定值问题（讲义）2024高考总复习压轴题

专题13定值问题

3、抛物线中的定值问题

夯基•必备基础知识梳理

在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，

这类问题统称为定值问题.这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用.

【一般策略】

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②引进变量法：选择适当的动点坐标或动直线中的系数为变量，然后把要证明为定值的量表示成上述变量

的函数，最后把得到的函数化简，消去变量得到定值

【常用结论】

结论1过圆锥曲线上的任意一点尸Go,y。作互相垂直的直线交圆锥曲线于点A,B,则直线必过一定

点(等轴双曲线除外).

结论2过圆锥曲线的准线上任意一点尸作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A,B,则直线A3必过焦

点.

结论3过圆锥曲线外一点尸作圆锥曲线上的两条切线，切点分别为点A,B,则直线A3已知且必过定点.

结论4过圆锥曲线上的任意一点尸(xo,yo)作斜率和为0的两条直线交圆锥曲线于A,B两点,则0B为

定值.

结论5设点A,2是椭圆［=1(a>b>0)上关于原点对称的两点，点尸是该椭圆上不同于A,2两点

的任意一点，直线PA,依的斜率分别是3k2,则向七二与

第1页共19页

提升•必考题型归纳

题型【一】、椭圆中的定值问题

【例。、在平面直角坐标系g中，已知椭圆j＞。）的离心率为白，且右焦点厂到直

2

线/:工=-幺的距离为66.

（1）求椭圆的标准方程；

⑵设椭圆C上的任一点〃（4,几），从原点。向圆/：（尤-/）2+仃-％）2=8引两条切线，设两条切线的斜

率分别为匕K（桃22。），

（/）求证：左/2为定值；

（/■/）当两条切线分别交椭圆于P,Q时，求证：I。尸『+|。。『为定值.

22

【答案】（1）二+匕=1

2412

⑵（。证明见解析；5）证明见解析

【分析】（1）直接列出关于d瓦c的方程组求解；

（2）（/）写出切线方程，由圆心到切线距离等于半径可以得出匕，%与％,%的关系，从而得出KK是某个

一元二次方程的解，利用韦达定理可得；

（//）设尸（为,%）,。（%,%）,利用空2=-g及椭圆方程求得x；+x；,再求得弁+乂后可得|OP『+|OQIL

'J交

a2

2

【详解】（1）题意，C+—=673,解得a=2#,c=2b*=26，

第2页共19页

22

所以椭圆C的方程为工+匕=1.

2412

（2）（/）证明：依题意，两条切线方程分别为y=勺羽y=七人，

=20，化简得（片—8）6一2无。%用+y；—8=0,

同理（片—8）6—2xoyok2+稣—8=0.

所以匕，七是方程（片-8伙z-2x0y0k+y：-8=0的两个不相等的实数根,

则楂=篇

221

又因为£+音=1,所以y；=12-/,

（。）证明：由（，）得,叫=,设尸（%,%）,。（％2，%）,则"&=一；，即力＜兀;后,

2%L4

k

l21

+-1y2-2

21±1-2-

所

因

2K4以

121

11y22

+22-±2---

122

24、

得（12--=即144-6储+考）+；小；=：x；x；,

解得尤：+考=24,

所以才+£=12_1+12_卜=24_；（x：+x；）=24_gx24=12,

所以尸『+|OQ『=d+才+石+£=36为定值.

【例2】、已知片（-。,0）,乙（c,0）为椭圆E的两个焦点，A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，△△耳工的

周长为6,面积的最大值为百：

⑴求椭圆E的方程；

（2）直线A4与椭圆E的另一交点为8,与，轴的交点为".若M4=4AK,=试问：4+4是否为

定值？并说明理由.

22

【答案】⑴工+匕=1

43

第3页共19页

(2)-Q|,理由见解析

【分析】(1)利用椭圆的定义及椭圆的性质即可求解；

(2)根据已知条件作出图形并设出直线方程，将直线与椭圆方程联立，利用韦达定理及向量的坐标运算即

可求解.

