广东省教研联盟2023-2024学年高三年级下册5月模拟预测考试数学试题含答案

广东省名校教研联盟2023-2024学年高

绝密★启用前（新高考卷）

三崎罂事曩拟预测考试数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.集合M={x|(x—l)(x+2)>0},若"AN=0,则集合N可以为

A.{x卜2<x<2}B.{x|—1Wx<2}C.{—2,1}D.{-1,2}

2.已知z「Z2为方程/-4》+13=0的两个虚根，则三+3=

IZ1||z2|

A.-3屈B.土岳C.3后D.-^V13

13131313

3.已知0WX<2TI,则cos2x+cosxNO成立的充分不必要条件是

兀

A.0x<—B.—WxW兀C.0x<KD.兀

32

V22

4.已知双曲线£:二-%=10〉0力〉0）的两条渐近线与抛物线。：y=4%分别相交于点0,M,N,

a

其中。为坐标原点,若△MON的面积为2,则E的离心率为

A.V2B.V3C.2D.V5

JT

5.已知函数/(x)=5sin(3%+°),(^e[-396],若/。)+/(万—x)=0,则所有满足条件的。之和为

兀兀37157T

A.一B.—C.—D.—

4244

6.已知/(x)=、3+兀]—(Ay+e,若/(a)+/*(Z?)<2e,贝!J

兀

A.a-\-b<0B.a+Z)〉OC.a—b<0D.a-b>e

7.在△NBC中，角N,B,C的对边分别是a,b,c,—2—+”—=1,b2-c2=a2cosC,则tan8=

b+ca+c

A.-2A/3B.-V3C.V3D.3百

8.已知/(x)是定义在R上的函数，/(I)=2,若对VfeR有f(l-tx)=f(9+tx),

76

/(笈+2)+/(比—2)=/(9)成立，则£/(〃)=

«=1

A.72B.75C.77D.80

数学试题（新高考卷）第1页（共4页）

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.若函数y=/(x)的图象上至少存在两个不同的点P,Q,使得曲线y=/(x)在这两点处的切线垂直，则

称函数y=/(x)为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是

A.y=x2B.y=exC.y=xlnxD.j=sinx

10.如图，正方体48CD—44G2的边长为4,D~P=3PC',平面a经过点P,则

A.AXP±PC

3

B.直线40与直线8C所成角的正切值为一

4

C.直线同尸与平面NAS/i所成角的正切值为§

D.若Cea,则正方体截平面。所得截面面积为26

11.已知抛物线。：/=2抄(夕>0)的焦点为点尸(-1,/)在。的准线上，过点尸作C的两条切线，切点

分别为M,N,则

A.M,F,N三点共线

B.若而+2而，则。的方程为必=2j5y

33

C.当/=—1时，直线"N的方程为y=—gx+l

D.ZXPMN面积的最小值为逆

2

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.(4x—3y)(2x+>)5的展开式中x3y3的系数为.

13.如图，等边△48。的边长为4,点。为边幺3的中点，以CD为折痕把△4DC折叠，在折叠过程中当三

14.已知点后，为分别为双曲线?-1-=1的左、右焦点，点/为C的右顶点，点尸为C右支上的动点，记】，2

分别为△尸片Z,外内切圆半径.若耳\F}F2\,|相|成等差数列，则2=.

数学试题(新高考卷)第2页(共4页)

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.（13分）

截至2月10日2时，中央广播电视总台《2024年春节联欢晚会》全媒体累计触达142亿人次，收视传播

人次等数据创下新纪录.

（1）某媒体随机抽查200名在线用户，得到2x2列联表，根据该表是否有99.5%的把握认为完整观看与年

龄有关？

完整观看未完整观看合计

不超过30岁6040100

超过30岁8020100

合计14060200

（2）某媒体举办“看春晚赢文创”在线活动，每个在线用户在看春晚期间有三次答题机会，三次回答正确

就可以赢得文创奖品，第一题预设难度（预设难度：用户回答正确的概率）0.8,后两题预设难度0.6,且每道

题回答正确与否互不影响.记X为每个参加答题的用户答对题目个数，求X的分布列及期望.

