2023-2024学年四川省眉山市高二年级下册4月月考数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年四川省眉山市高二下学期4月月考数学

模拟试题

本试卷分选择题和非选择题两部分.第I卷（选择题）第1页，第II卷（非选择题）第2页，

共2页；满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1、答第I卷前，考生务必将自己的姓名、班级、准考证号写在答题卡上；

2、选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上，非选择题部分用0.5mm的黑色签字笔在答

题卡相应位置作答！

第I卷（选择题共60分）

一、单选题

1.在一次高台跳水运动中，某运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度//（单位：m）

与起跳后的时间T单位：s）存在函数关系〃（/）=-4.9/+4&+11.该运动员在Z=ls时的瞬时

速度（单位：m/s）为（）

A.10.9B.-10.9C.5D.-5

2.已知函数/(x)=siiu+4x,贝Ulim+以兀)()

A.12B.-C.3D.6

2

3.函数“x)=(2x-l)e'的单调递增区间()

A.(-8,g)B.(-8,-g)C.(-g,+8)D.（g，+°°）

4.设曲线”力=画+6和曲线g（x）=cos笠+c在它们的公共点M（0,2）处有相同的切线，则

b+c-a的值为（）

A.0B.左

C.-2D.3

5.函数/(x)=x+2在(—，-1)上单调递增，则实数。的取值范围是()

A.[l,+oo)B.(^o,0)I(0,1]C.(0,1]D.(^x),0)u[l,+oo)

6.已知〃%）=炉_。--2sinx,则的图象是（）

8.已知。=也，b=-i-,c=—,则”，b,c的大小关系是()

2e-13

A.b>a>cB.b>c>a

C.c>a>bD.c>b>a

二、多选题(全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.)

9.若直线y=gx+b是函数AM图像的一条切线，则函数/(x)可以是()

A./(x)=-B./(x)=x4C.f(x)=sin尤D.f(x)=ex

X

10.已知函数y=/(x)的导函数r(x)的图象如图所示，下列说法正确的是()

A.函数“X)在(2,+。)上单调递增B.函数“X)在(1,3)上单调递减

C.函数/(%)在x=l处取得极大值D.函数/(%)有最大值

11.设函数〃x)=Tln2x—x的导函数为八尤)，则()

A.f'Q]=0B.x=g是〃力的极值点

C.〃尤)存在零点D.〃尤)在&+8)单调递减

试卷第2页，共4页

12.(多选)定义在区间［a,口上的函数/■(%),其图象是连续不断的，若使得

f(b)-f^a)=f'^)(b-a),则称J为函数“力在区间［a,可上的“中值点”,则下列函数在区

间［0,1］上“中值点”多于一个的函数是()

A./(%)=%B.f(x)=x2

C./(x)=ln(x+l)D.=

第II卷(选择题共90分)

二、填空题(每题5分，共计20分)

13.设函数的导数为尸⑺，且〃x)=/(tcosx+sinx,则/［］=.

14.若函数/(x)=/一3尤-1在区间(a-2,2a+3)上有最大值，则实数a的取值范围是

15.若曲线丫=(犬+。)/有两条过坐标原点的切线，则。的取值范围是

16.己知/(x)是函数/(x)的导函数，且对任意的实数x都有((x)=ex(2x+1)+/(%),/(0)=-2,

则不等式/(x)<4"的解集为.

三、解答题(6个大题，共计70分)

17.已知函数/(X”%2-41nx.

⑴求曲线y=/(x)在点处的切线方程；

(2)求函数的极值.

b

18.已知x=l是"x)=2x+—+ln_t的一个极值点.

X

⑴求函数“X)的单调递增区间；

⑵设函数g(x)=/(x)一理若函数g(x)在区间［1,2］内单调递减，求实数a的取值范围.

19.从旅游景点A到8有一条100km的水路，某轮船公司开设一个游轮观光项目.已知游轮每

小时使用的燃料费用与速度的立方成正比例，其他费用为每小时3240元，游轮最大时速为

50km/h,当游轮速度为lOkm/h时，燃料费用为每小时60元，单程票价定为150元/人.

(1)若一艘游轮单程以40km/h的速度航行，所载游客为180人，则轮船公司获利是多少？

(2)如果轮船公司要获取最大利润，游轮的航速为多少？

20.已知函数/。)=丁+尤2-x+c.

(1)求函数兀0的单调递增区间；

(2)若函数五功有三个零点，求实数。的取值范围.

21.已知函数"x)=3尤3+办2一3/彳.

(1)当a=l时，求函数/(》)在［0,2］上的最大值和最小值；

⑵若函数/⑺在区间(1,2)内存在极小值，求实数。的取值范围.