22

【详解】⑴设椭圆E的方程为q+方贝!J

由椭圆的定义及AAK耳的周长为6,知2“+2c=6①，

由于A为椭圆E上异于左、右顶点的任意一点，得A到x轴距离最大为6,

因为“耳鸟的面积的最大值为百，

所以S.=；x2cx"地②，

又。2=〃+。2③，

联立①②③，得a=2,c=1,6=代,

22

所以椭圆E的方程为土+匕=1.

43

Q

(2)4+4为定值理由如下:

根据已知条件作出图形如图所示，

则限£|,

设乂),巩与力),如：X=7"、W。),

因为片在椭圆内部，则直线与椭圆一定有两交点,

2

p+y

1消去y得：(3,2

联立;43•m+4)y2—6my—9=0,

x=my-1

6m

又肱4=(X,必-，

,A耳=(—1—玉,—yj,且A4A=4A片，

\m

第4页共19页

所以4二」-一"同理％=」一一1

myimy2

6m

所以4+%=L(L+L]_2=^^_2=Lx^t4_2=_J.

m

加1%y2J叫x%t3

3m2*4+4

Q

所以4+4为定值

小试薪|

22

1.已知椭圆C:「+2=l(a>b>0)的长轴长为4,离心率为；，定点P(TO).

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线A3与椭圆C分别交于点A,8(尸不在直线AB上)，若直线以，P8与椭圆C分别交于点M,N,

且直线A3过定点。(-5|],问直线MN的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由.

22

【答案】(1)上+乙=1;(2值线肱V的斜率为定值1

43

【分析】(1)由长轴长和离心率可求出凡J结合关系式可求出b,进而求出椭圆C的方程；

4_$+4%3

1+4

(2)可设4(和%)，3(%,%)，加(花，％)，NK,%)，由AP=2PAf，BP=〃PN得，将A,

0=%+—

1+Z

M代入椭圆整理得々今=-1,联立=-4求得占,W，同理求得吃,匕，结合七2=⑥°,化简求出

1-21+2

必_%，匕一天由kMN=上&即可求解.

X4-X3

【详解】(1)由椭圆。的长轴长为4可知〃=2,

1「]_____

又椭圆C的离心率为1即e=L，所以c=l,则人正।77=行

22

因此椭圆C的方程为上+匕=1；

43

直线MN的斜率为定值，定值为1,

第5页共19页

证明：设5（孙力），河（不，%），N（&,y4），

AP=APM-BP=juPN,

4%+AX3

~1+Z

由AP=2PM，有，

0:%+2y3

、’—l+A

因为A,M■在椭圆上,

22小*,因此

所以9+&=1,

43

整理得1_丸2=丁一福；।y；一%2y；二片一石；

H「434

JV；—丸2工；X1+丸FF-AX

即4=因此3=-1,

1-221+A1-21-2

石+AX

联立3=—4,

1+/I

53

王二

22

解得,同理＜

5353

22422//

33

（53、%一不丹一不

又因为直线A3过定点°卜于5,所以一|=一

'XH—X,H—

o2212

5353

将％+2%=0,%+4,4=0,XI=_Q_QX，/=一,一耳〃代入，

33

33

有,整理得为一%=五2〃,

3

—一〃

2

综上，直线MN的斜率为定值1.

【点睛】关键点睛：本题涉及的量比较多，关键是设而不求，整体代换的思想的应用.

尤2V21

2、已知椭圆二+与=1（。＞6＞0）,离心率为L，点GQ2）与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形.

房b22

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线y=Ax+机与椭圆。交于M,N两点，O为坐标原点直线Q0,QN的斜率之积等于-试

第6页共19页

探求AOMN的面积是否为定值，并说明理由.

【解析】解：⑴椭圆二+二=1(“>6>0)离心率为L即e，=L

a2b22a2

点G(0,2)与椭圆的左、右顶点可以构成等腰直角三角形，

_r2

.'.a=2fc=lfZ?=百，故椭圆方程为工H=1.

