卜噂2]<1},则集合国A)c5=()

A.[-1,2]B.(0,2)C.[-l,+oo)D.[-1,1)

【答案】B

【解析】

【分析】

先求出集合A,3,再利用补集运算求电A,最后求交集即可.

【详解】由4=卜|%+1<0},

得4={尤|尤<_”,

由3={%|log?x<l},

得5={x|0<x<2},

故&力「5=（0,2）.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了集合交集和补集的运算，考查了对数函数求值.属于较易题.

2.已知z为复数且z-（l-i）=l+3i（i为虚数单位），则共物复数三的虚部为（）

A.2B.2iD.-2i

【答案】C

【解析】

【分析】根据复数代数形式的除法运算化简复数z,即可得到其共辗复数，从而得到其虚部.

2

l+3i_(l+3i)(l+i)_i+j+3i+3i

【详解】解：因为z-（l—i）=l+3i,所以=-l+2i,

1-i-(l-i)(l+i)2

所以I=_l_2i，则共辗复数［的虚部为—2.

故选：C

3.已知等差数列{4}的公差dwO,且%,%，%成等比数列，则5=（）

d

A.2B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】根据等差数列和等比数列的知识列方程，化简求得正确答案.

【详解】依题意，｛4｝是等差数列，且％,。3，%成等比数列，

所以a；=q•%,(%+2d1=q(q+6d),

*2

a；+4qd+4J=a；+6/d,2d?=axd,

由于dwO,所以q=2d,色=2.

d

故选：A

4.“a=2”是“直线改+2y+2=0与直线x+(a—l)y+l=0平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】D

【解析】

【分析】代入。=2,可得两直线为同一直线，可得结果.

【详解】当4=2时，

直线ar+2y+2=0即直线2x+2y+2-0=>x+y+l-0,

直线x+(a-l)y+l=0即直线直线x+y+l=0,

所以两直线重合，

故选：D.

5.在锐角ABC中，角A,3,C的对边分别为a,dc,若sinA==3,A5-AC=3，则

2

sinB+sinC

右

A3R2向R2A/7n4721

2333

【答案】B

【解析】

h-\-ca

【分析】由已知条件结合向量数量积的定义、余弦定理求出〃，由正弦定理可得1--------；—=「，化简

siiiB+sinCsinA

即可得到答案.

【详解】因为一A5c为锐角三角形，sinA=—，所以A=60，由AC=McosA=3，则〃=2,

2

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=7»即a=J7，

由正弦定理可得：———=q=及1=2应.

sinB+sinCsinAsin603

故选：B.

6.甲、乙等6名高三同学计划今年暑假在ABC,。，四个景点中选择一个打卡游玩，若每个景点至少有

一个同学去打卡游玩，每位同学都会选择一个景点打卡游玩，且甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游

玩，则不同游玩方法有（）

A.96种B.132种C.168种D.204种

【答案】C

【解析】

【分析】各级题意，剩下4人去其他两个景点游戏，由此按旅游的人数2种情况讨论，结合分类加法计数原

理，即可求解.

【详解】由题意，甲、乙都单独1人去某一个景点打卡游戏，

则剩下的4人去其他两个景点游戏，则其余4为主播有两种情况：

①若3为主播去一个景点，1为主播去另一个景点，有A；C：A；=96种不同游戏方法；

C2c2

②分别都是2为主播去一个景点，有A；=72种不同游戏方法,

由分类计数原理得，共有96+72=168种.

故选：C.

7.已知不等式—lux有解，则实数。的取值范围为（）

A.T，+oo]BJ-.+S]cl/]DJV]

【答案】A

【解析】

【分析】分离参数转化为a〉1—,构造函数〃x)=f二利用导数法求出/(切加」

即为所求.

1_y_]nx(1—x—Inx।

详解】不等式axe'+x>l—Inx有解，即a>---------,%>0,只需要。〉------;—,

A

xeIxeJmin

令〃X)=E^,

"⑺=(川)(停+晨),”，

xe

令g(x)=x-2+lnx,x>0,

,

.-..g(x)=l+->0,所以函数g(x)在(0,+“)上单调递增，

又g(l)=T<。，g(2)=ln2>0,所以存在尤oe(l,2),使得且小”。,即/—2+lnx()=。,

/.xe(0,x0),g(x)<0,即/'(x)v0；XG(如+"),g(x)>0,即/'(x)>0,

所以函数/(%)在(o,%)上单调递减，在(%,-卜8)上单调递增，

••/(%0)=而，又由Xo-2+lnXo==0,可得Xoe"=e2,

xoe

.f(YIfTn/_1一玉)+/_2__L

…八"—*。"e2e

1

ci>——.

e

故选：A.

