专题05分堆问题(原卷版+解析)

专题05分堆问题例1．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种例2．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（

）A．18 B．27 C．36 D．48例3．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．156种 B．168种 C．172种 D．180种例4．现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（

）．A．56 B．50 C．62 D．36例5．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种例6．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（

）A．16种 B．36种 C．48种 D．60种例7．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（

）A．65 B．125 C．780 D．1560例8．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于202年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（

）A． B． C． D．例9．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（

）A．91 B．101 C．111 D．121例10．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（

）A．20种 B．14种 C．12种 D．10种例11．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（

）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种例12．北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．90种 B．125种 C．150种 D．243种例13．要安排名学生到个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种例14．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（

）A．种 B．种C．种 D．种例15．今日“小满”是二十四节气之一，古语言“小满小满，麦粒满满”，我县地区的冬小麦开始灌浆，并逐渐进入成熟收割的季节.为消除秸秆焚烧隐患，切实保护生态环境，县委县政府将其中4名干部派遣到3个行政村去落实工作，每名干部只去1个村，每个村至少安排1名干部，则不同的安排方法共有（

）种.A．6 B．12 C．36 D．72例16．2019年实验中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4个，另两堆每堆2个，一共有多少种不同分堆方法（

）A． B．C． D．例17．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）.例18．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）例19．有本不同的书.(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？(2)若堆依次为本，本，本，本，有几种分法？(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？例20．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？例21．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？例22．(1)个不同的小球放入编号为的个盒子中，一共有多少种不同的放法？(2)个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有多少种？例23．将封信全部投入个邮筒：(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？例24．已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？例25．（1）本不同的书，分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的选法？（2）本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的选法？例26．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．例27．本4本不同的书，下列情况各有多少种不同的分法？(1)分成2堆，一堆1本，一堆3本；(2)分成2堆，每堆2本.例28．现有9本不同的书，求下列情况下各有多少种不同的分法．（1）分成3组，一组4本，一组3本，一组2本．（2）分给3人，一人4本，一人3本，一人2本．（3）平均分成3组．例29．按下列要求把12个人分成3个小组,各有多少种不同的分法?(1)各组人数分别为2,4,6人;(2)平均分成3个小组;(3)平均分成3个小组,进入3个不同车间.专题05分堆问题例1．现有4本不同的书全部分给甲、乙、丙3人，每人至少一本，则不同的分法有（

）A．12种 B．24种 C．36种 D．48种答案:C解析：分析：先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列求解.【详解】先把4本书按2，1，1分为3组，再全排列，则有种分法，故选：C例2．2022年北京冬奥会速度滑冰､花样滑冰､冰球三个项目竞赛中，甲，乙，丙，丁，戊五名同学各自选择一个项目开展志自愿者服务，则甲和乙均选择同一个项目，且三个项目都有人参加的不同方案总数是（

）A．18 B．27 C．36 D．48答案:C解析：分析：由题意，把甲和乙看作一个元素，然后先分组再分配，即可求解．【详解】解：因为甲和乙选择同一个项目，所以把甲和乙看作一个元素与丙，丁，戊分配到三个项目，因为三个项目都有参加，所以有一个项目是2个元素，所以共有种方案.故选：C.例3．“烂漫的山花中，我们发现你.自然击你以风雪，你报之以歌唱.命运置你于危崖，你馈人间以芬芳.不惧碾作尘，无意苦争春，以怒放的生命，向世界表达倔强.你是岸畔的桂，雪中的梅”.这是给感动中国十大人物之一的张桂梅老师的颁奖词，她用实际行动奉献社会，不求回报，只愿孩子们走出大山.受张桂梅老师的影响，有大量志愿者到乡村学校支教，现有6名志愿者要到4个学校参加支教活动，要求甲､乙两个学校各安排一个人，剩下两个学校各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（