43

(2)由直线与椭圆交于M,N两点，

y=kx+m

联立If2,(3+4k2)x2+Slanx+4(m2-3)=0,

—+—=1

设〃（』，yj,N（%2，%），则△=（86>—16（3+4左2）（加2-3）=48（4左2+3一机2）>o,

—8km4（m2—3）

+X,=---------,X,X2-A-

4-3+4公"-3+4左2

%%_（g+机）（如+m）_k2xx+mk（x+x）+m2_4k2（m2-3）-8〃祇2+^2（3+4/：2）_3（m2-4k2）3

所以SONx2x2一,

2

xxx2xxx2xxx24（小2_3）4（m-3）4

一.2m2=4左2+39

4GlMI

…1=行业黑m=J1+k2

2m2

・原点O至I"的距离d

4百|m\ImI

=正为定值.

-QM）MN

题型【二】、双曲线中的定值问题

22

【例3】、已知双曲线C:鼻-2=1(a>0/>0)的左、右焦点分别为耳，F],双曲线C的右顶点A在圆。:

ab

x2+y2=l±.,且砍.记=-3.

(1)求双曲线C的标准方程；

⑵动直线/与双曲线C恰有1个公共点，且与双曲线C的两条渐近线分别交于点M,N,求△OMN(O为坐

标原点)的面积.

【答案】⑴v-《=1

⑵6

【分析】(1)设双曲线C的半焦距为c,通过点A在圆上易得。的值，通过物・隹=-3,求解c的值，进

而得到双曲线的标准方程;

第7页共19页

（2）直线/与x轴相交于点。，当动直线/的斜率不存在时，求解三角形的面积；当动直线/的斜率存在时，

且斜率上/0,不妨设直线、=区+机，由直线与双曲线的位置关系得病=/一3,联立方程求解M,N纵坐

标，求解面积即可.

【详解】（1）设双曲线C的半焦距为c,

由点A（a,。）在圆O：x?+y2=1上，得a=l,

由Af；.A耳=(—c-1,0).(c-1,0)=—3,得c=2,

所以〃一片=3,

2

所以双曲线C的标准方程为*-匕=1.

3

（2）设直线/与x轴相交于点。，双曲线C的渐近线方程为y=±百x

当直线/的斜率在存在时，直线/为彳=±1,=|跖V|=2g

W5OMJV=||MN||OD|=1X273x1=73

当直线/的斜率存在时，设其方程为＞=尿+加，显然看w0,则。

2

把直线/的方程与方程C:尤2-、=1联立得（3-/）Y-2kmx-m2-3=0

由直线/与轨迹C有且只有一个公共点，

且与双曲线C的两条渐近线分别相交可知直线/与双曲线的渐近线不平行,

所以3-/片0,且〃7学0,

3-do

于TE得&=4后帝—4（3-/）9*2—3）=0，

得病=公-3,

设时（丹，弘）川（孙）2），

,\y=kx+m

由］y=氐'得m

同理得

11I..1.^iimmr-m2-

所以5。楙=：°。/一斗=于e网耳口一F仁相寸

综上，AOMN的面积为VL

第8页共19页

【例4】、已知片(近,0),4-近,0),〃为平面上一动点，且满足IMITM用=4,记动点M的轨迹为曲线

E.

⑴求曲线E的方程；

(2)若4(-2,0),8(2,0),过点(1,0)的动直线/交曲线E于P,。(不同于A,B)两点，直线AP与直线8。的

斜率分别记为七，，kBQ,求证：於为定值，并求出定值.

KBQ

22

【答案】⑴?-3=1(尤之2)

⑵证明见解析；I

【分析】(1)利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；

k

(2)设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证广为定值，之后求出定值即可.

【详解】(1)由题可知|八鸣I-1孙|=4<25，则"的轨迹是实轴长为2“=4,

焦点为耳(A/7,0),7S(-A/7,0)即C=近的双曲线的右支，则b=6，

22

所以曲线E的方程为：L-工=1。22)(或无>0).

