2024年湖南省株洲市石峰区中考数学一模试卷（含详细答案解析）

2024年湖南省株洲市石峰区中考数学一模试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列关系中，成反比例函数关系的是（）

A.圆的面积S与它的半径厂之间的关系B.用频率估计概率时，概率尸与频率p的关系

C.电压U一定时，电流/与电阻R之间的关系D.小明的身高力与年龄x之间的关系

2.关于反比例函数y=|的图象及性质说法正确的是（）

A.函数图象分别位于第二、四象限B.函数图象经过点（-3,1）

C.当％>0时，y随x的增大而增大D.当一3<%<-1时，一

3.某数学兴趣小组根据所学函数的经验，发现：当做功一定时，功率P（单位：川）与做功的时间t（单位：s）

存在反比例函数关系.如表是他们实验的几组数据：

t（单位：s）1020304050

P（单位：W}12060403024

则功率P（W）与做功的时间t（s）之间的函数关系式是（）

1200B.P=1200tC.P=』D.P=—

t1200t

4.在平面直角坐标系尤Oy中，点A,2的坐标分别为（0,5）,（6,1）.若反比例函数y=（的图象恰好经过线段

的中点，则上的值是（）

A.-9B.9C.-6D.6

5.函数y=:与y=mx2-m（mW0）在同一直角坐标系中的大致图象可能是（）

6.已知反比例函数y=：的图象经过4（4,4）,B（2,4）.C（l,8）中的两点，则反比例函数的解析式为（）

8

A.y=—B.y=-

XJX

7.如果4（X1，为），B（x2,y2）,。（7,乃）三点都在反比例函数y=-（的图象上，其中与〈久2<。，那么为，y2

与出的大小关系是（）

A.yi<y2<y3B.y3<yi<y2c.y2<y1<y3D-%=%=y3

8.在平面直角坐标系中，将直线y=-2x沿y轴向上平移加(nt>0)个单位长度得到直线I,直线/与反比例

函数y=|(x>0)的图象有一个交点，则相的值为()

9.如图，矩形ABC。的顶点A和对称中心在反比例函数y=g(k0,x>0),若矩形A8CD的面积为10,

则上的值为()

B.4<3C.3/2

10.如图，一次函数为=k1X+6的图象与反比例函数%=>0)的图象交于点力(4,n)与点B(—1,-4).

连接2。并延长交反比例函数于另一点C,过点C作y轴的平行线交直线AB于点。，连接OD则CD的

长为()

二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。

11.若函数y=(m+1)%欣-47n-6是》关于％的反比例函数，则血=.

12.如图，点A在反比例函数y=?(x<0)的图象上，ABlx轴于点8,C为。8的中

点，连接A。，AC,若△Q4C的面积为6,则上的值为.

BC\0x

13.如图是一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间x（年）的y/万册

关系图，点尸在图象上，则当x=5年时，y=——万册.

14.反比例函数y=—g的图象与直线y=kx（Ji<0）相交于A。1,月）,^（亚,力）两点，则与月+4月的值是

15.如图，直线y=3乂+4与反比例函数y=g（久>0）的图象交于点A,与

y轴正半轴交于点8,过点A作x轴的垂线，垂足为点C,已知。8：OC=

4：3,则左的值为.

16.已知直线/：y=kx+6（k大0）与双曲线丫=一；交于点4（租1，%），B（m2,n2）.

（1）若“1]+62=°，贝！+电=；

（2）若Hi1+爪2>。时，nr+n2>0,则k0,b0（填“>""="或）.

三、解答题：本题共7小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.（本小题6分）

已知反比例函数丫=岁，且当x=3时，y=—2.

（1）求。的值；

（2）在图中画出该函数图象.

y

r

I

L

:

r

I

L

:

r

I

L

:

广

I

L>

—7

rX

I

L

_

r

I

L

I

—

r

I

L

18.(本小题6分)

某课外小组做气体实验时，对一定质量气体的压强p(单位：Pa)和体积V(单位：。机3)进行了测量，测量结

果如图所示.

