2024届上海市静安区、青浦区中考冲刺卷数学试题含解析

2024届上海市静安区、青浦区中考冲刺卷数学试题

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.如图，在△4BC中，NJB=46。，NC=54。，AO平分N5AC,交BC于D,DE//AB,交AC于E,则的大

小是（）

2.某种商品每件的标价是270元，按标价的八折销售时，仍可获利20%,则这种商品每件的进价为（）

A.180元B.200元C.225元D.259.2元

3.人的头发直径约为0.00007m,这个数据用科学记数法表示（）

A.0.7x104B.7x105C.0.7xl04D.7x10s

4.如图，在口ABCD中，AB=6,AD=9,NBAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG1AE,垂足为

G,若BG=4jI，则ACEF的面积是（）

A.2&B,0C.3亚D.4A/2

5.如图，一个几何体由5个大小相同、棱长为1的正方体搭成，则这个几何体的左视图的面积为（）

A.5B.4C.3D.2

6.如图，三棱柱ABC-AiBiG的侧棱长和底面边长均为2,且侧棱AAi，底面ABC,其正（主）视图是边长为2的

正方形，则此三棱柱侧（左）视图的面积为（）

G

D.4

7.如图，。。的直径AB的长为10,弦AC长为6,NACB的平分线交。O于D,则CD长为（）

A.7B.7血C.872D.9

8.下列四个图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

4

9.关于反比例函数'=-一，下列说法正确的是（）

x

A.函数图像经过点（2,2）；B.函数图像位于第一、三象限；

C.当x>0时，函数值V随着x的增大而增大；D.当x>l时，y<T.

10.如图，是由7个大小相同的小正方体堆砌而成的几何体，若从标有①、②、③、④的四个小正方体中取走一个后,

余下几何体与原几何体的主视图相同，则取走的正方体是（）

从正面看

A.①B.②C.③D.@

11.如图,先锋村准备在坡角为a的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5米,那么这两树在坡面上的距离AB

为（）

5米引

A.5sin«B.-------C.5cosaD.--------

sinacosa

12.一个正比例函数的图象过点（2,-3）,它的表达式为（）

3232

A.y=--xB.y=—xC.y=-xD.y=--x

2323

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.把一张长方形纸条按如图所示折叠后，若NAOn=70。，则/方0G=.

14.如图，已知。Oi与。Ch相交于A、B两点，延长连心线OiCh交。Ch于点P,联结PA、PB,若NAPB=6（F,AP=6,

那么。02的半径等于

15.廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为「，二-9X；+上,

为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E,F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是

米.精确到1米

⑹方程的解是

17.已知矩形ABCD,AD>AB,以矩形ABCD的一边为边画等腰三角形,使得它的第三个顶点在矩形ABCD的其他边上,

则可以画出的不同的等腰三角形的个数为.

18.某种药品原来售价100元，连续两次降价后售价为81元，若每次下降的百分率相同，则这个百分率是

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19.（6分）已知，关于x的一元二次方程（k-1）x2+J茨x+3=0有实数根，求k的取值范围.

20.（6分）如图，已知点C是NAOB的边OB上的一点，

求作。P,使它经过O、C两点，且圆心在NAOB的平分线上.

21.（6分）已知，平面直角坐标系中的点A（a,1）,t=ab-a2-b2（a,b是实数）

2

（1）若关于X的反比例函数y=2过点A,求t的取值范围.

（2）若关于x的一次函数y=bx过点A,求t的取值范围.

（3）若关于x的二次函数y=x?+bx+b2过点A,求t的取值范围.

22.（8分）给定关于x的二次函数y=kx2-4kx+3（k#0）,当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；当该

二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B,已知AB=2,求k的值；由于k的变化，该二次函数的

图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：

①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；

请判断以上结论是否正确，并说明理由.

23.（8分）为了提高中学生身体素质，学校开设了A：篮球、B：足球、C：跳绳、D：羽毛球四种体育活动，为了解

学生对这四种体育活动的喜欢情况，在全校随机抽取若干名学生进行问卷调查（每个被调查的对象必须选择而且只能

在四种体育活动中选择一种），将数据进行整理并绘制成以下两幅统计图（未画完整）.

