中考数学总复习专题16全等三角形(10个高频考点)(举一反三)(全国版)(原卷版+解析)

专题16全等三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1全等三角形的概念及其性质】 1【考点2一次证明全等三角形】 3【考点3多次证明全等三角形】 4【考点4网格中的全等三角形】 6【考点5尺规作图与全等三角形】 7【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】 9【考点7利用垂线模型证明全等三角形】 11【考点8利用旋转模型证明全等三角形】 12【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】 14【考点10全等三角形的实际应用】 15【要点1全等图形的概念】能完全重合的图形叫做全等图形.【要点2全等图形的性质】两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.【要点3全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【考点1全等三角形的概念及其性质】【例1】（2022·广东揭阳·校考三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【变式1-1】（2022·广西·校联考一模）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等【变式1-2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【变式1-3】（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=______．【要点4全等图形的判定】判定方法解释图形边边边(SSS)三条边对应相等的两个三角形全等边角边(SAS)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角(ASA)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边(AAS)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【考点2一次证明全等三角形】【例2】（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE中，AF⊥CD，则∠BAF的度数是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【变式2-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．【变式2-2】（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为(1)求证：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四边形【变式2-3】（2022·江苏连云港·校联考中考模拟）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．（1）求证：DE⊥DM；（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【考点3多次证明全等三角形】【例3】（2022·山西·统考模拟预测）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，以AE为一边在AE的下方作正方形AEFG，连接ED，试判断线段AH与DE的位置关系及线段EH与DH的数量关系．（1）图1中线段AH与DE的位置关系是，线段EH与DH的数量关系是．（2）勤奋小组受到老师的启发，在老师提出问题的基础上将正方形ABCD绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，点D仍在正方形AEFG内部，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）①创新小组在勤奋小组研究的基础上延长线段ED交FG于点M，如图3所示，发现DH=FM，请证明；②若图3中线段GM是线段FM的2倍，请直接写出线段ED与AH的长度的比值．【变式3-1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【变式3-2】（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．【变式3-3】（2022·河北·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【考点4网格中的全等三角形】【例4】（2022·山东济南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【变式4-1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．(1)在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；(2)在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【变式4-2】（2022·浙江金华·校联考二模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请用无刻度直尺按要求分别作图：(1)在图1中，过点C作与AB平行的线段CE（点E在格点上）；(2)在图2中，以BC为边作一个△BCE（点E在格点上），使它与△ABC全等；(3)在图3中，在AB，BC边上分别取点G，H，将△ABC沿着GH折叠，使点B与点A重合，画出线段AH．【变式4-3】（2022·江苏苏州·校联考中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.【考点5尺规作图与全等三角形】【例5】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【变式5-1】（2022·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以点O为圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（

）A．CE=DF B．PE=PFC．若∠AOB=60°，则∠CPD=120° D．点P在∠AOB的平分线上【变式5-2】（2022·福建三明·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点．(1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长．【变式5-3】（2022·福建·统考一模）求证：全等三角形对应中线相等.要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，已知A′B②若点D、D′分别是两个三角形的边AC、A【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】【例6】（2022·河南周口·统考二模）如图，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D为边BC的中点，若AD=1.5，则AC的长度为______．【变式6-1】（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；(3)求证：CE＝12AB【变式6-2】（2022·山东烟台·统考一模）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【变式6-3】（2022·山东日照·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α0°<α<180°得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△A′B特例感知：（1）在图2，图3中，△A′B′C′是①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=________BC；②如图3，当∠BAC=90°,猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．