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文档简介
上海市奉贤区曙光中学高三下第二次模拟考试新高考数学试题注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.盒中装有形状、大小完全相同的5张“刮刮卡”,其中只有2张“刮刮卡”有奖,现甲从盒中随机取出2张,则至少有一张有奖的概率为()A. B. C. D.2.由实数组成的等比数列{an}的前n项和为Sn,则“a1>0”是“S9>S8”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.已知双曲线,点是直线上任意一点,若圆与双曲线的右支没有公共点,则双曲线的离心率取值范围是().A. B. C. D.4.已知数列满足:,则()A.16 B.25 C.28 D.335.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为()A. B. C. D.6.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.7.已知是虚数单位,若,则()A. B.2 C. D.38.设等差数列的前项和为,若,则()A.23 B.25 C.28 D.299.某三棱锥的三视图如图所示,网格纸上小正方形的边长为,则该三棱锥外接球的表面积为()A. B. C. D.10.已知,满足条件(为常数),若目标函数的最大值为9,则()A. B. C. D.11.下图为一个正四面体的侧面展开图,为的中点,则在原正四面体中,直线与直线所成角的余弦值为()A. B.C. D.12.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-32二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在疫情防控过程中,某医院一次性收治患者127人.在医护人员的精心治疗下,第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.如果从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,那么第19天治愈出院患者的人数为_______________,第_______________天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.14.函数的图象在处的切线方程为__________.15.(5分)已知为实数,向量,,且,则____________.16.设的内角的对边分别为,,.若,,,则_____________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,.(1)求函数在处的切线方程;(2)当时,证明:对任意恒成立.18.(12分)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)写出曲线的极坐标方程;(2)点是曲线上的一点,试判断点与曲线的位置关系.19.(12分)如图,在斜三棱柱中,侧面与侧面都是菱形,,.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若,求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.(12分)已知椭圆:(),四点,,,中恰有三点在椭圆上.(1)求椭圆的方程;(2)设椭圆的左右顶点分别为.是椭圆上异于的动点,求的正切的最大值.21.(12分)某公园有一块边长为3百米的正三角形空地,拟将它分割成面积相等的三个区域,用来种植三种花卉.方案是:先建造一条直道将分成面积之比为的两部分(点D,E分别在边,上);再取的中点M,建造直道(如图).设,,(单位:百米).(1)分别求,关于x的函数关系式;(2)试确定点D的位置,使两条直道的长度之和最小,并求出最小值.22.(10分)已知向量,函数.(1)求函数的最小正周期及单调递增区间;(2)在中,三内角的对边分别为,已知函数的图像经过点,成等差数列,且,求a的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
先计算出总的基本事件的个数,再计算出两张都没获奖的个数,根据古典概型的概率,求出两张都没有奖的概率,由对立事件的概率关系,即可求解.【详解】从5张“刮刮卡”中随机取出2张,共有种情况,2张均没有奖的情况有(种),故所求概率为.故选:C.【点睛】本题考查古典概型的概率、对立事件的概率关系,意在考查数学建模、数学计算能力,属于基础题.2、C【解析】
根据等比数列的性质以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】解:若{an}是等比数列,则,
若,则,即成立,
若成立,则,即,
故“”是“”的充要条件,
故选:C.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的通项公式是解决本题的关键.3、B【解析】
先求出双曲线的渐近线方程,可得则直线与直线的距离,根据圆与双曲线的右支没有公共点,可得,解得即可.【详解】由题意,双曲线的一条渐近线方程为,即,∵是直线上任意一点,则直线与直线的距离,∵圆与双曲线的右支没有公共点,则,∴,即,又故的取值范围为,故选:B.【点睛】本题主要考查了直线和双曲线的位置关系,以及两平行线间的距离公式,其中解答中根据圆与双曲线的右支没有公共点得出是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.4、C【解析】
依次递推求出得解.【详解】n=1时,,n=2时,,n=3时,,n=4时,,n=5时,.故选:C【点睛】本题主要考查递推公式的应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5、D【解析】
试题分析:如图所示,截去部分是正方体的一个角,其体积是正方体体积的,剩余部分体积是正方体体积的,所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为,故选D.考点:本题主要考查三视图及几何体体积的计算.6、C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.7、A【解析】
直接将两边同时乘以求出复数,再求其模即可.【详解】解:将两边同时乘以,得故选:A【点睛】考查复数的运算及其模的求法,是基础题.8、D【解析】
由可求,再求公差,再求解即可.【详解】解:是等差数列,又,公差为,,故选:D【点睛】考查等差数列的有关性质、运算求解能力和推理论证能力,是基础题.9、C【解析】