这次调查中，一共调查了名学生；请补全两

图1

幅统计图；若有3名喜欢跳绳的学生，1名喜欢足球的学生组队外出参加一次联谊活动，欲从中选出2人担任组长(不

分正副)，求一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率.

24.(10分)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax?+bx+c经过A、B、C三点，已知点A(-3,0),B(0,

3),C(1,0).

(1)求此抛物线的解析式.

(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点，(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线，垂足为F,交直线AB于

点E,作PDLAB于点D.动点P在什么位置时，APDE的周长最大，求出此时P点的坐标.

25.(10分)如图，对称轴为直线x=—1的抛物线丫=瞅2+6*+以2#0)与*轴相交于4、B两点，其中A点的坐

标为(-3,0).

(1)求点B的坐标；

(2)已知a=1,C为抛物线与y轴的交点.

①若点P在抛物线上，且$醺℃=4$小℃,求点P的坐标;

②设点Q是线段AC上的动点，作QDLx轴交抛物线于点D,求线段QD长度的最大值.

26.（12分）在一节数学活动课上，王老师将本班学生身高数据（精确到1厘米）出示给大家，要求同学们各自独立

绘制一幅频数分布直方图，甲绘制的如图①所示，乙绘制的如图②所示，经王老师批改，甲绘制的图是正确的，乙在

数据整理与绘图过程中均有个别错误.写出乙同学在数据整理或绘图过程中的错误（写出一个即可）;

甲同学在数据整理后若用扇形统计图

①②

表示，则159.5-164.5这一部分所对应的扇形圆心角的度数为.该班学生的身高数据的中位数是;假

设身高在169.5-174.5范围的5名同学中，有2名女同学，班主任老师想在这5名同学中选出2名同学作为本班的正、

副旗手，那么恰好选中一名男同学和一名女同学当正，副旗手的概率是多少？

27.（12分）如图，AB/7CD,以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB,AC于E,F两点，再分别以

E,F为圆心，大于』EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若NACD=110。，求NCMA

2

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、C

【解析】

根据DE//AB可求得NCZ>E=NB解答即可.

【详解】

解：'：DE//AB,

...NCDE=N8=46。，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等.快速解题的关键是牢记平行线的性质.

2、A

【解析】

设这种商品每件进价为x元，根据题中的等量关系列方程求解.

【详解】

设这种商品每件进价为x元，则根据题意可列方程270x0.8-x=0.2x,解得x=180.故选A.

【点睛】

本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是确定未知数，根据题中的等量关系列出正确的方程.

3、B

【解析】

绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为axion,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是

负指数塞，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.

【详解】

解：0.00007m,这个数据用科学记数法表示7x101.

故选:B.

【点睛】

本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为axion,其中心回＜10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前

面的0的个数所决定.

4、A

【解析】

解：TAE平分NBAD,

:.ZDAE=ZBAE；

又四边形ABCD是平行四边形，

...AD〃BC,

:.ZBEA=ZDAE=ZBAE,

:.AB=BE=6,

VBG±AE,垂足为G,

/.AE=2AG.

在R3ABG中，VZAGB=90°,AB=6,BG=4近，

••­AG=7AB2-BG2=2,

AAE=2AG=4；

・•・SAABE=-AE・BG=-x4x4拒=8后.

22

VBE=6,BC=AD=9,

ACE=BC-BE=9-6=3,

Z.BE：CE=6：3=2：1,

VAB/7FC,

AAABE^AFCE,

•••SAABE:SACEF=（BE：CE）2=4：1,则SACEF=—SAABE=20.

4

故选A.

【点睛】

本题考查L相似三角形的判定与性质；2.平行四边形的性质，综合性较强，掌握相关性质定理正确推理论证是解题

关键.

5、C

【解析】

根据左视图是从左面看到的图形求解即可.

【详解】

从左面看，可以看到3个正方形，面积为3,

故选：C.

【点睛】

本题考查三视图的知识，解决此类图的关键是由三视图得到相应的平面图形.从正面看到的图是正视图，从上面看到的

图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图.

6、B

【解析】

分析：易得等边三角形的高，那么左视图的面积=等边三角形的高X侧棱长，把相关数值代入即可求解.

