江西省八所2024届高三年级下册4月联考数学试卷（含答案与解析）

江西省八所重点中学2024届高三下学期4月联考

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数学试卷

本试卷满分150分，考试时间120分钟

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷

上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡-并交回.

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线>=2》2的焦点坐标为()

A.区UD.(0,1)

7C27cII兀兀

2,已知集合A=j+Z<%<24兀+｝-,左£Z卜集合Bj乂左兀+^<%<左兀+1,左£Z卜贝(J

AB=()

2kjt+巳,2kn+1），，keZ

2kn+£,2kjt+y

3.已知S”是正项等比数列｛%｝的前〃项和，且q+%=82,〃2〃4=81,则邑=()

4.复数Z在复平面内对应的点为O为坐标原点，将向量OZ绕点O逆时针旋转9。。后得到

向量OZ；,点4对应复数为z一则z；=()

B.-1+i

5.函数/（%）=|2尤一训一|ln%|有且只有一个零点，则加的取值可以是（）

A.2B.1C.3D.e

6.己知正四棱锥P-ABCD,现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色，

且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

7己知a,2（sin夕+sin2/?）=s「2月,则tan12a+/?+《］=（）

A.-73B.-走C.昱D.73

33

8.我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体“黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料一强互作用力

（S/M）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所

示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭

圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆

的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为4，%,则（）

22

附：椭圆工+2=1（。〉6〉0）上一点（尤0,%）处的切线方程为岑+岑=L

abab

A.，＜02B.Ox-%

c.D.4和％的大小关系无法确定

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题会出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若

只有3个正确选项，每选对一个得2分.

9.已知随机变量X、7,且V=3X+1,X分布列如下：

X12345

113

Pmn

105To

若E（y）=io,则（

317

A.m=——B.n=—C.E(X)=3D.n(y)=-

105

、

.*兀71

10.已知函数/(X)=2COS(G%+°)。<G<6,G£N0,|;满足：VxeR,/(%)-/<0

恒成立，且在上有且仅有2个零点，则（

A./（x）周期为兀

7171

B.函数〃元）在区间上单调递增

6,3

TT

C.函数/（x）的一条对称轴为1=—

3

函数/（X）对称中心为（石+彳,01左eZ）

D.

11.在棱长为2的正方体ABCD—4月G］。中，点E,尸分别为棱。A，G2的中点，过点E的平面。

与平面5OG平行，点G为线段5G上的一点，则下列说法正确的是（

A.\G^BXD

B.若点。为平面a内任意一点，则QC+Q5的最小值为26

底面半径为|且高为百的圆柱可以在该正方体ABCD-A4Goi内任意转动

直线4G与平面BDCi所成角的正弦值的最大值为逑

D.

3

三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分.把答案填在答题卡中的横线上.

12.^---\\展开式中犬项系数为

\BD\1

13.在三角形A5c中、BC=4,角A刚平分能AD交5C于点。，若伺方=§,则三角形ABC面积的

最大值为

r\X+\n-1

14.已知函数F(x)=ox0--1一。,存在实数看,々,•，天使得=七)成立，若正整数”的

2+2i=i

最大值为8,则正实数。的取值范围是.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

tana,1+1=weN，

15.数列｛a“｝满足q=看,1^],cosa,()-

(1)证明：数列｛tai?4｝为等差数列，并求数列｛tan%｝的通项公式；

(2)求正整数加，使得sinq・sin〃2-sin^

2兀

16.三棱柱ABC-A4cl中，ABJ.AC,AB=AC=2,侧面为矩形，4钻=三，三棱锥

G—ABC的体积为毡.

3

(1)求侧棱AA1的长；

(2)侧棱CJ上是否存在点£,使得直线AE与平面ABC所成角的正弦值为冷？若存在，求出线段

GE的长；若不存在，请说明理由.

17.在平面直角坐标系中，F(1,O),直线4：x=-1,动点M在直线乙上，过点M作直线乙的垂线，与线

段门必■的中垂线交于点尸.

