广东省广州市广东第二师范学院番禺附中2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题含解析

广东省广州市广东第二师范学院番禺附中2025届数学高一下期末质量跟踪监视试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．高一数学兴趣小组共有5人，编号为.若从中任选3人参加数学竞赛，则选出的参赛选手的编号相连的概率为（）A． B． C． D．2．从某健康体检中心抽取了8名成人的身高数据（单位：厘米），数据分别为172，170，172，166，168，168，172，175，则这组数据的中位数和众数分别是（）A．171172 B．170172 C．168172 D．1701753．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”.这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为：V＝×（底面的圆周长的平方×高）．则由此可推得圆周率的取值为（）A．3 B．3.14 C．3.2 D．3.34．若，且，则xy的最大值为（）A． B． C． D．5．若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小值是（）A． B． C． D．6．函数的部分图象如图，则（）（）A．0 B． C． D．67．已知实数满足，则的取值范围是（）A． B． C． D．8．不等式的解集是（）A． B．C．或 D．或9．如图所示，已知正三棱柱的所有棱长均为1，则三棱锥的体积为（）A． B． C． D．10．已知，则的值域为A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．某海域中有一个小岛（如图所示），其周围3.8海里内布满暗礁（3.8海里及以外无暗礁），一大型渔船从该海域的处出发由西向东直线航行，在处望见小岛位于北偏东75°，渔船继续航行8海里到达处，此时望见小岛位于北偏东60°，若渔船不改变航向继续前进，试问渔船有没有触礁的危险？答：______.（填写“有”、“无”、“无法判断”三者之一）12．如图，将全体正整数排成一个三角形数阵，按照这样的排列规律，第行从右至左的第3个数为___________．13．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马.现从双方的马匹中随机选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概率为__________．14．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，则这时容器中水的深度为___________．15．已知中，的对边分别为，若，则的周长的取值范围是__________．16．已知三个事件A，B，C两两互斥且，则P(A∪B∪C)=__________.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．平面内给定三个向量＝(3,2)，＝(－1,2)，＝(4,1)．(1)求满足的实数m，n；(2)若，求实数k；18．设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．19．的内角，，的对边分别为，，，为边上一点，为的角平分线，，．（1）求的值：（2）求面积的最大值．20．已知，，，．（1）求的最小值（2）证明：．21．已知数列的前项和为.（1）求这个数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、A【解析】

先考虑从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件总数，再分析选出的参赛选手的编号相连的事件数，根据古典概型的概率计算得到结果.【详解】因为从个人中选取个人参加数学竞赛的基本事件有：，共种，又因为选出的参赛选手的编号相连的事件有：，共种，所以目标事件的概率为.故选：A.【点睛】本题考查古典概型的简单应用，难度较易.求解古典概型问题的常规思路：先计算出基本事件的总数，然后计算出目标事件的个数，目标事件的个数比上基本事件的总数即可计算出对应的概率.2、A【解析】

由中位数和众数的定义，即可得到本题答案.【详解】把这组数据从小到大排列为166，168，168，170，172，172，172，175，则中位数为，众数为172.故选：A【点睛】本题主要考查中位数和众数的求法.3、A【解析】试题分析：由题意知圆柱体积×（底面的圆周长的平方×高）,化简得：，故选A．考点：圆柱的体积公式．4、D【解析】

利用基本不等式可直接求得结果.【详解】（当且仅当时取等号）的最大值为故选：【点睛】本题考查利用基本不等式求解积的最大值的问题，属于基础题.5、B【解析】

把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平移个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.【详解】，该函数求出向右平移个单位后得到新函数的解析式为：，由题意可知：函数的图象关于轴对称，所以有当时，有最小值，最小值为.故选：B【点睛】本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.6、D【解析】

先利用正切函数求出A，B两点的坐标，进而求出与的坐标，再代入平面向量数量积的运算公式即可求解．【详解】因为y＝tan（x）＝0⇒xkπ⇒x＝4k+2，由图得x＝2；故A（2，0）由y＝tan（x）＝1⇒xk⇒x＝4k+3，由图得x＝3，故B（3，1）所以（5，1），（1，1）．∴（）5×1+1×1＝1．故选D．【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，考查了利用正切函数值求角的运算，解决本题的关键在于求出A，B两点的坐标，属于基础题．7、D【解析】

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论．【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形阴影部分区域（含边界），令，直线：，平移直线，当过点时取得最大值，当过点时取得最小值，所以的取值范围是.【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键．8、B【解析】