作出三棱锥的实物图,然后补成直四棱锥,且底面为矩形,可得知三棱锥的外接球和直四棱锥的外接球为同一个球,然后计算出矩形的外接圆直径,利用公式可计算出外接球的直径,再利用球体的表面积公式即可得出该三棱锥的外接球的表面积.【详解】三棱锥的实物图如下图所示:将其补成直四棱锥,底面,可知四边形为矩形,且,.矩形的外接圆直径,且.所以,三棱锥外接球的直径为,因此,该三棱锥的外接球的表面积为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥外接球的表面积,解题时要结合三视图作出三棱锥的实物图,并分析三棱锥的结构,选择合适的模型进行计算,考查推理能力与计算能力,属于中等题.10、B【解析】
由目标函数的最大值为9,我们可以画出满足条件件为常数)的可行域,根据目标函数的解析式形式,分析取得最优解的点的坐标,然后根据分析列出一个含参数的方程组,消参后即可得到的取值.【详解】画出,满足的为常数)可行域如下图:由于目标函数的最大值为9,可得直线与直线的交点,使目标函数取得最大值,将,代入得:.故选:.【点睛】如果约束条件中含有参数,我们可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域,分析取得最优解是哪两条直线的交点,然后得到一个含有参数的方程(组,代入另一条直线方程,消去,后,即可求出参数的值.11、C【解析】
将正四面体的展开图还原为空间几何体,三点重合,记作,取中点,连接,即为与直线所成的角,表示出三角形的三条边长,用余弦定理即可求得.【详解】将展开的正四面体折叠,可得原正四面体如下图所示,其中三点重合,记作:则为中点,取中点,连接,设正四面体的棱长均为,由中位线定理可得且,所以即为与直线所成的角,,由余弦定理可得,所以直线与直线所成角的余弦值为,故选:C.【点睛】本题考查了空间几何体中异面直线的夹角,将展开图折叠成空间几何体,余弦定理解三角形的应用,属于中档题.12、A【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.【点睛】本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、161【解析】
由题意可知出院人数构成一个首项为1,公比为2的等比数列,由此可求结果.【详解】某医院一次性收治患者127人.第15天开始有患者治愈出院,并且恰有其中的1名患者治愈出院.且从第16天开始,每天出院的人数是前一天出院人数的2倍,从第15天开始,每天出院人数构成以1为首项,2为公比的等比数列,则第19天治愈出院患者的人数为,,解得,第天该医院本次收治的所有患者能全部治愈出院.故答案为:16,1.【点睛】本题主要考查了等比数列在实际问题中的应用,考查等比数列的性质等基础知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.14、【解析】
利用导数的几何意义,对求导后在计算在处导函数的值,再利用点斜式列出方程化简即可.【详解】,则切线的斜率为.又,所以函数的图象在处的切线方程为,即.故答案为:【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解函数在某点处的切线方程问题,需要注意求导法则与计算,属于基础题.15、5【解析】
由,,且,得,解得,则,则.16、或【解析】试题分析:由,则可运用同角三角函数的平方关系:,已知两边及其对角,求角.用正弦定理;,则;可得.考点:运用正弦定理解三角形.(注意多解的情况判断)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)见解析【解析】
(1)因为,可得,即可求得答案;(2)要证对任意恒成立,即证对任意恒成立.设,,当时,,即可求得答案.【详解】(1),,,函数在处的切线方程为.(2)要证对任意恒成立.即证对任意恒成立.设,,当时,,,令,解得,当时,,函数在上单调递减;当时,,函数在上单调递增.,,,当时,对任意恒成立,即当时,对任意恒成立.【点睛】本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题,解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.18、(1)(2)点在曲线外.【解析】
(1)先消参化曲线的参数方程为普通方程,再化为极坐标方程;(2)由点是曲线上的一点,利用的范围判断的范围,即可判断位置关系.【详解】(1)由曲线的参数方程为可得曲线的普通方程为,则曲线的极坐标方程为,即(2)由题,点是曲线上的一点,因为,所以,即,所以点在曲线外.【点睛】本题考查参数方程与普通方程的转化,考查直角坐标方程与极坐标方程的转化,考查点与圆的位置关系.19、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ).【解析】试题分析:(1)取中点,连,,由等边三角形三边合一可知,,即证.(2)以,,为正方向建立空间直角坐标系,由向量法可求得平面与平面所成的锐二面角的余弦值.试题解析:(Ⅰ)证明:连,,则和皆为正三角形.取中点,连,,则,,则平面,则(Ⅱ)由(Ⅰ)知,,又,所以.如图所示,分别以,,为正方向建立空间直角坐标系,则,,,设平面的法向量为,因为,,所以取面的法向量取,则,平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20、(1);(2)【解析】
(1)分析可得必在椭圆上,不在椭圆上,代入即得解;(2)设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为,可得.则,,利用均值不等式,即得解.【详解】(1)因为关于轴对称,所以必在椭圆上,∴不在椭圆上∴,,即.(2)设椭圆上的点(),设直线PA,PB的倾斜角分别为,斜率为又∴.,,(不妨设).故当且仅当,即时等号成立【点睛】本题考查了直线和椭圆综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于较难题.21、(1),.,.(2)当百米时,两条直道的长度之和取得最小值百米.【解析】
(1)由,可解得.方法一:再在中,利用余弦定理,可得关于x的函数关系式;在和中,利用余弦定理,可得关于x的函数关系式.方法二:在中,可得,则有,化简整理即得;同理,化简整理即得.(2)由(1)和基本不等式,计算即得.【详解】解:(1),是边长为3的等边三角形,又,,.由,得.法1:在中,由余弦定理,得.故直道长度关于x的函数关系式为,.在和中,由余弦定理,得①②因为M为的中点,所以.由①②,得,所以,所以.所以,直道长度关于x的函数关系式为,.法2:因为在中,,所以.所以,直道长度关于x的函数关系式为,.在中,因为M为
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