）A．156种 B．168种 C．172种 D．180种答案:A解析：分析：利用间接法来求得不同的安排方案的数量.【详解】根据题意，设剩下的2个学校为丙学校和丁学校，先计算小李和小王不受限制的排法数目：先在6位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的5个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后将剩下的4个志愿者平均分成2组，全排列后安排到剩下的2个学校，有种情况，则小李和小王不受限制的排法有6×5×6=180种，若小李和小王在一起，则两人去丙学校或丁学校，有2种情况，在剩下的4位志愿者中任选1个，安排到甲学校，有种情况，再在剩下的3个志愿者中任选1个，安排到乙学校，有种情况，最后2个安排到剩下的学校，有1种情况，则小李和小王在一起的排法有2×4×3=24种.所以小李和小王不在一起排法有180-24=156种.故选：A例4．现将5名志愿者全部分派到A、B、C三个居民小区参加抗击新冠病毒知识宣传，要求每个小区至少1人，志愿者甲安排到A小区，则不同的安排方法种数为（

）．A．56 B．50 C．62 D．36答案:B解析：分析：三个居民小区的志愿者人数有（1、1、3）和（1、2、2）两种情况，再对小区安排的人数分类讨论，按照分类加法与分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意三个居民小区的志愿者人数有（1、1、3）和（1、2、2）两种情况，对于（1、1、3），①当小区安排3人，则有种方法；②当小区安排1人，则有种方法；对于（1、2、2），①当小区安排1人，则有种方法，②当小区安排2人，则有种方法，综上，一共有种方法；故选：B例5．为了贯彻落实中央新疆工作座谈会和全国对口支援新疆工作会议精神，促进边疆少数民族地区教育事业发展，我市教育系统选派了三位男教师和两位女教师支援新疆，这五名教师被分派到三个不同地方对口支援，每位教师只去一个地方，每个地方至少去一人，其中两位女教师分派到同一个地方，则不同的分派方法有（

）A．18种 B．36种 C．68种 D．84种答案:B解析：分析：按照两位女教师分派到同一个地方时，男老师也分配到该地方的人数为标准进行分类讨论即可【详解】根据题意，分派方案可分为两种情况：若两位女教师分配到同一个地方，且该地方没有男老师，则有：种方法；若两位女教师分配到同一个地方，且该地方有一位男老师，则有：种方法；故一共有：种分派方法故选：例6．北京冬奥会将于2022年2月4日正式开幕，4名大学生将参加冬奥会志愿者服务，他们被随机安排到3个场馆工作，每人只能去一个场馆，每个场馆至少一人，则不同的安排方案有（

）A．16种 B．36种 C．48种 D．60种答案:B解析：分析：将4人分成3组，再分配到3个场馆，进而求得答案.【详解】先将4人分成3组，然后再分配到3个场馆，一共有种不同的方案.故选：B.例7．国庆长假过后学生返校，某学校为了做好防疫工作组织了6个志愿服务小组，分配到4个大门进行行李搬运志愿服务，若每个大门至少分配1个志愿服务小组，每个志愿服务小组只能在1个大门进行服务，则不同的分配方法种数为（

）A．65 B．125 C．780 D．1560答案:D解析：分析：6个人先分成4组，再进行排列，最后用乘法原理得解.【详解】6人分成4组有两种方案：“”、“”共有种方法，4组分配到4个大门有种方法；根据乘法原理不同的分配方法数为：.故选:D.例8．第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，计划于202年2月4日（星期五）开幕，2月20日（星期日）闭幕．北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项，其中七个大项分别为：滑雪、滑冰，雪车、雪撬，冰球、冰壶，冬季两项（越野滑雪射击比赛），现组委会将七个大项的门票各一张分给甲、乙，丙三所学校，如果要求一个学校4张，一个学校2张，一个学校1张，则共有不同的分法数为（

）A． B． C． D．答案:D解析：分析：分两步，第一步，将7张票分成3组，第二步，把3组票分给3个学校.【详解】先将7张票分成3组，张数为4、2、1，有种分法再把3组票分给3个学校，有种分法，故共有不同的分法数为故选：D例9．2021年春节期间电影《你好，李焕英》因“搞笑幽默不庸俗，真心实意不煽情”深受热棒，某电影院指派5名工作人员进行电影调查问卷，每个工作人员从编号为1，2，3，4的4个影厅选一个，可以多个工作人员进入同一个影厅，若所有5名工作人员的影厅编号之和恰为10，则不同的指派方法种数为（