(1)求函数解析式;

(2)当气体体积为2.5czn3时，压强是多少？

19.(本小题7分)

如图，直线y=x+b与反比例函数y=g(k>0)的图象交于力(3,k-2),B两点.

(1)求％,6的值;

(2)根据函数图象，求当％+6>勺寸，x的取值范围.

20.(本小题7分)

在平面直角坐标系中，双曲线y=，(久>0)分别与直线y=2x+1和久=3交于A,8两点，点A的坐标为

(1,3),我们把横、纵坐标都为整数的点叫做“整点”.

(1)求双曲线的解析式；

(2)若双曲线与两条直线围成的区域(不含边界上的点)为P,试求区域尸内的整点个数.

21.(本小题8分)

小明学习正比例函数y=k久(k40)和反比例函数y=g(k40)时，见到如下"叠合"函数y=a久+，(a,

b40),其中函数图象经过(一1,0),(2,|)两点，请帮小明完成以下问题：

(1)求该“叠合”函数的表达式；

(2)如图是该函数图象的一部分，完成表格中的数据，并补全y关于尤的函数图象；

.・・1・・・

X1234

2

.・・・・・

y—————

(3)下列结论：①该函数图象关于直线丫=久对称；②该函数图象关于直线y=-乂对称；③当x>0时，y随

尤的增大而增大；④当函数值y20时，x的取值范围是-1W久<0或xNl,其中结论正确的是(填序

号)，

22.(本小题8分)

如图，在平面直角坐标系中，等边AAOB的边长为2,顶点A在无轴上，延长02至点C.使。8=BC,过点

C作CD〃B4交无轴于点D,反比例函数为=MQ〉0)经过点B交CD于点E,反比例函数y2=>0)

经过点C.

(1)求反比例函数月,的解析式；

(2)连接BE,BD,计算ABED的面积.

23.(本小题10分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形04BC的边。4在x轴上，0c在y轴上，=4,0C=2,点、D

是2C边上的动点(不与2,C重合)，反比例函数y=>0,尤>0)的图象经过点。，且与AB交于点E,

连接。。，OE,DE.

(1)若点D的横坐标为1.

①求女的值；

②点P在x轴上，当△ODE的面积等于AODP的面积时，试求点尸的坐标；

(2)延长即交y轴于点尸，连接AC,判断四边形AEFC的形状，并说明理由.

答案和解析

1.【答案】c

【解析】解：A、圆的面积S与半径r的关系，即5=兀/，是二次函数关系，故不符合题意；

B、用频率估计概率时，概率尸与频率p的关系为尸=p,不是反比例函数关系，故不符合题意；

C、电压U一定时，电流/与电阻R之间的关系为/=，电流/与电阻R之间的关系是反比例函数关系，

K

故符合题意；

。、小明的身高场与年龄X之间没有特定关系，故不符合题意；

故选：C.

根据题意写出关系式，根据反比例函数的定义判断即可.

本题考查的是反比例函数的定义，形如y=g（k为常数，k力0）的函数称为反比例函数.其中尤是自变量,

y是函数，自变量尤的取值范围是不等于0的一切实数.

2.【答案】D

【解析】解:A、k=3>0,则图象位于第一、三象限，故不符合题意；

B、当％=-3时，y=-1,所以图象经过点（-3,—1）,故不符合题意；

C、当x>0时，图象在第一象限，y随x的增大而减小，故不符合题意；

D、当—3<x<—1时，图象在第三象限，y随x的增大而减小，

,••当％=-3时，y=-1,当x=-l时，y=-3,

二当—3<久<—1时，-3<y<-1,故符合题意.

故选：D.

根据反比例函数图象和性质即可逐一分析即可.

本题考查反比例函数的图象和性质，准确理解反比例函数的性质是解题关键.

3.【答案】A

【解析】解：设功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为P=?（kK0）,

把t=10,P=120代入解析式得：120=2，

解得：k=1200,

二功率P（单位：W）与做功的时间t（单位：s）的函数解析式为「=竿.