【考点7利用垂线模型证明全等三角形】【例7】（2022·天津和平·统考二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点E在AC上，AE=23AC，D是BC延长线上一点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，当AF∥BD时，线段【变式7-1】（2022·广西玉林·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标(52,2)．反比例函数y=kx（常数k>0，x>0【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，BC交l2于D点．（1）求AB的长．（2）求sin∠BAD的值．【变式7-3】（2022·浙江杭州·校联考一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）所以∠DFA＝∠B（等量代换）又AD∥BC所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF和△EAB中∠DFA=∠B所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．【考点8利用旋转模型证明全等三角形】【例8】（2022·山东日照·校考二模）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5．将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论错误的是（

）A．点O与O′的距离为4 B．∠AOB=150°C．S四边形AOBO′=6+43 D．【变式8-1】（2022·福建南平·一模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE．（1）点C到AB的最短距离是_____；（2）BE的最小值是_____．【变式8-2】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______.【变式8-3】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α0°<α<180°得到AC，连接BC，在线段BC上取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转12α得到AE(1)如图1，若tanB=①当BD>CD，且∠CAE=20°时，求∠DAC的度数；②试探究线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若tanB=34，当CE⊥BC【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】【例9】（2022·河北·模拟预测）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【变式9-1】（2022秋·西安·模拟预测）已知点P是线段MN上一动点，分别以PM，PN为一边，在MN的同侧作△APM，△BPN，并连接BM，AN．（Ⅰ）如图1，当PM＝AP，PN＝BP且∠APM＝∠BPN＝90°时，试猜想BM，AN之间的数量关系与位置关系，并证明你的猜想；（Ⅱ）如图2，当△APM，△BPN都是等边三角形时，（Ⅰ）中BM，AN之间的数量关系是否仍然成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，试说明理由．（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，连接AB得到图3，当PN＝2PM时，求∠PAB度数．【变式9-2】（2022秋·湖南长沙·一模）如图1，在平面直角坐标系中，点A是y轴负半轴上的一个动点，点B是x轴负半轴上的一个动点，连接AB，过点B作AB的垂线，使得BC＝AB，且点C在x轴的上方．（1）求证：∠CBD＝∠BAO；（2）如图2，点A、点B在滑动过程中，把AB沿y轴翻折使得AB'刚好落在AC的边上，此时BC交y轴于点H，过点C作CN垂直y轴于点N，求证AH＝2CN；（3）如图3，点A、点B在滑动过程中，使得点C在第二象限内，过点C作CF垂直y轴于点F，求证：OB＝AO+CF．【变式9-3】（2022·浙江台州·三模）把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）．试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想．【考点10全等三角形的实际应用】【例10】（2022·吉林长春·统考中考真题）跳棋是一项传统的智力游戏．如图是一副跳棋棋盘的示意图，它可以看作是由全等的等边三角形ABC和等边三角形DEF组合而成，它们重叠部分的图形为正六边形．若AB=27厘米，则这个正六边形的周长为_________厘米．【变式10-1】（2022·河北石家庄·统考一模）如图是庐丰笑笑幼儿园小朋友荡秋千的示意图，静止时秋千位于铅垂线BD上，转轴到地面距离BD=3m．当秋千摆到最高点A时，AC=2m，且A到地面的距离AE=1.8m；当A摆动到A′(1)求A′到BD的距离；(2)求A′到地面的距离．【变式10-2】（2022·甘肃陇南·模拟预测）如图所示，是瑞安部分街道示意图，AB=BC=AC，CD=CE=DE，A，B，C，D，E，F，G，H为“公交汽车”停靠点，甲公共汽车从A站出发，按照A，H，G，D，E，C，F的顺序到达F站，乙公共汽车从B站出发，按照B，F，H，E，D，C，G的顺序到达G站，如果甲、乙两车分别从A、B两站同时出发，各站耽误的时间相同，两辆车速度也一样，则（）A．甲车先到达指定站 B．乙车先到达指定站C．同时到达指定站 D．无法确定【变式10-3】（2022·河南·模拟预测）如图是根据某公园的平面示意图建立的平面直角坐标系，公园的入口位于坐标原点O，古塔位于点A（400，300），从古塔出发沿射线OA方向前行300m是盆景园B，从盆景园B向左转90°后直行400m到达梅花阁C，则点C的坐标是_________．专题16全等三角形（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1全等三角形的概念及其性质】 1【考点2一次证明全等三角形】 4【考点3多次证明全等三角形】 8【考点4网格中的全等三角形】 14【考点5尺规作图与全等三角形】 19【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】 26【考点7利用垂线模型证明全等三角形】 34【考点8利用旋转模型证明全等三角形】 40【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】 48【考点10全等三角形的实际应用】 55【要点1全等图形的概念】能完全重合的图形叫做全等图形.【要点2全等图形的性质】两个图形全等，它们的形状相同，大小相同.【要点3全等三角形的性质】全等三角形的对应边相等，对应角相等.（另外全等三角形的周长、面积相等，对应边上的中线、角平分线、高线均相等）【考点1全等三角形的概念及其性质】【例1】（2022·广东揭阳·校考三模）如图是小明用七巧板拼成的一个机器人，其中全等三角形有（

）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【答案】B【详解】分析：.首先观察图形，尝试找出图中所有的三角形，根据全等三角形的定义得出答案.详解：如图：对图中的三角形进行标注,①②是全等三角形;④⑤是全等三角形,故共有2对全等三角形.点睛：此题考查了全等三角形的定义及有关概念和性质.(1)全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形.(形状相同但不能完全重合的两个三角形不是全等三角形)(2)全等三角形对应元素及性质:全等三角形的对应边相等,对应角相等.(3)将两个全等三角形中的一个三角形平移、翻折、旋转可得到另一个三角形.此题就是根据全等三角形的定义得出答案的.【变式1-1】（2022·广西·校联考一模）下列说法正确的是（