(1)求点尸的轨迹C1的方程；

(2)经过曲线G上一点尸作一条倾斜角为45°直线心与曲线Cz：(x-4)2+y2=8交于两个不同的点

Q,R,求|PQI-|PR|的取值范围.

18.一次摸奖活动，选手在连续摸奖时，首次中奖得1分，并规定：若连续中奖，则第一次中奖得1分，

下一次中奖的得分是上一次得分的两倍：若某次未中奖，则该次得。分，且下一次中奖得1分.已知某同学

连续摸奖〃次，总得分为X,每次中奖的概率为:，且每次摸奖相互独立.

（1）当〃=5时，求X=3的概率；

（2）当〃=3时，求X的概率分布列和数学期望；

（3）当〃=30时，判断X的数学期望与10的大小，并说明理由.

19.已知函数/(x)=ln(x+l)—ax,/(x)W0恒成立.

（1）求实数。的值；

（2）若关于彳的方程/（乃=!（加-3;<）在［2,4］上有两个不相等的实数根，求实数加的取值范围；

4

（3）数列｛4｝满足：4+1=%+ln（p—4）,囚=：p2+y_2,若数列｛4｝中有无穷个不同项，求

整数。的值.

参考答案

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.

1.抛物线>=2必焦点坐标为（）

A.D.（0,1）

【答案】C

【解析】

【分析】

先将抛物线方程化为标准形式，再求焦点坐标.

【详解】由丁=2必得好=!丁，所以抛物线为开口向上的抛物线，且°=工，

24

所以焦点坐标为,

故选：C

7C27cII兀兀।

2,已知集合A=乂2左兀+7<%<24兀+?-,左£Z卜集合Bj乂左兀+］<%<左兀+§,左£Z卜则

AB=()

C7兀C7兀7兀771

A.2kitH—,2kliH—,k£ZB.kitH—,kitH—,kE7J

I43I43

一C7兀C7兀7兀7兀

C.2kitH—,247tH—,kE7aD.kitH—,kitH—,k£Z

I63JI63；

【答案】A

【解析】

【分析】根据给定条件把集合5写成用2br+8(kwZ)形式表示的集合，再与集合A求交集即可.

57i4兀

【详解】依题意，5=2kn+^<x<2kn+^,keZ卜卜I2kjt-\-----<x<2kitH------,keZ、,

43J

r兀27t।

而A=JX2far+—<x<2fat+—，左eZ)

x|2kn+；<x<2E+•，左eZ|=12kn+:,2kn+]

所以Ac3=keZ.

故选：A

3.已知S.是正项等比数列｛4｝的前几项和，且q+4=82,a2a4=81，则S$=()

A.212B.168C.121D.163

【答案】C

【解析】

【分析】由条件结合等比数列性质求出a1,外，再列方程求出数列的公比心利用等比数列求和公式可求$5.

【详解】设等比数列｛%,｝的公比为心

因为数列｛4｝为正项等比数列，所以4>0,

因为。2%=%05'又〃2a4=81,

所以。1%=81,因为q+。5=82,

q=81〃1—1

所以《1或<

%=1%=81

4二81a=811

若

41，解得〃i=81,q=-

%=1a{q=13

81x|1—-—

所以一I243

=121,

3

6Zi—1Cly—1

若忆=81’则I，解得4=1,q=3,

a^q4=81

5

^i(l-g)_1x(1-243)i2i

所以S5=

i—q1-3

所以S5=121,

故选：C.

4.复数Z在复平面内对应的点为Z,。为坐标原点，将向量0Z绕点。逆时针旋转90。后得到

向量点4对应复数为z一则z；=(

A..——1+—相.1nB.-11+1.°C.--I---瓜1

2222

【答案】C

【解析】

【分析】先求出4=-工+/4,进而利用复数的乘方运算求出结果.

22

【详解】由题意得设其与实轴正半轴夹角为夕，则tan6=#，

7T

故可设6=7，

6

JT2

设与实轴正半轴夹角为/，则/=6+5=3兀，

故cos/=—g,sin£=，

\2

..173.(161V3.

