辽宁省七校协作体2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题（含答案）

—2024学年度（下）七校高二联考数学试题考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在正项等比数列中，已知，则（）A．1 B．2 C．4 D．82．如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程．已知，，则（）A． B． C．1 D．．3．图1是第七届国际数学教育大会（简称）的会徽图案，会徽的主题图案是由如图2所示的一连串直角三角形演化而成的，其中，如果把图2中的直角三角形继续作下去，则第个三角形的面积为（）A． B． C． D．4．下列说法中正确的有（）A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数；B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强；C．设随机变量，则；D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为35．已知函数，曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与直线平行，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．6．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，设“第一次向上的点数是2”为事件，“第二次向上的点数是奇数”为事件，“两次向上的点数之和能被3整除”为事件，则下列说法正确的是（）A．事件与事件互为对立事件 B．C． D．事件与事件相互不独立7．设数列的前项和为，则下列说法正确的是（）A．是等比数列B．成等差数列，公差为－9C．当且仅当时，取得最大值D．时，的最大值为338．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知数列的前项和为，下列说法正确的是（）A．若是等差数列，，则使的最大正整数的值为15B．若是等比数列，（为常数），则必有C．若是等比数列，则D．若，则数列为递增等差数列10．甲、乙、丙、丁四名同学相约去电影院看春节档热映的《热辣滚烫》、《飞驰人生、《第二十条》三部电影，每人都要看且限看其中一部．记事件为“恰有两名同学所看电影相同”，事件为“只有甲同学一人看《飞驰人生”，则（）A．四名同学看电影情况共有种B．“每部电影都有人看”的情况共有72种C．．D．“四名同学最终只看了两部电影”的概率是11．已知函数，下列说法正确的是（）A．函数存在唯一极值点，且B．令，则函数无零点C．若恒成立，则D．若，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．设等差数列的前项和为，若，则使的最小正整数的值是______．13．函数．对于，都有，则实数的取值范围是_______．14．已知有两个盒子，其中盒装有3个黑球和3个白球，盒装有3个黑球和2个白球，这些球除颜色外完全相同．甲从A盒、乙从B盒各随机取出一个球，若2个球同色，则甲胜，并将取出的2个球全部放入盒中，若2个球异色，则乙胜，并将取出的2个球全部放入B盒中．按上述方法重复操作两次后，B盒中恰有7个球的概率是_______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围．16．（15分）已知数列为等差数列，，数列的前项和为，且满足．（1）求和的通项公式；（2）若，数列的前项和为，①求；②若对恒成立，求实数的取值范围．17．（15分）某学校号召学生参加“每天锻炼1小时”活动，为了解学生参加活动的情况，统计了全校所有学生在假期每周锻炼的时间，现随机抽取了60名同学在某一周参加锻炼的数据，整理如下列联表：性别不经常锻炼经常锻炼合计男生7女生1630合计21注：将一周参加锻炼时间不小于3小时的称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．（1）请完成上面列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为性别因素与学生锻炼的经常性有关系；（2）将一周参加锻炼为0小时的称为“极度缺乏锻炼”．在抽取的60名同学中有5人“极度缺乏锻炼”．以样本频率估计概率．若在全校抽取20名同学，设“极度缺乏锻炼”的人数为，求的数学期望和方差；（3）将一周参加锻炼6小时以上的同学称为“运动爱好者”．在抽取的60名同学中有10名“运动爱好者”，其中有7名男生，3名女生．为进一步了解他们的生活习惯，在10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为，求的分布列和数学期望．附：0.10.050.012.7063.8416.63518．（17分）已知函数，常数．（1）当时，函数取得极小值-2，求函数的极大值．（2）设定义在上的函数在点处的切线方程为，当时，若在内恒成立，则称点为的“类优点”，若点是函数的“类优点”，①求函数在点处的切线方程；②求实数的取值范围．19．（17分）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“数列”．（1）已知等比数列满足：．求证：数列为“数列”；（2）已知各项为正数的数列满足：，其中是数列的前项和．①求数列的通项公式；②设为正整数，若存在“-数列”（），对任意正整数，当时，都有成立，求的最大值．高二数学联考试题参考答案一、单选题12345678BCBDACDC二、多选题91011BDACDABD三，填空题1213141015.【详解】（1）由题意得，，①当时，，函数在上单调递增；②当时，令，解得，，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减；综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增，（2）因为函数在上为增函数，所以，在上恒成立。即在上恒成立．令，当时，，所以，在上单调递增，。所以，，解得，所以，实数的取值范围为．16.【详解】（1）等差数列中，设公差为，则数列中的前项和为，且，①当时，，当时，，②②-①得：，故数列是以1为首项，3为公比的等比数列，所以．（2）数列中，，则，所以，对恒成立，当为奇数时，，当为偶数时，，综上：实数的取值范围为．17.【详解】（1）根据题意可得列联表如下；性別不经常锻炼经常锻炼合计男生72330女生141630合计213960零假设为：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；根据列联表的数据计算可得，根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1．（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故近似服从二项分布，易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率，即可得，故，．（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以的所有可能取值为，且服从超几何分布：故所求分布列为0123可得18.【详解】（1）由题意，，得，此时令，得或，当或时，；当时，，所以在与上单调递增，在上递减，所以当时，有极大值（2）①，所以函数在点处的切线方程为②若点是函数的“类优点”，令常数，则当时，恒有，又，且令，得或则当时，在上递增。当时，；当时，故当时，恒有成立当时，由，得，在上递减，。所以在，不成立。当时，由，得，在上递减，所以在，不成立。综上可知，若点是函数的“类优点”，则实数19.【详解】（1）设等比数列的公比为，所以由，得，解得，因此数列为“—数列”；（2）①由，得，当时，由，得，整理得，所以数列是首项和公差均为1的等差数列，因此，数列的通项公式为；②由①知，，因为数列