）A．两个面积相等的图形一定是全等形 B．两个等边三角形是全等形C．若两个图形的周长相等，则它们一定是全等形 D．两个全等图形的面积一定相等【答案】D【分析】依据全等图形的定义和性质进行判断即可．【详解】全等的两个图形的面积、周长均相等，但是周长、面积相等的两个图形不一定全等，则A、C选项错误；边长相等的所有等边三角形是全等，所以B选项错误；故选：D．【点睛】考查的是全等图形的性质，掌握全等图形的性质是解题的关键【变式1-2】（2022·广西柳州·中考真题）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端M、N的距离，如果△PQO≌△NMO，则只需测出其长度的线段是（）A．PO B．PQ C．MO D．MQ【答案】B【分析】要想利用求得MN的长，只需求得线段PQ的长．【详解】解：∵△PQO≌△NMO，∴PQ=MN．故选：B【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．【变式1-3】（2022·湖南邵阳·统考中考模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，BC上的点，若△ADB≌△EDB≌△EDC，则∠C=______．【答案】30°##30度【分析】根据全等三角形的性质推出∠C=∠DBC，∠BED=90°，进而推出∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，再根据直角三角形两锐角互余求解即可．【详解】解：∵△BED≌△CED，∴∠BED=∠CED，∠C=∠DBC，又∵∠BED+∠CED=180°，∴∠BED=90°，∵△ABD≌△EBD，∴∠A=∠BED=90°，∠ABD=∠DBC=∠C，∴∠C+∠ABC=90°，∴3∠C=90°，∴∠C=30°，故答案为：30°．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，直角三角形两锐角互余，熟知全等三角形的性质是解题的关键．【要点4全等图形的判定】判定方法解释图形边边边(SSS)三条边对应相等的两个三角形全等边角边(SAS)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等角边角(ASA)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边(AAS)两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等斜边、直角边(HL)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等【考点2一次证明全等三角形】【例2】（2022·浙江杭州·校考模拟预测）如图，正五边形ABCDE中，AF⊥CD，则∠BAF的度数是（

）A．50° B．54° C．60° D．72°【答案】B【分析】连接AC，AD，正五边形ABCDE中，得到AB=AE=BC=DE，∠B=∠E，证得△ABC≌△AED，根据全等三角形的性质得到∠【详解】解：连接AC，AD，∵五边形ABCDE是正五边形，∴AB=AE=BC=DE,∠B=∠E，∠BAE=108°，在△ABC和△AED中AB=AE∴△ABC≌△AED，∴∠BAC=∠EAD,AC=AD∵AF⊥CD∴∠CAF=∠DAF∴∠BAF=∠EAF=1故选B．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正五边形的性质，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．【变式2-1】（2022·湖南益阳·统考中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD∥AB，DE⊥AC于点E，且CE＝AB．求证：△CED≌△ABC．【答案】见解析【分析】由垂直的定义可知，∠DEC＝∠B＝90°，由平行线的性质可得，∠A＝∠DCE，进而由ASA可得结论．【详解】证明：∵DE⊥AC，∠B＝90°，∴∠DEC＝∠B＝90°，∵CD∥AB，∴∠A＝∠DCE，在△CED和△ABC中，∠DCE=∠ACE=AB∴△CED≌△ABC（ASA）．【点睛】本题主要考查全等三角形的判定、垂直的定义和平行线的性质，熟知全等三角形的判定定理是解题基础．【变式2-2】（2022·湖南长沙·统考中考真题）如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB，CD⊥AD，垂足分别为(1)求证：△ABC≌(2)若AB=4，CD=3，求四边形【答案】(1)见解析(2)12【分析】（1）由角平分线的定义和垂直的定义求出∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，结合已知条件，利用“AAS”即可求证；（2）由全等三角形的性质得AB=AD=4,BC=CD=3，根据三角形的面积公式求出S△ABC，S△ACD，再根据四边形【详解】（1）∵AC平分∠BAD，∴∠CAB=∠CAD,∠B=∠D，∵AC=AC，∴△ABC≅△ADC(AAS（2）∵△ABC≅△ADC，AB=4,CD=3，∴AB=AD=4,BC=CD=3，∵∠B=∠D=90°，∴S∴四边形ABCD的面积=S【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握它们是解题的关键．【变式2-3】（2022·江苏连云港·校联考中考模拟）如图，四边形ABCD是正方形，点E，F分别在BC，AB上，点M在BA的延长线上，且CE=BF=AM，过点M，E分别作NM⊥DM，NE⊥DE交于N，连接NF．（1）求证：DE⊥DM；（2）猜想并写出四边形CENF是怎样的特殊四边形，并证明你的猜想．【答案】（1）证明见解析；（2）四边形CENF是平行四边形，理由见解析.【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴DC=DA，∠DCE=∠DAM=90°，在△DCE和△MDA中，，∴△DCE≌△MDA（SAS），∴DE=DM，∠EDC=∠MDA．又∵∠ADE+∠EDC=∠ADC=90°，∴∠ADE+∠MDA=90°，∴DE⊥DM；（2）解：四边形CENF是平行四边形，理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AB∥CD，AB=CD．∵BF=AM，∴MF=AF+AM=AF+BF=AB，即MF=CD，又∵F在AB上，点M在BA的延长线上，∴MF∥CD，∴四边形CFMD是平行四边形，∴DM=CF，DM∥CF，∵NM⊥DM，NE⊥DE，DE⊥DM，∴四边形DENM都是矩形，∴EN=DM，EN∥DM，∴CF=EN，CF∥EN，∴四边形CENF为平行四边形．【考点3多次证明全等三角形】【例3】（2022·山西·统考模拟预测）综合与实践问题情境：在数学活动课上，老师出示了这样一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是对角线AC上一点，且AE=AB，以AE为一边在AE的下方作正方形AEFG，连接ED，试判断线段AH与DE的位置关系及线段EH与DH的数量关系．（1）图1中线段AH与DE的位置关系是，线段EH与DH的数量关系是．（2）勤奋小组受到老师的启发，在老师提出问题的基础上将正方形ABCD绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，点D仍在正方形AEFG内部，则（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）①创新小组在勤奋小组研究的基础上延长线段ED交FG于点M，如图3所示，发现DH=FM，请证明；②若图3中线段GM是线段FM的2倍，请直接写出线段ED与AH的长度的比值．