1-三步，x>0,构造函数/(x)=l—：；lnx,利用导数

【点睛】思路点睛：由题意问题转化为Q>—

求出了(九)的最小值，即只要a〉/(»..

8.已知实数x,y满足虫+?=1,则G

x+y—4的取值范围是()

r76jrV6j

A.14-V^,2)B,14-

L2JL2J

【答案】B

【解析】

【分析】

将实数x,y满足X忖+望=1通过讨论x,y得到其图像是椭圆、双曲线的一部分组成的图形，借助图

像分析可得|氐+V-4|的取值就是图像上一点到直线6x+y-4=0距离范围的2倍，求出切线方程根

据平行直线距离公式算出最小值，和最大值的极限值即可得出答案.

【详解】解：因为实数x,y满足X忖+半=1,

2

所以当时，上+》2=1其图像位于焦点在y轴上的椭圆第一象限，

3

2

当%>0,yv0时，/—匕=i其图像位于焦点在工轴上的双曲线第四象限，

3

2

当x<0,y>0时，2__X2=1其图像位于焦点在y轴上的双曲线第二象限，

3

2

当x<0,y<0时，—匕一必=1其图像不存在，

3

作出圆锥曲线和双曲线的图像如下，其中可乂+?=1图像如下:

任意一点(x,y)到直线Jir+y—4=0的距离d=

所以|6x+y-]=2d

结合图像可得4的范围就是图像上一点到直线gr+y—4=0距离范围的2倍,

双曲线三_=1,三―V=1其中一条渐近线氐+y=0与直线显+y—4=0平行

通过图形可得当曲线上一点位于P时，2d取得最小值

当曲线上一点靠近双曲线的渐近线JL+y=0时2d取得最大值，不能取等号

2

设后+>+。=0(。<0)与、+炉=1其图像在第一象限相切于点p

-J3x+y+c=0

22

由<,,2n6x+26cx+c-3=0

匕+1

I3

因为A=(2瓜•了x-4x6x卜?-3）=0=>c=-或c=«（舍去）

所以直线出x+y—、笈=0与直线6+y—4=0的距离为卜4+，可

2

此时+y-41二2d=4-a

直线百x+y=0与直线"c+y—4=0的距离为卜；°=2

此时+y—4=2d=4

所以®+y-4的取值范围是［4-访4)

故选：B

【点睛】三种距离公式：

(1)两点间的距离公式：

平面上任意两点I®,%),£(%，必),间的距离公式为|《巴|=-%)?+(%-%)2；

(2)点到直线的距离公式：

7|Ax,+By,+CI

点耳（X1,%）到直线l:Ax+By+C^Q的距离d=—［履产一

(3)两平行直线间的距离公式:

IC-CJ

两条平行直线Ac+3y+G=0与不+3>+。2=0间的距离1=

二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.

9.一组数据看,马，­，X1O是公差为-2的等差数列，若去掉首末两项，则()

A.平均数变大B.中位数没变C.方差变小D.极差没变

【答案】BC

【解析】

【分析】根据等差数列的性质，结合平均数、中位数、方差、极差的定义，判断作答.

【详解】数据看,乙，，内0是公差为—2的等差数列，

56

对于A,原数据的平均数为=高2%=—X5(X5+X6)=9>

1Uj=i102

去掉首末两项后的平均数兀=：£%=：x4(X5+X6)=石/，即平均数不变，A不正确；

8i=232

对于B,原数据的中位数为玉土气,去掉首末两项后的中位数为玉旦，即中位数不变，B正确；

22

对于C,原数据的方差

s；=^[92+72+52+32+12+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2+(-9)2]=33，

去掉首末两项后的方差

s2-^1)2=1[72+52+32+12+(-1)2+(-3)2+(-5)2+(-7)2]=21,即方差变小，C正

8i=22o

确；

对于D,原数据的极差占-苞0=18,去掉首末两项后的极差%=14,即极差变小，D不正确.

故选：BC

10.已知的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列说法中正确的是()

A.若acosA=bcos3,则ABC一定是等腰三角形

B.若cosQl-BAcosCB—C)=l,则一ABC一定是等边三角形

C.若acosC+ccosA=c,则1ABe一定是等腰三角形

D.若cos(2B+C)+cosC>0,贝U-ABC一定是钝角三角形

【答案】BCD

【解析】

7T

【分析】对于A：利用正弦定理得到A=B或A+3=—,即可判断；对于B：由余弦函数的有界性求出

2

TT

A=B=C=-,即可判断；对于C：由余弦定理求出人二C,即可判断；对于D：利用三角公式判断出

3

cos5Vo或cosA<0,即可得到答案.

