广东省深圳市福田区耀华实验学校国际班2025届数学高一下期末学业质量监测试题含解析

广东省深圳市福田区耀华实验学校国际班2025届数学高一下期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在非直角中，“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（）A． B．C． D．3．在长方体中，,,则异面直线与所成角的余弦值为()A． B． C． D．4．设集合A={x|x≥–3}，B={x|–3<x<1}，则A∪B=()A．{x|x>–3} B．{x|x<1}C．{x|x≥–3} D．{x|–3≤x<1}5．在三棱锥中，，二面角的大小为，则三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．6．若函数（）的最大值与最小正周期相同，则下列说法正确的是（）A．在上是增函数 B．图象关于直线对称C．图象关于点对称 D．当时，函数的值域为7．已知向量，，若，则（）A． B． C． D．8．在空间四边形中，分别是的中点.若，且与所成的角为，则四边形的面积为（）A． B． C． D．9．已知，函数的最小值是（）A．4 B．5 C．8 D．610．用数学归纳法证明1+a+a2+…+an+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2 D．1+a+a2+a4二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．设为内一点，且满足关系式，则________.12．已知与之间的一组数据，则与的线性回归方程必过点__________．13．已知，，则______．14．在中，角，，的对边分别为，，，若，则________.15．设，，，，则数列的通项公式=．16．如果函数的图象关于直线对称，那么该函数在上的最小值为_______________．三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．从代号为A、B、C、D、E的5个人中任选2人（1）列出所有可能的结果；（2）若A、B、C三人为男性，D、E两人为女性，求选出的2人中不全为男性的概率.18．求函数的最大值19．已知数列的各项均为正数，对任意，它的前项和满足，并且，，成等比数列.（1）求数列的通项公式；（2）设，为数列的前项和，求.20．在中，分别为角所对应的边，已知，，求的长度.21．近日，某地普降暴雨，当地一大型提坝发生了渗水现象，当发现时已有的坝面渗水，经测算，坝而每平方米发生渗水现象的直接经济损失约为元，且渗水面积以每天的速度扩散．当地有关部门在发现的同时立即组织人员抢修渗水坝面，假定每位抢修人员平均每天可抢修渗水面积，该部门需支出服装补贴费为每人元，劳务费及耗材费为每人每天元．若安排名人员参与抢修，需要天完成抢修工作．写出关于的函数关系式；应安排多少名人员参与抢修，才能使总损失最小．（总损失＝因渗水造成的直接损失+部门的各项支出费用）

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】

由得出，利用切化弦的思想得出其等价条件，再利用充分必要性判断出两条件之间的关系.【详解】若，则，易知，，，，，，，，，.因此，“”是“”的充要条件，故选C.【点睛】本题考查充分必要性的判断，同时也考查了切化弦思想、两角和差的正弦公式的应用，在讨论三角函数值符号时，要充分考虑角的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.2、B【解析】

由平行线间的距离公式求出圆的直径，然后设出圆心，由点到两条切线的距离都等于半径，求出,即可求得圆的方程.【详解】因为两条直线与平行,所以它们之间的距离即为圆的直径,所以,所以.设圆心坐标为,则点到两条切线的距离都等于半径,所以,,解得,故圆心为,所以圆的标准方程为.故选：.【点睛】本题主要考查求解圆的方程,同时又进一步考查了直线与圆的位置关系,圆的切线性质等.本题也注重考查审题能力,分析问题和解决问题的能力.难度较易.3、C【解析】

连接，交于，取的中点，连接、，可以证明是异面直线与所成角，利用余弦定理可求其余弦值.【详解】连接，交于，取的中点，连接.由长方体可得四边形为矩形，所以为的中点，因为为的中点，所以，所以或其补角是异面直线与所成角.在直角三角形中，则，，所以.在直角三角形中，，在中，，故选C.【点睛】空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.4、C【解析】

根据并集的运算律可计算出集合A∪B.【详解】∵A=xx≥-3，B=x故选：C.【点睛】本题考查集合的并集运算，解题的关键就是并集运算律的应用，考查计算能力，属于基础题.5、D【解析】

取AB中点F,SC中点E，设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为，由，在四边形中，设，外接球半径为，则则可求，表面积可求【详解】取AB中点F,SC中点E,连接SF,CF,因为则为二面角的平面角，即又设的外心为，外接圆半径为三棱锥的外接球球心为则面，由在四边形中，设，外接球半径为，则则三棱锥的外接球的表面积为故选D【点睛】本题考查二面角，三棱锥的外接球，考查空间想象能力，考查正弦定理及运算求解能力，是中档题6、A【解析】

先由函数的周期可得，再结合三角函数的性质及三角函数值域的求法逐一判断即可得解.【详解】解：由函数（）的最大值与最小正周期相同，所以，即，即，对于选项A，令，解得：，即函数的增区间为，当时，函数在为增函数，即A正确，对于选项B，令，解得，即函数的对称轴方程为：，又无解，则B错误，对于选项C，令，解得，即函数的对称中心为：，又无解，则C错误，对于选项D，，则，即函数的值域为，即D错误，综上可得说法正确的是选项A，故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的性质，重点考查了三角函数值域的求法，属中档题.7、B【解析】