故为=——+——1,则Z；=---1---1二乌+打-----1，

1222242422

7

、2

1^i+-i21技

z：=［一乌=—+---1---1,

742422

5_(1A/3，Y_1A3_16.

122J42422

故选：C

5.函数/(x)=|2x—机|—|ln尤|有且只有一个零点，则用的取值可以是()

A.2B.1C.3D.e

【答案】B

【解析】

【分析】由题意将原条件转换为加=/z(x),7%=g(x)的根的个数之和为1,其中/i(x)=2x+lnx,

g(x)=2x-lnx,(x>0),从而只需画出它们的图象即可通过数形结合求解.

【详解】f(x)=|2%-根|—|也了|=。07%-2%=111%或加一2%=—111%,

显然/z(x)=2x+lnx单调递增，令g(x)=2x—lnx,(x>0),

则g'(x)=2—L当0<x<；时，g'(x)<0,g(x)单调递减，当时，g'(x)>0,g(x)单调递

增，

所以g(x)mm=gfl+ln2,

注意到人(x)=g(x)的交点为(L2),而2>l+ln2，

所以在同一平面直角坐标系中作出〃(X),g(x)的图象如图所示，

由图可知加=力(1),加=8(%)的根的个数之和为1,当且仅当加<1+1112，

对比选项可知加的取值可以是L

故选：B.

6.已知正四棱锥P-ABC。，现有五种颜色可供选择，要求给每个顶点涂色，每个顶点只涂一种颜色,

且同一条棱上的两个顶点不同色，则不同的涂色方法有（）

A.240B.420C.336D.120

【答案】B

【解析】

【分析】分三种情况，用三种颜色，四种颜色，五种颜色，求出每种情况数相加得到答案.

【详解】当只用三种颜色时，AC同色且民。同色，

5种颜色选择3种，且有A；=60种选择，

当只用四种颜色时，AC同色或民。同色，

从5种颜色中选择4种，再从A,C和我。中二选一，涂相同颜色，

故有C：C；A：=240种选择，

当用五种颜色时，每个顶点用1种颜色，故有A：=120种选择，

综上，共有60+240+120=420种选择.

故选：B

7.己知£,2(sin/?+sin2/?)=s：n2.,则tan12a+〃+E]=()

A.-y/3B.-无C.息D.也

33

【答案】A

【解析】

【分析】由题意得2sin/?(sin夕+1)=2sm/?cos尸cosa,进一步

sina

71

cos~~a=sini=cosacos，—sinasin/?=cos(a+/?),根据余弦函数单调性得2a+，=],由此

即可得解.

【详解】因为2(sin/+sin2/)=28,所以2sin/?(sin夕+1)=2s-qcos尸cosa

''tanasina

因为sin/?wO,所以sina+sinasin/=cosacos力,

71

从而cos~~a=sina=cosacos/一sinasin/?=cos(a+/),

注意到］—a,a+夕e（0,兀），而y=cosx在（0,兀）上单调递减,

JTjr

从而5—a=a+q，即2a+4=万,

(兀)2兀

所以tanI2a+y?+—I=tan=

故选：A.

8.我国著名科幻作家刘慈欣的小说（三体〃•黑暗森林）中的“水滴”是三体文明使用新型材料一强互作用力

（S/M）材料所制成的宇宙探测器，其外形与水滴相似，某科研小组研发的新材料水滴角测试结果如图所

示（水滴角可看作液、固、气三相交点处气一液两相界面的切线与液一固两相交线所成的角），圆法和椭

圆法是测量水滴角的常用方法，即将水滴轴截面看成圆或者椭圆（长轴平行于液一固两者的相交线，椭圆

的短半轴长小于圆的半径）的一部分，设图中用圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为4,%,则（）

21

・体村“

22

附：椭圆=+当=1g〉6〉0）上一点（/，为）处的切线方程为¥+岑=1.

abab

A.®i<®2B,，=%

c.D.4和％的大小关系无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】理解题意，根据测量水滴角的圆法和椭圆法，以及运用圆和椭圆的切线方程的表示即可得出结论.