详解：•.•三棱柱的底面为等边三角形，边长为2,作出等边三角形的高CD后，

.•.等边三角形的高CD=JAC2_=百,.•.侧（左）视图的面积为2x6=2百，

故选B.

点睛：本题主要考查的是由三视图判断几何体.解决本题的关键是得到求左视图的面积的等量关系，难点是得到侧面

积的宽度.

7、B

【解析】

作DFLCA,交CA的延长线于点F,作DGLCB于点G,连接DA,DB.由CD平分/ACB,根据角平分线的性质

得出DF=DG,由HL证明AAFD四△BGD,ACDF^ACDG,得出CF=7,又△CDF是等腰直角三角形，从而求出

CD=7V2.

【详解】

解：作DFLCA,垂足F在CA的延长线上，作DGLCB于点G,连接DA,DB.

:.ZACD=ZBCD

；.DF=DG,弧AD=MBD,

.\DA=DB.

VZAFD=ZBGD=90°,

.,.△AFD^ABGD,

/.AF=BG.

易证△CDF^ACDG,

/.CF=CG.

VAC=6,BC=8,

.\AF=1,（也可以：设AF=BG=x,BC=8,AC=6,得8-x=6+x,解x=l）

；.CF=7,

•••△CDF是等腰直角三角形，（这里由CFDG是正方形也可得）.

-,.CD=7V2.

故选B.

8、D

【解析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【详解】

A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误;

D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.

故选D.

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中

心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合.

9、C

【解析】

直接利用反比例函数的性质分别分析得出答案.

【详解】

4

A、关于反比例函数丫=--,函数图象经过点（2,-2）,故此选项错误；

X

4

B、关于反比例函数丫二一，函数图象位于第二、四象限，故此选项错误；

x

4

C、关于反比例函数y=一,当x>0时，函数值y随着x的增大而增大，故此选项正确;

x

4

D、关于反比例函数丫=一，当x>l时，y>-4,故此选项错误；

x

故选C.

【点睛】

此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握相关函数的性质是解题关键.

10、A

【解析】

根据题意得到原几何体的主视图，结合主视图选择.

【详解】

解：原几何体的主视图是:

视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面，左侧的图形只需要两个正方体叠加即可.

故取走的正方体是①.

故选A.

【点睛】

本题考查了简单组合体的三视图，中等难度,作出几何体的主视图是解题关键.

11、D

【解析】

利用所给的角的余弦值求解即可.

【详解】

,BC5

；5C=5米，ZCBA=Za,------=-------.

cosacosa

故选D.

【点睛】

本题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用.

12、A

【解析】

利用待定系数法即可求解.

【详解】

设函数的解析式是y=kx,

_3

根据题意得：2k=-3,解得：k=---.

2

3

函数的解析式是：y=—%.

2

故选A.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、55°

【解析】

由翻折性质得，NBOG=NB，OG,根据邻补角定义可得.

【详解】

解：由翻折性质得，NBOG=NB，OG,

,/ZAOB,+ZBOG+ZB,OG=180°,

.\ZB,OG=-(180°-ZAOB0=-(180°-70°)=55°.

22

故答案为55°.

【点睛】

考核知识点：补角，折叠.

14、2G

【解析】

AC

由题意得出2kABP为等边三角形，在R3ACO2中，AO=----------即可.

2sin60°

【详解】

由题意易知：POi±AB,；NAPB=60cV.ZkABP为等边三角形，AC=BC=3

AC

/.圆心角ZAO2OI=60°，在RtAACO2中，AO2=---------=2Jj.

sin60°

故答案为2班.

【点睛】

本题考查的知识点是圆的性质，解题的关键是熟练的掌握圆的性质.

15、八3

【解析】

由于两盏E、F距离水面都是8m,因而两盏景观灯之间的水平距离就

是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值.

故有

即二.=五二.二・E二.=-33

11

所以两盏警示灯之间的水平距离为：■一.--?-=W

16、1

【解析】

1_1

2xx+l，

x+l=2x,

x=l,

代入最简公分母，X=1是方程的解.

17、8

【解析】

根据题意作出图形即可得出答案，

【详解】

如图，AD>AB,ACDEi,AABE2,AABE3,ABCE4,ACDE5,△ABE6,AADE7,△CDE8,为等腰三角形，故

有8个满足题意得点.

