2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）立体几何（五大题型原卷版）

2024年高考数学二模试题分类汇编（广东专用）专题07立体几何（五大题型原卷

版）

专题07立体几何

题型oi几何体表面积和（柳

1.（2024.广东清远•二模）如图，这是一件西周晚期的青铜器，其盛酒的部分可近似视为一个圆台（设

上、下底面的半径分别为。厘米，方厘米，高为c厘米），则该青铜器的容积约为（取兀=3）（）

A.+改+》1立方厘米B.c（"-ac+W立方厘米

C.c（4-M+V）立方厘米D.《片+面+白3立方厘米

2.（2024.广东深圳模拟预测）如图所示的花盆为正四棱台，上口宽5cm,下口宽3cm,棱长3^61,

则该花盆的体积为（）

A.B.490cm'C.—cm4D.245cm'

3.（2024.广东中山・模拟顺测）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著

作，书中记载了一种制造瓦片的方法.某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘

土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm，高为200n.苜先，在圆桶的外侧面均匀包上

一层厚度为20n的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即

可得到大小相同的四片瓦每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）

与下列哪个数字最接近.（参考数据：兀=3.14）（）

D.22m3

4.（2024.广东东莞•二模）在正三棱台KBC-44G中，已知.45=&,阚=2出，侧棱虫的长

为2,则此正三棱台的体积为（）

21„7八21、7

AA--2B.z&了D.-

5.（2024.广东佛山•二模）（多选）对于棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）,

下列说法正确的是（）

A.底面半径为1m,高为2m的圆锥形罩子（无底面）能够罩住水平放置的该正方体

B.以该正方体的三条棱作为圆锥的母线，则此圆锥的母线与底面所成角的正切值为军

C.该正方体内能同时整体放入两个底面半径为06m,高为67m的圆锥

D.该正方体内能整体放入一个体积为叵m,的圆锥

17

6.（2024.广东河源.二模）（多选）某圆锥的侧面展开图是圆心角为三,面积为3n的扇形，则（）

A.该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为苧

B.若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱

的高为,

C.若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为手

D.若该圆锥内部有一个正方体.458-总及G9,且底面.458在圆锥的底面内，当正方体的

棱长最大时，以应为球心，半径为坡的球与正方体表面交线的长度为坡兀

99

7.（2024.广东韶关.二模）在三棱锥尸，的中，侧面所在平面与平面A3C的夹角均为?，若

AB=2,CA^CB=4,且“5c是直角三角形，则三棱锥入.次的体积为.

8.（2024.广东清远.二模）底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1,

母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为.

9.（2024.广东梅州.二模）已知圆台下底面的半径为2,高为2,母线长为小，则这个圆台的体积

为__________

10.（2024.广东董庆模拟预测）已知长方体的表面积为8,所有棱长和为16,则长方体体积的最大

值为-

题型02夕横球和内丽

1.（2024广东.模拟预测）已知三棱锥尸--郎,315c是以AC为斜边的直角三角形，“且。为边

长是2的等边三角形，目平面且BC/平面PAC,则三棱锥P-4BC外接球的表面积为（）

.16„21八21、.

