解三角形大题综合- 2024高考数学复习（解析版）

解三角形大题综合-2024冲刺双一流之大题精选（解析版）

解三角形大题综合（新高考）

一、解答题

1.（2023•广东深蚪校考一模）已知△ABC的内角4。的对边分别为a,6,c,5.V3bcosA^B=

csinB.

⑴求。；

（2）若a+6=V3c,求sinA.

2.（2023•广东汕头•统考三模）在锐角△ABO中，内角4氏。的对边分别为a,b,c,且c—2bcosA=b.

（1）求证：A=2B；

（2）若4的角平分线交于。，且c=2,求△4BD面积的取值范围.

•1•

3.(2023•广东佛山•统考二模)已知△48。为锐角三角形，且cos_A+sinB=V3(sinyl+cosB).

⑴若。，求4

o

(2)已知点。在边4。上，且AD=BD=2,求。。的取值范围.

4.(2023•广东广州•广州市第二中学校考模拟颈测)在中，a、b、c分别是角4B、C的对边，向量抗

=(2sinB,2—cos2B),n=(^2sin2^-^-+旁),-1),抗_L亢.

(1)求角石的大小；

(2)若a6=1,求c的值.

•2・

5.(2023•广东广州•广州六中校考三模)记△ABC的内角4瓦。的对边分别为a,b,c,已知＞1为钝角，asimB

=bcosB.

⑴若。=",求4；

o

(2)求cosA+cosB+cos。的取值范围.

6.(2023•广东佛山•校考模拟演测)在△ABC中，角A8,。的对边为。也c,c•sinA=a•cos。,设△ABC的

面积为SS—£~~bc.

4

(1)求角石的大小；

(2)若a=3,过△AB。的重心点G的直线I与边a,c的交点分别为E,F,互方=ABE,BA=〃而,请计算A

+〃的值.

•3・

7.（2023•广东深圳•深圳中学校才模拟fl（浏）已知/（二）=sin/cos/+V3cos2a;-g（2）=f（x—3）,0<d

.，且g®的图象关于点（。0）对称.

⑴求心

⑵设△ABC的角43、。所对的边依次为a、b、c,外接圆半径为足且g（*）=-±,b=l,R=零.

若点D为BC边上靠近B的三等分点,求AD的长度.

8.（2023•广东佛山•校考模拟演浏）如图，在三棱锥P-ABC中，AB，BG4B=BC=2,PA=PC=V10,

PB=44,设点。为PB上的动点.

（1）求△QA。面积的最小值；

（2）求平面PAB与平面ABC的夹角的余弦值.

-4■

9.（2023•广东惠州•统考模赧II测）条件①acosB=c+^b,

条件②sin4-sinC_sinB+sin。

、ba+c

条件③V36sin^y^-=asinB.

请从上述三个条件中任选一个,补充在下列问题中，并解答.

已知△ABC的内角A.B,。所对的边分别为a、6、c,且满足

⑴求4

（2）若AD是/R4C的角平分线，且AD=1,求2b+c的最小值.

10.（2023•广东深圳•统考模拟预测）如图，已知3C为O。的直径，点4P在。。上，⑷9，BC,垂足为口,

交4D于L且AE=BE.

(1)求证：AB=AF；

⑵如果sinZFBC=*,A3=人后,求AD的长.

5

•5・

IL（2023•广东韶关•统考模拟H测）在AABC中，1AB=BC=V^,点、P为44BC内一点.

（1）若PA==乎（图1），求&PBC的面积；

（2）若/4?6=争（图2）,求PC的最小值.

12.（2023-r东佛山・统考一模）在锐角三角形4ABC中，角A,B,C的对边分别为a,6,c,无为耳在演

方向上的投影向量,且满足2csinB=，^|①

（1）求cos。的值；

（2）若6=V3,a=3ccosB，求4ABe的周长.

,6,

13.（2023•广东茂名•统考一模）已知△4B。的内角4B,。所对的边分别为Q,b,c,且a=b+2bcosC.

（1）求证：C—2B.

（2）求的取值范围.

0

14.（2023-r东濠加•统考一模）记△ABC的内角ABC的对边分别为a,b,c,已知b+c=2asin（c+聿）.

⑴求4

（2）设AB的中点为D,若CD=a，且b—c=l,求△ABC的的面积.