【详解】对于A：因为acosA=bcos5,由正弦定理得：sinAcosA=sinBcosB,

所以sin2A=sin2B.

因为A,5为.ABC的内角，所以2A=25或2A+25=兀，

jr

所以A=5或A+3=—.所以,ABC是等腰三角形或直角三角形.错误；

2

对于B：由余弦函数有界性可知：若-"cos（A-5）Wl,TWcos（5-C）WL

因为cos（A—5）?1（B-C）=,所以<305（74—5）=1,<205（8—。）=1或

cos（A-B）=-1,cos（B-C）=-1.

当cos（A_5）=l,cos（5—C）=W也有A=§且3=c,所以A=3=C=],

所以.ABC是等边三角形.

当cos（A—5）=—l,cos（_B—C）=—1时，有A—3=兀且3—C=兀，不符合题意.

所以.ABC一定是等边三角形.正确；

对于C：因为acosC+ccosA=c,由余弦定理得：々”.一一+，+入』一二一,

2ab2bc

所以2。2=2"，所以b=c,贝UABC一定是等腰三角形.正确；

对于D：在ABC中，A+B+C=n,所以cos（25+C）=COS（6+TI-A）=-cos（5—A）

cosC=cos（7i-A-B）=-COS（A+B）.

所以85（25+。）+<»5。=一85（5-4）-85（5+4）>0,

所以coslB-Aj+coslB+AjvO,ip2cosBcosA<0,所以cos3<0或cosA<0.

所以.ABC一定是钝角三角形，正确.

故选：BCD

11.已知正四面体O-A5c的棱长为3,下列说法正确的是（）

A.平面。45与平面ABC夹角的余弦值为工

3

B.若点P满足QP=xQ4+yO5+(l—x—y)OC,则|。网的最小值为布

在正四面体O-A5C内部有一个可任意转动的正四面体，则它的体积可能为《2

C.

12

点。在ABC内，且|OQ|=2|QA|,则点。轨迹的长度为名裂兀

D.

【答案】ABC

【解析】

【分析】于A,建立适当的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，结合法向量夹角余弦公式即可验算；对

于B,可得RAB,。，故只需求出。到面ABC的距离验算即可；对于C,用大正四面体内切球半径与小

四面体外接球半径(含参)比较大小，得出参数(体积)范围即可判断；对于D,用几何法得出点。的轨迹

不是一个完整的圆即可判断.

【详解】将正四面体补全为正方体，并如图建系,

f3A/23后］(3723^23。

,B

(22J4。¥笔。I222J

AC

OBABM

设面Q4B的一个法向量4=(石,Ni，zJ,面ABC的一个法向量%=(x2,y2,z2),

%+X=0一必+z?=0

所以《,取X=-1,%2=1，解得X=4=%=Z2=1，

再+4=0—%2+Z2=0

所以面Q43的一个法向量弭=(-1,1,1),面ABC的一个法向量々=(1,1,1),

设平面Q43与平面ABC夹角为a,cosa=卜05々,%|=＞不凸=；1时，A对.

3

OP=xOA+yOB+(l-x-y)OC,则P,A,5c共面，正四面体棱长为3,则正方体棱长为手,

所以引乎”1叫『"\OA=-n^正\3J2=技1-B对.

大正四面体内切球半径逅.3=直，小正四面体棱长为。，此外接球半径逅〃,

1244

C对.

412哈

分别在Q4上取2使Q】A=1,延长Q4至。2使02A=3,

0。=2。A,&。=2Q2A,取Qi,Q2的中点”，。在以“为球心，

；。。2=2为半径的球面上，且。在」RC内，作M在平面ABC上的射影

，MM'=*xl=丰,.•.M'Q=T|=等，。为图中RS,显然不是一个完整的圆,

，Q的轨迹长度不为2兀•画=拽。兀，D错.

33

故选：ABC.

【点睛】关键点点睛：第二问的关键是得到四点共面，转换为验算点面距离即可顺利得解.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.若〃为一组从小到大排列的数1,2,4,8,9,10的第六十百分位数，则二项式的展开式的常数

项是.

【答案】7

【解析】

【分析】首先算出第六十百分位数，然后写出二项式的通项，再;(8-r)+(-r)=0nr=2,最后得到常

数项即可.

【详解】因为6x60%=3.6,

所以第六十百分位数为8,

又二项式的通项为炉xgjx—y,

令:(8-r)+(-r)=0=>r=2,

所以常数项为=7,

故答案为：7.