A.—兀B.一兀C.一兀D.SK

332

2.（2024.广东.二模）已知球。与圆台。。,的上、下底面和侧面均相切，目球O与圆台Q。1的体积

之比为!，则球。与圆台的表面积之比为（）

A.JB.1C.|D,

3.（2024.广东模拟预测）将边长为2的正三角形沿某条线折盘，使得折彘后的立体图形有外接球,

则当此立体图形体积最大时，其外接球表面积为（）

A.4兀B.68-%c!兀D.52*金

4.（2024广东深圳.模拟预测）在梯形且B8中，AB//CD,.4B±BD,且|.叫=怛。|=4,|BC|=2后，

沿对角线BD将三角形.四。折起，所得四面体.4外接球的表面积为3271,则异面直线AB与CD

所成角为（）

A.30B.45'C.60D.90

5.（2024.广东东莞.模拟预测）一种锥底孵化桶常用于鱼虾类的孵化，其桶底采用上大下小的漏斗状

设计，底部设计成锥形便于收集幼苗铁匠老张准备用一个半径及为的扇形铁片作为圆锥的侧面，制

作成一个圆锥形无盖漏斗（接缝处忽略不计）若该漏斗的容积为26兀，且漏斗的顶点及底面圆周

都在球。的表面上，则当R最小时，球。的表面积为（）

B.MC.1871D.27兀

6.（2024•广东河源•二模）已知一个圆台内接于球。（圆台的上、下底面的圆周均在球面上）若该

圆台的上、下底面半径分别为1和2,且其表面积为（5+3&）兀，则球。的体积为（）

A.挈B,5兀C.至叵D.也

333

题型03点、线、面位置关系

1.（2024•广东广州•模拟预测）设如力是两条不同的直线，叫尸，7是三个不同的平面，给出下

列四个命题：

（T^zn/Za,n/la,贝U?n〃”；②若a〃£,£，"/,加_La贝|洲•!•7；

n//a,^\m±n；,p±7,贝ija〃6.

其中正确命题的序号是（）.

A.①②B.②③C.③④D.①④

2.（2024.广东中山.二模）设a*j是三个互不重合的平面，犯;是两条不重合的直线，则下列命题

为真命题的是（）

A.若a_L民a_L7,贝ij尸_L/B.若/〃生〃/月，贝“a///

C.若_La,/_L民洲_L/,贝iJa_L£D.若泄〃/，〃/a,则泄〃a

3.（2024•广东惠州・模拟预测）设％£是两个不同的平面，5是两条直线，且加uaj_La.则“/，£"

是“那/夕的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

4.（2024广东深圳.模拟于页测）（多选）已知小〃为两条不重合的直线，口、尸为两个不重合的平

面，则下列说法正确的是（〉

A.若加J_a,旦a〃£,贝泄〃?jB.若汨_Lx,m±a,”工夕,贝（］a_L£

C.若加〃叫“ua,a//p,则m〃2D.若泄〃”，n±a,a_L?，冽＜z?，则泪〃万

题型04空间向量在立体几何中的应用

1.（2024.广东.模拟顺测）若在长方体且BCD-J151G9中，.4B=3,BC=LA4=4.则四面体.453©

与四面体4c即公共部分的体积为（）

2.（2024.广东梅州.二模）（多选）如图，平面且RV八a,|.4B|=|AWb2,M为线段.43的中点，直

线MN，与平面a的所成角大小为30。，点P为平面a内的动点，则（）

A.以N为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2万

B.若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C.若P到直线AA，的距离为1,则的最大值为1

D.满足NAWP=45。的点P的轨迹是椭圆

3.（2024广东梅州.二模）如图，在四棱锥P-ABCD中，平面R4D，平面.4BCD,底面4BCD为直

角梯形，&PJD为等边三角形，AD1AB,.4D=.4B=2BC=2.

⑴求证：4D_LR?;

（2）点N在棱R?上运动，求△4DN面积的最小值；

（3）点”为PB的中点，在棱PC上找一点。，使得4M/平面瓦＞。，求黄的值.

4(2024•广东•二模》如图，在直三棱柱KBC-44C中，点。是CG的中点，AC=BC,AA,=AB.

⑴证明：平面

(2)若BC±AC,AB=2,求平面45。与平面的夹角的余弦值.

5.(2024.广东韶关.二模)如图，圆柱。。内有一个直三棱柱4BC-A4C,三棱柱的底面三角形内

接于圆柱底面，已知圆柱。4的轴截面是边长为6的正方形，月3=NC=闻，点P在线段。。上

运动.

⑴证明：

⑵当期=尸3时，求3C与平面MP3所成角的正弦值.

6.（2024.广东佛山.二模）如图，在直三棱柱形木料.4BC-44£中，。为上底面A5C上一点.

（1陵过点D在上底面4BC上画一条直线/与4。垂直，应该如何画线，请说明理由；

（2话BC=BB、=1,.4B=2,乙3©弋，E为的中点，求点B到平面AC,E的距离.