22.已知函数〃尤)=(初一1户(尤＞0,aeR).

⑴讨论函数〃x)的单调性；

⑵当4=1时，〃力＞米-2恒成立，求整数左的最大值.

试卷第4页，共4页

1.D

【分析】先对函数求导，然后把f=l代入即可求解.

【详解】解：因为〃⑺=一4.9产+4&+H,

所以//'⑺=-9&+4.8,

令f=l,得瞬时速度为-5.

故选：D.

2.B

【分析】由导数的概念，基本初等函数的导函数计算即可.

【详解】（尤）=cos尤+4,

一/⑺1八兀）=氐皿+2一1c3

lim=—1-2=—

—2Ax22

故选：B.

3.C

【分析】求出导函数7'（无），令（（尤）＞0,解不等式即可得答案.

【详解】解：因为函数/（无）=（2x-l）/,所以r（x）=2/+（2尤-l）e*=（2x+l）e*,

令/（无）＞0,解得尤＞二，

所以函数〃无）的单调递增区间为（-g,+8）,

故选：C.

4.D

【分析】利用导数的几何意义可知尸（O）=g'（O）,可求得。；根据“（0,2）为两曲线公共点可

构造方程求得b,c,代入可得结果.

【详解】f'（x）=aex,g〈x）=-（sin掾，二­（0）=a,^（0）=0,:.a=0,

又“（0,2）为与g（x）公共点，二〃0）=6=2,g（0）=l+c=2,解得：c=l,

Z?+c—a=2+l—0—3.

故选：D.

5.D

【分析】根据函数〃%）=彳+2在上单调递增，由尸（%）20在上恒成立求解.

ax

答案第1页，共10页

【详解】解：因为函数/(司=尤+:,

所以尸

因为函数/(X)=X+,在上单调递增，

ax

所以广(X)20在(-8,-1)上恒成立,

即工在(一*一1)上恒成立，

a

则1工1,解得。21或〃<0,

a

所以实数a的取值范围是(f,0)31,+8),

故选：D

6.D

【分析】探讨函数的奇偶性，再利用导数探讨函数的单调性即可判断得解.

【详解】函数/(%)=炉-6-'-2$出九的定义域为R,f(-x)=e~x-ex+2sinx=-f(x),

则函数A幻是奇函数，其图象关于原点对称，B错误；

求导得f\x)=ex+ex—2cosx>2Vex-e-x—2cosx=2(1—cosx)>0»当且仅当％=。时取等号,

因此函数在R上单调递增，AC错误，D符合要求.

故选：D

7.D

【解析】由广(x)=x-l+Z="±=0在(。，+8)有2个不同的零点，结合二次函数的性质可求.

XX

【详解】解：因为+〃如:有两个不同的极值点，

所以八%)=尤-1+瞑=*=0在(0,+8)有2个不同的零点，

XX

所以％2_%+々=0在(0,+8)有2个不同的零点，

f=l-4«>0

所以An，

[a>0

解可得，0<a<—.

4

故选：D.

8.A

答案第2页，共10页

【分析】根据给定条件构造函数小)=廿(3),再探讨其单调性并借助单调性判断作答.

1I1

In1—Inx—]

【详解】令函数/。)=三X(》2。，求导得尸(尤)=_______X,令g(x)=l-Inx—-,则

I(x-1)2x

1_r11

g'(x)=—r<O,(x>e),故g(x)=l-lnx-:，(x2e)单调递减，又g⑴=l_lnl-i=O,故

g(x)<O,(x>e),即/'(x)<0,(x2e),而e<3<4,则〃e)>〃3)>f(4),即=>等>理,

所以匕>a>c,

故选：A

9.BCD

【分析】求得已知直线的斜率3对选项中的函数分别求导，可令导数为七,解方程即可判断

结论

【详解】解：直线y=gx+b的斜率为A=1,

由/(x)=工的导数为/'(为=-±,即切线的斜率小于0,故A不正确；

XX

由/(x)=x4的导数为/(x)=4d,而4V=g,解得x=；,故B正确；

由/'(x)=sinx的导数为/''(x)=cosx,而cosx=1■有解，故C正确；

由/(x)="的导数为/(x)=e*,而e、=g,解得x=-ln2,故D正确，

故选：BCD

【点睛】此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题

10.BC

【分析】根据导数符号与原函数单调性之间的关系可得/(元)的单调性，进而逐项分析判断.

【详解】由题意可知：当无«-力,3)时，r(x)<o(不恒为0)；

当xe(-l,l)53,+oo)时，/,(x)>0；

所以在(-e,-l),(l,3)上单调递减，在(-1,1),(3,+力)上单调递增.

