湖南2024届高三年级下册模拟（二）数学试卷(含答案)

湖南2024届高三下学期模拟(二)数学试卷

学校：___________姓名：班级：___________考号：

一'选择题

1.已知集合4={引一1<%<2},3={引—2<%<1},则集合&Z;(48)=()

A.(-l,l)B.(-2,2)C.(-2,-l)i(1,2)D.(-2,-l]|J[l,2)

2.已知z是复数,z?+2z是实数，则2的()

A.实部为1B.实部为-1C.虚部为1D.虚部为-1

3.若a/为单位向量,a在尸方向上的投影向量为-gs，则2/?|=()

A.V2B.V3C.V5D.由

4.若5个正数之和为2,且依次构成等差数列，则其公差d的取值范围是()

AR{|B-mdD.(O,£|

5.已知函数/(x)的部分图象如图所示厕函数/(x)的解析式可能为()

2r22X2

A.f(x)=B./W=—

|x|-l|x|+l

C./(x)=--^-D./(x)=—坐

|x|-l%--1

6.已知实数a>b>0,则下列选项可作为a-人<1的充分条件的是()

-4b=1B.---=—

ba2

C.T-2*=1D.log2a-log2Z?=l

7.若锐角a,B满足3cos（a+尸）=cosacos0,则tan（a+4）的最小值为（）

A.272B.2GC.2^/5D.2V6

8.如图，在△ABC中,NB4C=120。淇内切圆与AC边相切于点。且AD=1.延长区4至

点E使得连接CE.设以C,E两点为焦点且经过点A圆的离心率为0,以C,E两

点为焦点且经过点A双曲线的离心率为02,则e。的取值范围是（）

A.—,+oo^B.f—,+oo^C.［l,+oo）D.（l,^o）

L2JI2J

二、多项选择题

9.某次数学考试后，为分析学生的学习情况,某校从某年级中随机抽取了100名学生的

成频，整理得到如图所示的频率分布直方图.为进一步分析商分学生的成绩分布情况，计

算得到这100名学生中，成绩位于［80,90）内的学生成绩方差为12,成绩位于［90.100）内

的同学成绩方差为10.则（）

参考公式:样本划分为2层,各层的容量、平均数和方差分别为:办二S；,〃,7,5；平均数为

。.样本方差为$2,小

m+nm+n

频率/组距

la

6〃

3(i----------------

2〃——।——----———■—

_____——

05060708090100成绩/分

A.a=0.004

B.估计该年级学生成绩的中位数约为77.14

C估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为87.50

D.估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为30.25

10.在菱形ABCD中,A6=2瓜ZABC=60°将菱形ABCD沿对角线AC折成大小为

6>(0°<6><180°)的二面角3-AC-。，若折成的四面体ABCD内接于球。，下列说法正确

的是()

A.四面体ABCD的体积的最大值是373

B.BD的取值范围是(30,6)

C.四面体ABCD的表面积的最大值是6+66

D.当6=60。时，球O体积为生羽兀

11.已知函数/(%)及其导函数/'(x)的定义域均为R记g(x)=/'(x).若/(x)满足

/(2+3幻=/(—3x),g(x—2)的图像关于直线x=2对称，且8(0)=1,则()

A.g(x)是偶函数B.g(x)=g(x+4)

2024k

D.，g0

k=l2

三、填空题

12.已知直线/是圆必+V=1的切线，点4(-2,1)和点3(0,3)到/的距离相等,则直线

I的方程可以是.(写出一个满足条件的即可)

13.初等数论中的四平方和定理最早由欧拉提出,后被拉格朗日等数学家证明.四平方和

定理的内容是:任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数

6=22+F+F+。2.设25=储+尸++储,其中abcd均为自然数，则满足条件的有序数

组(a,6,c⑷的个数是.(用数字作答)

14.若一个正三棱台的各顶点之间的距离构成的集合为｛1,8,2｝,且该三棱台的所有顶

点都在球。的表面上，则球。的表面积为.

四、解答题

15.如图，直四棱柱ABCD-A4G2的底面是边长为2的菱形,/ABC=60。，8。平面

AG。.

(I)求四棱柱ABCD-44G2的体积；

(2)设点2关于平面的对称点为E,点E和点Q关于平面a对称(E和c未在图

中标出),求平面ACD与平面C所成锐二面角的大小.

16.记S“为数列｛4｝的前九项和，已知叫+("—1)出++an=2S„-1.

(1)证明:数列｛Sj是等比数列;

⑵求最小的正整数m,使得m>-+—++'对一切“eN*都成立.

ciya?

22

17.在平面直角坐标系中，已知椭圆斗+斗=l(a〉6〉0)的右顶点为(2,0),离心率

ab

为半，尸是直线x=4上任一点，过点M(l,0)且与垂直的直线交椭圆于A,5两点.

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线PA,PM,PB的斜率分别为匕/2,%,问:是否存在常数2,使得尢+&=a2?若存

在，求出2的值;若不存在，说明理由.