题型05立体几何综合应用

1.（2024.广东深圳•模拟预测》在四棱锥尸-且58中，底面.烟工＞为矩形，R4_L底面

pj

一改口/一曲^现世长与底面.次刀所成的角分别为名尸，目a+尸=45,贝|」推=（）

A而-2B万-3c岳-2D旧-3

'-2---2---2--2

2.（2024广东佛山.模拟预测）如图，在棱长为1的正方体W3C。-用用G9中，E为线段.43上的点,

)

E.均不是

（.广东江门二模）（多选）如图，在平行六面体中，底面是正方形,

3.2024•.438-451GA."8

。为4c与的交点，则下列条件中能成为"NC=4C"的必要条件有（）

B.平面4844_1平面-4。64

C.平面的E_L平面.4BCDD.直线OA,BC所成的角与直线0C,4B所成的角相等

4.（2024.广东.二模）将一个直角三角板放置在桌面上方，如图，记直角三角板为-LBC,其中

C=：,K5=14,3C=7,记桌面为平面a.若Cea,且5c与平面a所成的角为：，则点A到平面a

20

5.（2024广东中山.模拟预测》已知四棱锥S-”8的底面4B8为菱形，其中

NBCD=120°,£4=SB=2AB=—SC，点发在线段SB上，若平面S.4B工平面CDH,则

BH

-----=

BS------'

——„3_____

6.（2024.广东东莞.模拟预测）如图，已知三棱柱.4改-44£的体积为3,点C在平面.45与4,内的

射影落在棱班，上，目.43_14c.

⑴求证：.431平面5ccq：

（2话四边形N即耳的面积为3⑷与CC的距离为a,月C=3回求平面4国?与平面.4%其所

成锐二面角的余弦值.

7.(2024.广东梅州.模拟预测》如图，在四棱锥尸--458中，40//5。,"为花的中点，.4初7/平

面CDP.

⑴求证：BC=2AD;

12^PA±AB,AB=AP=AD=CD=l,再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为

已知，使四棱锥尸-N58存在且唯一确定.

(i)求证：&_L平面WBCD；

(ii)设平面CDPc平面R4P=I,求二面角C-/-5的余弦值.

条件①：BP=DP)

条件②：一IB,PC;

条件③：ZCBM=ZCPM.

注：如果选择的条件不符合要求，第(D问得。分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按

第一个解答计分.

专题08圆锥曲线

题型01图的方程

1.（2024.广东湛江•二模）若复数二=（2x+ji）（2x-4ji）（xj，eR）的实部为4，则点（xjj的轨迹是（）

A.直径为2的圆B.实轴长为2的双曲线

C.直径为1的圆D.虚轴长为2的双曲线

2.（2024.广东韶关•二模）过点P（-23）作斜率为一2的直线，若光线沿该直线传播经*轴反射后与圆

。:。-3）2+。，-2『=产&>0湘切，贝1卜=（）

A.0B.y/3C.2D.y/5

3.（2024.广东佛山模拟预测）过点。-2）与圆/+V-4x-l=0相切的两条直线的夹角为a,则

sina=（）

A.1B.巫C.眄D.渔E.均不是

444

4.（2024.广东深圳模拟预测）已知圆M：r+/-2m=0（a>0）的圆心到直线2x+y=2距离是小，

则圆“与圆"*-2/+（），+1『=1的位置关系是（）

A.外离B.相交C.内含D.内切

5.（2024.广东清远.二模）已知48分别是圆C：V+V=1与圆G：（x-4+（JI）2=36（。20）上的

动点，若以用的最大值为12,则。的值为（）

A.0B.1C.2D.3

6.（2024.广东中山•二模）直线/：x+『+2=0截圆M：x?+V=r\r>0）所得劣弧所对的圆心角为g,

则广的值为（）

A.mB.也C.或D.在

“323

7.（2024广东肇庆二模）已知。为圆。：（'+3》+（j，-2）2=9上的动点，点尸满足衣=（4,-1）,记尸

的轨迹为E,则下列说法错误的是（）

A.轨迹E是一个半径为3的圆

B.圆。与轨迹E有两个交点

24

C.过点次L-1）作圆C的切线，有两条切线，且两切点的距离为了

D.点3为直线/：x+2y+10=0上的动点，则PB的最小值为苧

8.（2024广东梅州.二模）已知圆C：（x-2）2+G，-l>=2,直线八=0,若圆C上任意一点

关于直线/的对称点仍在圆C上，则点口力）必在（）

A.一个离心率为的椭圆上B.一个离心率为2的双曲线上

2

C.一个离心率为乎的椭圆上D.一个离心率为弟的双曲线上

9.（2024.广东东莞.模拟顺测）已知直线4：2x+j，-6=0与丫笈+>，+4=0均与相切，点（2,2）在

0M上，则0M的方程为.