参考公式和数据：

y_n(ad-be)。

pg学院）0.0250.0100.005

(«+ZJ)(C+d)(a+c)(b+d)

5.0246.6357.879

其中〃=a+b+c+d.

16.(15分)

如图，在长方体48CD-4耳GA中有一八面体G-M部。-“，其中点G,〃分别为正方形同用GA,

正方形48。的中心，点M,N,P,。分别为侧棱//，B&,GC,2。的中点，且/4=248=2.

（1）证明：平面M/Q〃平面NGP；

（2）求钝二面角G-NP-//的余弦值.

数学试题（新高考卷）第3页（共4页）

17.（15分）

已知数列｛%｝是公差不为0的等差数列，其前"项和为邑，S3=3,a2,生，以成等比数列•

(1)求｛4｝的通项公式；

an+3,n=2k,*

(2)若〃=左eN,求数列｛»｝的前100项和7；.

2a",n=2k-1,

18.(17分)

椭圆C:\+4=1(。〉6〉0)的离心率为逅，圆。：必+歹2=/的周长为26兀.

a"b3

(1)求。的方程；

(2)如图，片是C的左焦点，过片的直线交圆。于点M,N,线段的垂直平分线交C于点P,Q,

交MN于点、A.

(i)证明：四边形MPNQ的面积为定值.

(ii)记△尸幺N,△跖4。的面积分别为d，S2,求色的取值范围.

S?

19.(17分)

已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=-xe~x.

(1)曲线^=/(%)与歹=8(、)在x=%o处的切线分别是小歹=6(x),/2,且/i〃4,求4的方程;

(2)已知b(x)+g(x)+2。＜0(Q。0).

(i)求。的取值范围；

Z7V

(ii)设函数R(x)=/(x+a)+——+x+a(x〉0)的最大值为M,比较M与(1)中的。(x)的大小.

g(x)

数学试题(新高考卷)第4页(共4页)

绝密★启用前（新高考卷）

数学参考答案

1.【答案】C

【解析】：M={x|x<—2或x〉l},/nN=0,.•.集合N可以为{—2,1}.

2.【答案】B

【解析】(z—2)2=—9,z=2+3i,Zj+z=4,|z|=VTJ.+J；=.

2

3.【答案】A

【解析】Vcos2x+cosx^O,2cos2x+cosx-1^0,(2cosx-l)(cosx+l)20且0Wx<2兀,

0WxW里或2Wx<2兀或x=兀.A正确.

33

4.【答案】D

【解析】设M(午J。)，yo>0,由双曲线和抛物线的对称性知N(牛,—%),SAMON=^x2y0x^-=2,

解得M(1,2).E的渐近线方程为：y=+-x,即自.=2=2,，e=£=Jl+(2)2=6\

aaa\a

5.【答案】C

7T713

【解析】•••/(x)+/《—x)=0,.../(x)=5sin(3x+9)关于q,0)对称，/.(p=kn--Ti,左eZ且

3153

3,6],解得满足题意的/有―巳兀，一兀，巳兀....所有满足条件的°之和为士兀.

4444

6.【答案】A

【解析】设8(》)=/+兀工_(1)工，则g(x)是R上的单调递增奇函数，•；/(a)=g(a)+e,/3)=g(b)+e,

兀

/(«)+f(b)=g(a)+g(6)+2e<2e,g(a)<-g(6)=g(—6),a〈一b,a+b<0.另解，当Q=0,,

时，满足题意，A正确.

7.【答案】D

【解析】由，一+"-=1得/+〃—0?，在△析8。中有cosC="+'-。=」,：.C=-,

b+ca+c2ab23

由余弦定理得〃-c?=2abcosC-a~=ab-a2,X62-c2=a2cosC,所以ab即3。=2b.

2

又由正弦定理得a=2Rsin/,b=2RsinB,代入化简得3sin(5+m)=2sin8,，tanB=3g.

8.【答案】C

【解析】由V/eR有/(I—枕)=/(9+枕)得/(I—x)=/(9+x),/(x)=/(10-x).