•7•

15.(2023•广东江门•第T一模)在锐角△ABC中，角ABC的对边分别为“Ac,且三%,二三依

tanBsinAtanC

次组成等差数列.

⑴求9的值；

be

(2)若6>c,求“包的取值范围.

a

16.(2023•广东•校暇才模拟预测)已知△ABC中，内角ABC的对边分别为&匕。且匕=4,4=?

(2—V3)tanB=V3.

(1)求AB;

(2)若4ABD与△A3。在同一个平面内，且Z.ADB=],求CD的最大值.

•8•

17.（2023•广东广州•稣考■一模）记△ABC的内角A.B.C的对边分别为a、6、c.己知acos2g+ccos2y

3,

~2b-

（1）证明：sinA+sinC=2sinB；

（2）若b=2,荏酉=3,求△ABC的面积.

18.（2023-r赛茂名•《1考二模）在AABC中，角43,C所对的边分别为a,b,c,且满足tanB=

sin（C+专）

⑴求4

（2）若D为边B。上一点,且2CD=4D=BD,试判断4ABC的形状.

-9-

19.（2023•广东梅州•统考二模）如图,在平面四边形ABCD中，ZADC=90°,AB=遍，2,设

ACAD=e.

⑴当。=45°时，求BD的长;

（2）求的最大值.

20.（2023-r东注江•统考1二M）在4ABC中，角的对边分别为a,6,c,且/+°2=&2—be.

⑴求4

（2）若bsinA=4sinB,且Igb+Ige1-2cos（B+。），求△ABC面积的取值范围.

•10•

21.（2023•广东广州•统考二模）记△ABC的内角A>。的对边分别为a、b、c,已知bcosA—acosB=b—c.

⑴求4

（2）若点D在B。边上，且CD=2BD,cosB=乎，求tan/A4D

o

22.（2023•广东深圳•校考二«）记4ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知sinBsinCcos2^=

2sin2A.

（1）证明：b+c=3a；

⑵若角B的平分线交AC于点D,且加=呼，嘿■=得,求△⑷的面积.

3i-zC/N

•11•

23.(2023-r东佛山•华南舜大席中青海实验击中校考模拟预测)在AABC中，角4B,。所对的边分别为,

b,c.已知2sinB=sinA+cosA,tanC.

(1)求。的值；

(2)若△ABC的内切圆半径为1,求a—c.

24.(2023-r东广州总考模板fit测)记4ABC的内角A,B,C的对边分别为“Ac,已知cos幺/=2siny.

(1)证明：a+。=2b；

(2)若△AB。的面积为S,求的最大值.

-12•

25.(2023•广东茂名•统考二模)已知△ABC中，角4B,。所对的边分别为a,b,c,且ccosA=b+].

(1)求角。的大小；

⑵若4C=BC=2,点2W、N在边上，求△CMV面积的最小值.

O

26.(2023•广东注江•统考一模)在△48。中，内角4B,。的对边分别为a,b,c,已知?=2cos管—

⑴求4

(2)若△ABC的面积为考L6=2,求a.

•13•

27.(2023•广东珠海••摩•海市斗门区第一中学校考三模)已知a,b,c分别为△ABC的内角4B,。的对边，B

=红，且a+csinA=ccos%

3cos。sin。

(1)求角。的大小；

(2)若△ABC的外接圆面积为3兀，求BC边上的中线长.

28.(2023•广东广州•广州市培正中学校才模拟预测)在锐角44BC中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,且

2c2=(a2+c2-62)(tanA+tanB).

(1)求角y1的大小；

(2)若边a=2,边的中点为。，求中线4。长的取值范围.

•14.

29.（2023•广东•统考模拟fl测）如图，A4BC的面积为8,记内角4B,。所对的边分别为a",c,已知6=8,

8cosc+ccosB=V2acosZBAC.

C

⑴求c的值；

⑵已知点Al在线段AC上，点N为的中点，若/ANM=1，求sinZAAW.

•15•

解三角形大题综合（新高考）

一、解答题

1.（2023•广东深圳•校考一模）已知△ABC的内角4,B,。的对边分别为a,6,c,5.V3bcosA^B=

csinB.

⑴求。；

（2）若a+6=c,求sin4

【答案】⑴。=三

⑵或1.