故选：A.

先设出尸与f的函数解析式，再把表中一组数据代入解析式即可.

本题考查反比例函数的应用，关键是用待定系数法求函数解析式.

4.【答案】B

【解析】解：•.・点A,8的坐标分别为(0,5),(6,1),C为AB的中点时,

:.点C的坐标为(9宇，节与，即(3,3),

.•­/c=9,

故选：B.

先计算出C的坐标，再利用待定系数法即可求出答案.

本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出AB的中点C的坐标.

5.【答案】D

【解析】解：由解析式y=mx2+7n可得:抛物线对称轴％=0；

4、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得zn<0,则抛物线开口方向应该向下,故A不符合题意;

B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得m>0,则抛物线开口方向应该向上,故B不符合题意;

由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得m>0,则抛物线开口方向应该向上,故C不符合题意;

D、由双曲线的两支分别位于一、三象限，可得则抛物线开口方向应该向上,与y轴的交点在y轴

的负半轴上，故。符合题意.

故选：D.

本题可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致.

本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象，解决此类问题步骤一般为：(1)先根据图象的特点判断人取

值是否矛盾；(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求.

6.【答案】B

【解析】解：把4(4,4),8(2,4),C(l,8)分别代入丫=

fc=4X4=16,fc=1X8=8,fc=24=8,

.••反比例函数y=5经过B,C两点，

故选:B.

把4(4,4),8(2,4),C(l,8)代入数y=?求得上的值，即可得到结论.

本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握待定系数法求函数的解析式是解题的关键.

7.【答案】B

【解析】解：,反比例函数y=-：中，k=一4<0,

・•・函数图象的两个分支分别位于二四象限，且在每一象限内，y随X的增大而增大.

无1<*2<0，

B(x2,y2),在第二象限，点C(7,、3)在第四象限，

为<当<y2-

故选：B.

先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限及其增减性，再由各点横坐标的值即可得出结论.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数函数图象上各点的坐标一定适合此函数的

解析式是解答此题的关键.

8.【答案】C

【解析】解：由平移可得直线/的解析式为：y=-2x+m,

令一2x+m

X

整理得，2——mx+2=0,

•・•直线/与反比例函数y=|(x>0)的图象有一个交点，

••・4=(-m)2—4x2x2=0,

解得租=4或m=-4(舍).

・•.m的值为4.

故选：C.

根据题意可得出直线/的解析式，联立，得出一元二次方程，令4=0,即可得出机的值.

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，一元二次方程根与系数的关系等相关知识，得出关于x的

一元二次方程是解题的关键.

9.【答案】D

【解析】设4(犯》，

AB=

m

•・•矩形的面积为10,

1010m

••-SC=T=->

m

矩形ABCD对称中心的坐标为:

矩形对称中心的坐标为：(771+：X岑：X5)'BP(m+

•・・对称中心在y=§的图象上，

.JL-k

•••赤=m+平

••♦mk—5m=0,

:.m(k—5)=0,

・•.TH=0(不符合题意，舍去)或k=5,

故选：D.

设A点的坐标为(m,2)则根据矩形的性质得出矩形中心的坐标为：(机+3X嘤3X5)，即(爪+半，5)，

进而可得出8c的长度.然后将坐标代入函数解析式即可求出人的值.

本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数中k=肛为定值是解答此题的关键.

10.【答案】B

【解析】解：•.,反比例函数月=§(七＞0)的图象交于点4(4,n)与点B(-l,-4),

•••々2=4九=—1X(—4),

•••k2=4,n=1,

•••4(4,1),

1

把A、B的坐标代入为=k1X+b得［

解得仁二，

••・直线AB为y=x-3f

B(-l,—4),

•••C(l,4),

CD〃y轴,

・•・。(1,-2),

CD=4+2=6,

故选：B.

利用待定系数法求得反比例函数的解析式即可求得点A的坐标，进一步求得直线AB的解析式，利用反比

例函数的中心对称性求得。的坐标，即可求得。点的坐标，从而求得CD的长度.