【答案】（1）AH⊥DE；EH=DH；（2）成立，见解析；（3）①见解析；②3【分析】（1）判定Rt△AEH≌Rt△ADH即可得答案；（2）判定Rt△AEH≌Rt△ADH得到EH=DH，∠DAP=∠EAP，进而判定△ADP≌△AEP，即可证明结论成立；（3）①判定△AEH≌△EFM，得出EH=FM，因为DH=EH，则DH=FM；②设FM为x，则GM=2x，AE=EF=3x，AH=EM=MF2+EF2=10x；【详解】（1）∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形且AE=AB，∴AE=AD，∵∠AEH=∠ADH=90°，AH=AH∴Rt△AEH≌Rt△ADH∴AH⊥DE，EH=DH（2）仍成立，设AH与DE交于点P∵AD=AE，AH=AH，∠AEH=∠ADH=90°，∴Rt△AEH≌Rt△ADH∴EH=DH，∠DAP=∠EAP∵AE=AB=AD，∴∠ADP＝∠AEP，AP=AP,∴△ADP≌△AEP∴∠APD=∠APE∵D、P、E三点共线，∴∠APD=∠APE=90°，∴AH⊥DE（3）①AH⊥DE，AE⊥EF，则∠EAH+∠DEA=∠DEA+∠DEF=90°，∴∠EAH=∠FEM∵AE=EF∴△AEH≌△EFM∴EH=FM∵DH=EH∴DH=FM②设FM为x，则GM=2x，AE=EF=3x，AH=EM=M∵△AEH≌△ADH，AH⊥DE，∴S即3x×x=102x×求得：DE=610∴DE【点睛】本题考查了平面几何问题，正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识，找到并证明三角形全等是解决本题的关键．【变式3-1】（2022·广西百色·统考二模）如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．(1)AB＝DC；(2)△ABC≌△DCB．【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析【分析】（1）证明△ABO≌△DCO（ASA），即可得到结论；（2）由△ABO≌△DCO，得到OB＝OC，又OA＝OD，得到BD＝AC，又由∠A＝∠D，即可证得结论．【详解】（1）证明：在△ABO与△DCO中，∠A=∠DOA=OD∴△ABO≌△DCO（ASA）∴AB＝DC；（2）证明：∵△ABO≌△DCO，∴OB＝OC，∵OA＝OD，∴OB＋OD＝OC＋OA，∴BD＝AC，在△ABC与△DCB中，AC=BD∠A=∠D∴△ABC≌△DCB（SAS）．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握并灵活选择全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式3-2】（2022·上海闵行·统考二模）如图，在矩形ABCD中，点E在边BC上，将线段AE绕点E顺时针旋转90°，此时点A落在点F处，线段EF交CD于点M．过点F作FG⊥BC，交BC的延长线于点G．(1)求证：BE=FG；(2)如果AB•DM=EC•AE，连接AM、DE，求证：AM垂直平分DE．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据同角的余角相等得到一对角相等，再由一对直角相等，且AE=EF，利用AAS得到△ABE与△EFG全等，据此即可证明BE=FG；（2）证明△ABE∽△ECM，可得EM=DM，再利用HL证明△AEM≌△ADM即可解决问题．(1)证明：∵EF⊥AE，∴∠AEB+∠GEF=90°，又∵∠AEB+∠BAE=90°，∴∠GEF=∠BAE，又∵FG⊥BC，∴∠ABE=∠EGF=90°，在△ABE与△EGF中，∠ABE=∠EGF∠BAE=∠GEF∴△ABE≌△EGF（AAS）；∴BE=FG；(2)证明：连接AM、DE，∵∠GEF=∠BAE，∠ABE=∠ECM=90°，∴△ABE∽△ECM，∴ABEC=AEEM，即AB•EM=∵AB•DM=EC•AE，∴DM=EM，∵EF⊥AE，∴∠AEM=90°，∴∠AEM=∠ADM=90°，∵DM=EM，AM=AM，∴△AEM≌△ADM(HL)，∴AE=AD，∴AM垂直平分DE．【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定，相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题．【变式3-3】（2022·河北·一模）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．恒成立的结论有（）A．①③④⑤ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④【答案】C【分析】本题是三角形全等的综合题，利用三角形全等逐个解决就可以.【详解】解:①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°∴△ACD≌△ECB∴AD=BE，故本选项正确；②∵△ACD≌△ECB∴∠CBQ=∠CAP，又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，∴△BCQ≌△ACP，∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，∴△PCQ为等边三角形，∴∠QPC=60°=∠ACB，∴PQ∥AE，故本选项正确；③∵∠ACB=∠DCE=60°，∴∠BCD=60°，∴∠ACP=∠BCQ，∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；④已知△ABC、△DCE为正三角形，故∠DCE=∠BCA=60°,∠DCB=60°，又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°,∠DPC＞60°，故DP不等于DE，故本选项错误；⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴∠CAD=∠CBE，∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，∴∠AOB=60°，故本选项正确．综上所述，正确的结论是①②③⑤．故选C.【点睛】本题综合考查了等边三角形判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质以及相似三角形的判定与性质等知识点的运用．要求学生具备运用这些定理进行推理的能力，此题的难度较大．【考点4网格中的全等三角形】【例4】（2022·山东济南·统考二模）如图，在4×4的正方形网格中，求α+β=______度．【答案】45【分析】连接AB，根据正方形网格的特征即可求解．【详解】解：如图所示，连接AB

∵图中是4×4的正方形网格∴AD=CE，∠ADB=∠AEC，DB=AE∴△ADB≌△CEA(SAS)∴∠EAC=∠ABD=α，AB=AC∵∠ABD+∠BAD=90°∴∠EAC+∠BAD=90°，即∠CAB=90°∴∠ACB=∠ABC=45°∵BD∴∠BCE=∠DBC=β∵∠ABC=∠ABD+∠DBC=α+β∴α+β=45°故答案为：45．【点睛】本题考查了正方形网格中求角的度数，利用了平行线的性质、同角的余角相等、等腰直角三角形的性质等知识点，解题的关键是能够掌握正方形网格的特征．【变式4-1】（2022·湖北荆州·统考中考真题）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．(1)在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；(2)在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】对于（1），以AC为公共边的有2个，以AB为公共边的有2个，以BC为公共边的有1个，一共有5个，作出图形即可；对于（2），△ABC是等腰直角三角形，以BC为对角线的菱形只有1个，作出图形即可．【详解】（1）如图所示．（2）如图所示．【点睛】本题主要考查了作格点三角形和菱形，理解题意是解题的关键．