【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；

（2）方法一:根据题意利用正弦定理边化角，结合三角恒等变换分析运算；方法二：利用余弦定理解三

角形，分析运算.

【详解】⑴由正弦定理b口=.0「，得，^sinBcos，+，=sinCsinB,

smnsmC2

因为BG（0,兀）,则sinBW0,所以cos"''—sin。，

因为向+6+0=兀，所以cos（，,。）=cos（£■—亨）=sin1•.

所以V3sin-^-=2sin-^-cos-^-.

因为。e（0,兀），则今e（04），可得sin9W0,所以cos冬二

则考■=[■,所以。二卷.

263

⑵方法一：因为a+6=V3c,由正弦定理.°_=b=..得siii24+siii8=A/^siiiC=",

smAsmBsmC2

因为74+6=兀一看=?,

oo

所以sinA+sinB=sinA+sinIQ

cosA+-^-sinA=-1-sinA+-^-cosA=V3sinfA+咚）=3

=sinA+

22216，2

V3

耳7sin

2,

因为A・（0,兀），则4+£e（谭-，/），所以么+看或专，

6v667633

所以4=个或白，故sinA=，■或1.

622

方法二：因为。二S，由余弦定理得（?=a2+b2—ab^）,

O

将c—（Q+6）代入（*）式得；（Q+b）2=—ab,整理得2Q?—5ab+2b2=0,

oo

因式分解得（2a—b）（a—2b）=0,解得a=2b或b=2Q,

①当a=2b时，c=V3b,

b2+3b2-4b2

所以cosA0,

2bc2V3b2

•1•

因为AC（0,兀），所以4=

②当b=2a时，c=V3a,

fe2+c2-a2_4a2+32-2

所以，cos＞l=Qa

2bc~4V3a2一2，

因为A“，所以A.

所以sinj4的值为：-或1.

2.(2023•广东汕头•统考三模)在锐角△ABC中，内角4R,。的对边分别为a,b,c,且c—2fecosA=b.

⑴求证:A=2B；

(2)若4的角平分线交BC于。，且c=2,求面积的取值范围.

【答案】(1)证明见解析

【分析】(1)根据正弦定理，结合正弦函数的单调性进行求解即可；

(2)根据正弦定理和三角形面积公式进行求解即可.

【详解】(1)因为。-2bcosA=b,由正弦定理得sin。一2sinBcosA=sinB

又_4+_8+。=兀，所以sin(A+B)—2sinBcosA=sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B)=sinB

因为△ABC为锐角三角形，所以AC(0,^),Be（o4,A-BE兀兀

P-2

又g=sina;上单调递增，所以A—B=即4=2B;

（2）由⑴可知，4=28,所以在△ABO中，ZABC=ABAD,

ADAB2

由正弦定理得：，所以AD=BD=,

sm±＞sin（兀—28）sin2Bcos±>

sinB

所以S^ABD=xABxADxsinB=tanB.

cosB

又因为△然「为锐角三角形，所以。＜口＜生。＜28＜生。＜兀一3口＜多解得］＜6＜?

所以tanBE即AABD面积的取值范围为

3.(2023•广东佛山・统考二M)已知△4BC为锐角三角形，且cosA+sinB=(sinZ+cosB).

⑴若。，求_A；

o

(2)己知点D在边上，且4D=BD=2,求CD的取值范围.

【答案】(1)4=1；

⑵(1⑵.

【分析】)利用三甭恒等变换可得cos(4+4H=cos(B+宁，再利用三角函数的性质结合条件即

得；

(2)利用正弦定理结合条件可得CD=然后根据条件及三角函数的性质即可求得其范围.

smC

【详解】D因为cosA+sinB=V3(sinA+cosB),

•2・

所以cosA—VSsinA=V3cosB—sinB,即cos^A+=cos(B+

又/eBe(0,y),

所以《<普，亳〈B+3〈普，

33oo63

所以A+等=8+2即B=4+为又力+8+。=兀，。=看，

3663

所以A+4+1+1=兀,即4=彳；

634

(2)因为/。=6。=2,所以/。及4=乙4,又/4瓦7=71+咚，

6

可得/DBC=磊,

O

CD=BD

在△DBC中,

sinZDBCsin。

=BDsin/DBC1

所以⑵

sin(7sin。

在/\ABC中，sinC=sin(A+B)=sin(2_A+,

因为△ABC为锐角三角形，

0<A<f

所以。<8=4+1V]，得看<y1VM

0<CC=7T—A—A-<C

所以与<24+春〈小，[<sin(24+£)<l

2oo2\67

所以.—G(l,2),gp)的取值范围为J.

smO

4.(2023•广东广州•广州市第二中学校考模拟很测)在△48。中，a、b、c分别是角46、。的对边，向量关

=(2sinB,2—cos2B),n=(^2sin2^-^-+旁),-1),m_Ln.

