2024年新高考数学一轮复习-基本不等式及其应用（学生版）

专题04基本不等式及其应用

一、【知识梳理】

【考纲要求】

1.了解基本不等式的证明过程.

2.能用基本不等式解决简单的最值问题.

3.掌握基本不等式在生活实际中的应用.

【考点预测】

1.基本不等式：正<号

(1)基本不等式成立的条件：a〉0,b>0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a=6时取等号.

(3)其中号叫做正数a,6的算术平均数，叫做正数a,6的几何平均数.

2.两个重要的不等式

(1)6£R),当且仅当3=6时取等号.

2

(2)劭(a,6£R),当且仅当己=6时取等号.

3.利用基本不等式求最值

(1)已知x,y都是正数，如果积盯等于定值R那么当x=y时，和x+p有最小值久但

(2)已知x,y都是正数，如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积灯有最大值，比

【常用结论】

11+齐2(a6同号),

当且仅当a=6时取等号.

2.abW

、2’

3.应用基本不等式求最值要注意：“一正，二定，三相等"，忽略某个条件，就会出错.

4.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定

要保证它们等号成立的条件一致.

【方法技巧】

1.利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.

2.常数代换法，主要解决形如“已知叶尸〃为常数)，求计制最值”的问题,先将会

和化为"3千再用基本不等式求最值.

3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出

“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.

4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本

不等式，构造目标式的不等式求解.

5.当基本不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常

数代换法求最值.

6.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定等号成立的条件，从而得

到参数的值或范围.

7.根据实际问题抽象出函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值.

8.解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围.

9.在应用基本不等式求函数的最值时，若等号取不到，则可利用函数的单调性求解.

二、【题型归类】

【题型一】用配凑法求基本不等式的最值

【典例1】设0〈水亍则函数p=4x(3—2x)的最大值为()

9

A.-B.4

9

C.-D.9

2Q

【典例2】若则f(x)=3x+1+-^^有()

33才一2

A.最大值0B.最小值9

C.最大值一3D.最小值一3

(«+S)(«+J)

【典例3】函数尸TTi(x>—1)的最小值为.

【题型二】用常数代换法求基本不等式的最值

91

【典例1】已知首项与公比相等的等比数列｛品｝中，满足3成=/(如N+),则-+-的最

mn

小值为()

39

A.1B.~C.2D.~

21

【典例2］已知乃>0,b>0,且3+6=2,贝卜+亚的最小值是()

a2Z?

A.1B.2

【典例3］已知x>0,y>0,且2x+8p—盯=0,求:

(1)盯的最小值；

(2)x+p的最小值.

【题型三】用消元法求基本不等式的最值

【典例1］已知x>0,y>0,x+3y+xy=9,则x+3y的最小值为.

【典例2］若实数x>l,且x+2y=3,则二y+3」的最小值为

2X—1zy—1

【典例3］已知正实数a,6满足——6+4W0,则〃=四量()

a-vb

A.有最大值3B.有最小值百

C.有最小值3D.有最大值3

【题型四】基本不等式的常见变形应用

【典例11《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家

处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，

也称之为无字证明.现有如图所示图形，点尸在半圆。上，点C在直径上，且苏工/昆

设/C=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()

A.(a>0,6>0)

B.廿+匕》2届(a>Q,6>0)

C.1^wV^(a>0，»0)

a-\-b.、

一^—(公0,力0)

【典例2】已知。〈水1,力1,则下列不等式中成立的是()

,4ab

A.a+8〈;~7

a~\~b

I—2ab

B.7a欣—-r

Ya-\~b

C.y[2J+2p<2y[Ib

D.a+2才+26?

【典例3】若a,代R,且a6〉0,则下列不等式中，恒成立的是（）

A.吉+片>2ab

B.b^2yf-ab

1,12

C._+_7>_/=

ab7ab

b,a、

D.—+^22

ab

【题型五】利用基本不等式求参数范围

【典例1］已知a>0,b>0,若不等式;7^一恒成立，则0的最大值为（）

6a~\-bab

A.4B.16C.9D.3

【典例2］已知函数f（x）="+0一,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式MWe

一,+r一1在（0,+8）上恒成立，则实数力的取值范围为.