）A．91 B．101 C．111 D．121答案:B解析：分析：先列出所有可能的组合，再分别计算.【详解】（1）若编号为，则有种，（2）若编号为，则有种，（3）若编号为，则有种，（4）若编号为，则有种，（5）若编号为，则有1种，所以不同的指派方法种数为种.故选：B.例10．假期里，有4名同学去社区做文明实践活动，根据需要，要安排这4名同学去甲、乙两个文明实践站，每个实践站至少去1名同学，则不同的安排方法共有（

）A．20种 B．14种 C．12种 D．10种答案:B解析：分析：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，共有种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站有种，最后结合乘法原理求解即可.【详解】解：先将4名同学分为两组，两组人数为可能为1,3人或2,2人，当两组人数为1,3时，有种方案，当两组人数为2,2时，有种方案，所以将4名同学分为两组，共有种方案，再将两组同学分配到两个文明实践站，有种，所以根据乘法原理得共有种不同的方法.故选：B例11．将5名实习老师安排到高一年级的3个班实习，每班至少1人、至多2人，则不同的安排方法有（

）A．90种 B．120种 C．150种 D．180种答案:A解析：分析：由题设知分组方式为人数分别为{1,2,2}，应用排列组合数、部分平均分组求不同的安排方法数.【详解】由题设，将老师按各组人数{1,2,2}分组，∴不同的安排方法有种.故选：A.例12．北京2022年冬奥会即将开幕，北京某大学5名同学报名到甲､乙､丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．90种 B．125种 C．150种 D．243种答案:C解析：分析：根据题意可先分组，分组可分3,1,1或2,2,1，分组后再分配即可.【详解】把5名同学分为3组，各组人数可为3，1，1或2，2，1.各组人数为3，1，l时，有种；各组人数为2，2，l时，有种;故不同的安排方法共有种，故选：C例13．要安排名学生到个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（

）A．种 B．种 C．种 D．种答案:C解析：分析：先将名学生分为组，再将组学生分配到个乡村，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】先把名学生分成三组，三组人数分别为、、，再分配给个乡村，故方法数为.故选：C.例14．为调查新冠疫苗接种情况，需从名志愿者中选取人到个社区进行走访调查，每个社区人，若甲乙两人至少有一人入选，则不同的选派方法有（

）A．种 B．种C．种 D．种答案:D解析：分析：分①甲乙两人去一人，②甲乙两人都去两种情况讨论，再按照分类、分步计数原理计算可得；【详解】解：①甲乙两人去一人，则有种；②甲乙两人都去，则有种，综上一共有种，故选：D例15．今日“小满”是二十四节气之一，古语言“小满小满，麦粒满满”，我县地区的冬小麦开始灌浆，并逐渐进入成熟收割的季节.为消除秸秆焚烧隐患，切实保护生态环境，县委县政府将其中4名干部派遣到3个行政村去落实工作，每名干部只去1个村，每个村至少安排1名干部，则不同的安排方法共有（

）种.A．6 B．12 C．36 D．72答案:C解析：分析：利用排列组合先分组再排列的方法求解即可.【详解】首先将4名干部分成3组，共有种方法，再将3个组分配到3个村共有种方法，所以共有种方法.故选：C例16．2019年实验中学要给三个班级补发8套教具，先将其分成3堆，其中一堆4个，另两堆每堆2个，一共有多少种不同分堆方法（

