西藏自治区拉萨市拉萨那曲第二高级中学2025届数学高一下期末统考模拟试题含解析

西藏自治区拉萨市拉萨那曲第二高级中学2025届数学高一下期末统考模拟试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．如图，在矩形中，，,点为的中点，点在边上，点在边上，且，则的最大值是()A． B． C． D．2．若点在点的北偏东70°，点在点的南偏东30°，且，则点在点的（）方向上.A．北偏东20° B．北偏东30° C．北偏西30° D．北偏西15°3．函数图像的一个对称中心是（）A． B． C． D．4．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为()A．0 B．C．2 D．5．已知向量，，若，则实数a的值为A． B．2或 C．或1 D．6．古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第3天所织布的尺数为A．2031 B．35 C．87．某人射击一次，设事件A：“击中环数小于4”；事件B：“击中环数大于4”；事件C：“击中环数不小于4”；事件D：“击中环数大于0且小于4”，则正确的关系是A．A和B为对立事件 B．B和C为互斥事件C．C与D是对立事件 D．B与D为互斥事件8．(2016高考新课标III，理3)已知向量,则ABC=A．30 B．45 C．60 D．1209．已知为等差数列，其前项和为，若，，则公差等于（）A． B． C． D．10．如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，P是对角线AC上一点，，过点P的直线分别交DA的延长线，AB，DC于点M，E，N.若(m>0，n>0)，则2m＋3n的最小值是()A． B．C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．已知，均为单位向量，它们的夹角为，那么__________．12．在中，角所对的边分别为，若，则=______．13．某班级有50名学生，现用系统抽样的方法从这50名学生中抽出10名学生，将这50名学生随机编号为1~5号，并按编号顺序平均分成10组（1~5号，14．若实数满足，，则__________．15．设是定义在上以2为周期的偶函数，已知，，则函数在上的解析式是16．已知x，y满足，则z＝2x+y的最大值为_____.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在中，内角所对的边分别是．已知，，且．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．18．在平面直角坐标系中，已知点，，.（Ⅰ)求的坐标及；（Ⅱ)当实数为何值时，.19．在平面直角坐标系中，以轴为始边，作两个角，它们终边分别经过点和，其中,，且.（1）求的值；（2）求的值.20．已知圆过点和，且圆心在直线上.（Ⅰ）求圆的标准方程；（Ⅱ）求直线：被圆截得的弦长.21．已知圆的圆心在轴的正半轴上，半径为2，且被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，证明：经过，，三点的圆必过定点，并求出所有定点的坐标.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

把线段最值问题转化为函数问题，建立函数表达式，从而求得最值.【详解】设，，，，，，，，，，的最大值是.故选A.【点睛】本题主要考查函数的实际应用，建立合适的函数关系式是解决此题的关键，意在考查学生的分析能力及数学建模能力.2、A【解析】

作出方位角，根据等腰三角形的性质可得．【详解】如图，，，则，∵，∴，而，∴∴点在点的北偏东20°方向上．故选：A.【点睛】本题考查方位角概念，掌握方位角的定义是解题基础．方位角是以南北向为基础，北偏东，北偏西，南偏东，南偏西等等．3、B【解析】

由题得,解出x的值即得函数图像的一个对称中心.【详解】由题得,所以，所以图像的对称中心是．当k=1时，函数的对称中心为.故选B【点睛】本题主要考查三角函数图像的对称中心的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.4、C【解析】

由题得z=x2+4y2-3xy≥4xy-3xy=xy(x,y,z>0),即z≥xy,≥1.当且仅当x=2y时等号成立,则x+2y-z=2y+2y-(4y2-6y2+4y2)=4y-2y2=-2(y2-2y)=-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z有最大值2.故选C.5、C【解析】

根据题意，由向量平行的坐标表示公式可得，解可得a的值，即可得答案．【详解】根据题意，向量，，若，则有，解可得或1；故选C．【点睛】本题考查向量平行的坐标表示方法，熟记平行的坐标表示公式得到关于a的方程是关键，是基础题6、A【解析】

由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，由题意求出数列的首项后可得第3天织布的尺数．【详解】由题意可得该女子每天织布的尺数构成一个等比数列，且数列的公比为2，前5项的和为5，设首项为a1，前n项和为S则由题意得S5∴a1∴a3即该女子第3天所织布的尺数为2031故选A．【点睛】本题以中国古文化为载体考查等比数列的基本运算，解题的关键是正确理解题意，将问题转化成等比数列的知识求解，考查阅读理解和转化、计算能力．7、D【解析】