题型02椭图、双雄茂的直，泗

1.（2024•广东儒山二模）2020年12月17日，嫦娥五号的返回器携带1731克月球样本成功返回地

球，我国成为第三个实现月球采样返回的国家，中国人朝着成功登月又迈进了重要一步.下图展示

了嫦娥五号采样返回器从地球表面附近运行到月球表面附近的大致过程.点。表示地球中心，点罚

表示月球中心.嫦娥五号采样返回器先沿近地球表面轨道作圆周运动，轨道半径约为地球半径.在

地球表面附近的点A处沿圆D的切线方向加速变轨后，改为沿椭圆轨道C运行，并且点D为该椭圆

的一个焦点.一段时间后，再在近月球表面附近的点3处减速变轨作圆周运动，此时轨道半径约为

月球半径.已知月球中心与地球中心之间距离约为月球半径的222倍，地球半径约为月球半径的3.7

倍.则椭圆轨道C的离心率约为（）

A.0.67B.0.77C.0.87D.0.97

2.（2024.广东肇庆二模）已知耳，月是椭圆和双曲线的公共焦点,P,。是它们的两个公共点，目

P,。关于原点对称，也。=%,若椭圆的离心率为4,双曲线的离心率为4,则三十当

的最小值是（）

A.立走B.BC.空D.处

3333

3.（2024.广东深圳•二模）P是椭圆C:=+」=1（a>b>0）上一点，耳、鸟是C的两个焦

ab

点，两隹=0,点。在N&EE的平分线上，。为原点，。。“PFi，目|。。|=6.则。的离

心率为

A1B4C&D抬

2332

4.（2024广东佛山・模拟预测）已知圆£：/+尸=力（6>0）与双曲线。,：£_工=1（。>0,6>0）,

4-&

若在双曲线〃上存在一点尸，使得过点尸所作的圆G的两条切线，切点为A、B,且乙1?3=今，

则双曲线C的离心率的取值范围是（）

A.B.¥，+ooC.（1,5/3]D.[有,+00）E.均不是

5.（2024广东佛山.模拟预测）已知6，月为双曲线2-2=1（。>0,5>0）的两个焦点，尸为

crb-

双曲线上的任意一点，若丽•项的最小值为则双曲线的离心率为（）

A.0B.忑C.2D.3E.均不是

6.（2024广东东莞.模拟顺测）已知椭圆C:£+2=@>b>0），直线上J=&x+a1与椭圆C交于

43两点（2点在A点上方）,。为坐标原点，以。为圆心，|。3|为半径的圆在点2处的切线与X轴

交于点D,若ABDA＞ZBAD,则C的离心率的最大值为（）

A1BiC点口出

3222

7.（2024.广东河源•二模）已知它分别为双曲线吁-『1（。＞03＞0）的左、右焦点，过月作双曲

线c的一条渐近线的垂线，垂足为4。为坐标原点，若I/IT司|=|月。I，则双曲线。的离心率为

（）

A.昱B.巫C…D.空

322

8.（2024.广东湛江.二模）已知片，明是椭圆。的两个焦点，若。上存在一点尸满足|历「=19|尸月广,

则C的离心率的取值范围是.

9.（2024.广东清远•二模》已知双曲线E:二-二=1（而＞0,"＞0）,若巴=2,则该双曲线的离心率

mnn

为.

侬03双嗨

1.（2024•广东韶关•二模）已知双曲线C:「-，=l（a＞0力＞0）的左焦点为尸，过点尸的直线

/：3x+4『+加=0与P轴交于点3,与双曲线C交于点.4（.4在丁轴右侧）.若B是线段此的中点，

则双曲线C的渐近线方程为（）

Q1

A.y=+—xB.丁=±5xC.『=±5^5工D.y=i2x

32

3.（2024.广东东莞.模拟预测）已知直线J=匕与双曲线C：=-5=1（。＞0上＞0）相交于不同的两

点A,B,耳,月为双曲线C的左右焦点，且满足|明|=3|盟|,|OJ|=J（。为坐标原点），则双

曲线C的渐近线方程为（）,

A.y=i-y-xB.y=±^-xC.y=*V5xD.y=±y/3x

4.（2024•广东珠海•二模》已知双曲线C：］-5=1（。＞0/＞0）的右焦点为尸，过点尸作垂直于X

轴的直线/,M,N分别是，与双曲线。及其渐近线在第一象限内的交点.若M是线段£V的中点，则

C的渐近线方程为（）

2

y=+

一2

B.