43

(2)由题可知过点(L0)的动直线/斜率存在且不为0,则设斜率为3

所以直线/的方程为：y=k(x-l)(k^0),设P(X],%),Q(x2,y2),

第9页共19页

4%2—3工0

A>0

8左2可得』<左2<1,即_1<%<_3或立〈左<1,

则M+/=------>0

勺24V-3422

4k2+12

>0

4P-3

„„kAP_%x2-2_k{xx-l)(x2-2)_(X1-l)(x2-2)

Illi一x——

4

kBQ项+2y2(%i+2)•左(工2—1)(国+2)(工2一1)

4k2+12、8k2…

-2%一（获_一再）+2

玉％22演一工2+24k2-3

软2+12〜8k

菁％2一再+2/-2-----X+2(-----

—51

442-3'4左2一3

4左2+64A2+6

-%］+-尤］+

4F-34%231

12V+184左2+63

—3工］+3（一冗］+)

442—34%2_3

k

所以於AP为定值，定值为15.

KBQ3

小试薪I

2222

1.已知椭圆C：a+}=l（a>6>0）的长轴为双曲线3-5=1的实轴，且椭圆C过点尸（2,1）.

⑴求椭圆C的标准方程;

⑵设点A,B是椭圆C上异于点P的两个不同的点，直线PA与PB的斜率均存在，分别记为k、，h，若桃2=-1,

试问直线A3是否经过定点，若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由.

22

【答案】⑴土+匕=1;⑵过定点,理由见解析

82

【分析】（1）由题意可得片=8,最+，=1，求出〃，从而可得椭圆方程,

（2）分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数

的关系，求出直线以与PB的斜率，再由％/2=-3列方程可得参数的关系，代入直线方程可求出直线恒过

的定点.

2222

【详解】（1）因为椭圆C:,a=l（a>6>0）的长轴为双曲线》?=：!的实轴,

所以=8，

因为椭圆C过点尸（2,1）,所以‘+5=1,1+-1=1,得廿=2,

22

所以椭圆方程为土+^=1；

82

第10页共19页

（2）①当直线AB的斜率存在时，设其方程为y=依+/,4（%,必）,2区,%），

■y—j

由~2，得(4/+1)/+83+4产一8=0,A=644,产一4(4左？+1)(4产一8)=842一产+2>0,

x+4y=8

cr..—Skt4/-8

所以再+尤2=不一；，x.x

4k+124r+1'

2tt2-Sk2

22

所以％+%=%(%+x)+2t=-—,yxy2=(g+t)(kx2+t)=kxrx2+kt{xx+x2)+t=——----

24k+14k+1

因为所以","4=受丑誉M=一；

2-2x2-2XjX2-2(xl+X2)+42

所以2%%-2(%+%)+2=-xtx2+2(项+/)-4,

所以2.工_2.?+2=_£^+2.当一,

4左？+l4k2+14k2+14Jt2+l

所以2r-16k2-4f+8/+2=T/+8—16后一16/_4,

化简得4/+3/+8kt-2t-l=0,即(,2k+t-l)(2k+3t+I)=0,

所以「=1-2左或"-洋

当/=1一2左时，直线的方程为'=履+1-2左=/x—2）+l,

则直线过定点（2,1）（舍去），

当/=一彳时，直线的方程为＞=依一等}_

A3k

3

2_£

所以直线过定点

3，-3

②当直线AB的斜率不存在时，设直线为彳=机（加r2）,

所以y=±'q,

所以

女］女2=

m2-4m+42

2

解得帆=2（舍去），或根=§,

所以直线也过定点

综上，直线AB恒过定点

【点睛】处理定点问题的思路:

（1）确定题目中的核心变量（此处设为七）,

第11页共19页

(2)利用条件找到人与过定点的曲线厂(x,y)=O的联系，得到有关左与羽丫的等式，

(3)所谓定点，是指存在一个特殊的点(1,%),使得无论％的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于上

与x，y的等式进行变形，直至找到(%,%),

①若等式的形式为整式，则考虑将含上的式子归为一组，变形为"•()”的形式，让括号中式子等于0,求

出定点；

②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0,一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去人变为常

数.