根据互斥事件和对立事件的概念，进行判定，即可求解，得到答案.【详解】由题意，A项中，事件“击中环数等于4环”可能发生，所以事件A和B为不是对立事件；B项中，事件B和C可能同时发生，所以事件B和C不是互斥事件；C项中，事件“击中环数等于0环”可能发生，所以事件C和D为不是对立事件；D项中，事件B：“击中环数大于4”与事件D：“击中环数大于0且小于4”，不可能同时发生，所以B与D为互斥事件，故选D.【点睛】本题主要考查了互斥事件和对立事件的概念及判定，其中解答中熟记互斥事件和对立事件的概念，准确判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.8、A【解析】试题分析：由题意，得，所以，故选A．【考点】向量的夹角公式．【思维拓展】（1）平面向量与的数量积为，其中是与的夹角，要注意夹角的定义和它的取值范围：；（2）由向量的数量积的性质知，，，因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、垂直等有关的问题．9、C【解析】

由题意可得，又，所以,故选C.【点睛】本题考查两个常见变形公式和.10、C【解析】设，则又当且仅当时取等号，故选点睛：在利用基本不等式求最值的时候，要特别注意“拆，拼，凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求中字母为正数），“定”（不等式的另一边必须为定值），“等”（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、.【解析】分析：由，均为单位向量，它们的夹角为，求出数量积，先将平方，再开平方即可的结果.详解：∵，故答案为.点睛：平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，（此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影，在上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量的模（平方后需求）.12、【解析】根据正弦定理得13、33【解析】试题分析：因为是从50名学生中抽出10名学生，组距是5，∵第三组抽取的是13号，∴第七组抽取的为13+4×5=33．考点：系统抽样14、【解析】

由反正弦函数的定义求解．【详解】∵，∴，，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查反正弦函数，解题时注意反正弦函数的取值范围是，结合诱导公式求解．15、【解析】试题分析：根据题意，由于是定义在上以2为周期的偶函数，那么当，，可知当x,,那么利用周期性可知，在上的解析式就是将x,的图像向右平移2个单位得到的，因此可知，答案为．考点：函数奇偶性、周期性的运用点评：解决此类问题的关键是熟练掌握函数的有关性质，即周期性，奇偶性，单调性等有关性质．16、1.【解析】

先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，表示直线在轴上的截距，只需求出可行域直线在轴上的截距最大值即可．【详解】解：，在坐标系中画出图象，三条线的交点分别是，，，在中满足的最大值是点，代入得最大值等于1．故答案为：1．【点睛】本题是考查线性规划问题，本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）先利用向量垂直的坐标表示，得到，再利用正弦定理以及两角和的正弦公式将，化为，进而得到，由此能求出．（Ⅱ）将两边平方，推导出，当且仅当，时取等号，由此求出面积的最大值．【详解】解析：（Ⅰ）由得，则得，即由于，得，又A为内角，因此.（Ⅱ）将两边平方，即所以，当且仅当，时取等号.此时，其最大值为.【点睛】本题主要考查数量积的坐标表示及运算、两角和的正弦公式应用、三角形面积公式的应用以及利用基本不等式求最值．18、（Ⅰ)，；（Ⅱ)【解析】

（Ⅰ）根据点，的坐标即可求出，从而可求出；（Ⅱ）可以求出，根据即可得出，解出即可．【详解】（Ⅰ)∵，，∴∴（Ⅱ)∵，∴.∵∴，∴【点睛】考查根据点的坐标求向量的坐标的方法，根据向量的坐标求向量长度的方法，以及平行向量的坐标关系．19、（1）；（2）.【解析】

(1)根据正弦的定义求得，再运用余弦的二倍角公式求解，(2)由(1)问可得、两点的坐标，从而再运用正切的和角公式求解.【详解】（1）由得：所以：（2）由则故因此.【点睛】本题考查三角函数的定义和余弦的二倍角公式和正切的和角公式，属于基础题.20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）设出圆心坐标和圆的标准方程，将点带入求出结果即可；（Ⅱ）利用圆心到直线的距离和圆的半径解直角三角形求得弦长.【详解】解：（Ⅰ）由题意可设圆心坐标为，则圆的标准方程为，∴解得故圆的标准方程为.（Ⅱ）圆心到直线的距离，∴直线被圆截得的弦长为.【点睛】本题考查了圆的方程，以及直线与圆相交求弦长的知识，属于基础题.21、(1)圆：.(2)证明见解析；，.【解析】

（1）设出圆心坐标，利用点到直线距离公式以及圆的弦长列方程，解方程求得圆心坐标，进而求得圆的方程.（2）设出点坐标，根据过圆的切线的几何性质，得到过，，三点的圆是以为直径的圆.设出圆上任意一点的坐标，利