∵，∴.∴，即，∴,，故选B.【考点定位】向量的坐标运算8、A【解析】

连接EH，因为EH是△ABD的中位线，所以EH∥BD，且EH=BD．同理，FG∥BD，且FG=BD，所以EH∥FG，且EH=FG．所以四边形EFGH为平行四边形．因为AC=BD=a，AC与BD所成的角为60°所以EF=EH．所以四边形EFGH为菱形，∠EFG=60°．∴四边形EFGH的面积是2××()2=a2故答案为a2，故选A.考点：本题主要是考查的知识点简单几何体和公理四，公理四：和同一条直线平行的直线平行，证明菱形常用方法是先证明它是平行四边形再证明邻边相等，以及面积公式属于基础题．点评：解决该试题的关键是先证明四边形EFGH为菱形，然后说明∠EFG=60°，最后根据三角形的面积公式即可求出所求．9、A【解析】试题分析：由题意可得，满足运用基本不等式的条件——一正，二定，三相等，所以，故选A考点：利用基本不等式求最值；10、C【解析】

在验证时，左端计算所得的项，把代入等式左边即可得到答案.【详解】解：用数学归纳法证明，

在验证时，把当代入，左端.

故选：C.【点睛】此题主要考查数学归纳法证明等式的问题，属于概念性问题.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】

由题意将已知中的向量都用为起点来表示，从而得到32，分别取AB、AC的中点为D、E，可得2，利用平面知识可得S△AOB与S△AOC及S△BOC与S△ABC的关系，可得所求.【详解】∵，∴32，∴2，分别取AB、AC的中点为D、E，∴2，∴S△AOBS△ABFS△ABCS△ABC；S△AOCS△ACFS△ABCS△ABC；S△BOCS△ABC，∴故答案为：．【点睛】本题考查向量的加减法运算，体现了数形结合思想，解答本题的关键是利用向量关系画出助解图形．12、【解析】

根据线性回归方程一定过样本中心点，计算这组数据的样本中心点，求出和的平均数即可求解.【详解】由题意可知，与的线性回归方程必过样本中心点，，所以线性回归方程必过.故答案为：【点睛】本题是一道线性回归方程题目，需掌握线性回归方程必过样本中心点这一特征，属于基础题.13、【解析】

由，然后利用两角差的正切公式可计算出的值.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查利用两角差的正切公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于基础题.14、【解析】

利用余弦定理与不等式结合的思想求解，，的关系．即可求解的值．【详解】解：根据①余弦定理②由①②可得：化简：，，，，,，此时，故得，即，．故答案为：．【点睛】本题主要考查了存在性思想，余弦定理与不等式结合的思想，界限的利用．属于中档题．15、2n+1【解析】由条件得，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．16、【解析】

根据三角公式得辅助角公式，结合三角函数的对称性求出值，再利用的取值范围求出函数的最小值.【详解】解：，令，则，则.因为函数的图象关于直线对称，所以，即，则，平方得.整理可得，则，所以函数.因为，所以，当时，即，函数有最小值为.故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数最值求解，结合辅助角公式和利用三角函数的对称性建立方程是解决本题的关键.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）0.7【解析】

（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人，利用列举法能求出所有可能的结果．（2）、、三人为男性，、两人为女性，利用列举法求出选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，由此能求出选出的2人中不全为男性的概率．【详解】（1）从代号为、、、、的5个人中任选2人．所有可能的结果有10种，分别为：，，，，，，，，，．（2）、、三人为男性，、两人为女性，选出的2人中不全为男性包含的基本事件有7种，分别为：，，，，，，．选出的2人中不全为男性的概率．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18、最大值为5【解析】

本题首先可以根据同角三角函数关系以及配方将函数化简为，然后根据即可得出函数的最大值．【详解】，因为，所以当时，即，函数最大，令，，故最大值为．【点睛】本题考查同角三角函数关系以及一元二次函数的相关性质，考查的公式为，考查计算能力，体现了综合性，是中档题．19、（1），（2）【解析】

（1）根据与的关系，利用临差法得到，知公差为3；再由代入递推关系求；（2）观察数列的通项公式，相邻两项的和有规律，故采用并项求和法，求其前项和.【详解】（1）对任意，有，①当时，有，解得或.当时，有.②①-②并整理得.而数列的各项均为正数，.当时，，此时成立；当时，，此时，不成立，舍去.，.（2）.【点睛】已知与的递推关系，利用临差法求时，要注意对下标与分两种情况，即；数列求和时要先观察通项特点，再决定采用什么方法.20、或【解析】

由已知利用三角形的面积公式可得，可得或，然后分类讨论利用余弦定理可求的值.【详解】由题意得，即，或，又，当时，，可得，当时，，可得，故答案：或.【点睛】本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理等知识解三角形，属于基础题.21、（1）（2）应安排名民工参与抢修，才能使总损失最小【解析】

（1）由题