E6E7E8

【点睛】

此题主要考查矩形的对称性，解题的关键是根据题意作出图形.

18、10%.

【解析】

设平均每次降价的百分率为X,那么第一次降价后的售价是原来的（1-九），那么第二次降价后的售价是原来的

根据题意列方程解答即可.

【详解】

设平均每次降价的百分率为X,根据题意列方程得，

100x（1-力2=81,

解得石=0.1=10%,%=L9（不符合题意，舍去），

答:这个百分率是10%.

故答案为10%.

【点睛】

本题考查一元二次方程的应用，要掌握求平均变化率的方法.若设变化前的量为。，变化后的量为b,平均变化率为X,

则经过两次变化后的数量关系为土x)2=b.

三、解答题：(本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

6

19、0<k<-Kk/1.

5

【解析】

根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△>0,即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可求出k的

取值范围.

【详解】

解：•.•关于x的一元二次方程(k-1)x2+V2kx+3=0有实数根，

.,.2Q0,k-1^0,A=(V2l)2-4x3(k-l)>0,

解得：0Wkw|■且k^l.

Ak的取值范围为0Wkw|■且k#l.

【点睛】

本题考查了根的判别式、二次根式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零、被开方数非负及根的判别式△>0,

列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键.当△>()时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当A=0时，一元二

次方程有两个相等的实数根；当△<()时，一元二次方程没有实数根.

20、答案见解析

【解析】

首先作出NAOB的角平分线，再作出OC的垂直平分线，两线的交点就是圆心P,再以P为圆心，PC长为半径画圆

即可.

【详解】

解：如图所示：

【点睛】

本题考查基本作图，掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键..

3

21、(1)t<--；(2)t<3；(3)t<l.

4

【解析】

(1)把点A的坐标代入反比例函数解析式求得a的值；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围.

(2)把点A的坐标代入一次函数解析式求得a=?；然后利用二次函数的最值的求法得到t的取值范围.

b

(3)把点A的坐标代入二次函数解析式求得以a2+b2=l-ab；然后利用非负数的性质得到t的取值范围.

【详解】

22

解：(1)把A(a,1)代入y=2得到：1=生,

xa

解得a=l,

13

贝(It=ab-a2-b2=b-1-b2=-(b-----)2------.

24

1313

因为抛物线t=-(b-大)2——的开口方向向下，且顶点坐标是(不，--),

2424

3

所以t的取值范围为：长-―；

4

(2)把A(a,1)代入y=bx得到：l=ab,

所以a=:,

b

则t=ab-a2-b2=-(a2+b2)+1=-(b+—)2+3<3,

b

故t的取值范围为：tW3；

(3)把A(a,1)代入y=x?+bx+b2得至!J：l=a2+ab+b2,

所以ab=l-(a2+b2),

贝(It=ab-a2-b2=l-2(a2+b2)<1,

故t的取值范围为：tWL

【点睛】

本题考查了反比例函数、一次函数以及二次函数的性质.代入求值时，注意配方法的应用.

3

22、(1)一(2)1(3)①②③

2

【解析】

(1)由抛物线与X轴只有一个交点，可知△=()；

(2)由抛物线与x轴有两个交点且AB=2,可知A、B坐标，代入解析式，可得k值；

(3)通过解析式求出对称轴，与y轴交点，并根据系数的关系得出判断.

【详解】

(1).•,二次函数y=kx2-4kx+3与x轴只有一个公共点，

二关于x的方程kx2-4kx+3=0有两个相等的实数根，

；.△=(-4k)2-4x3k=16k2-12k=0,

3

解得：ki=0,ki=—,

2

片0,

.\k=-；

2

(2)；AB=2,抛物线对称轴为x=2,

:.A、B点坐标为(1,0),(3,0),

将(1,0)代入解析式，可得k=l,

(3)①•.•当x=0时，y=3,

...二次函数图象与y轴的交点为(0,3),①正确；

②,抛物线的对称轴为x=2,

二抛物线的对称轴不变，②正确；

③二次函数y=kx2-4kx+3=k(x2-4x)+3,将其看成y关于k的一次函数，

令k的系数为0,即x2-4x=0,

解得:xi=0,X2=4,

二抛物线一定经过两个定点(0,3)和(4,3),③正确.