13.已知抛物线C：V=2px(〃>0)的焦点为尸，抛物线C的准线/与x轴交于点A,过点A的直线与抛物

线。相切于点尸，连接PR,在11Ap产中，设sin/R4尸=2sin/AEP,则X的值为.

【答案】叵

2

【解析】

【分析】设点尸在准线上的射影为Q,贝“班1=|PQ|，设Q4的方程为y=4+9,联立方程组，结合

A=0,求得左=±1,得到sin/P4Q=正，在，AP产中，利用正弦定理，即可求解.

2

【详解】由抛物线C：V=2px(p>0),可得焦点歹(g,0),准线方程为》=-5,则A(—々,0),

设点P在准线上的射影为Q,则归目=|尸。，

因为直线AP与抛物线C相切，设E4的方程为y=k(x+g)(k丰0),

7/

y=k(xH—P、)n

联立方程组12,整理得上2/+(左2一2)内+—1°2左2=0,

P2=2Opx4

所以△=(左2—2)202—°2左4=0,解得左=±1,所以sin/PAQ=*，

在APF中，由正弦定理可知2=半缁=萼=黑=5布/巳4。=坐.

sinZAFP\PA\|PA|2

故答案为：—.

2

14.对于函数〃力=卜0阂-丘(x»0),当该函数恰有两个零点时，设两个零点中最大值为％当该函

(l+a)sin2a(^1+)32^cos2j3

数恰有四个零点时，设这四个零点中最大值为夕，求

a1—加

【答案】-3

【解析】

【分析】函数/(%)=|cosx|-kx[x>0)恰有两个零点等价于y=|cos%|与直线y=kx(x>0)有且只有两个

交点，根据图象可知：y=|cosx|与直线y=Ax(xNO)在点A相切，函数/(%)="。对一阳xNO)恰有四

个个零点等价于丁=k。对与直线y=Ax(xNO)有且只有四个交点，根据图象可知：y=|cosx|与直线

y=kx(X20)在3点相切，根据导数的几何意义以及三角恒等变换化简可得答案.

【详解】函数/(x)=|cosx|-kx(x>0)恰有两个零点等价于y=|cosx|与直线y=依(x20)有且只有两

个交点，函数"X)=|cosx|-"0)恰有四个个零点等价于y=|co&x|与直线y=kx{x>0)有且只有

四个交点，y=kosx|与直线y=Ax(x»0)的图象如下:

根据图象可知，y=|cosx|与直线y=Ax(xNO)有且只有两个交点时，则y=|cosx|与y=履在点A处

相切，且切点的横坐标为a,此时对应的函数解析式为y=rx>5,所以y'=sinx,则左=sina,又

（2

c1cosa、

2l+——sinacosa

1+tz2|sin2tz[sina）

-cosa=ka,所以-cosa=asina,则-----=-2

acosa

sin。

同理，y=|coW与直线'=依(x'O)有且只有四个交点时，则丁=卜0朗|与丁=近在点8处相切，且切

点的横坐标为夕，此时对应的函数解析式为y=co歌，所以y'=_sinx,则左=-sin/7,又

］（852夕—sin?夕）

cos/3=k/3,所以cos/7=-/?sin〃，则小⑴箪空

\一Bco//3

1一女

所以（1+42卜in2a（1+尸2）cos2万

a\一01

故答案为：-3.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15.已知函数/(%)=依2+法+5,曲线y=/(x)在点夕(1］⑴)处的切线方程为y=3%+1

（1）求a,b的值;

(2)求y="可在［-2,2］上的最大值和最小值.

【答案】(1)a=23=-4

95

(2)最大值为13,最小值为一.

27

【解析】

【分析】(1)由导数的几何意义列方程组求解

(2)由导数分析单调性后求解

【小问1详解】

依题意可知点尸(L/(l))为切点，代入切线方程y=3x+l可得/(l)=3xl+l=4.

〃l)=l+a+b+5=4,即a+Z?=-2,

又由/(%)=d+ax1+bx+5得，/r(x)=3x2+2or+Z?,

而由切线丁=3x+1的斜率可知/'(1)=3

3+2a+Z?=3,即2a+/?=0,

。+Z?=—2

由＜c7c，解得a=21=-4

2a+b=Q

【小问2详解】

由(1)知/(x)=x3+2x2-4x+5,

/f(x)=3x2+4%-4=(3x-2)(%+2),

2

令广(x)=0,得x=§或x=_2,

当x变化时，/«,/'(九)的变化情况如下表:

(-2$2

X-22

3G⑵

/’(%)0—0+

95

fM13单调递减单调递增13

27

295

/(尤)最大值为13,最小值为f

27

16.如图，在平行四边形ABC。中，AB=1,BC=1,ZABC=60°,四边形ACE尸为正方形，且平面A8CD_L

平面ACEF.