【详解】由题意知，圆法和椭圆法是测量水滴角的常用方法，

即将水滴轴截面看成圆或者椭圆的一部分.

设圆法和椭圆法测量所得水滴角分别为4,4；

由题意可知，若将水滴轴截面看成圆的一部分，圆的半径为R,如图1,

则有R2=(R—1)2+4,解得7?=|,

24

所以tan^=--=-；

若将水滴轴截面看成椭圆的一部分，如图2,

切点坐标为(一2,/?—1),

则椭圆二+，=1上一点(―23—1)处的切线方程为二=1,

2b2

此时椭圆的切线方程的斜率设为&，则&=tan%=

a1(/?-1)

将切点坐标为(—21—1)代入切线方程号+】［7=1可得巴+(b—0=i,

aba2b1

解得咚=2b-1,

a

2从

所以tan%=[MD

a1(Z?-1)b-1

因为短半轴=*,

2

所以tan%2+-^-|>|=tan<91

即tan02>tanOx,

所以

故选：A.

222

【点睛】关键点睛：本题的关键在于先求出tan4=-再求出椭圆=+3=1上一点（—21—1）处

R-lab

的切线方程，由此表示出tan%=g12+4],结合6<R=g,即可得出答案.

二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题会出的选项中，有多项符合

题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若

只有3个正确选项，每选对一个得2分.

9.已知随机变量X、匕且y=3X+l,X的分布列如下：

X12345

113

Pmn

105To

若石⑺=10,则()

317

A.m=——B.n=—C.E(X)=3D.D(F)=—

1053

【答案】AC

【解析】

【分析】由分布列性质和期望公式求出牡〃可判断ABC；由方差公式可判断D.

1132

【详解】由----1--\-n-\--=1可得：m+n=-@,

105105

又因为E（y）=E（3X+l）=3E（X）+l=10,解得：E（X）=3,故C正确.

所以E（X）="+2x—+3x-+4zi+5x—=3

10510

713

则机+4"=—②，所以由①②可得：n=一,m=一，故A正确，B错误；

101010

D（X）=（1-3）2X^+（2-3）2X^+（3-3）2X|+（4-3）2X^+（5-3）2X^

=4x----i-lx----i-lx----i-4x——二——,

101010105

13117

D(y)=D(3X+l)=9D(X)=9xy,故D错误.

故选：AC.

10.已知函数/(x)=2cos(0x+0)O<0<6,0eN*,°e[o,]]；满足：VxeR,/(x)-/^^<0

恒成立，且在，胃]上有且仅有2个零点，则()

A.A%)周期为兀

(7171]

B.函数,3在区间上单调递增

TT

C.函数/⑺的一条对称轴为x=—

3

(兀kjL]

D.函数/(丈)的对称中心为[4+§,0J(左eZ)

【答案】BCD

【解析】

【分析】由f(x)-/^j<0可得"X)的最大值为/(g),则得0=—10+2也次eZ,再由/(x)在［o,1J

3兀7i5JT

上有且仅有2个零点，可得一<—0+04——，再结合例0的范围可出。，。的值，从而可求出/(x)的解

232

析式，然后逐个分析判断即可.

【详解】因为VxeR,/(x)—恒成立，所以/⑴的最大值为/(1),

7171

所以1口+O=2kn,keZ,即/=一1@+2左兀,左£Z,

，兀)(71)

当xe0,—时，69%+^e(p.—CD+(p,

因为/(x)在上有且仅有2个零点，所以〈与，

3冗717TSjT371SjT

所以一<—。一一O+2E〈一，左eZ,即一<2版《—,左eZ,得％=1,

233222

71

所以/=—g+2兀，

因为O<0<6,tyeN*,°e[o,3J,所以0=5,夕=]，

7T

所以/'（x）=2cos（5x+§）,

对于A,Ax）的周期为——，左wZ,若——=兀,左eZ,则左=—eZ,所以A错误，

552

，十兀”02E4兀//2bi7i,”