综上可知：正确的结论有①②③.

【点睛】

本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问

题.

23、(1)200；(2)答案见解析；(3)

2

【解析】

(1)由题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：404-20%=200(名)；

(2)根据题意可求得B占的百分比为：1-20%-30%-15%=35%,C的人数为：200x30%=60(名)；则可补全统计图;

(3)首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的情

况，再利用概率公式即可求得答案.

【详解】

解：(1)根据题意得：这次调查中，一共调查的学生数为：40-20%=200(名)；

故答案为：200；

(2)C组人数:200-40-70-30=60(名)

B组百分比：70+200x100%=35%

如图

(3)分别用A,B,C表示3名喜欢跳绳的学生，D表示1名喜欢足球的学生;

画树状图得：

开始

ABCD

BCDACDARDARC

•.•共有12种等可能的结果，一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的有6种情况，

二一人是喜欢跳绳、一人是喜欢足球的学生的概率为：H

122

【点睛】

此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之

比.

24、(1)y=-x2-2x+l；(2)(-—,—)

24

【解析】

(1)将A(-1,0),B(0,1),C(1,0)三点的坐标代入y=ax2+bx+c,运用待定系数法即可求出此抛物线的解析式；

(2)先证明AAOB是等腰直角三角形，得出NBAO=45。，再证明△PDE是等腰直角三角形，则PE越大，△PDE的

周长越大，再运用待定系数法求出直线AB的解析式为y=x+l,则可设P点的坐标为(x,-x2-2x+l),E点的坐标为(x,

393.

x+1),那么PE=(-x2-2x+l)-(x+1)=-(x+—)2+—,根据二次函数的性质可知当x=-—•时，PE最大，△PDE的周

242

3

长也最大.将*=--代入-X2-2X+1,进而得到P点的坐标.

2

【详解】

解：(1)..•抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),B(0,1),C(1,0),

9a-3b+c=0

/.{c=3,

a+b+c=0

a=-l

解得{b=-2,

c=3

抛物线的解析式为y=-x2-2x+l；

(2)VA(-1,0),B(0,1),

/.OA=OB=1,

/.△AOB是等腰直角三角形，

.,.ZBAO=45°.

；PFJ_x轴，

；.NAEF=90°-45°=45°,

XVPD1AB,

...APDE是等腰直角三角形，

；.PE越大，APDE的周长越大.

设直线AB的解析式为y=kx+b,则

-3k+b=0k=l

'解得忆3

b=3

即直线AB的解析式为y=x+l.

设P点的坐标为(X,-x2-2x+l),E点的坐标为(x,x+1),

39

贝！IPE=(-x2-2x+l)-(x+1)=-x2-lx=-(x+—)2+—,

24

3

所以当x=—-时，PE最大，APDE的周长也最大.

2

当X=-2时，-X?-2x+l=-(--)2-2X(--)+1=—,

2224

即点P坐标为(-3,二)时，APDE的周长最大.

24

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，等腰直角三角

形的判定与性质，二次函数的性质，三角形的周长，综合性较强，难度适中.

25、(1)点B的坐标为(1,0).

(2)①点P的坐标为(4,21)或(-4,5).

9

②线段QD长度的最大值为：.

4

【解析】

(1)由抛物线的对称性直接得点B的坐标.

(2)①用待定系数法求出抛物线的解析式，从而可得点C的坐标，得到SAB℃，设出点P的坐标，根据5.8=45醺8

列式求解即可求得点P的坐标.

②用待定系数法求出直线AC的解析式，由点Q在线段AC上，可设点Q的坐标为(q,-q-3),从而由QD，x轴交抛物

线于点D,得点D的坐标为(q,q2+2q-3),从而线段QD等于两点纵坐标之差，列出函数关系式应用二次函数最值原理

求解.

【详解】

解：(1),:A、B两点关于对称轴x=—l对称，且A点的坐标为(-3,0),

.•.点B的坐标为(1,0).

(2)①；抛物线a=1,对称轴为x=-l,经过点A(-3,0),

a=1「”

a=1

；•＜一丁=一1,解得,b=2.

2a

9a2-3b+c=0t

二抛物线的解析式为y=x?+2x-3.

13

；.B点的坐标为(0,