(1)证明：ABVCF-,

(2)求点C到平面8所的距离；

(3)求平面8跖与平面F夹角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵乌

2

⑶叵

4

【解析】

【分析】⑴利用余弦定理计算AC,再证明AC即可推理作答.

⑵以点A为原点，射线AB,AC,AF分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，借助空间向量计算

点C到平面2跖的距离.

(3)利用(2)中坐标系，用向量数量积计算两平面夹角余弦值，进而求解作答.

【小问1详解】

在YABCD中，AB=1,BC=2,ZABC=60°,由余弦定理AC?=AB?+5。？一^CcosNABC得，

AC2=l2+22-2xlx2cos60=3,即AC=6，<AC2+AB2=4=BC2>则/胡。=90，即

ABJ.AC,

因平面ABC。，平面ACER平面ABCDc平面ACEF=AC,ABu平面ABC。，

于是得AB工平面ACEF,又CFu平面ACEF,

所以ABLCF

【小问2详解】

因四边形AC所为正方形，即AFLAC,由(1)知AB,AC,AF两两垂直,

以点A为原点，射线AB,AC,A尸分别为x,y,z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图,

A(0,0,0),B(1,O,O),C(O,百,0),F(0,0,5D(-l,省,0),E(0,0,6),

FE=(0,瓜0),BF=(-1,0,而,设平面5跖的一个法向量zj,

n-FE=y/3y,=0「

则,令4=1,得〃=(6,0,l),

n•BF--玉+<3z\-0

l_,\n-BC\|-lxV3|6

而3C=(-1,V3,0),于是得点C到平面BEF的距曷d=―——=J(若产?=~2

所以点C到平面BEF的距离为B

2

【小问3详解】

由(2)知，AF=(0,0,73),AD=(-1,A0),设平面AD尸的一个法向量加=(%,%，z2)，

m•AF=A^Z2=0

则厂，令%=1，得加=(6,1,0),

m,AD=—x2+，3y2=0

m-n73x733JI

cos(m,ri)=W，设平面5石方与平面A/夹角为e,0G(O,—],

I向〃I/局+俨x7(V3)2+12。

则有cos6=|cos(m,n)h-,sin0=71-cos26*=—,

44

所以平面3所与平面AD尸夹角的正弦值为巨

4

【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用

方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算.

17.现需要抽取甲、乙两个箱子的商品，检验其是否合格.其中甲箱中有9个正品和1个次品；乙箱中有8个

正品和2个次品.从这两个箱子中随机选择一个箱子，再从该箱中等可能抽出一个商品，称为首次检验.将

首次检验的商品放回原来的箱子，再进行二次检验，若两次检验都为正品，则通过检验.首次检验选到甲

箱或乙箱的概率均为3.

(1)求首次检验抽到合格产品的概率；

(2)在首次检验抽到合格产品的条件下，求首次检验选到的箱子为甲箱的概率；

(3)将首次检验抽出的合格产品放回原来的箱子，继续进行二次检验时有如下两种方案：方案一，从首

次检验选到的箱子中抽取；方案二，从另外一个箱子中抽取.比较两个方案，哪个方案检验通过的概率大.

17

【答案】(1)—

20

⑵—

17

(3)方案一

【解析】

【分析】(1)按照条件概率的计算公式即可得出答案；

(2)按照贝叶斯逆向概率公式代入即可求解；

(3)由前面的小问得出的结论分别计算两种方案在二次检验抽到合格品的概率，比较大小，从而选择决策

方案.

【小问1详解】

将首次检验选到甲箱记为事件4,选到乙箱记为事件4,首次检验抽到合格品记为事件B.

则首次检验抽到合格品的概率

p(B)=p(A)P(B|A)+m)^lA)=|x-1)+|xA=1I.

乙J.\j乙J.\JZJxJ

【小问2详解】

在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率

19

⑷)-P⑻-P⑻-17-17-

20

小问3详解】

将二次检验抽到合格品记为事件C.

由上一小问可知，在首次抽到合格品的条件下，首次抽到甲箱的概率「(4忸)=蒋,

nQ

则在首次抽到合格品的条件下，首次抽到乙箱的概率p（4|5）=i--=—.

。（。忸）=P（CA⑻+网超忸）=笔黑+勺^

_P（A§）P（CAB）P（AB）P（C42JB）

=