微专题06数列中的复杂递推式问题(原卷版+解析)

微专题06数列中的复杂递推式问题秒杀总结1．叠加法：；2．叠乘法：；3．构造法（等差，等比）：①形如(其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列．②形如(其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型．③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4．取对数法：．5．由和的关系求数列通项（1）利用，化为．（2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．6．数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型（2）倒序相加法（3）裂项相消法常考题型数列的通项公式裂项方法等差数列型是公差为的等差数列是公差为的等差数列无理型指数型对数型三角型是公差为的等差数列阶乘型典型例题例1．已知数列满足且，设，则的值是A． B． C． D．例2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列，，，中，有理数项的项数为A．42 B．43 C．44 D．45例3．对于，．例4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为．例5．在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，．（1）数列的通项公式为；（2）．例6．数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是．过关测试一．选择题（共23小题）1．设数列为正项数列，数列满足，，若表示不超过的最大整数，（例如，则A．2018 B．2019 C．2020 D．20212．已知数列满足，，则的最小值是A．0 B． C．1 D．23．已知数列满足：，若，A． B． C． D．4．已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则A． B． C． D．5．已知数列的首项，，则A．99 B．101 C．399 D．4016．若以2为公比的等比数列满足，则数列的首项为A． B．1 C．2 D．4或7．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则正整数的值是A．5 B．6 C．7 D．88．已知函数，则的值等于A．2019 B．2018 C． D．10099．已知函数，若，，则的最小值为A． B．3 C．6 D．710．设等差数列的前项和为，数列的前项和为，已知，，，若，则正整数的值为A．9 B．8 C．7 D．611．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则与最接近的整数是A．5 B．4 C．2 D．112．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：，数列的前项和为，则的值为A．454 B．450 C．446 D．44213．已知数列满足：当时，；当时，；对于任意实数，则集合，，2，3，的元素个数为A．0个 B．有限个 C．无数个 D．不能确定，与的取值有关14．已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则A．2019 B． C．4037 D．15．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前1010项和为A． B． C． D．17．记数列的前项和为，已知，．令，则A． B． C． D．18．已知数列的前项的和为，且，，．又已知当时，恒成立．则使得成立的正整数的取值集合为A．， B．， C．， D．，19．已知数列满足，，是数列的前项和，则A． B． C． D．20．已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则A．2016 B．2017 C．2018 D．201921．已知数列满足，，则A．0.5 B．2 C． D．1.522．设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则A．0 B． C．2020 D．404023．设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则A．0 B．2 C．2019 D．4038二．填空题（共9小题）24．已知数列是公比的等比数列，数列满足：，，且，则数列的前项和．25．已知数列满足，，若，则数列的通项．26．已知数列，满足，，，，令，则数列的通项公式为．27．已知数列满足，，那么．28．已知数列满足，，若，则．29．已知数列满足，，是递增数列，是递减数列，则数列的通项公式为．30．已知数列与前项和分别为，，且，，，，则．31．已知数列与前项和分别为，，且，，，，则的取值范围是．32．已知数列与前项和分别为，，且，，，对任意的，恒成立，则的最小值是．微专题06数列中的复杂递推式问题秒杀总结1．叠加法：；2．叠乘法：；3．构造法（等差，等比）：①形如(其中均为常数)的递推公式，，其中，构造，即是以为首项，为公比的等比数列．②形如(其中均为常数，)，可以在递推公式两边同除以，转化为型．③形如，可通过取倒数转化为等差数列求通项．4．取对数法：．5．由和的关系求数列通项（1）利用，化为．（2）当不易消去，或消去后不易求，可先求，再由求．6．数列求和：（1）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列(公比不等于1)对应项相乘构成的数列求和型（2）倒序相加法（3）裂项相消法常考题型数列的通项公式裂项方法等差数列型是公差为的等差数列是公差为的等差数列无理型指数型对数型三角型是公差为的等差数列阶乘型典型例题例1．已知数列满足且，设，则的值是A． B． C． D．【解答】解：数列满足且，①可得，当时，可得，②①②可得，即，则，，可得，则，故选：．例2．已知数列的通项公式为，其前项和为，则在数列，，，中，有理数项的项数为A．42 B．43 C．44 D．45【解答】解：由题意，可知：．．，，为有理项，又下标3，8，15，的通项公式为，，且，解得：，有理项的项数为．故选：．例3．对于，．【解答】解：由已知中的等式：；；由以上等式我们可以推出一个一般结论：对于，．故答案为：．例4．设曲线在点处的切线与轴的交点的横坐标为，则的值为．【解答】解：由，得，，曲线在处的切线方程为，取，得，，则．故答案为：．例5．在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列，将这个数的乘积记为，令，．（1）数列的通项公式为；（2）．【解答】解：（1）设在数1和2之间插入个正数，使得这个数构成递增等比数列为，则，，即，为此等比数列的公比．，，故答案为：．（2）由（1）可得，又，，，．，，故答案为：．