对于B,由2kn—兀K5xH—42ATI次eZ,侍--------Kx<------------，左eZ,

3515515

所以/（x）的递增区间为（keZ）,

当上=1时，/（X）的递增区间为，而是的真子集，

_153J3J|_153_

（7171）

所以函数“X）在区间§上单调递增，所以B正确，

JTATTITKTTTT

对于C,令5x+—=E，4eZ,则%=-------，左wZ,所以/（九）的对称轴为%=-------,keZ,

3515515

TT

当左=2时，的一条对称轴为％=—,所以C正确，

3

T,-7L7L._/071%兀,_

对1于D,由5%~\———\-k7u,keZ,得x=-----1-----，左eZ,

32305

（兀kjt]

所以函数/（尤）的对称中心为五+彳,0（左eZ）,所以D正确，

故选：BCD.

11.在棱长为2正方体ABCD-A耳OR中，点E,F分别为棱DD{,CR的中点，过点E的平面«

与平面3DG平行，点G为线段BG上的一点，则下列说法正确的是（）

A.AG工BQ

B.若点。为平面c内任意一点，则QC+Q5的最小值为2m

C.底面半径为,且高为目的圆柱可以在该正方体ABC。-内任意转动

D,直线4G与平面BDC1所成角的正弦值的最大值为空

3

【答案】ACD

【解析】

【分析】对A,可证4。，平面ARG，可得对B,平面。截正方体的截面为如图正六边

形，点4,C关于平面a对称，。。+。3最小转化为求。4+。3即为48；对C,只要圆柱的外接球半

径小于等于正方体的内切球半径即可满足题意；对D,当4G最小时，直线4G与平面5DC1所成角的正

弦值最大，此时点G是BG的中点，得解.

【详解】对于A,如图，与2,4G，又。平面A4GD，所以与A，又口。,耳，是平

面内两条相交直线，

所以4G，平面。所以耳。人AG-同理可证

而4G，BC1U平面45C1,所以用。，平面ABC］，因为AGu平面

所以4£＞，AG,故A正确；

对于B,如图，平面a截正方体的截面为正六边形，点A，C关于平面a对称，

所以QC+Qfinaj+QB'ABnZg，故B错误；

对于C,底面半径为高为正的圆柱的外接球的半径为R=l,又正方体棱长为2,所以圆柱可以在正

方体内任意转动，故C正确；

对于D,由题，点人到平面BOG的距离为定值，所以当AG最小时，直线4G与平面BDC1所成角的

正弦值最大,

此时点G是BC,的中点，直线A.G与平面BDC｝所成角即ZA,GD,

在中，AG=DG=娓,4。=2夜，cosN4GD=2：£^=g'

所以sin/AGD=¥^.故D正确.

故选：ACD.

【点睛】思路点睛：选项B,确定平面e截正方体的截面为正六边形，由此确定点A，C关于平面戊对

称，将球QC+Q3最小转化为求QA+Q3；选项C,圆柱可以在正方体内任意转动，只要圆柱的外接球

半径小于等于正方体的内切球半径即可；选项D,直线AG与平面所成角的正弦值最大，即4G最

小时，此时点G是BG的中点，直线4G与平面3DG所成角即NAG。.

三、填空题：本题共3小题，每小题6分共16分.把答案填在答题卡中的横线上.

］展开式中好项系数为

12.

【答案】-115

【解析】

-15

\转化为

【分析】可将-1，然后再利用二项式定理展开求解.

X

55

2

【详解】由题意得X---11可化简为-1

XX

5-k

犬―

且其展开式为/+1=C；2I(-If

X

5-k

2-l

其中对于x।的展开式为1+I=C1L代厂,2)«厂=1(-2)3。-"

X

当左=1/=2时，此时10—2左一3厂=2,则-的系数为—120,

当左=4,r=0时，此时10—2左一度=2,则/的系数为5,

所以/项系数为—120+5=—115.

故答案为：—115.

BD\1

13.在三角形ABC中、BC=4,角A刚平分能A。交5c于点。，若谓=§,则三角形A5C面积的

最大值为.

【答案】3

【解析】

AB\1

【分析】先根据正弦定理可得-回-j,再建立平面直角坐标系求解A的轨迹方程，进而可得.ABC面积

的最大值.