昌

D.苴

土

cyy土

=3=5

题型04抛锲戋

1.（2024•广东•模拟预测）抛物线俨=4x的焦点为尸，过尸的直线交抛物线于一4,3两点.则

|JF|+41Ml的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

2.（2024.广东江门•二模）如图，过点M（-LO）的直线交抛物线。:俨=2》于43两点，点A在初；3

之间，点N与点」M关于原点对称，延长RM交抛物线C于E,记直线HV的斜率为占，直线ME■的

3.（2024•广东惠州.模拟预测）已知点43在抛物线0:）产=2/3>0）1,设。的焦点为F,线段月3

的中点时在C的准线/上的射影为,且|-43|=由,则向量成成的夹角的最大值为（）

兀兀2兀5兀

A-6B-3CTD，~6

4.（2024.广东中山・二模）已知等轴双曲线的渐近线与抛物线./=2"（p>0：|的准线交于48两点，

抛物线焦点为F,2AFB的面积为4,则的AF长度为（）

A.2B.小C.2&D.加

5.（2024.广东.二模）（多选）设O为坐标原点，抛物线C：V=4x的焦点为尸，准线/与x轴的交点

为耳，过点尸的直线与抛物线。交于48两点，过点43分别作/的垂线，垂足分别为4,B、,则

下列说法正确的有（）

A.14用区闾=四/B.区4区2附|

|。画=/网

C.4D.\OA\+\OB\>\O^\+\OB]

6.（2024.广东中山.模拟预测）已知抛物线q：V=4x的焦点为R，则冗的坐标为；抛物线

G：/=8x的焦点为月，若直线广刑（?"0吩别与CC交于P，。两点；目附|-或|=1,则

哂•

7.（2024.广东.模拟顺测）已知抛物线/=2处（p>0）的焦点为尸，准线方程为丁=-1,则

p=；设o为原点，点即（线，兀I在抛物线上，若则”=.

8.（2024广东广州•模拟预测）已知抛物线C:铲=2卬3>0）的焦点为F,M:巩弓为。上一点,

且网g

⑴求C的方程；

（2时点口4,0）且斜率存在的直线/与C交于不同的两点43,且点3关于*轴的对称点为D,直线

4D与x轴交于点。.

（i）求点。的坐标；

（心求^OAQ与QB的面积之和的最小值.

题型05直线与圆锥摩戋的位置关系

1.（2024•广东儒山•模拟预测）（多选）已知圆土犬+。，-4>=1,椭圆3:二+产=1,直线

4

八），=制X-1）（丘11）,点时为圆人上任意一点，点"为椭圆3上任意一点，以下的判断正确的是

（）

A.直线/与椭圆2相交

B.当上变化时，点时到直线/的距离的最大值为717+1

C.网Z=2A/7+1

D.—

2.（2024.广东深圳模拟预测）（多选）设椭圆C:1+或=1的左、右焦点分别为月、月，P是。上

2316

的动点，则下列结论正确的是（〉

A.冏卜附1=5

3

B.高心率e=,

c.面积的最大值为12

D.以线段眠为直径的圆与圆（X-4『+（J-3＞=4相切

3.（2024.广东珠海.二模）（多选）已知椭圆。:二+?=1的左、右焦点分别为用耳，抛物线「以月

为焦点，过E的直线/交抛物线r于月（4乂）］（0为）两点，下列说法正确的是（）

A.若占+与=8,则JB|=10B.当丽=4不时，直线/的倾斜角为45.

C.若河（42），尸为抛物线「上一点，则|PW|+|P叫的最小值为相

D.4|.*|+|町|的最小值为9

4.（2024.广东韶关•二模）已知椭圆C:三+匚=1（。＞匕＞0）的离心率为〈，长轴长为4,45是其左、

a-b-z

右顶点，尸是其右焦点.

⑴求椭圆C的标准方程；

⑵设P（%,j，/仇＞0）是椭圆C上一点，乙叩3的角平分线与直线〃交于点7.

①求点T的轨迹方程；

O

②若△尸尸面积为彳，求％.

5.（2024.广东梅州.二模）已知椭圆C:/…＞。）的离心率为:，且经过点

⑴求椭圆C的方程:

（2）求椭圆C上的点到直线/：5=2》的距离的最大值.