）A． B．C． D．答案:C解析：分析：利用均分和不均分求分组方法种数.【详解】由条件可知，8套教具，分成4,2,2，共有种分法.故选：C例17．北京冬奥会于2022年2月4日开幕，北京某大学5名同学报名到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，每个场馆至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有______种（用数字作答）.答案:解析：分析：先将个人分组，然后安排到个场馆，由此计算出不同的安排方法数.【详解】若个人分为，则安排方法数有种，若个人分为，则安排方法数有种，故不同的方法数有种.故答案为：例18．将4名志愿者分配到3个不同的北京冬奥场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为________．（用数字作答）答案:36解析：分析：先将4人分成2、1、1三组，再安排给3个不同的场馆，由分步乘法计数原理可得.【详解】将4人分到3个不同的体育场馆，要求每个场馆至少分配1人，则必须且只能有1个场馆分得2人，其余的2个场馆各1人，可先将4人分为2、1、1的三组，有种分组方法，再将分好的3组对应3个场馆，有种方法，则共有种分配方案.故答案为：36例19．有本不同的书.(1)分给甲、乙、丙、丁四人，每人本，有几种分法？(2)若堆依次为本，本，本，本，有几种分法？(3)若平均分成堆，有几种方法（只要求列出算式）？答案:(1)；(2)；(3).解析：分析：（1）根据分步计数原理，分步进行分配，即可得到结果；（2）根据分步计数原理，分步进行分配，即可得到结果；（3）根据平均分堆的计算公式，直接计算即可.(1)根据题意，分步分析：①在本书中取出本，分给甲，有种取法，②在剩下的本书中取出本，分给乙，有种取法，③在剩下的本书中取出本，分给丙，有种取法，④将最后的本书交给丁，有种情况，则一共有种分法.(2)根据题意，分步分析：①在本书中取出本，作为第一堆，有种取法，②在剩下的本书中取出本，作为第二堆，有种取法，③在剩下的本书中取出本，作为第三堆，剩下的本作为第四堆，有种分法；则一共有种分法；(3)根据题意，将本不同的书，平均分成堆，每堆有本，则有种不同的分法.例20．设有99本不同的书（用排列数、组合数作答）.(1)分给甲、乙、丙3人，甲得96本，乙得2本，丙得1本，共有多少种不同的分法？(2)分给甲、乙、丙3人，甲得93本，乙、丙各得3本，共有多少种不同的分法？(3)平均分给甲、乙、丙3人，共有多少种不同的分法？(4)分给甲、乙、丙3人，一人得96本，一人得2本，一人得1本，共有多少种不同的分法？(5)分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，共有多少种不同的分法？(6)分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，共有多少种不同的分法？(7)平均分成3份，共有多少种不同的分法？(8)分成3份，一份93本，另两份各3本，共有多少种不同的分法？答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)解析：分析：（1）甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本有方法1种，列出式子即可；（2）和（1）类似，定向分配，分好组即可，不同的分法共有种；（3）先均分为3份，再将3份分配给3个人，不同的分法共有种；（4）先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，再列出式子即可；（5）99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，列出式子即可；（6）99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，列出式子即可；（7）99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，列出式子即可；（8）99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，根据分析列出式子即可.(1)甲得96本，有方法种；乙得2本，有方法种；丙得1本.有方法1种，不同的分法共有（种）；(2)与（1）类似，不同的分法共有（种）；(3)先平均分为3组，种分组方式，再分配给3个人，得到不同的分法共有种；(4)先把99本不同的书分成3份，一份96本，一份2本，一份1本；再将甲、乙、丙3人全排列，这是因为3人中谁都有得到96本、2本、1本的可能，不同的分法共有（种）；(5)99本不同的书，分给甲、乙、丙3人，一人得93本，另两人各得3本，3人中，谁都有得到93本的可能，不同的分法共有（种）.(6)99本不同的书，分成3份，一份96本，一份2本，一份1本，3份的数量互不相同，不同的分法共有（种）；(7)99本不同的书，平均分成3份，每份33本.本问题是典型的平均分组问题，要排除重复，不同的分法共有（种）(8)99本不同的书，分成3份，一份93本，另两份各3本，两份3本的有重复，不同的分法共有（种）例21．