数学参考答案（新高考卷）第1页（共9页）

由VfeR有f(tx+2)+f(tx-2)=/(9)得f{x+2)+f{x-2)=/(9)，f(x+4)+/(x)=/(9)①，

/(x+8)+/(x+4)=/(9),/./(x)=/(x+8),即函数/(x)是以8为周期的周期函数.，/(9)=/(I)=2,

/(x)=/(2—x)②，由①②得/(x+4)+/(2—x)=2③，令③中x=—1得/⑶=1.令③中x=0得

/(4)+/(2)=2,由/(x+4)+=(x)=2得/(5)+/⑴=2,/(5)=0,/(6)+/(2)=2,/(7)+/(3)=2,

/(8)+/(4)=2.A/(I)+/(2)+/(3)+/(4)+/(5)+/(6)+/(7)+/(8)=8,

76

.•.£/(〃)=8X9+/⑴+/(2)+/(3)+/(4)=77.

〃=1

9.【答案】ACD(选对1个得2分，选对2个得4分)

【解析】y'=2x存在再，x2,使4再入2=-1成立，A正确."二e">0不存在再，x2,使=-1成立，B

错误.y'=lnx+l,存在再=1,9=e"使得（山西+l）（ln%2+1）=-1成立，C正确.V二cosx存在再=0,

工2=兀，使COS/COS%=-1成立，D正确.

10.【答案】BC（选对1个得3分）.

【解析】在△z/c中,4c=4百，4尸=5,PC=V17,

222错误.

•：AXCAXP+CP,••.A

BC//BG//4A,直线4尸与直线BC所成角等于NDHP,

DP3

tanND】A,P=—-—=—,B正确.

DM4

4

直线4尸与平面所成角等于直线4尸与平面CDQ1G所成角尸2，tan/4尸.・・C正确.

在AB边上作点Q使得BQ=3QA,则平行四边形AXPCQ为所求截面.在△吊尸。中

48+17-255...sin/4cp=整，SAAFCMLXA也义历义^^=2叵，：.平

cosN4c尸~

2x473xVn5'A/5112V51

行四边形4PC。的面积为4而.错误.

11.【答案】ACD（选对1个得2分，选对2个得4分）

弘H—

【解析】_/=土，P（―1,—R）,设切点%）,N（x»%），则七.二%二2一幺化简得苞=〃（£—%），

p2pXj+12

x2・・

X；+2的一夕2=0.同理可得％二夕皆一%），i+2x2-/7=0,•切点在直线x=pg-y）上，焦点

F（0,田）也在该直线上".A正确.可,々是方程/+2x—/=。的两根，X]+%=-2①，x1x2=_p2（2）.

—*1►2—>—►—►I-

又由PF=-PM+-PN得MF=2FN即芯=—2与③.联立①②③解得夕=2,；.C的方程为

33

数学参考答案（新高考卷）第2页（共9页）

x2=4历.，B错误.当/=—1时，p=2,直线"N的方程为j=-1x+l，C正

S△2;,设/=,2〉0,/«）=四p，八/）=。+1）丁-1）,所以函数/⑴在

（0,g）单调递减，在。,+00）单调递增，/«）与/（；）=/,.。.△RW面积的最小值为半.；.D正确.

12.【答案】-80

5r5rr23

【解析】（2x+»的二项展开的通项为Tr+l=qx2-x-y,贝U的系数为4C1x2-3Cfx2=-80.

13.【答案】20K

【解析】在折叠过程中始终有CD，平面幺。8，AD=BD=2,CD=26.

V.=FC=-xsinZADB=-s/3sinZADB,；ZADBe当NADB=-时,

A—DKvr^nUC--/LUO32A/3X-2X2X2X3（0\,K）/,2

三棱锥Z-BCD的体积最大.此时△BCD的外接圆半径r=2,三棱锥Z-BCD的外接球半径R=后，

（此时，也可以将三棱锥/-BCD补成长方体，易得它的外接球半径火=行）....此时外接球的表面积为20Tl.