(1)求角R的大小；

⑵若a=V^,6=1,求。的值.

【答案】⑴专或普

66

(2)2或1

【分析】：1由题中条件可得出关,元=0,利用三角恒等变换化简可得sinB的值，结合角8的取值范

国可得出角8的值；

•3・

(2)分析可知8为锐角，利用余弦定理可得出关于。的等式，解之即可.

【详解】⑴解：因为向量沆=(2sinB,2—cos2B),n=(Zsir?%+§_),_]),且抗_L五，

所以，沆•荷=2sinBX2sin2(^-^-+—2+cos2B=2sinB^l—cos(]+B)]—2+cos2B

=2sinB(l+sinB)—2+(1—2sin2B)=2sinB—1=0,

所以,sinB=:,

又因为Be(0,冗)，所以，B="或

(2)解：因为ab=1,则BV4,故/；为锐角，即3二

6

由余弦定理可得匕2=a2+c2-2accosB=3+c2—3c=1,即c2—3c+2=0,解得。=1或2

5.(2023•广东广州•广州六中校考三模)记△4G。的内角48。的对边分别为a,b,c,已知行为钝角，asinB

=bcosB.

(1)若。=：，求4；

(2)求cosA+cos石+cos。的取值范围.

【答案】⑴弓

O

⑵(1?

【分析】⑴由题意及正弦定理得到sinA=cosB,即sinA=sin(y+B),结合角的范围可得在=，

+B,C=^—28，又。=1,4+6+。=兀，即可求得4;

乙o

(2)cosA+cosB+cos。=cosB—sinB+2sinBcosB,令t—cosB—sin8,化简得到cosA+cosB+

cosC=,结合二次函数的性质，即可求解.

【详解】⑴由asin_B=bcosB,根据正弦定理得：sinAsinB=sinBcosB,

由于sinBW0,可知sinA=cosB,即sinA=sin(]+B),

因为/为钝角，则8为锐角，即8e(o,y),

则1+BC管，兀)，则41+B,C=1—2B.

由4=备+8,。=专,4+8+。=乃,得4=幻.

263

(2)cosA+cosB+cosC=cos(^+B)+cosB+cos("|■—28)

=­sinB+cosB+sin2B=cosB—sinB+2sinBcosB.

因为。=5一2B为锐角，所以0V5—2BV5,即OVBV第，则B+,5)，

设t=cosB—sinB=V2cos(^B+G(0,1),则2sinBcosB=1—t2,

cosA+cosB+cosC=t+1—t2=—(t—+与・

因为1e(0,1),则(t-y)e[。])，从而_(力_1)十1右(11],

•4•

由此可知,cosA+cosB+cosC的取值范围是［1彳］.

6.（2023•广东佛山•校才模拟演浏）在△ABC中，角4B,C的对边为a,b,c,c-sinA=a-cosC,设AABC的

面积为S,S=~^-bc.

（1）求角B的大小；

⑵若a=3,过△ABC的重心点G的直线/与边a,c的交点分别为E,F,豆百=1而，。X=〃彷，请计算』

+〃的值.

【答案】（1）B=］

⑵4+〃=3

【分析】（1）根据正弦定理和同角三角函数基本关系式以及面积公式和三角形的内角和即可求解；（2）

根据重心性质和向量的共线关系即可求解.

【详解】（1）在AABC中，根据正弦定理

smAsmBsmC

结合条件c,sinA=a-cos。，

可得:sinC-sinA=sinA-cos。.

因为4G（0,兀），

所以sinAW0,

可得sinC=cost7,

即有tanC=1,

又ce（0,兀），

故。=与

4

又因为S=•sinC==^-bc^

可得a=c,

即可得力=C—j

根据/I++。=兀，

由此即可得口=1.