【变式4-2】（2022·浙江金华·校联考二模）如图，△ABC是正方形网格图中的格点三角形（顶点在格点上），请用无刻度直尺按要求分别作图：(1)在图1中，过点C作与AB平行的线段CE（点E在格点上）；(2)在图2中，以BC为边作一个△BCE（点E在格点上），使它与△ABC全等；(3)在图3中，在AB，BC边上分别取点G，H，将△ABC沿着GH折叠，使点B与点A重合，画出线段AH．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据要求作出图形即可；（2）构造全等三角形解决问题即可；（3）构造正方形，利用正方形的性质作线段AB的垂直平分线交AB于点G，交CB于点H，连接AH即可．(1)解：如图1中，线段CE即为所求；(2)解：在图2中，△BCE即为所求；(3)解：在图3中，点G，H，线段AH即为所求．∵PM=OA=RN=QB=1，PB=OM=AR=QN=3，∠P=∠O=∠R=∠Q=90°，∴△PMB≌△OAM≌△RNA≌△QBN，∴MB=AM=AN=NB，∠PBM=∠OMA，∵∠PBM+∠PMB=90°，∴∠OMA+∠PMB=90°，∴∠AMB=90°，∴四边形AMBN是正方形，∴MN是AB的垂直平分线，MN与AB交于点G，与BC交于点H，连接AH即可．【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．【变式4-3】（2022·江苏苏州·校联考中考模拟）如图，在方格纸中，△PQR的三个顶点及A,B,C,D,E五个点都在小方格的顶点上，现以A,B,C,D,E中的三个顶点为顶点画三角形，（1）在图甲中画出一个三角形与△PQR全等；（2）在图乙中画出一个三角形与△PQR面积相等但不全等.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过A作AE//PQ，过E作EB//PR，再顺次连接A、E、B．（答案不唯一）（2）作一个与△PQR面积相等但不全等的三角形即可．（答案不唯一）【详解】解：（1）如图所示：（2）如图所示：【考点5尺规作图与全等三角形】【例5】（2022·重庆·统考中考真题）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴__________________①∵AD∥∴__________________②又__________________③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得__________________④∴S△BCE【答案】∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【分析】过点E作BC的垂线EF，垂足为F，分别利用AAS证得△BAE≌△EFB，△EDC≌△CFE，利用全等三角形的面积相等即可求解．【详解】证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图㾗迹）．如图所示，在△BAE和△EFB中，∵EF⊥BC，∴∠EFB=90°．又∠A=90°，∴∠EFB=∠A①∵AD∥∴∠AEB=∠FBE②又BE=EB③∴△BAE≌△EFBAAS同理可得△EDC≌△CFEAAS∴S△BCE故答案为：∠A=∠EFB、∠AEB=∠FBE、BE=EB、△EDC≌△CFE【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的面积相等是解题的关键．【变式5-1】（2022·河南焦作·统考二模）已知锐角∠AOB，如图，（1）在射线OA上取点C，E，分别以点O为圆心，OC，OE长为半径作弧，交射线OB于点D，F；（2）连接CF，DE交于点P．根据以上作图过程及所作图形，下列结论错误的是（

）A．CE=DF B．PE=PFC．若∠AOB=60°，则∠CPD=120° D．点P在∠AOB的平分线上【答案】C【分析】根据题意可知OE=OF，OC=OD，即可推断结论A；先证明△ODE≌△OCF，再证明△CPE≌△DPF即可证明结论B；连接OP，可证明△COP≌△DOP可证明结论D；由此可知答案．【详解】解：由题意可知OE=OF，OC=OD，∴OE−OC=OF−OD，∴CE=DF，故选项A正确，不符合题意；在△ODE和△OCF中，OE=OF∴△ODE≌△OCF(SAS)，∴∠OED=∠OFC，在△CPE和△DPF中，∠OED=∠OFC∠CPE=∠DPF∴△CPE≌△DPF(AAS)，∴PE=PF，故选项B正确，不符合题意；连接OP，∵△CPE≌△DPF，∴CP=DP，在△COP和△DOP中，CP=DPOC=OD∴△COP≌△DOP(SSS)，∴∠COP=∠DOP，∴点P在∠AOB的平分线上，故选项D正确，不符合题意；若∠AOB=60°，∠CPD=120°，则∠OCP=∠ODP=90°，而根据题意不能证明∠OCP=∠ODP=90°，故不能证明∠CPD=120°，故选项C错误，符合题意；故选：C．【点睛】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，明确以某一半径画弧时，准确找到相等的线段是解题的关键．【变式5-2】（2022·福建三明·统考二模）如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点．(1)在CD边上求作一点F，使得∠CFB＝2∠ABE；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，若AB＝BC＝4，求BF的长．【答案】(1)作图见解析(2)5【分析】（1）根据作一个角等于已知角的方法，作出∠ABE的等角∠EBF即可；（2）连接EF，过点E作EH⊥BF，垂足为H，由角平分线的性质可得AE=HE，由Rt△DEF≌Rt△HEF，Rt△ABE≌Rt△HBE可得DF=HF，BH=AB=4，设DF=x，则HF=x，CF=4−x，BF=4+x，Rt△BCF中由勾股定理建立方程求得x，再计算线段和即可；（1）解：如图，①以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交BA、BE于点G、N；②以点N为圆心，NG长为半径画弧，在∠EBC内交前弧于点M；③作射线BM交CD于点F；根据作图可得∠ABE=∠EBF，由AB∥CD，则∠CFB=∠ABF=2∠ABE；（2）解：如图，连接EF，过点E作EH⊥BF，垂足为H，∵四边形ABCD是边长为4的正方形，∴AB=BC=CD=AD=4,∠A=∠C=∠D=90°，由作图可知：∠EBF=∠ABE，∴AE=HE，∵E为AD的中点．∴AE=DE=2，∴HE=DE=2，在Rt△DEF和Rt△HEF中，EF=EFDE=HE∴Rt△DEF≌Rt△HEF（HL），∴DF=HF，∵AE=HE，BE=BE，∴Rt△ABE≌Rt△HBE（HL），∴BH=AB=4，设DF=x，则HF=x，CF=4−x，BF=4+x，在Rt△BCF中，∠C=90°，∴BC42解得：x=1，即DF=HF=1，∴BF=HF+BH=1+4=5．【点睛】本题考查了正方形的性质，作一个角等于二倍角，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识；正确作出辅助线是解题关键．【变式5-3】（2022·福建·统考一模）求证：全等三角形对应中线相等.要求：①根据给出的△ABC及线段A′B′，已知A′B②若点D、D′分别是两个三角形的边AC、A【答案】①如解图所示即为所求作图形；见解析；②见解析.【分析】①用尺规作图作∠A’=∠A，∠B’=∠B，根据ASA可判断△A②题设即为已知，结论即为求证.【详解】解:①如解图所示即为所求作图形:作法：以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点E、F；以点A′为圆心，AE长为半径画弧，交A′B′于点E′，以点E′为圆心，EF长为半径画弧，交前弧于点F′，连接A′F′，则②如解图.已知：△ABC≅△A′B′C′，求证：BD=B证明：∵△ABC≅△A∴A∵D,D′分别为∴AD=A′D∴BD=B【点睛】本题考查尺规作图、三角形全等的判定和性质，突破此类问题的关键是五种基本尺规作图、全等三角形的性质及判定.