【典例3】己知不等式5+力6+：）29对任意正实数x,y恒成立，则正实数a的最小值为

（）

A.2B.4C.6D.8

【题型六】基本不等式与其他知识交汇的最值问题

【典例1】在△/笈中，点P满足麻三2的过点户的直线与46,4C所在直线分别交于点〃,

N,若说=凝，木=氤5>0,〃>0）,则〃+2〃的最小值为（）

810

A.3B.4C.-D.—

JO

【典例2】如果函数/'（x）=<（勿-2）/+（〃-8）x+l（勿三0,刀20）在区间12上单调递减,

乙_乙

那么曲的最大值为（）

81

A.16B.18C.25D.y

【典例3】在中，4=看，AABC的面积为2,则’十四1刍勺最小值为（）

6smc+2sinBsinc

J33A/335

A.B.-C.D.-

【题型七】基本不等式的实际应用

［典例1］某小区想利用一矩形空地必建市民健身广场，设计时决定保留空地边上的一

水塘（如图中阴影部分），水塘可近似看作一个等腰直角三角形，其中4>=60m,/8=40m,

且△如'G中，ZEGF=90°,经测量得到/£=10m,EF=2Qm,为保证安全同时考虑美观，

健身广场周围准备加设一个保护栏，设计时经过点G作一直线分别交48,DF于M,N,从而

得到五边形胴aw的市民健身广场，设2yx(m).

⑴将五边形如aw的面积y表示为X的函数；

(2)当x为何值时，市民健身广场的面积最大？并求出最大面积.

【典例2］如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽2m的无盖长方体的沉淀箱,

污水从/孔流入，经沉淀后从8孔排出，设箱体的长度为am,高度为6m,已知排出的水

中该杂质的质量分数与a,6的乘积成反比.现有制箱材料60n?,问a,6各为多少m

时，经沉淀后排出的水中该杂质的质量分数最小(46孔面积忽略不计)？

【典例3】如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用

钢筋网围成.

(1)现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大?

(2)若使每间虎笼面积为24m?,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的

钢筋总长度最小？

三、【培优训练】

【训练一】(多选)若a,b,ceR,且助+6c+ca=l,则下列不等式成立的是()

A.B.(H+6+C)223

C.L+J+,22mD.才

abcN

]]8

【训练二】已知a>0,b>0,且劭=1,求丁+777+丁7的最小值；

2aZba-vb

(2)若a,6GR,ab>0,求今邛,,的最小值.

ab

Y9V

【训练三】若x>0,y〉0且x+尸打，则一^十一7的最小值为

X—1y—1

【训练四】设a乂>0,则才+4+—三的最小值是________.

abaa-b一

【训练五】已知a>0,b>0,且2a+6=l,求5=2寸泰一4a°—6°的最大值.

9111R

【训练六】如图所示，已知树顶/离地面万米，树上另一点6离地面万米，某人在离地面]米

的C处看此树，则该人离此树米时，看46的视角最大.

四、【强化测试】

【单选题】

1.若x>0,y〉0,则“x+2y=25？’的一个充分不必要条件是()

A.x=yB.x=2y

C.x=2且y=lD.矛=了或尸1

x+4

2.函数小）的最小值为（）

A.3B.4C.6D.8

3.若a>0,Z?>0,1ga+lg6=lg（a+6）,则d+6的最小值为（）

A.8B.6C.4D.2

41

4.已知正数a,6满足a+6=l,贝卜+7的最小值为（）

ab

5

A.鼻B.3C.5D.9

o

5.已知函数f（x）=e'在点（0,『（0））处的切线为1,动点（a,6）在直线/上，则2"+2T的

最小值是（）

A.4B.2C.2镜D.72

6.若2'+2，=1,则x+y的取值范围是（）

A.[0,2]B.[-2,0]

C.[-2,+°°）D.（-8,-2]

7.设a〉0,若关于x的不等式x+告》5在（1,+8）上恒成立，则a的最小值为（）

X—1

A.16B.9

C.4D.2

8.已知x>0,y>0,且-则x+y的最小值为（）

x十1y2

A.3B.5

C.7D.9

【多选题】

9.若a,力£R,且a力0,则下列不等式中，恒成立的是（）

1,11

A.B.-+->-r=

ab7ab

b,a、

C•计后2D.3+6222a6

10.给出下面四个推断,其中正确的为（）

L、b、a、

A.若a,bR(0,+°°)，则一十六2

ab

B.若x,(0,+°°),则1gx+lgy^2^/lgx・1gp

4

C.若居R,〃W0,则一+a24

a

,,xV

D.右x,p£R,xy<0,贝卜十~W—2

yx

11.已知a>0,b>0,且z+Z?=l,则()

A.才+9》］B.2'一”>；

C.log21a+log2Z?^—2D.

12.设力0,b>0,则下列不等式中一定成立的是()

A.a+5+忘12/2abI—

B.——7>\/ab

a-x-bY

C.看"6D-(a+错+/4

7ab

【填空题】

9

13.设正项等比数列｛&｝的前n项和为S,若S—反=3(a+戊)，贝!J4为+一的最小值为

白

2

14.设P(x,y)是函数y=;(x>0)图象上的点，则x+p的最小值为.

15.函数y=F(x>—1)的最小值为______.

x十1

19

16.若分0,6>0,且8+23—4=0,则劫的最大值为，一+彳的最小值为