可知：A错误；B正确；

且函数“X)在x=l处取得极大值，故C正确；

虽然确定“X)的单调性，但没有“X)的解析式，故无法确定“X)的最值，故D错误;

答案第3页，共10页

故选：BC.

11.AD

【分析】判断导数的符号，可判断ABD选项的正误；判断函数值符号可判断C象限的正误.

【详解】函数的定义域为(0,+8),对任意的x>0,/(%)=-x(ln2x+l)<0,C错；

因为r(x)=_ln2x_2x，lnx_]=_(lnx+l)2V0,且+=0,

所以，函数/(X)在(0,+8)上为减函数，故AD对，B错.

故选：AD.

12.AD

【分析】通过对题中新定义的理解，逐一验证选项是否符合定义要求即可

【详解】对于A,由/(1)=1"(0)=0,八劝=1得尸(/=纬锣=1恒成立,所以A符合.

对于B,/(1)=1,/(0)=0,又/(无)=2无，对于尸©=2'=一(°)=].*=,唯一,所以

B不符合.

对于C,/(D=ln2,/(0)=0,又广(x)=士，对于^G[0,1],使得

=乙=*唯一,所以C不符合.

对于D,/(0)=4)又/(x)=3x[x」],对于会[0』使得

(⑷=3xkV若不唯一所以D符合.

故选：AD.

13.1

【分析】根据求导法则，建立方程，可得答案.

【详解】由题意，可得:(力=:71•(-sinx)+cosx,

71

+cos—,即7171

6

答案第4页，共10页

所以尤)=*cosx+sinx,7[e[=*x*+g=L

故答案为：1.

14.-2<a<--

2

【分析】由导函数求得极大值，利用极大值点在区间(。-2,2a+3)上，且〃2a+3)V/。)的极

大值可得参数范围.

【详解】r(%)=3%2-3=3(x+l)(%-l),

x<-L或x>l时,f'(x)>0,时，f(x)<0,

所以f(x)在(fO,T)和(1,+CO)上都递增,在(-1,1)上递减,

/«ax=/(-D=-l+3-l=l,

/⑴在区间(7,2〃+3)上有最大值，则。fa—22,<+—3)1=<.2。++33万3(20+3)*1,解得

-2<a<~—.

2

故答案为：-2<a<-^.

15.(0,+oo)

【分析】设出切点横坐标％,利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关

于今的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得〃的取值范围.

【详解】Vy=(x+a)ex,yr=(x+l+a)ex,

设切点为(不，%),则为=(瓦+。)e而，切线斜率左=(毛+1+。)e%,

切线方程为：y—(%o+a)e与=(%0+1+61)6^(%-%0),

;切线过原点，二・—(%o+a)e"=(x0+l+a)e"(-%。)，

整理得：入；+ax。-。=0,

•••切线有两条，*,*A=〃2+4〃>0,解得QV-4或。>0,

a的取值范围是(-8,-4)(0,+oo),

故答案为：(-oo,-4)(0,+oo)

答案第5页，共10页

16.(-3,2)

【分析】由题意，得八x)：〃x)=2x+l,构造函数〉=/孚，然后求出函数>的解析式,

eee

再确定Ax)的解析式，进一步不等式即可.

【详解】解：由题意，因为尸(x)=/(2x+l)+/(x),所以广(x)；〃x)=2x+l,...[烂;=2x+l,

令(')=%2+%+c,贝1]/(%)=e*</+%+c),

ex

/(0)=-2,即，.(0+c)=—2

C——2,f(x)=ex,(x2+x—2),

不等式/(X)<4"的解集等价于X2+X-2<4,

解得-3<x<2.

故答案为：(-3,2).

17.(l)2x+y-3=。

(2)极小值为2-21n2,无极大值

【分析】(1)求出了(1)、/(1)的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；

(2)利用导数分析函数/(x)的单调性，即可得出函数/(X)的极值.

【详解】(1)解：=d-41nx的定义域为(O,+e),((无)=2x—,可得"1)=1,/(1)=-2,

故所求切线方程为J-l=-2(^-1),即2x+y-3=0.

(2)解：〃力=Y一41nx的定义域为(0,+4，/,(%)=2%-1,令尸(x)=0解得/应，

当x变化时，〃x)、/'(X)的变化情况如下表：

X（0,A/2）

尸⑺

—0+

了(尤)减2-21n2增

所以函数〃元)的极小值为/'(收)=2-21n2,无极大值.

答案第6页，共10页

18.(1)(1,+8)

(2)(-oo,-10]

【分析】(1)求/(%),因为X=1是“X)的一个极值点，所以/(1)=0,代入计算求出匕的值，然

后求导求段)的单调区间.(2)函数g(x)在区间［1,2］上单调递减，则g3Ko在口，2］上恒成

立.