…金、23+448

14.【答案】--------

15

【解析】「I尸⑹,闺鸟|,|%|成等差数列，，|「用+|「鸟|=2|片列|=12,

又•.」尸耳|—|「鸟］=4,...|「片|=8,|盟|=4.

由对称性可设点尸(xj),y>0,则有一""O‘解得尸(4,后)，|尸川=比?.

"-3)2+/=16,

Si=^PFX\+\PA\+\FXA\yrl=^\FlA\-\yp\,

S；=^PA\+\PF2\+\AF2\)-r2=^\AF2\-\yp\,

.S&pg=(|尸印+|尸/|+|耳4|片=取|(8+5+炳)1=5&=5(5+719)

，

"SAPAF2~(\PA\+\PF2\+\AF2\)r2~\AF\\(4+719+l)r2"T'丫「13+V19

.rx23+4719

••一=---------.

r215

15.(13分)

【解析】(1)由2x2列联表得，

数学参考答案（新高考卷）第3页（共9页）

“2200x(60x20-80x40)2200c八

K2=--------------------------------=——x9.524............................................................................................3分

100x100x140x6021

因为9.524〉7.879,.........................................................................................................................................4分

所以有99.5%的把握认为完整观看与年龄有关......................................................5分

(2)根据题意X可以取0,1,2,3..................................................................................................................6分

P(X=0)=(1-0.8)x(l-0.6)x(l-0.6)=0,032,.......................................................................................7分

P(X=1)=0.8x0,4x0.4+0.2x0,6x0.4+0.2x0,4x0,6=0,224,.............................................................8分

P(X=2)=0.8x0,6x0.4+0.8x0,4x0.6+0.2x0,6x0,6=0.456，.............................................................9分

P(X=3)=0,8x0,6x0,6=0.288...............................................................................................................10分

X的分布列为：X0123

P0.0320.2240.4560.288

11分

的期望为：E(X)=0x0,032+1x0.224+2x0.456+3x0.288=2..................................................13分

16.（15分）

【解析】方法一：

（1）证明：连接AD,耳A，BD],

则〃，G分别为BD,片A的中点,

又Q，N分别为。乌，3男的中点，

/.QH//D{B,GN//D}B,

：.QH//GN,........................................................2分

又：平面NGP,GNu平面NGP,

平面NGP,.............................4分

同理可证，MH〃平面NGP,.............................5分

又,：MH,平面MH[}QH=H,

平面〃平面NGP............................................7分

⑵连接GG，在直角三角形尸GG中，有尸G=5",

■\!~G

又GP=GN=HP=HN=J,............................9分

2

取NP的中点E,连接GE,HE,

则GE_LNP,HE1NP,

/GEH为二面角G-NP-H的平面角或其补角，

...............................................................................12分

GE、HE?-GH23

在AGEH中有cosZGEH=

2GExHE5

3

所以钝二面角的余弦值为.15分

5

方法二:

数学参考答案（新高考卷）第4页（共9页）

(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则,2(0,0,1),,尸(0,1,1),

G(]，5,2),1分

设平面MH。的法向量为帆=(西,外,马)，则

X1—•0,

,m=0,

即<11八

m=0,~~xi+~yi~zi=°，

令乃=2,则马=1,

即平面的法向量为阳=(0,2,1),3分

设平面NPG的法向量为％=(工2，%/2),则

x=0,

NPn=32

—,即《

11八

GN,n=0,+y2_?2=0,

令%=2,则Z2=1,

即平面〃口。的法向量为〃=(0,2,1),5分

n//m,

：.平面MHQ//平面NGP.7分

(2)设平面的法向量为。=(/,％/3)，则

x=0,

NP・a=33

—,即《

11八9分

HPa=0,~~X3+~y3+Z3=0,

令为=2,贝！Jz3=-1

即平面NPH的法向量为a=(0,2,-1)，12分

dna3

乂cos<n.a>=--~r=一14分

\n\n|a5

3

所以钝二面角G-NF-H的余弦值为-L15分

5

17.(15分)

【解析】(1)设数列｛凡｝的首项为9,公差为d,

Q]+%+%=3,%+d=1,

根据题意得《即《2分

—a2a6，(q+2d¥=(q+d)(q+5d),

q=q=1,

解得《或V4分

d=2,d=0

数学参考答案(新高考卷)第5页(共9页)

%=-1,

又因dwO,所以

d=2

所以｛4｝的通项公式为%=2〃—3..................................................................................................................6分

2〃,n=2k,

(2)由(1)得〃=<左eN.