6.（2024.广东.二模）已知双曲线己［-1=19＞0,。＞0）的焦点与椭圆二+/=1的焦点重合，其渐

aD5

近线方程为J，=±*x.

⑴求双曲线。的方程；

（2话4B为双曲线C上的两点且不关于原点对称，直线八J=；x过.43的中点，求直线48的斜率.

7.（2024.广东深圳模拟预测）在平面直角坐标系XQV中，已知椭圆E:1+=1的左、右焦点分别

4

为月、月，点.4在椭圆E上且在第一象限内，月月_L化，点H关于j，轴的对称点为点瓦

⑴求.4点坐标；

（2底X轴上任取一点P,直线AP与直线尸书相交于点。，求历.丽的最大值；

⑶设点M在椭圆E上，记AQ48与的面积分别为耳，若，=25，求点M的坐标.

题型06圆锥雄辐境题、创新题型

1.（2024.广东梅州.二模）（多选）如图，平面.仞V八a,|.43|=|初\[=2,"为线段.45的中点，直

线与平面a的所成角大小为30。，点P为平面a内的动点，则（）

A.以A，为球心，半径为2的球面在平面a上的截痕长为2万

B.若P到点M和点N的距离相等，则点P的轨迹是一条直线

C.若P到直线MM的距离为1,则N3P5的最大值为:

D.满足乙XVP=45。的点P的轨迹是椭圆

2.（2024.广东梅州.二模）在平面直角坐标系xOv中，。为坐标原点，定义尸（心乂）、。（与，M）两点

之间的"直角距离'为d亿2）=Nf|+|XfI.已知两定点月（TO）,3（1,0）,则满足

d（A£㈤+d（A£B）=4的点M的轨迹所围成的图形面积为.

3.（2024.广东.模拟预测）应用抛物线和双曲线的光学性质，可以设计制造反射式天文望远镜，这种

望远镜的特点是，镜铜可以很短而观察天体运动又很清楚.某天文仪器厂设计制造的一种反射式望

远镜，其光学系统的原理如图（中心截口示意图）所示.其中，一个反射镜网叩弧所在的曲线为

抛物线，另一个反射镜弧所在的曲线为双曲线一个分支.已知用E是双曲线的两个焦点，其

中巴同时又是抛物线的焦点，且，5月=45。,tanZA里耳阴冗的面积为10,|。区|=8,则

4.（2024•广东.模拟预测）现有一"v"型的挡板如图所示，一椭圆形物件的短轴顶点被固定在.4点.物

件可绕-4点在平面内旋转.HP间距离可调节且与两侧挡板的角度固定为60。.已知椭圆长轴长为4,

短轴长为2.

（1府某个角度固定椭圆，则当椭圆不超过挡板时AP间距离最短为多少；

⑵为了使椭圆物件能自由绕A点自由转动，AP间距离最矩为多少求出最短距离并证明其可行性.

5.(2024.广东佛山二模)已知以下事实：反比例函数丁=-(左*0)的图象是双曲线，两条坐标轴

x

是其两条渐近线.

(1)(1)直接写出函数J=4的图象C。的实轴长；

2x

(ii)将曲线。。绕原点顺时针转：，得到曲线C,直接写出曲线C的方程.

(2)已知点A是曲线C的左顶点.圆E：(x-lf+j-l-r2(r>0)与直线/:x=l交于尸、。两

点，直线.4尸'才。分别与双曲线C交于时、N两点.试问：点.4到直线MV的距离是否存在最大

值？若存在，求出此最大值以及此时「的值3若不存在，说明理由.

6.(2024广东东莞.模拟预测)已知动点.4(xj倒点的距离与到直线/：『=［的距离相等,

记动点A的轨迹为。.

(1时点(3⑼且斜率为-2的直线/‘与。交于B。两点，求户0的值；

⑵已知是。上不同的三点，直线MD,ME与以坐标原点为圆心的单位圆相切，切点分别为

GH,若直线DE的倾斜角为120%求点"的坐标.

7.(2024.广东江门二模)在平面直角坐标系xQv中，动点A在圆/+俨=4上，动点2在直线x=-2

上，过点3作垂直于x=-2的直线与线段.43的垂直平分线交于点时，且5_L丽，记M的轨迹

为曲线C.