求g(x)导函数g'(x)，g'(%)so在［1，2］恒成立等价于当x£［l,2］时。0—2N—%恒成立，求二次

函数，=一2/一%的最小值，从而求出实数〃的范围.

b

【详解】(1)/(x)=2xH----\-lnx,定义域为(0,+oo).

x

b.

因为x=l是/(x)=2x+-+lnx的一个极值点，

x

所以/⑴=。，即2—7+1=0.

解得人=3,经检验，适合题意，所以人=3.

所以了(x)=2—4+-=2/+尸，

XXX

令了(尤)>0,得x>l.

所以函数兀r)的单调递增区间为(1,+8).

(2)函数g(x)在区间口，2］上单调递减,则，(x)W0在［1,2］上恒成立.

又9(彳)=2+,+二，g，(x)W0在［1,2］恒成立等价于当xG［1,2］时，aW—2x2—尤恒成立，

x尤

又/=—2x2—尤=-2(x+1)2+：,xe［l,2］是减函数，，当x=2时，/'=—2x2—x取得最小值

48

-10.

所以七一10,即实数。的取值范围为(一处-10］.

19.(1)9300元；(2)轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30初2/丸.

【分析】(1)设游轮以每小时诙机/%的速度航行，游轮单程航行的总费用为了")元，求出函

数解析式，再根据利润=收入一成本计算可得;

(2)利用函数的单调性，即可求出函数的最小值.

【详解】解：设游轮以每小时该加///的速度航行，游轮单程航行的总费用为“V)元,

游轮的燃料费用每小时展F元，依题意公1炉=60,贝!］后=0.06,

答案第7页，共10页

.4、…3100…c100,2324000

••f(v)=0.06v•-----1-3240.=6vH-----------,

VVV

324000

(1)当v=40初z//i时，/(40)=6X402+---------=17700(元)，

40

轮船公司获得的利润是150x180-17700=9300元.

中不分、(2324000二匚2⑺32400012(6—27000)

(2)因为人》=6沙+-----,所以r(y)=12y---------=—~~2-----------工

VVV

令/⑺=0得，v=30,

当0<v<30时，r(v)<0,即〃丫)在(0,30)上单调递减；

当30<v<50时，Av)>0,即人>)在(30,50)上单调递增；

故当v=30时，/3)有极小值，也是最小值，/(30)=16200,

所以轮船公司要获得最大利润，游轮的航速应为30初z//，.

20.(1)(-00,—1)和(2)［一1，焉］

【解析】(1)求出导数，解不等式，求出单增区间；

(2)利用三次函数的特征，要使有三个零点，只需兀0极大值>冢无)极小值<0,解不等式即可.

【详解】解：(1)>(犬)=%3+%2一x+c,则/(X)=3N+2X—1,

由/(^)>0,得l<—1或,

所以函数人无)的单调递增区间为(一8,—1)和(g,+8).

(2)由(1)知，/(无)在x=-l取得极大值1+c,在％=；取得极小值-焉+C

1+<?>0/X

函数木尤)有三个零点，，50解得-1<。<三，实数c的取值范围T，^.

--------Fc<027<11)

I27

【点睛】函数的单调性与导数的关系：

已知函数了(尤)在某个区间内可导，

(1)如果/'(X)>0,那么函数y=/(%)在这个区间内单调递增;如果f\x)<0,那么函数y=7(%)

在这个区间内单调递减；

(2)函数y=/(x)在这个区间内单调递增，则有广(x)20；函数y=/(x)在这个区间内单调

递减，则有f(x)V0；

25

21.(1)最大值为彳，最小值为-5

答案第8页，共10页

⑵

【分析】(1)求导，利用导数判断原函数的单调性，进而确定最值；(2)求导，利用导数判

断原函数的单调性，进而确定极值点，注意讨论-3a与。的大小关系.

【详解】(1)当a=l时，贝I函数〃x)=g/+/-3x,/,(^)=X2+2X-3=(^+3)(X-1),

令［(无)=0,解得x=-3或x=l,

当OWx<l时，/'(力<0,当1<%W2时，>0,

则函数f(x)在［。，1)上单调递减，函数〃元)在(L2］上单调递增，

••・在x=1时取得极小值为/(1)=-|,且〃0)=0<"2)=W，

故"X)在［0,2］上的最大值为：，最小值为-］

(2)*.*+依2-,则广(%)二炉+2依一3片=(%+3〃)(X-Q)

①当〃=0时，f(x)=x2>0,函数单调递增，无极值，不合题意，舍去；

②当〃>0时，令用工)>。，得了<-3。或%>〃，

:・F(x)在3。)，上单调递增，在(-3。,。)上单调递减，

故函数/(%)在％=-3〃时取得极大值，在