22

2.(2024上•山东日照•高二统考期末)已知双曲线C：与-==l(a>0,b>0)的实轴长为4,焦距为4行.

a"b

(1)求双曲线C的方程；

(2)记C的上、下顶点分别为A，4,过点"(O,T)的直线与C的下支交于N两点，M在第四象限，

112

直线NA与叱交于点Q,设直线QN,的斜率分别为印，勾，证明：T+T=T-

/v1尺？/C3

22

【答案】⑴工-工=1

416

⑵证明见解析

【分析】(1)根据条件，直接求出。力,即可得出结果；

(2)设直线的方程为、=履-4,联立双曲线方程得(必2一1卜2-32履+48=0,由韦达定理得

Xi+x2=-^-,Xlx2=-^-,再通过联立直线NA和跖4,的方程，求得坨=-1,从而得出点。在定直线

4K—14k—1

>=-1上运动，即可证明结果；

22

【详解】(1)因为C：［-二=1(。>0,6>0)的实轴长为4,

ab

所以。=2,由焦距可知c=2石，又62=。2一”2=20一4=16,

22

所以双曲线方程为工-土=1.

416

(2)由(1)可得，4(0,2),4(0,-2),设“(4*),N(%,%),

显然直线的斜率存在，所以设直线MN的方程为，=依-4,

2

V无21

因为双曲线匕-土=1的两渐近线为>=±7兀，直线MN与双曲线。的下支交于V,N两点，所以

4162

第12页共19页

y兰1

由416一,消y得(4公-1卜2-32b+48=。，且A>0,

y=kx-4

32k48

则nil玉+%=—'%%=目'

y.+2%―2

直线MA,的方程为y=」一X-2,直线叫的方程为y=也—尤+2,

%x2

X+20

y=------x-2

石4平2

联立两直线方程＜，得到q=

必一26再-2X2

y=------x+2

4)1x486x32k

4kxx-12玉一4X_一6玉+2X+4kxx-6x-6须4人2—14尸一1

x222x22=一1+=-1，

6%—2X26xl-2X26%i—2X2

据此可得点。在定直线y=-i上运动,

-1+21

—Kk-

k、=kQM_QA2_

-1-23

二=kQ\

%

-1+43

%3=^QH=

所以,+}=兀2%2

/vj八233左3

（法2）联立直线与直线NA的方程可得:

—164

+2%

y+2々I依一2)gw-2(%+/)+2%4人2—11

)48左

y-2x1(AX2-6kxxx2-6xr3

4k2-1

所以可得y=-i,即为=T,

据此可得点。在定直线y=-1上运动.

11112XQ2

贝U—I—=----------1------------==——.

K无2k0%k％3k3

第13页共19页

【点睛】关键点点晴：本题第(2)的关键在于，由直线MN的方程和双曲线方程得(必2-I)/-32履+48=0,

从而得出玉+%=,玉％=,联立直线NA、和MA,的方程，得到交点坐标，再利用xx=

4左—14K—1l+24K—

48

玉天=37化简得到%=T,从而解决问题.

4K—1

题型【三】、抛物线中的定值问题

【例5】、在平面直角坐标系xOy中，已知圆心为C的动圆过点(2,0),且在y轴上截得的弦长为4,记C的

轨迹为曲线E.

(1)求曲线E的方程;

⑵己知4(1,2)及曲线E上的两点8和。，直线经过定点(-3,2),直线AB、AD的斜率分别为匕、k2,求

证：左+佝为定值.

【答案】(l)y2=4x

(2)证明见详解

【分析】(1)设圆心C(x,y),由两点距离公式和几何法求弦长公式化简计算，可得(x-2)2+y2=/+4,化简

即可求解；

(2)设直线BD的方程x=O-2f-3、3(和%),£((%,%),联立抛物线方程，消元并利用韦达定理可得

44

%+%=41,%%=&+12,结合两点求斜率公式可得K+&=一—-T=1,即可证明.