错因分析：1.对尺规作图的方法运用不灵活；2.对三角形的全等的判定和性质理解不透彻，难度属于中等题.【考点6利用倍长中线模型证明全等三角形】【例6】（2022·河南周口·统考二模）如图，在△ABC中，AB=4，∠BAC=135°，D为边BC的中点，若AD=1.5，则AC的长度为______．【答案】2【分析】延长AD到E，使得AD=DE，证明△ADB≌△EDC，得CE=AB=4，过点E作EH⊥AC于H，分别求出CH和AH的长即可得到结论．【详解】解：延长AD到E，使得AD=DE，如图，∵D为边BC的中点，∴BD=CD在△ADB和△EDC中，AD=DE∠ADB=∠EDC∴△ADB≌△EDC∴∠B=∠DCE,CE=AB=4∴AB//CE∴∠BAC+∠ACE=∴∠ACE=过点E作EH⊥AC于H在RtΔEHC中，CE=4,∠HCE=∴CH=EH=2在RtΔAHE中，AE=2AD=3，HE=2∴AH=∴AC=AH+HC=2故答案为：22【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，中线的性质，等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解答此题的关键．【变式6-1】（2022·全国·一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＞AC，CD⊥AB于点D，点E是AB的中点，连接CE．(1)若AC＝3，BC＝4，求CD的长；(2)求证：BC2﹣AC2＝2DE•AB；(3)求证：CE＝12AB【答案】(1)12(2)见解析(3)见解析【分析】（1）根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式计算，求出CD；（2）根据题意得到BD﹣AD＝2DE，根据勾股定理计算即可证明；（3）延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，证明△AEF≌△BEC（SAS），根据全等三角形的性质得到∠B＝∠EAF，AF＝BC，再证明△ACF≌△CAB，得到CF＝AB，证明结论．（1）解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，由勾股定理得：AB＝AC2+B∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴S△ABC＝12AC•BC＝12AB•DE，即12×3×4＝1解得：CD＝125（2）证明：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE，∴BD﹣AD＝（BE+DE）﹣（AE﹣DE）＝BE﹣AE+2DE＝2DE，∵CD⊥AB，∴BC2＝BD2+CD2，AC2＝AD2+CD2，∴BC2﹣AC2＝（BD2+CD2）﹣（AD2+CD2）＝BD2﹣AD2＝（BD+AD）（BD﹣AD）＝AB•2DE＝2DE•AB；（3）证明：延长CE至点F，使EF＝CE，连结AF，在△AEF和△BEC中，AE=BE∠AEF=∠BEC∴△AEF≌△BEC（SAS），∴∠B＝∠EAF，AF＝BC，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠CAB＝∠EAF+∠CAB＝90°，∴∠CAF＝∠ACB＝90°，∵AC＝CA，∴△ACF≌△CAB（SAS），∴CF＝AB，∵CF＝2CE，∴CE＝12AB【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．【变式6-2】（2022·山东烟台·统考一模）（1）方法呈现：如图①：在△ABC中，若AB=6，AC=4，点D为BC边的中点，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，可证△ACD≌△EBD，从而把AB、AC，2AD集中在△ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是_______________，这种解决问题的方法我们称为倍长中线法；（2）探究应用：如图②，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，判断BE+CF与EF的大小关系并证明；（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，AB//CD，AF与DC的延长线交于点F、点E是BC的中点，若AE是∠BAF的角平分线．试探究线段AB，AF，【答案】（1）1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF，证明见解析；（3）AF+CF＝AB，证明见解析．【分析】（1）由已知得出AC﹣CE＜AE＜AC+CE，即5﹣4＜AE＜5+3，据此可得答案；（2）延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，同（1）得△BMD≌△CFD，得出BM＝CF，由线段垂直平分线的性质得出EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得出BE+BM＞EM即可得出结论；（3）如图③，延长AE，DF交于点G，根据平行和角平分线可证AF＝FG，易证△ABE≌△GEC，据此知AB＝CG，继而得出答案．【详解】解：（1）延长AD至E，使DE＝AD，连接BE，如图①所示，∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，在△BDE和△CDA中，∵BD=CD∠BDE=∠CDA∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE＝AC＝4，在△ABE中，由三角形的三边关系得：AB﹣BE＜AE＜AB+BE，∴6﹣4＜AE＜6+4，即2＜AE＜10，∴1＜AD＜5；故答案为：1＜AD＜5，（2）BE+CF＞EF；证明：延长FD至点M，使DM＝DF，连接BM、EM，如图②所示．同（1）得：△BMD≌△CFD（SAS），∴BM＝CF，∵DE⊥DF，DM＝DF，∴EM＝EF，在△BME中，由三角形的三边关系得：BE+BM＞EM，∴BE+CF＞EF；（3）AF+CF＝AB．如图③，延长AE，DF交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG＝∠G，在△ABE和△GCE中

CE＝BE，∠BAG＝∠G，∠AEB＝∠GEC，∴△ABE≌△GEC（AAS），∴CG＝AB，∵AE是∠BAF的平分线，∴∠BAG＝∠GAF，∴∠FAG＝∠G，∴AF＝GF，∵FG+CF＝CG，∴AF+CF＝AB．【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系、全等三角形的判定与性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键．【变式6-3】（2022·山东日照·校考一模）我们定义：如图1，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α0°<α<180°得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′．当α+β=180°时，我们称△A′B特例感知：（1）在图2，图3中，△A′B′C′是①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=________BC；②如图3，当∠BAC=90°,猜想论证：（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．【答案】（1）①12BC；②4；（2）【分析】（1）①根据含30°直角三角形的性质解答；②证明△AB′C′≌△ABC，根据全等三角形的性质得到B′C′=BC，根据直角三角形的性质计算；（2）证明四边形AB′EC′是平行四边形，得到B′E=AC′，∠BAC′+∠AB′E=180°，根据全等三角形的性质得到AE=BC，得到答案．【详解】（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=120°，AB=AB′，AC=AC′，∴AB′=AC′，∴∠AB′D=30°，∴AD=12∴AD=12故答案为12②∵△AB′C′是△ABC的“旋补三角形”，∴∠B′AC′=∠BAC=90°，AB=AB′，AC=AC′，在△AB′C′和△ABC中，AB=AB∠BAC=∠BAC∴△AB′C′≌△ABC（SAS）∴B′C′=BC=8，∵∠B′AC′=90°，AD是△ABC的“旋补中线”，∴AD=12故答案为4；（2）猜想AD=1证明：如图，延长AD至点E使得AD=DE∵AD是△AB′C’的中线，∴B′D=C′D，∵DE=AD，∴四边形AB′EC′是平行四边形，∴B′E=AC′，∠B′AC′+∠AB′E=180°，∵α+β=180°，∴∠B′AC′+∠BAC=180°，∴∠EB′A=∠BAC，在△EB′A和△CAB中，