例6．数列中，，若不等式恒成立，则实数的取值范围是．【解答】解：，，即，又，数列是以2为首项，1为公差的等差数列，，．不等式化为：．，当且仅当时取等号，由，则当时，取最小，最小值为，故答案为：，．过关测试一．选择题（共23小题）1．设数列为正项数列，数列满足，，若表示不超过的最大整数，（例如，则A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：数列满足，，整理得，由于数列为正项数列，所以，整理得，，，，各式相乘得到，所以．则，所以．故选：．2．已知数列满足，，则的最小值是A．0 B． C．1 D．2【解答】解：，两边同时除以，得，，故，故最小值为时，的最小值是1，故选：．3．已知数列满足：，若，A． B． C． D．【解答】解：由题意数列满足：，可得，所以数列是等差数列，，所以，．故选：．4．已知数列满足，，，，，记数列前项和为，则A． B． C． D．【解答】解：由可得．化简得，累加求和得，化简得，因为，所以，即．，，，所以，即．故选：．5．已知数列的首项，，则A．99 B．101 C．399 D．401【解答】解：数列的首项，，则：，整理得：，所以：，即：（常数），所以数列是以为首项，1为公差的等差数列．则：，整理得：（首项符合通项），则：，所以：．故选：．6．若以2为公比的等比数列满足，则数列的首项为A． B．1 C．2 D．4或【解答】解：，公比为2，，时，，解得：或2．或．故选：．7．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对任意的，恒成立，则正整数的值是A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：依题意，为整数，故为偶数又，，即，又，，又，，，，，故选：．8．已知函数，则的值等于A．2019 B．2018 C． D．1009【解答】解：函数，，．故选：．9．已知函数，若，，则的最小值为A． B．3 C．6 D．7【解答】解：因为当，时，，所以，，，所以，即，，，所以当时，最小值为．故选：．10．设等差数列的前项和为，数列的前项和为，已知，，，若，则正整数的值为A．9 B．8 C．7 D．6【解答】解；设等差数列的公差为，由，得，解得，所以，则，所以，令，得，解得．故选：．11．已知数列满足，，设数列的前项和为，若，则与最接近的整数是A．5 B．4 C．2 D．1【解答】解：数列满足，，即有，即，可得；，，，则，，则与最接近的整数是2．故选：．12．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列满足关系：，数列的前项和为，则的值为A．454 B．450 C．446 D．442【解答】解：由题意可得：．，时，，相减可得：，可得．时，，可得．则．故选：．13．已知数列满足：当时，；当时，；对于任意实数，则集合，，2，3，的元素个数为A．0个 B．有限个 C．无数个 D．不能确定，与的取值有关【解答】解：当时，根据题意，则，则集合的元素有无数个；当时，则，根据题意，则，则集合的元素有无数个；当且时，，若，则；若，则；若，则；若，则．而，则时，数列递减且无下限（※）；时，数列递增且无上限．（1）若，则，根据（※）可知，在求解，，的迭代过程中，终有一项会首次小于0，不妨设为；（2）若，则；①若，则，接下来进入（2）或（3）；②若，接下来进入（3）；（3）若，则，接下来进入（1）或（4）；（4）若，则，接下来进入（2）或（3）．若，则进入（4）．若，则进入②．若，则进入①．如此会无限循环下去，会出现无限个负数项．综上：集合，，2，3，的元素个数为无数个．故选：．14．已知数列和首项均为1，且，，数列的前项和为，且满足，则A．2019 B． C．4037 D．【解答】解：，，，，另外：，可得，．，，，．数列是等差数列，首项为1，公差为2．，．．故选：．15．已知数列满足，，设，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．【解答】解：由得：，，即，数列是首项为，公差为的等差数列，，，即，，数列是单调递减数列，对于，，即，即，只需，令，，在上单调递增，在，上单调递减，又（1），（2），当时，的最大值为（1）（2），即，，即实数的取值范围是，，故选：．16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，也称取整函数．在数列中，记为不超过的最大整数，则称数列为的取整数列，设数列满足，，记数列的前项和为，则数列的前1010项和为A． B． C． D．【解答】解：根据题意，易知，则，则，所以数列的前1010项和为，故选：．17．记数列的前项和为，已知，．令，则A． B． C． D．【解答】解：依题意，得，则，即，所以，所以，易知，所以，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以，所以，故选：．18．已知数列的前项的和为，且，，．又已知当时，恒成立．则使得成立的正整数的取值集合为A．， B．， C．， D．，【解答】解：当时，恒成立，当时，恒成立，相减可得：，化为：，数列是等差数列，，，．，，，，公差．．．．．成立，成立，化为：，解得．使得成立的正整数的取值集合为，．故选：．19．已知数列满足，，是数列的前项和，则A． B． C． D．【解答】解：由，，得，且，两式作比可得：．数列的奇数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列．则当为奇数时，；当为偶数时，．，．故选：．20．已知数列的前项和，数列满足，记数列的前项和为，则A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【解答】解：由数列的前项和为，当时，；当时，，上式对时也成立，，，函数的周期，．故选：．21．已知数列满足，，则A．0.5 B．2 C． D．1.5【解答】解：，，，，，，．则，故选：．22．设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则A．0 B． C．2020 D．4040【解答】解：等差数列的公差不为0，且，，令，则即，，，两式相加可得，，，，则．故选：．23．设等差数列的公差不为0，其前项和为，若，，则A．0 B．2 C．2019 D．4038【解答】解：因为①，②，两式相加化简得：，又因为．所以，即，所以，则，故选：．二．填空题（共9小题）24．已知数列是公比的等比数列，数列满足：，，且，则数列的前项和．【解答】解：，，且，①当时，，即，数列是公比的等比数列，，解得，，当时，，即，解得，又，②①②可得，，即，化为，又，为等差数列，且公差，则，，．故答案为：．25．已知数列满足，，若，则数列的通项．【解答】解：，，．数列是等比数列，首项与公比都为2，．时，．则数列的通项，则数列的通项．故答案为：．26．已知数列，满足，，，，令，则数列的通项公式为．【解答】解：由题可得：，又，故是首项为0.9，公比为的等比数列，故．故答案为：．27．已知数列满足，，那么．【解答】解：数列满足，，可得，，，，猜想，下面用数学归纳法