⑴求曲线C的方程.

(2话直线3-3一时0与曲线C交于。E两点，4：x-j，i=0与曲线C交于R。两点，其中切<〃,

旦万瓦而同向，直线DP,OE交于点G.

(i)证明：点G在一条确定的直线上，并求出该直线的方程；

<")当△DEG的面积等于“一冽时，试把"表示成加的函数.

专题09概率与统计

题型oi排列、组合及二项式定理

9

1.（2024广东湛江.二模）已知=4+qx+…+4X，,则4+工4=（）

A.-2B.-19C.15D.17

2.（2024.广东模拟于页测）二项式;的各项系数之和为（）

11

A.512B.—C.2D.-

3.（2024.广东深圳.模拟顺测）已知;3/+；；的展开式的各项系数和为4096,则展开式中广的系

数为（）

A.15B.1215C.2430D.81

4.（2024.广东广州.二模）某学校安排4位教师在星期一至星期五值班，每天只安排1位教师，每位

教师至少值班1天，至多值班2天且这2天相连，则不同的安排方法共有（）

A.24种B.48种C.60种D.96种

5.（2024.广东深圳•二模）已知某六名同学在CMO竟骞中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙

是第一名，丙不是前三名，则这六名同学获得的名次情况可能有

A.72种B.96种C.144种D.288种

6.（2024.广东韶关.二模）二项式（2-X了的展开式中，V项的系数是常数项的2.5倍，贝代=_.

7.（2024广东.二模）（、-1，）（》+丁）"的展开式中》『的系数为（用数字作答）.

8.（2024.广东儒山.二模）甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站

至第8站的某一公交站点下车，目在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车

的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是______.

题型02古荻型强率、条的K率

1.（2024广东梅州.二模）某学校为参加辩论比赛，选出8名学生，其中3名男生和5名女生，为了

更好备赛和作进一步选拔，现将这8名学生随机地平均分成两队进行试赛，那么两队中均有男生的

概率是（）

A1B£C之D9

7777

2.（2024.广东佛山.模拟预测）在《周易》中，长横“一”表示阳爻，两个短横表示阴爻.

有放回地取阳爻和阴爻三次合成一卦，共有2,=8种组合方法，这便是《系辞传》所说“太极生两仪,

两仪生四象，四象生八卦”.有放回地取阳爻和阴爻一次有2种不同的情况，有放回地取阳爻和阴爻

两次有四种情况，有放回地取阳爻和阴爻三次，八种情况.所谓的‘算卦"，就是两个八卦的盛合，即

共有放回地取阳爻和阴爻六次，得到六爻，然后对应不同的解析.在一次所谓‘算卦”中得到六爻，这

六爻恰好有三个阳爻三个阴爻的概率是（）

1595必丁日

A.—B.—C.—D.-E.tg7r

716168

3.（2024.广东清远.二模）从0,123,4这五个数字中随机抽取两个数字组成一个两位数，则这个两

位数是偶数的概率为（）

A.jB.1C.yD.j

18

4.（2024.广东肇庆二模）将甲、乙、丙、丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每

个岗位都要有人去，则甲、乙二人分别去了不同岗位的概率是（）

A.1B.jC.|D.1

5.（2024.广东东莞模拟预测）神舟十五号飞行任务是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务,

也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，航天员乘组将在轨工作生活6个月.某校为了培养学生

们的航天精神，特意举办了关于航天知识的知识竟寒，竟寒一共包含两轮.高三（9）班派出了〃和v

两位同学代表班级参加比赛，每-轮竞寒〃和V两位同学各答1题.已知“同学每轮答对的概率是；4，V

5

同学每轮答对的概率是彳3，每轮竞骞中〃和I•两位同学答对与否互不影响，每轮结果亦互不影响，

4

则〃和V两位同学至少答对3道题的概率为（）.

,39„1296129-39

,200-200,~5Q'50

6.（2024.广东河源模拟预测）投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋故

国时期较为盛行.如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙、丙是唐朝的三位投壶游戏参与者，目甲、

乙、丙每次投壶时，投中与不投中是等可能的.若甲、乙、丙各投壶1次，则这3人中至少有2人投

中的概率为（）

L

上毒

A—Bb-C-Du—

A.2-s33-8

7.（2024广东深圳.模拟预测）假设甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有