（1）4本不同的书平均分成2堆，有多少种不同的分法？平均分给2个人有多少种不同的分法？（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有多少种不同的分法？分给2个人，每人至少1本，有多少种不同的分法？答案:（1），；（2），.解析：分析：（1）将4本不同的书平均分成2堆即可；若平均分给2个人，先将4本不同的书平均分成2堆再分配给2个人，由分步乘法计数原理即可求解；（2）有2种情况：1本和3本，各2本，求两种情况方法之和即可；先分组再分配给2个人，由分步乘法计数原理即可求解.【详解】（1）4本不同的书平均分成2堆，有种分法；4本不同的书平均分给2个人，先分组有种分法，将分好的组分配给2个人，有种情况，由分步乘法计数原理可得：有种不同的分法.（2）4本不同的书分成2堆，每堆至少1本，有2种情况：1本和3本，各2本，因此共有种分法，将分好的组分配给2个人，有种分法，由分步乘法计数原理可得：有种不同的分法.例22．(1)个不同的小球放入编号为的个盒子中，一共有多少种不同的放法？(2)个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒的放法共有多少种？答案:(1)(2)解析：分析：（1）、由分步计数原理计算即可；（2）、根据题意，先将个小球分为组，在个盒子中任选个，放入个小球，由分步计数原理计算可得答案.(1)根据题意，个不同的小球放入编号为的个盒子中，每个小球均有种放法，则个小球有种不同的放法；(2)个不同的小球放入编号为的个盒子中，恰有个空盒,说明恰有一个盒子有个小球，①、从个小球分为组，有种分组方法；②、在个盒子中任选个，放入组小球，有种情况；则有种不同的放法.例23．将封信全部投入个邮筒：(1)不加任何限制，有多少种不同的投法？(2)每个邮筒至少投一封信，有多少种不同的投法？答案:(1)种(2)种解析：分析：（1）利用分步乘法计数原理可得结果；（2）将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，利用组合计数原理结合分步乘法计数原理可得结果.(1)解：不加任何限制，每封信均有种投法，由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.(2)解：将封信分为三组，每组的信的数量分别为、、，共有种分组方法，由分步乘法计数原理可知，不同的投法种数为种.例24．已知有6本不同的书.（1）分成三堆，每堆2本，有多少种不同的分堆方法？（2）分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？（3）分给甲､乙､丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的分配方法？答案:（1）；（2）；（3）.解析：分析：（1）通过组合的定义，按照平均分组的原则方法即可得到答案；（2）通过组合的定义，按照不平均分组的原则即可得到答案；（3）在（2）的基础上进行全排列即可.【详解】（1）6本书平均分成3堆，不同的分堆方法的种数为.（2）从6本书中，先取1本作为一堆，再从剩下的5本中取2本作为一堆，最后3本作为一堆，不同的分堆方法的种数为（3）在（2）的分堆中，甲､乙､丙三人任取一堆，不同的分配方法的种数为.例25．（1）本不同的书，分为三份，一份1本，一份2本，一份3本，有多少种不同的选法？（2）本不同的书，分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本，一人3本，有多少种不同的选法？答案:（1）；（2）.解析：分析：（1）分三步，先选本作为一组，再从余下的本中选本作为第二组，最后余下的本全选作为第三组，由分步乘法计数原理即可求解；（2）在（1）分组的基础上全排列即可求解；【详解】（1）根据题意分三步：先选1本有种选法；再从余下的本中选本有种选法；最后余下本全选有种方法，由分步乘法计数原理故可知：共有种；（2）由于甲、乙、丙是不同的三人，在（1）分组的基础上将组全排列，共有种.例26．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？（列式并用数字作答）（1）5个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少放一个小球；（2）6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（3）6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；（4）6个不同的小球放入4个不同的盒子，恰有1个空盒．答案:（1）种（2）种（3）种（4）种解析：分析：（1）从5个不同的小球中任取个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排可得结果；（2）根据四个盒子中小球的个数分成两类计数再相加可得结果；（3）转化为个相同的元素填入四个不同的空位，分两类相加可得结果；（4）从4个不同的盒子中选一个盒子空着，有种，再根据另外三个盒子中元素个数分成三类计数可得结果.【详解】（1）从5个不同的小球中任取个小球当成一个元素，连同其余3个元素作全排，共有种；