由题意，∴，即，解得，∴该不等式的解集是，故选．9、A【解析】

利用等体法即可求解.【详解】三棱锥的体积等于三棱锥的体积，因此，三棱锥的体积为，故选：A.【点睛】本题考查了等体法求三棱锥的体积、三棱锥的体积公式，考查了转化与化归思想的应用，属于基础题.10、C【解析】

利用求函数的周期为，计算即可得到函数的值域.【详解】因为，，，因为函数的周期，所以函数的值域为，故选C.【点睛】本题考查函数的周期运算，及利用函数的周期性求函数的值域.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、无【解析】

可过作的延长线的垂线，垂足为，结合角度关系可判断为等腰三角形，再通过的边角关系即可求解，判断与3.8的大小关系即可【详解】如图，过作的延长线的垂线，垂足为，在中，，，则，所以为等腰三角形。，又，所以，，所以渔船没有触礁的危险故答案为：无【点睛】本题考查三角函数在生活中的实际应用，属于基础题12、【解析】

由题可以先算出第行的最后一个数,再从右至左算出第3个数即可.【详解】由图得,第行有个数,故前行一共有个数,即第行最后一个数为,故第行从右至左的第3个数为.【点睛】本题主要考查等差数列求和问题,注意从右至左的第3个数为最后一个数减2.13、.【解析】分析：由题意结合古典概型计算公式即可求得题中的概率值.详解：由题意可知了，比赛可能的方法有种，其中田忌可获胜的比赛方法有三种：田忌的中等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的下等马，田忌的上等马对齐王的中等马，结合古典概型公式可得，田忌的马获胜的概率为.点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．(1)基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用.14、15【解析】

根据球的半径，先求得球的体积；根据圆与等边三角形关系，设出的边长为，由面积关系表示出圆锥的体积；设拿出铁球后水面高度为，用表示出水的体积，由即可求得液面高度.【详解】因为铁球半径为，所以由球的体积公式可得，设的边长为，则由面积公式与内切圆关系可得，解得，则圆锥的高为.则圆锥的体积为，设拿出铁球后的水面为，且到的距离为，如下图所示：则由，可得,所以拿出铁球后水的体积为，由，可知，解得，即将铁球取出后容器中水的深度为15.故答案为：15.【点睛】本题考查了圆锥内切球性质的应用，球的体积公式及圆锥体积公式的求法，属于中档题.15、【解析】中，由余弦定理可得，∵，∴，化简可得．∵，∴，解得（当且仅当时，取等号）．故．再由任意两边之和大于第三边可得，故有，故的周长的取值范围是，故答案为．点睛：由余弦定理求得，代入已知等式可得，利用基本不等式求得，故．再由三角形任意两边之和大于第三边求得，由此求得△ABC的周长的取值范围．16、0.9【解析】

先计算，再计算【详解】故答案为0.9【点睛】本题考查了互斥事件的概率计算，属于基础题型.三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】

(1)由及已知得,由此列方程组能求出实数；(2)由,可得，由此能求出的值.【详解】(1)由题意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)，所以，解得；(2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)，∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝.【点睛】本题主要考查相等向量与共线向量的性质，属于简单题.利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：（1）两向量平行，利用解答；（2）两向量垂直，利用解答.18、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】

(Ⅰ)由题意首先求得数列的公差，然后利用等差数列通项公式可得的通项公式；(Ⅱ)首先求得的表达式，然后结合二次函数的性质可得其最小值.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，因为成等比数列，所以，即，解得，所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以；当或者时，取到最小值.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.19、（1）（2）3【解析】

（1）由，，根据三角形面积公式可知，，再根据角平分线的定义可知，到，的距离相等，所以，即可求出；（2）先根据（1）可得，，由平方关系得，再根据三角形的面积公式，可化简得，然后根据基本不等式即可求出面积的最大值．【详解】（1）如图所示：因为，所以．又因为为的角平分线，所以到，的距离相等，所以所以．（2）由（1）及余弦定理得：所以，又因为所以，所以又因为且，故所以，当且仅当即时取等号．所以面积的最大值为．【点睛】本题主要考查正余弦定理在解三角形中的应用，三角形面积公式的应用，以及利用基本不等式求最值，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．20、（1）1（2）见解析【解析】

（1）根据基本不等式即可求出，（2）利用x2+y2+z2（x2+y2+z2+x2+y2+y2+z2+x2+z2），再根据基本不等式即可证明【详解】（1