【详解】(1)设圆心c(无,y),半径为r,由圆心为C的动圆过点(2,0),

所以0-2)2+/=/,

22

又圆心为C的动圆在y轴上截得的弦长为4,所以3+2=r,

此时0-2)2+/=/+4,解得产=软，

所以曲线E是抛物线，其方程为y2=4x；

(2)易知直线BD的斜率不为0,

第14页共19页

设直线BD的方程为x+3=(y-2),即x=Zy-2f-3,

〈2,，消去X,得>2-例+&+12=0,

[y=4x

A=16产-4(8r+12)>0nr<-l或r>3,

设3(占,%),。(彳2，%)，则乂+%=4，％%=8f+12,

k4k_y2-2_y2-2_4

1

%T2L_]%+2‘°x2-lyl_1y2+2,

44

所以氏+左=上+,=4(a+%+4)=4(1+%)+16=四16=]

2

阴八'y,+2%+2(x+2)(%+2)y,y2+2(y,+y2)+416t+16

即ki+k2为定值1.

【例6】、(2024上•四川泸州•高二统考期末)抛物线C：y2=2px(p>0)上的点尸(4,%)(%>0)到C的准线

的距离为5.

(1)求C的方程；

(2)已知直线/与C交于A,B两点,若。4,03(。为坐标原点)，ODLAB交于点D.点E坐标为(2,0),

证明|。£|的长度为定值，并求出该定值.

【答案】⑴口二标

⑵证明见解析；该定值为2；

【分析】(1)根据抛物线定义可得点尸(4,%)(%>0)到C的准线的距离为4+与，可求出C的方程；

(2)先根据条件03联立方程可求得〃的值，再利用求出点。的坐标，最后求出目的长度.

【详解】(1)根据题意利用抛物线定义可知4+5=5,解得p=2；

所以抛物线C的方程为9=4x；

(2)如下图所示:

第15页共19页

设直线/的方程为x=，理+〃，与抛物线方程联立整理可得9-4"少-4〃=0,

设A（g%）,3伍,力），则可得%+%=4m,%%=~4n；

由于OA_LO3,所以可得占々+%%=0，即毛+%%=0,

可得〃2一4〃=0,解得"=4或〃=0（舍）；

又OD_LAB,所以可得直线。。的方程为y=一3，

x=my+n4m

联立,可得点。的坐标为

y=-mx1+m2

又E(2,0),所以可得

2+2m

\DE\=1(^^-2)+(——=卜-2：]+[__=l()=2

11YU+加J(l+m2)欢1+m2)I1+m2)10+也。

即|DE|的长度为定值2.

小试薪|

1.（2024•全国•校联考一模）动圆P过定点42,0）,且在y轴上截得的弦GH的长为4.

⑴若动圆圆心尸的轨迹为曲线C,求曲线C的方程；

（2）在曲线C的对称轴上是否存在点。，使过点Q的直线/'与曲线C的交点S,T满足+总甲为定值?

若存在，求出点。的坐标及定值；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴y2=4x；

⑵存在点。（2,0）,定值二.

【分析】（1）根据给定条件，利用圆的性质建立等量关系，列出方程化简即得.

（2）假定存在符合要求的点。并设出直线/'的方程，与曲线C的方程联立，利用韦达定理结合已知化简计

算即得.

第16页共19页

【详解】（1）设尸（x,y）,依题意，|R4|=|PG|,而1PAl2=（了-2）2+产，当P点不在y轴上时，即xwO,

由动圆尸在y轴上截得的弦GH的长为4,得|PG『=二+§|GH|『=f+4,

因此（x-2）2+y=x2+4,整理得V=4X,

当P点在y轴上时，显然尸点与原点。点重合，而尸（0,。）也满足y2=4x,

所以曲线C的方程为丁=4兀

（2）假设存在。5,0）满足题意,

设5（网,必）,7（均必），显然直线/'不垂直于y轴，设直线/'的方程为彳="+。，

\x=ty+a,,,、

由<2/消去X得y—4“-4〃=0,A=16/+16a>0,%+%=4，,％%=-4〃，

[y=4x

贝lj玉+%2=/（%+为）+2。=4』+2a,xx=—yiy\=/,

r216

22—2

|QS|+1QT|=—〃了+y；+（x2tz）+y；—x；+工；+（4—2Q）（%+x2）+2a?

—（X]+12）2+（4—2〃）（x+%2）—2斗％2+2。2=（玉+%2）（玉+x?+4—2a）—2演％2+2a2

=8（2产+a）（