本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数图象上点的坐

标特征，反比例函数的对称性，求得直线A8的解析式以及C点的坐标是解题的关键.

11.【答案】5

【解析】解：根据反比例函数的定义，得爪2-4m-6=-1,且m+140,

解得m=5或爪=一1（舍去），

m—5.

故答案为：5.

根据反比例函数的定义作答即可.

本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的定义是本题的关键.

12.【答案】—24

【解析】解:由题意可知，SA0AC=6,BC=0C,

S^AOB=2s40AC=12，

又••・I左I=2S"=24,且反比例函数图象在第二象限，

•**k,=-24.

故答案为：-24.

根据反比例函数上值的几何意义解答即可.

本题考查了反比例函数上值的几何意义，熟练掌握反比例函数k值的几何意义是关键.

13.【答案】8

【解析】解：由图象可知，一台印刷机每年可印刷的书本数量y（万册）与它的使用时间（年）成反比例函数，

设函数解析式为：y=（（久>0,/c>0）,

将P（l,40）代入所设解析式得：

40=p解得：k=40,

・••反比例函数解析式为：y=竺，

JX

当x=5时，y=£=8（万册），

故答案为：8.

根据图象推断为反比例函数，待定系数法求出反比例函数解析式，将久=5代入解析式求出y值即可.

本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求出函数解析式是解答本题的关键.

14.【答案】12

【解析】解：•；4(xi，%),8。2，及)两点关于原点对称，

•••与=一久2，yi=-y2，

把AQi,%)代入反比例函数解析式得：x1-y1=-6,

•••+久2yl.=~xiyi一％2y2=6+6=12.

故答案为：12.

根据反比例函数图象上点的坐标特征解答即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握得到坐标特征是关键.

15.【答案】15

【解析】解：,直线y=,乂+4与反比例函数y=g(x>0)的图象交于点A,与y轴正半轴交于点2,

•••5(0,4)，

•••OB-.OC=4：3,

OC=3,即C(3,0),

当x=3时，y=+4=5,

/3

・••A(3,5),

•••点A在反比例函数图象上，

/c=3x5=15.

故答案为：15.

根据反比例函数图象上点的坐标特征进行解答即可.

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是关键.

16.【答案】0<>

【解析】解：(1)由+机2=0可知，巾1=一小2，点4(爪1，%)，B(ni2,n2)在反比例函数图象上，

1-11-1

••/L1——―一,

TH]—m2m2m2

•••九1+几2=0，

故答案为：0.

(2),・,反比例函数图象在第二、四象限，且7711+血2>0时，九1+荏2>0，

・・・点8(啊,n2)在不同的象限，

设人(叫,九1)在第二象限，8(根2,几2)在第四象限，则叫V0,九1>0，九2<°，且I血2I>I血1I，I九1

I>I几2I，

・,・直线y=fcx+b(kH0)经过第一、二、四象限,

fc<0,b>0.

故答案为：<:>.

(1)根据题意可知血1=-租2,将点A、5坐标代入反比例函数解析式即可得到结果；

(2)根据题意得到点/(7711，荏1),8(血2,九2)在不同的象限，设/(血1，n1)在第二象限，8(血2,九2)在第四象限，

则7nl<0,>0,n2<0,且IgI>Igj,II>In2I,则直线y=fcx+b(kW0)经过第一、

二、四象限，据此得到结果.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式.

yA

17.【答案】解：(1)把％=3,y=—2代入y=当

得，-2=竽，

解得a=-9；

(2)由(1)知反比例函数的解析式为y=

当％=—6,—3,—2,2,3,6时，y=1,2,3,

—3,—29-1,

描点，连线，则该函数图象如图所示.

【解析】(1)将x=3,y=—2代入解析式求解.

(2)根据函数解析式及表格作图.

本题主要考查待定系数法求函数的解析式，反比例

函数图象的画法，熟练掌握反比例函数图象的画法是关键.