（2）解法一:

以点口为原点，A4为7轴，为沙轴建立平面直角坐标系.则可得点为（3,0）,。（0,3）.

根据重心的坐标公式可得：点G（l,l）.

可设过点（；的直线/的方程为：y=k（x—1）+1,

由此可得点匚;'的坐标为：（0,1—k）,（1—0）.

'K7

----►----►>---►QQ'工L

根据BC=仄BE,BA="BF可得入=7A丁，〃二二产T.

1—fci_Xk—1

k

由此即可得1+〃=3.

解法二:设49的中点为。，连接B。,利用“重心”的性质可得阮=,万苕

•5・

根据三点共线的性质可得：BD=^BA+^BC,

根据条件BC=ABE,BA=pBF

可得:-|BG=^BE+^-BF,

等价于7=卷通+!说，

OO

又因为点G,石，尸在一条直线上，

从而可得：3+：二1,即可得〃=3成立.

OO

7.（2023•广东深圳•深圳中学校考模邪（洪I）已知/（力）=sinicos力+/cos%..-,g[x）—f{x—0）,0<0

吟，且g（"）的图象关于点（：0）对称.

⑴求公

侬殁A4BC的角4B、。所对的边依次为a、6、c,外接圆半径为E,且。（空）=-g,b=LR=邙.

若点D为BC边上靠近B的三等分点，求力。的长度.

【答案】⑴昨卷

O

（2）AD=^-

【分析】：1）根据三角恒等变换可得/（力）=sin（2%+三；,从而得g（力）=sin（23；—20+^，根据正弦

OO

函数的对称性即可求得结果；

⑵由9（4）=可得4=与兀,根据正弦定理可求a,从而可求在△ABC中利用余弦定理可

vo7zo

求。与cosB,在△ABD中利用余弦定理即可求AD.

【详解】⑴•・•/（%）=-^-sin2rc+-^-cos2a;=sin（2c+,

g[x）=f（x-0）=sin（2rr—20+1）.

因为g（z）的图象关于（柴0）对称,所以日—26+看=上，8=—等+看,keZ,

OzOO/J

又0V夕〈三，所以。=；.

（2）由⑴知9（2）=sin（2z-y）.

因为。（1）=/，即sE©-f）=-f*

所以J一卷=2卜兀一/或乎一日=2力兀—■兀，

436436

9

得/•=8kn+Q兀或4=8上兀-2兀，kGZ.

O

9

因为Ae（0,兀），所以4=下兀，

O

,6,

A

在△ABC中，由正弦定理得a=2RsinA=V7,

因为点。为8。边靠近8的三等分点，所以BD

由余弦定理得（1—b2-\-c2—2bccosA，即7=1+c2+c,解得。=2（负值舍去）

a2+c2-fe27+4-15V7

所以cosB

2ac14，

在△48。中，由余弦定理得AD2=B^+BD2-2BAXBDXCOSB=4+，一2X2X空X

9314

13

g，

所以AD=

8.（2023•广东佛山•校考模拟颈测）如图，在三棱锥P-ABC中，AB，BC,AB=2,PA=PC=VW,

PB=44,设点。为PB上的动点.

（1）求△QAC面积的最小值；

（2）求平面PAB与平面ABC的夹角的余弦值.

【答案】（1）义，

⑵平

【分析】（1）先证4C±平面然后分析可知当。QLOB时，△Q4C的面积最小，结合已知可

解；

⑵以点。为原点，ZZ4为立轴，DB为沙轴，过点。作平面ABCD的垂线，该直线为z轴，建立空间

直角坐标系，然后利用向量法可解.

【详解】（1）设AC的中点为。,连接PD,BD.

因为AB=8C=2,AB_LBC,所以4C=_L=方；

又因为P4=PC=可得PD_LAC,PD=2V2.

又因为PD。BD=。，PD,BDu平面PDB,所以AC_L平面PDB,

因为。Qu平面PDB,

所以，DQ,即可得DQ为△Q4C的高.

△Q」面积S=；xACxDQ=V2DQ.

在△PDB中，当DQ，PB时，DQ取到最小值，结合PR=利用余弦定理可得：cos/PDB=

•7•

口噬得产=—］，又NPDBC（0,兀），所以NPDB=彳，

根据等面积法可得^BD-PDsin粤=三PB-DQ,解得DQ=理2.