【详解】忐除即

sinZBADsinZADCsinZCAD

、\AB\_sinZADB\AC\sinZADC

所以闻一sinN5Ao'\DC\~sinZCAD

因为NAP8=180°—NADC,

所以sinZADB=sin(l80°-ZADC)=sinZADC,

因为角A的平分线A£＞交BC于点。,

AB\AC\

所以NB4D=NC4D,所以不=焉，

BD\DC

斫以网-四1

所以|AC|\DC\以。为坐标原点建立如图平面直角坐标系,

\BDI，所以5(—1,0),C(3,0),

因为3c=4,

\DC

J(x+1)2+91

设A(x,y),则

3

3Q

所以f+3x+y?=0,所以（%+—）2+y2—~,

33

故点A（匹y）的轨迹是以（一耳,。）为圆心，,为半径的圆（除去（—3,0）和（0,0））,

3313

故当A纵坐标最大，即时面积取最大值为SABC=-X4X-=3.

故答案为：3.

2x+ln-\

14.已知函数/(尤)=-1-a,存在实数看,々，［X”使得=成立，若正整数九的

2工+2一、Z=1

最大值为8,则正实数〃的取值范围是

94

【答案】—<—

73

【解析】

2%+i

［分析］设g(x)=2'+2r得到—1—a＜g(x)—a＜l—。，然后分类讨论。的范围，解出即可.

QX+10

--Z____1-I_____z__

【详解】设2工+2一工(2X)2+1,又因为(2,)2>0,(2工)2+1〉1,所以—l<g(x)<l,

则—1—a<g(x)—〃<1—a,当0<Q<1时，—1—a4—1,041—

n-\

则0</(X)<a+l,显然存在任意正整数n使得»@)=/(%„)成立；

i=l

当a>l时，一l-a<l-a<0,a—l<f(%)<a+\,

7(a—1)＜a+194

要使得正整数〃的最大值为8,贝I。，，、，，解得一＜a＜一,

［8(a-l)»a+l73

94

则实数。的取值范围是一Ka＜一.

73

94

故答案为：Ya＜一.

73

【点睛】关键点点睛：本题考查了分段函数值域的求法，解题的关键是分类讨论求出函数人幻的值域，然

后根据题意列不等式求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，

15.数列｛a“｝满足q=6,an-tana“+］=cosa，(〃eN)

（1）证明：数列｛tan?%｝为等差数列，并求数列｛tan%｝的通项公式;

（2）求正整数加，使得sinq-sin%-sin^

3n-2

【答案】（1）证明见解析,tanan=

(2)m=3333

【解析】

71

【分析】（）推出l+tai?4,从而得到｛tan?aj是以1为公差的等差数列，求出通

1tan-az2

cosan

3n-2

项公式，得到tana”=

1.tanCL

（2）利用同角三角函数关系结合tana,------得到求

n+\sina.•sina.2•--------

cosan--------------------tana,"+i3m+l

出答案.

【小问1详解】

由已知条件可知，由于cosq,〉0,

•22

2

el0,^j,tan«,1sman+cosan2

故％%+1-2=1+tanan,

cosan

22

则tanan+l-tanan=lf

故数列｛tai?%｝是以1为公差等差数列，且首项为tan2q=tan261

3

,,2113rL—2

故tany=〃-1+§=^—,

3n—2

即tanan=

【小问2详解】

sinax•sina2••sinam=tanaxcosaxtana2cosa2•tanamcosam

_tanqtan%tana机

tan%tan/tanam+i

tanq1

tan%+i3m+1

,得加=3333.

3m+1100

16.三棱柱A5C-aqG中，AB1AC,A5=AC=2,侧面^ACG为矩形，”48=三~，三棱锥

£一ABC的体积为毡.