18.【答案】解：⑴设函数的解析式为p=出

将点(2,3)的坐标代入上式得：3=今

解得k=6,

p=^(y>o)；

(2)当V=2.5cm3时,

PF6=2Q.4A,

・•・当气体体积为2.5c/时，压强是2.4Pa.

【解析】(1)用待定系数法可得反比例函数的解析式；

(2)结合(1),令1=2.5圳3,求出。的值即可.

本题考查反比例函数的应用，解题的关键是读懂题意，求出反比例函数的解析式.

19.【答案】解：(1)将点4(3#-2)代入反比例函数y=勺中得k=3(k一2),

解得k=3,

・••力(3,1),将点A坐标代入直线解析式得：1=3+6,

解得：b=-2.

(2)由(1)可知，反比例函数解析式为：y=|,一次函数解析式：y=x-2,

令。=X-2,解得％=3或-1.

x

8(—1,—3),

根据图像可知当久+b>“时，x的取值范围为：—1<%<0或％〉3.

X

【解析】(1)将点4(3次-2)代入反比例函数求出%,将4(3,1),将点A坐标代入直线解析式求出b值即

可；

(2)根据图像直接写出不等式的解集即可.

本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是解答本题的关键.

20.【答案】解：(1)•••点A在双曲线y=:(x>0)上，

•••々=1x3=3,

•••双曲线的解析式为y=|(久〉0)；

(2)・.・双曲线y=1(%>0)与直线％=3交于B,

・・.当％=3时,y=1,

・•・8(3,1),

在区域尸内x的取值范围为1V%<3,

在一次函数y=2%+1中，当％=2时，y=2x2+l=5,

0O

在反比例函数y=-(x>0)中当x=2时，y--=1.5,

在区域P内y的取值范围为1.5<y<5,

.••整点有(2,2),(2,3)(24),

•••区域产内的整点个数为3.

【解析】(1)把点4(1,3)代入y="＞0)得到k=3,于是得到双曲线的解析式为y=|。＞0)；

(2)由双曲线y=|(久＞0)与直线尤=3交于8,得到B(3,l),求得在区域P内x的取值范围为1＜久＜3,

得到在区域尸内y的取值范围为1.5＜y＜5,于是得到结论.

本题考查待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象上点的坐标特征，理解“整点坐标”的实际意义是

正确解答的前提.

21.【答案】-I0,汽③④

【解析】解:⑴把(-1,0),(2,今代入y=ax+((a-"0),

•••该“叠合”函数的表达式为y=%-%

(2)完成表格中的数据如下：

1

.・・1234…

2

_33815

.・・0.・•

y~223T

补全y关于尤的函数图象如图:

(3)观察图象:

①该函数图象关于直线y=x对称，错误;

②该函数图象关于直线y=-x对称，错误;

③当刀＞0时，y随尤的增大而增大，正确;

④当函数值y20时，x的取值范围是-1Wx＜0或尤N1,正确.

故答案为：③④.

(1)把(一1,0),。今两点代入丫二3+^色不力。)，利用待定系数法即可求解；

(2)利用解析式计算填表即可，然后描点、连线画出函数的图象；

(3)利用函数的图象判断即可.

本题主要考查待定系数法求函数的解析式，叠合”函数的图象和性质，数形结合是解题的关键.

22.【答案】解：(1)过点8作8尸，。4,垂足为凡如图：

•・•等边△ZOB的边长为2,

.・.OF=AF=1,BF=V3,

・•.Bae)，

•・•OB=BC,

C(2,2/3),

把点8(1,73)，C(2,2，W)分别代入%=领％>0)和乃=y(x>0)得:=半，2/3=等

解得七

=v"wk2=4V-3?

/34<3

•••Y1=­'丫2=-

,,OA=AD=2,S-OE=S^BDE，

•••。(4,0),

由C(2,2，I),。(4,0)可得直线CO解析式为y=-/3x+4G

y=—yf3x+4V~3

联立•

解喉号3或

•••E(2+值2信-3),

■,-SMDE=]AD-yD--X2X(2A/-3-3)=2y/~3—3=S^BDE,

•••AB