BA=AB∴△EB′A≌△CAB（SAS），∴AE=BC，∴AD=12【点睛】本题考查的是平行四边形的判定和性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、理解“旋补三角形”的定义是解题的关键．【考点7利用垂线模型证明全等三角形】【例7】（2022·天津和平·统考二模）如图，△ABC是等边三角形，AB=3，点E在AC上，AE=23AC，D是BC延长线上一点，将线段DE绕点E逆时针旋转90°得到线段FE，当AF∥BD时，线段【答案】1+3【分析】过点E作EM⊥AF于M，交BD于N，根据30°直角三角形的性质求出AM=1，再根据∠60°的三角函数值求出EN的长，再依据△EMF≌△DNE（AAS）得出MF=EN=32，据此可得，当AF∥BD时，线段AF的长为1【详解】如图过点E作EM⊥AF于M，交BD于N．∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=3，∠ACB=60°．∵AE=23∴AE=2，EC=1．∵AF∥BD，∴∠EAM=∠ACB=60°．∵EM⊥AF，∴∠AME=90°，∴∠AEM=30°，∴AM=12∵AF∥BD，EM⊥AF，∴EN⊥BC，∴EN=EC•sin60°=3∵∠EMF=∠END=∠FED=90°，∴∠MEF+∠MFE=90°，∠MEF+∠DEN=90°，∴∠EFM=∠DEN．∵ED=EF，∴△EMF≌△DNE（AAS），∴MF=EN=3∴AF=AM+MF=1+3故答案为：1+3【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、特殊角的三角函数值和全等三角形的判定的综合运用，解题的关键是作辅助线构造直角三角形和全等三角形，熟记特殊角的三角函数值.【变式7-1】（2022·广西玉林·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A在x轴正半轴上，顶点B，C在第一象限，顶点D的坐标(52,2)．反比例函数y=kx（常数k>0，x>0【答案】5或22.5【分析】先设一个未知数用来表示出B、C两点的坐标，再利用反比例函数图像恰好经过B、C、D的其中两个点进行分类讨论，建立方程求出未知数的值，符合题意时进一步求出k的值即可．【详解】解：如图所示，分别过B、D两点向x轴作垂线，垂足分别为F、E点，并过C点向BF作垂线，垂足为点G；∵正方形ABCD，∴∠DAB=90°，AB=BC=CD=DA，∴∠DAE+∠BAF=90°，又∵∠DAE+∠ADE=90°，∠BAF+∠ABF=90°，∴∠DAE=∠ABF，∠ADE=∠BAF，∴△ADE≌△BAF，同理可证△ADE≌△BAF≌△CBG；∴DE=AF=BG，AE=BF=CG；设AE=m，∵点D的坐标(52∴OE=52，DE=AF=BG∴B（92+m，m），C（92∵52当92m+2=5当92+mm=5时，由m≥0解得m=当92+mm=92m+2时，由故答案为：5或22.5．【点睛】本题综合考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、反比例函数的图像与性质、解一元二次方程等内容，解题的关键是牢记相关概念与性质，能根据题意建立相等关系列出方程等，本题涉及到了分类讨论和数形结合的思想方法等．【变式7-2】（2022·黑龙江哈尔滨·统考模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3，BC交l2于D点．（1）求AB的长．（2）求sin∠BAD的值．【答案】（1）34．（2）334【分析】（1）作AH⊥直线l3于H，CN⊥直线l3于N，由AAS可证：△ABH≌△BCN，结合勾股定理，即可求解；（2）根据正弦三角函数的定义，即可求解．【详解】（1）作AH⊥直线l3于H，CN⊥直线l3于N，则AH＝3，CN＝5，∵∠AHB＝∠ABC＝∠CNB＝90°，∴∠ABH+∠CBN＝90°，∠CBN+∠BCN＝90°，∴∠ABH＝∠BCN，∵AB＝AC，∴△ABH≌△BCN（AAS），∴BH＝CN＝5，∴AB＝AH2+BH2（2）∵l2∥l3，∴∠BAD＝∠ABH，∴sin∠BAD＝sin∠ABH＝AHAB＝334＝【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造全等三角形，是解题的关键．【变式7-3】（2022·浙江杭州·校联考一模）老师在上课时，在黑板上写了一道题：“如图，ABCD是正方形，点E在BC上，DF⊥AE于F，请问图中是否存在一组全等三角形？”小杰同学经过思考发现：△ADF≌△EAB．理由如下：因为ABCD是正方形（已知）所以∠B＝90°且AD＝AB和AD∥BC又因为DF⊥AE（已知）即∠DFA＝90°（垂直的意义）所以∠DFA＝∠B（等量代换）又AD∥BC所以∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等）在△ADF和△EAB中∠DFA=∠B所以△ADF≌△EAB（AAS）小胖却说这题是错误的，这两个三角形根本不全等．你知道小杰的错误原因是什么吗？我们再添加一条线段，就能找到与△ADF全等的三角形，请能说出此线段的做法吗？并说明理由．【答案】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了；线段为作BH⊥AE于点H，证明见详解；【分析】根据小杰的证明方法，可以发现，在证明两个三角形全等时，出现了问题，然后说出出错的原因即可，然后添加合适的辅助线段，说明与△ADF全等的三角形成立的理由即可解答本题；【详解】小杰错误的原因是AD和AB不是对应边，在证明两个三角形全等时，误以为对应边了，作BH⊥AE于H，则△ADF≌△BAH；∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BA，∠DAB=90°，∴∠HAB+∠FAD=90°，∵DF⊥AE，BH⊥AE，∴∠DFA=∠AHB=90°，∴∠HAB+∠HBA=90°，∴∠FAD=∠HBA，在△ADF和△BAH中{∠DFA=∠AHB∴△ADF≌△BAH(AAS)；【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.【考点8利用旋转模型证明全等三角形】【例8】（2022·山东日照·校考二模）如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5．将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论错误的是（

）A．点O与O′的距离为4 B．∠AOB=150°C．S四边形AOBO′=6+43 D．【答案】D【分析】证明△BO′A≌△BOC，得△OBO′是等边三角形，根据勾股定理逆定理可得【详解】解：如图1，连接OO′，由题意可知，∠1+∠2＝∠3+∠2＝60°，∴∠1＝∠3，又∵OB＝O′B，AB＝BC，∴△BO′A≌又∵∠OBO′＝60°，∴△OBO′是等边三角形，∴OO′＝OB＝4．故A正确；∵△BO′A≌△BOC，∴O′A＝5．在△AOO′中，三边长为3，4，5，这是一组勾股数，∴△AOO′是直角三角形，∠AOO′＝90°，∴∠AOB＝∠AOO′+∠BOO′＝90°+60°＝150°，故B正确；S四边形AOBO′＝S△AOO′+S△OBO′═12×3×4+34×42＝6+4故C正确；如图2将△AOC绕A点顺时针旋转60°到△ABO'位置，同理可得S△AOC故D错误；故选D．【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解本题的关键．【变式8-1】（2022·福建南平·一模）如图，△ABC中，∠A＝30°，∠ACB＝90°，BC＝2，D是AB上的动点，将线段CD绕点C逆时针旋转90°，得到线段CE，连接BE．（1）点C到AB的最短距离是_____；（2）BE的最小值是_____．【答案】