所以△QAC面积的最小值为^

⑵以点。为原点，D4为二轴，。口为夕轴，过点。作平面XBCD的垂线，该直线为z轴，建立空间

直角坐标系.

因为APDB=等，所以P（0,2v^cos警,2，^sin等）,即P（0,—V6）

O'ooz

其中人（，^0,0）,8（0,，^0）,。（一2,0,0）

设平面PAB的法向量为m=（c,g,z）

则有亦=°n/»方.

，据此可令z=2可得

\m-AB=0l-V2^+V2y=0

m=（V3,V3,2）

结合图象可知平面ABC的一个法向量为元=（0,0,1）.

m->•n->

由此可得cos〈抗，云）Vio

|m|,|n|~5~

所以平面,AB与平面ABC的夹角的余弦值为.

5

9.（2023•广东怠州•统考模拟fit测）条件①acosB=c+,

条件②sin——sin。_sinB+sin。

、ba+c

条件③V^bsiii-3:°，=asinB.

请从上述三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答.

已知△4B。的内角A、B、。所对的边分别为a、6、c,且满足

⑴求A;

（2）若AD是ABAC的角平分线，且AD=1,求2b+c的最小值.

【答案】（1）条件选择见解析，4=§

O

（2）3+2V2

【分析】（1）选①，利用正弦定理结合两角和的正弦公式可得出cos/的值，结合角A的取值范围可得

出角4的值；

•8•

选②，利用正弦定理结合余弦定理可得出cosA的值，结合角/的取值范围可得出角4的值；

选③，利用正弦定理结合三角恒等变换化简可得出sin1的值，结合角4的取值范围可得出角4的

值；

⑵由已知见"=,m+59结合三角形的面积公式可得出—1,将2"。与—*目

乘，展开后利用基本不等式可求得2b+c的最小值.

【详解】（1：解：选①：因为acosB=c+-^-6,由正弦定理可得sinylcosB=sinC+-^-sinB,

艮）7sinAcosB=sin（A+8）+-^-sinB=sinAcosB+cosAsinB+-^-sinB,

所以cos力sin_B=--^-sinB,

,1977

而B£（0,兀）,/.sinBW0,故cos_A二——,因为4G（0,兀），所以;

/o

选②：因为sinA—sinCsinB+sinC,由正弦定理丁b+c

ba+ca+c

——+，—/—be__1

即b2+c2—a2=—bc,由余弦定理cos?l

26c2bc2

因为4G（0,兀），所以4=；；

o

选③：因为V^bsin笈；。—asinB,

正弦定理及三角形内角和定理可得v/3sinBsin7r—sinAsinB,

LAAA

即V3sinBcos-=2sin—cos—sinB,

因为48G（0,兀），则*e（。，，所以，sinBW0,cos"W0,

2'2/2i

所以sm5，；，所以一=「即

⑵解：由题意可知，SAABC=S^ABD+S^ACD,

由角平分线性质和三角形面积公式得［besin誉X1Xsin^+^-cX1Xsin柴

ZD/DZO

化简得be=b+c,即1-=1,

bc

因此2b+c=（2b++［）=3+：+§>3+2../=3+272,

当且仅当c=mb=2十〕时取等号，所以2b+c的最小值为3+2方.

10.（2023•广东深刻•统考模根预测）如图，已知3。为0。的直径，点4p在。。上，4。，B。,垂足为口

BF交AD于E,且AE=BE.

-9-

（1）求证：AB=AF；

⑵如果sin乙AB=4/;求AD的长.

5

【答案】（1）证明见解析

（2）8

【分析】⑴连接AC,由已知条件推导出^BAD=ABCA=ABFA,ZABF=/BAD,从而得到

AABF=ABFA,由此能证明AB=AF.

（2）由已知条件推导出AFCB=2Z.ACB,BF±CF,sin/FBC=cos/尸CB=cos2乙4cB=之，从

而得到cosZAGB,由⑴得cos/84D=cos/ZCB,在此△AB7?中，由cosABAD即可得出AD.