3

(1)求侧棱A4的长；

(2)侧棱cq上是否存在点E，使得直线AE与平面ABC所成角的正弦值为冷？若存在，求出线段

。1后的长；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)A4]=2

(2)C[E=2

【解析】

【分析】(1)证明平面ABC,结合题目条件，先计算出A。的值，然后即可以求得侧棱A4的长;

(2)建立空间直角坐标系，设未知数2,结合题目条件，列出方程求解，即可得到本题答案.

【小问1详解】

在平面内过A作垂足为。，

因为侧面AACC]为矩形，所以CA，M，

又C4LAB,ABoAA^^A,AB,A4,u平面9片吕，

所以C4_L平面A41与3,

又。Lu平面ABC,所以平面平面ABC,

易得A£>u面9耳3,平面A&3内0平面ABC=A3,

所以平面ABC,

因为匕ABC=-S4Rr-AD=-x-x2x2AD=—，所以AD=Q，

Cj—ADC3ADC323、

因为NAAB=g,ZA^AD=^,所以A4j=2；

【小问2详解】

存在点E满足题意，C[E=2,理由如下：

如图，以A为坐标原点，以A5,AC,AD所在直线分别为苍％z轴建立空间直角坐标系,

则A(T0,我,5(2,0,0),C(0,2,0)<(-1,2,6),

设GE=XGC；le[0,l],则E(/l—1,2,括一G%),

故AE=(4-1,2,6-后)，48=(3,0,-®4。=(1，2,-百)

设平面\BC的法向量为m=(x,y,z)

m-AB=0f3x-y/3z=0广

则即《广，令z=J^，则》=y=i,

m-AXC=0[x+2y-\j3z=0

故平面\BC的一个法向量m=(1,1,有)，

设直线AE与平面\BC所成角为。,

AE-m\口-川=g，解得2=1,

则sin8=

|AE|.|m|V22-22+2-75

故存在点E满足题意，所以£E=2.

17.在平面直角坐标系中，尸(1,0),直线4：x=-1,动点M在直线乙上，过点”作直线乙的垂线，与线

段月0的中垂线交于点尸.

(1)求点尸的轨迹G的方程；

(2)经过曲线G上一点P作一条倾斜角为45°的直线6，与曲线G：(x-4>+y2=8交于两个不同的点

Q,R,求1尸。”依1的取值范围.

【答案】(1)/=4x

(2)[4,8)O(8,200)

【解析】

【分析】(1)利用线段的中垂线的性质得出|PM|=|PF|,根据抛物线的定义即得方程；

(2)设尸(广,2"，则直线4的方程为y=x+2r-/，将直线方程与曲线C2方程联立，由A>0可得f的取

值范围，设Q,尺的横坐标分别为玉,与，结合4的倾斜角为45°，结合弦长公式可将归。卜|网|表示为关于

r的函数，从而求得其取值范围.

【小问1详解】

由图可得||=|竹|,所以点尸的轨迹C是以F(1,O)为焦点的抛物线，

故点P的轨迹C的方程为>2=4%；

设尸”2,2小则直线4的方程为y=x+2-/，代入曲线的方程得，(x—4『+(x+2—2)2=8.

化简可得：2/—2(/—2/+4)x+(r-+8=0①，

由于，2与02交于两个不同的点，故关于X的方程①的判别式△为正，计算得，

2=_2/+4)2—2((/-2?)2+8)=(r-2/)2_8,2_2。+16_2,2_2)_16

=—(?_2/1+8(?—2)=—(?—2/)(?_2/_8)=—2)(/+2)(/—4),

因此有此(-2,0)(2,4),②

设0,R的横坐标分别为七，

由①知，X]+々=广—2f+4,=5((/—2。+8)，

因此，结合乙的倾斜角为45°可知，

|P2|-|P7?|=后(七—产)•夜—/)=2七七一2/(西+无?)+2/

=(?_Ze]+8—2』(『一2。+4)+2t4=r—4N+4f2+8-2?+4r-8/+2?

=〃-4/+8=(/-2『+4,③

由②可知，t2-2s(-2,2)(2,14),故(r—2)2e[0,4)D(4,196),

从而由③得：\PQ\-|PR|=(?_2了+4e[4,8)0(8,200).

【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：

(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；

(2)代数法，若题目的条