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3−1##【分析】（1）过点C作CK⊥AB于K，根据Rt△CBK中BC＝2，∠ABC＝60°，得到CK＝BC•sin60°＝3，点C到AB的最短距离是3．（2）将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．根据∠DCE＝∠KCH＝90°，得到∠DCK＝∠ECH，结合CD＝CE，CK＝CH，推出△CKD≌△CHE（SAS），得到∠CKD＝∠H＝90°，得到∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，推出四边形CKJH是矩形，结合CK＝CH，得到四边形CKJH是正方形，根据BK＝BC•cos60°＝1，KJ＝CK＝3，得到BJ＝3﹣1，根据BE≥BJ，得到BE的最小值为3﹣1．【详解】解：（1）过点C作CK⊥AB于K，在Rt△CBK中，∵BC＝2，∠ABC＝60°，∴CK＝BC•sin60°＝3，∴点C到AB的最短距离是3．故答案为：3．（2）如图，将线段CK绕点C逆时针旋转90°得到CH，连接HE，延长HE交AB的延长线于J．∵∠DCE＝∠KCH＝90°，∴∠DCK＝∠ECH，∵CD＝CE，CK＝CH，∴△CKD≌△CHE（SAS），∴∠CKD＝∠H＝90°，∵∠CKJ＝∠KCH＝∠H＝90°，∴四边形CKJH是矩形，∵CK＝CH，∴四边形CKJH是正方形，∴点E在直线HJ上运动，当点E与J重合时，BE的值最小，∵BK＝BC•cos60°＝1，∴KJ＝CK＝3，∴BJ＝KJ﹣BK＝3﹣1，∴BE的最小值为3﹣1，故答案为：3﹣1．【点睛】本题考查了含30°角的直角三角形性质和旋转的性质，正方形是判断和性质，解决问题的关键是熟练掌握含30°角的直角三角形的三边关系和旋转图形全等的性质，判断一对邻边相等的矩形正方形，正方形的四边相等四角都相等是直角的性质，垂线段最短的性质．【变式8-2】（2022·上海·校联考模拟预测）如图，在直角坐标系中，B（0，3）、C（4，0）、D（0，2），AB与CD交于点P，若∠APC=45°，则A点坐标为______.【答案】（1，0）【分析】将DC绕点D逆时针旋转90°得到DQ，则Q（2，【详解】解：如图，将DC绕点D逆时针旋转90°得到DQ，∵C（4，则Q（设直线CQ的解析式为y=kx+b，将C（4，0=4k+b6=2k+b解得k=−3b=12∴直线CQ的解析式为y=−3x+12．∵∠APC=45°，由旋转的性质得到∠APC=∠DCQ=45°，∴AB∥CQ．∵B（∴直线AB的解析式为y=−3x+3，∴−3x+3=0，∴x=1，∴点A（故答案为：（1【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，坐标与图形性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．【变式8-3】（2022·湖北武汉·模拟预测）如图，将线段AB绕点A逆时针旋转α0°<α<180°得到AC，连接BC，在线段BC上取一点D，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转12α得到AE(1)如图1，若tanB=①当BD>CD，且∠CAE=20°时，求∠DAC的度数；②试探究线段AD与CE之间满足的数量关系，并说明理由；(2)如图2，若tanB=34，当CE⊥BC【答案】(1)①∠DAC=40°；②AD=CE，理由见解析(2)5【分析】（1）①由tanB=33得∠B=∠ACB=30°，所以∠BAC=α=120°，∠DAE=12α=60°，进而可求解；②过A作AF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥AC于G，可证△AGE≌△ADF，得AG=AF，由tanB=AFBF=33，设AF=3a，则BF=3a，AC=AB=23（2）过点A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，由tanB=34=AMBM，设AM=3b，则BM=CM=4b，AC=AB=5b，由（1）可知△AEN≌△ADM，AN=AM=3b，CN=AC-由CE⊥BC，AM⊥BC，得CE∥AM，所以∠ECN=∠CAM，根据tan∠CAM=CMAM可得DM=EN=CN∙tan∠ECN=2b∙43==83b，根据勾股定理求得CE【详解】（1）解：①由旋转的性质可知，AB=AC，∵tanB=∴∠B=∠ACB=30°，∴∠BAC=α=120°，∴∠DAE=12又∵∠CAE=20°，∴∠CAD=40°；②AD=CE，理由是：如图，过A作AF⊥BC交BC于F，过E作EG⊥AC于G，∵tanB=∴∠B=∠BCA=30°，∵AF⊥BC，AB=AC，∴∠CAF=12由题意得，旋转角∠DAE=60°，AD=AE，∠DAF=∠CAF-∠CAD=60°-∠CAD，∠EAG=∠DAE-∠CAD=60°-∠CAD，∴∠DAF=∠EAG，∵∠AFD=∠AGE=90°，∴△AGE≌△ADF（AAS），∴AG=AF，设AF=3a，则AF∴BF=3a，∴AC=AB=AF∴CG=AC-AG=23∴G为AC的中点，又∵EG⊥AC，∴CE=AE=AD．（2）解：过点A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥AC于N，∵tanB=34设AM=3b，则BM=CM=4b，∴AC=AB=AM由（1）同理可证△AEN≌△ADM，∴AN=AM=3b，∴CN=AC-AN=2b，∵CE⊥BC，AM⊥BC，∴CE∥AM，∴∠ECN=∠CAM，∵tan∠CAM=CMAM∴DM=EN=CN∙tan∠ECN=2b∙43=8∴CE=CN又∵CD=CM-DM=4b-83∴CECD【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，解题的关键是添加辅助线构造全等三角形．【考点9连接两点作辅助线证明全等三角形】【例9】（2022·河北·模拟预测）已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】(1)先连接AD，构造全等三角形：△BED和△AFD．AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线，所以有∠CAD=∠BAD=45°，AD=BD=CD，而∠B=∠C=45°，所以∠B=∠DAF，再加上BE=AF，AD=BD，可证出：△BED≌△AFD，从而得出DE=DF，∠BDE=∠ADF，从而得出∠EDF=90°，即△DEF是等腰直角三角形；(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解：（1）连结AD,∵AB=AC,∠BAC=90°

,D为BC中点,∴AD⊥BC,BD=AD,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF,∴△BDE≌△ADF（SAS）,∴ED=FD,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.（2）连结AD

∵AB=AC,∠BAC=90°,D为BC中点,∴AD=BD,AD⊥BC,∴∠DAC=∠ABD=45°,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE,∴△DAF≌△DBE（SAS）,∴FD=ED,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=