22n-3,n=2k+l,

即数列｛bn｝的偶数项是以4为首项，4为公差的等差数列,

奇数项是以,为首项，16为公比的等比数列......................................................9分

2

数列｛4｝的前100项中偶数项有50项，奇数项有50项，

数列也,｝的前100项和7；=4+&+&+……+怎+厢。.

—(1-1650)

2200-1

*"+&+……+…=11分

30

50x49

“2+〃4+，6+.....+098+Aoo=50义4H-----——x4=5100.13分

?200_i

所以。=5100+^^15分

18.(17分)

cV6

【解析】（1）由题得《a3'解得a=c=2.2分

2na=2aTi.

又分2-a2-c2-2，

22

所以C方程为±+匕=1.3分

62

（2）（i）由题得四边形MWQ的面积S=^\PQ\x\MN\.

①当直线W与x轴重合时，Z与。重合，|「。|=2五，|〃乂|=2#，

S=^\PQ\x\MN\=4y/3.5分

由圆的性质知直线尸0过坐标原点，由椭圆的对称性知|。尸|=|。。|,

|JW|2=4(|OM|2-\OA\2)=4(6-\OA\2).

4

②当直线"N与x轴不重合时，设直线九W的方程为x=（y-2,|C%『=

,,1+3/

|ACV『=4(6To*2)=8XJMN1=2闻^•7分

数学参考答案（新高考卷）第6页（共9页）

则直线尸0的方程为^=—笈，将它代入一+3/=6解得6/=_26Ltz_,

AIJCAIJC

|Pg|2=4|OP|2=4(x2+/)=2^^2),|P2I=2A/6^^....................................9分

S=^\PQ\x\MN\=4^3.

综上所述四边形〃PN。的面积为定值4百.......................................................10分

(ii)由题得E=；|P/|X|/N|,》*•

S2=^\QA\X\AM\,\AM\^AN\,

①当直线〃乂与x轴重合时，Z与。重合，工=四1=留1=1.............................12分

$212^11201

②当直线"N与x轴不重合时，由圆的性质知直线尸。过坐标原点，由椭圆的对称性知|。尸|=|。。|,

县二四JOP\-\OA^=]_2\OA\]_2

邑|。图\OP\^\OA\\OP\+\OA\\OP\+1

\OA\

\OA\

综上所述区的取值范围为[7-4百,1]..........................................................17分

$2

19.（17分）

【解析】(1)=xo>0,g<Xo)=^i,..........................................1分

/e°

1

•••两切线平行，...匕风=血二■,x0>0,即1。(1_/)=/(/_1),.............................2分

/e°

x

(e0+x0)(l-x0)=0,x0>0,/.x0=1.....................................................3分

直线4与曲线y=/(x)相切于点(1,-1),斜率为0.

数学参考答案（新高考卷）第7页（共9页）

：]的方程为y=-1.d(x)=工(1—x)(«-4)....................................................4分

xe

x

(2)(i)设0(x)=4(、)+g(x)+2a，则0(x)=alnx-ax----+2a,x>0.

e*

X1—x

设“工)二：,则£(x)二—当O<X<1时，2r(x)>o,"X)单调递增;当％>1时,2r(x)<0,4(%)单

ee

调递减.因2'(1)=0,所以“对侬*=2⑴=1..................................................6分

e

--21

若。<0,则当0<x<e"时，alnx---F2a>0,又一ax>0,(p(x)>0,不合题意...........7分

e

若。》工，则9(1)=。——>0,不合题意.........................................................8分

ee

1x

若0＜。＜一，则关于X的方程。一二=0有两个不相等实根，设为项，X2（X[＜x2）,所以0＜西＜1＜》2，且

当X变化时，”（x）,9（x）变化情况如下表：