【详解】（1）证明：连接力。，

•・•AD±BC,

・・.ABDA=90°,

：.ADBA+ABAD=90°,

又・・・BC是。。的直径，

・・.ZBAC=90°,

・・.ZCBA+ZBCA=90°,

・・.ABAD=ABCA,

又•・•/ACB=/AFB,

・・・ABAD=AAFB,

,：AE=BE,

・・・ZABF=ABAD,

：./ABF=NAFB,

・•.AB=AF.

（2）解：,.,4B=4F,

・・.AACB=ZACF=；/FCB,

：.AFCB=2AACB,

•・•BC是。O的直径，

：,BF_LCF,

・•・sinZFBC=cosZFCB=cos2ZACB=4,

5

2（cosZACB）2-l=，且/AC©为锐角，

5

•10•

9

cosZACB=—,

由（1）得/4CB=N8AD,

/.cosABAD=cosAACB=

在Rt/\ABD中，

11.（2023•广东韶关•统考模拟预测）在△ABC中,ZABC=^,AB=BC=®点、P为△ABC内一点.

【答案】⑴子

（2）75-1

【分析】⑴在AAPB中，由余弦定理得cos/P氏4,从而可得sinZPBC=/，利用面积公式SAPBC=

±PB'BCsinZPBC即可求解；

（2）设APAB=仇。6（0,1）,由正弦定理可得PB=2sind,在ACPB中，由余弦定理可得PC2=6

—2/sin（28+卬）,利用。C（0,j）即可求解.

【详解】（1）在△APB中，R4=PB=Y，48=加，

22

由人能…诃/自/PR4-AB+PB—P^LA/6

由余弦正理付cos/p氏4-2AB-PB丁,

又AABC=~,：.sinZPBC=立,

/O

.11­

故S^BC=^PB-BCsinAPBC=j->=y.

（2）设=因为/4?口=与，则NPK4=7t—争一夕=£一仇则PC（0,1）,

在AAPB中，由正弦定理可得.丁丁=.北二,即已=1，故=2sin仇

smZFABsmZAPBsm6/sin]

在△CRB中，ZPBC=y-（j-0）=j+^,

由余弦定理可得PgPB2+BC2-2PB-BC-COS（J+e）

=4sin20+2—2X2sindXV2cos（^-+8）

=2-2cos2。+2—4sin9（cos夕—sin。）

=6—2（sin2。+2cos29）

=6-2-\/5sin（2^+cp）,

其中sin<p=--,cos0=—（pG

V5V5'2/

因为夕e（o,£）,则28+0C（0,1+0）,

即当26+0="|■时，（PC）m",=V6—2V5=V5—1.

12.（2023-r东佛山・统考一模）在锐角三角形△ABC中，角48,C的对边分别为a,6,c,也为国在演

方向上的投影向量,且满足2csinB=V5|CD|.

（1）求cosC的值；

（2）若b=V3,a=3ccosB,求AABC的周长.

【答案】（1），

（2）V2+2V3

【分析】利用正弦定理，边化角，结合同角三角函数的平方式，建立方程，可得答案.

【详解】⑴由CD为④彳在已名方向上的投影向量，则|乙方|=ftcosC,即2csinB=V56cosC,

根据正弦定理，2sinCsinB=V5sinBcosC,

在锐角丛ABC中，8G（°，1），则sinB>0,即2sinC=V5cosG,

由CC（0,兀,则cos?。+sin2C=1,整理可得cos?。+-ycos2C=1,解得cos。=

24rO

（2）由a=3ccosB,根据正弦定理，可得sinA=3sinCcosB,

在△ABC中，T4+_B+C=兀，则sin（8+C）=3sinCcosB,sin8cosc+cosBsinC=3sinCcosB,

sinBcosG=2sinGcosB,

由⑴可知cos（7=sinC=V1—cos2C=^~,则sinB=V5cosB,

oo

由sin2B+COS2B=1,则5cos2B+cos2B=1,解得cosB=,sinB=,

6o

b

根据正弦定理，可得C，则一翁％a瓜

sinBsin。

故△ABC的周长C^8c=a+5+c=2V3+V2.

•12•

13.（2023•广东茂名•统考一模）已知△ABC的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且a=b+26cosC.

（1）求证：C=2B.

（2）求“产的取值范围.

【答案】（1）证明见解析

⑵（1,5）

【分析】）结合正弦定理及正弦和角公式得sin（。一/?）