18.某大学有甲、乙两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选

择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去甲或

乙运动场的概率均为;，每次选择相互独立.设王同学在某个假期的三天内去运动场锻炼

的次数为X,已知X的分布列如下:(其中。>0,0<0<1)

X0123

a

Pa«(1-p)

P

⑴记事件4表示王同学假期三天内去运动场锻炼，•次0=0,1,2,3),事件3表示王同学在

这三天内去甲运动场锻炼的次数大于去乙运动场锻炼的次数.当p时,试根据全概率

公式求P(3)的值；

⑵是否存在实数P，使得E(X)=g?若存在，求p的值:若不存在,请说明理由；

⑶记M表示事件“甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动”，N表示事件“王同学去甲运动

场锻炼"，0<P(M)<l.已知王同学在甲运动场举办锻炼有奖的抽奖活动的情况下去甲

运动场锻炼的概率，比不举办抽奖活动的情况下去甲运动场锻炼的概率大，证

明:P(MN)>P(M\N).

19.已知函数/(x)=si*+颁…,0<…，满足八0)=佃f图，且小)在

区间［仁］上无极值点.

⑴求的单调递减区间；

(2)当当,々€：QeR)时，设|/(石)-/(%)|的最大值为尸⑺，求歹⑺的值域；

(3)把曲线y=/(x)向左平移办个单位，再把曲线上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵

8

坐标不变.得到曲线y=g(x).设函数cp(x)=(x-A)g(x)(左eR)，将0(x)在区间1-3,+8］

上的极值点按从小到大的顺序排列成数列｛七｝.若姒石)+05)=0,求实数上的直

参考答案

1.答案：D

解析：由题意,A3=(—1,1),5=(-2,2),所以亳-(A3)=(-2,-1][1,2)D.

2.答案：B

解析：设复数z=a+bi(a,bcR,匕,0),则

z?+2z=(a+bi)2+2(。+bi)=a--b~+2a+2b(a+l)i,而z?+2z是实数，故2b(a+1)=0,得

到a=-l.选B.

3.答案：D

解析：a在夕方向上的投影向量为—工厂，得区?=—L由于a,夕为单位向

2|川2

量,因止匕a•尸二—1■，于是口_26|=Ja2_4s/+4尸=，_4x1_g)+4xl2=不选口.

4.答案：A

解析：设这五个正数依次为a.,a2,a3,%，则由他们成等差数列可知

勾+%+。3+。4+。5=5。3=2,故/=1.为使五个数均为正数，只需％=《-2d和

711

〃4+2d均大于零即可解得—士<d<L选A.

555

5.答案：A

解析：由图可知，函数图象对应的函数为偶函数，排除C,

由图可知，函数的定义城不是实数集.故排除B;

6.答案：C

解析：取。=4力=1,排除A:取。=2力=1,排除B;取。=4,6=2,排除口；

由2“一2〃=1,可推出2"=26+1<21,即a<〃+l.选C.

7.答案：D

解析：

2

3cos(tz+/?)=cosacos(3=^>3cosacos/?-3sincrsin/3=cos«cos/3=^>tan«tan/?=—.

11

于是tan(a+，)=⑦"+tan'=2^tana+tan，)>6Jtanatan(3=2^6.选D.

1-tanatan夕

8.答案：D

解析：如图,设内切圆与边3C,BE分别相切于点EG.

由切线长定理和ABCE的对称性，可设CF=CD=EG=x.

由AD=1,可得AC=x+l,AE=EG—AG=x—1.

在AACE中,由余弦定理,CE?=(x+1)2+(x—I)2-2(x+l)(x-1)cos60°=x2+3.

于是根据根圆和双曲线的定

CECECE-

义,ee=接下来确定x的取值范围.

x2AC+AEAC-AEAC2-AE2

设3尸=3G=y,在ZVIBC中,AC—x—1,48=丁+1,3。=工+了,于是由余弦定

22

理,(x+,)2=(%+1)+(y+1)-2(x+l)(y+1)cosl20。,整理得孙_3(x+y)—3=0,于是

丁=3(x+D>o.故.>3，从而ete2=—|x+—|e(1,+co).选D.

x—341%J

9.答案：BCD

解析：对于A选项,在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为1.

则(2a+3a+7a+6a+2a)x10=200a=1，解得a=0.005,A错；

对于B选项，前两个矩形的面积之和为(2a+3a)x10=50a=0.25<0.5.

前三个矩形的面积之和为(2a+3a+7a)x10=120a=0.6>0.5.

设该年级学生成绩的中位数为办则me(70,80),

根据中位效的定义可得0.25+(m-70)x0.035=0.5,解得7”77.14,

所以,估计该年级学生成绩的中位数约为77.14,B对；

对于C选项，估计成绩在80分以上的同学的成绩的平均数为

6ax85+2ax95=87.5分,C对；

6〃+2a6a+2a

对于D选项，估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的方差为

|[12+(87.5-85尸]+：[10+(87.5-95)2]=3025,D对.故选:BCD.

10.答案：AD

解析：对于A选项,」AB=26ZABC=60。,则AABC为等边三角

形,AC=AB=2A/3,

取AC的中点瓦则5石，AC,同理可知,AACD为等边三角形，所以,DE1AC,

且金田2国—吟3®

所以,二面角6-AC-O的平面角为。=NBED.

设点。到平而ABC的距离为d,则d=DEsin。=3sin8,

VDABC=-S.ABCM='x3后义3sin，=3百sin，V36，当且仅当。=90。时，等号成立，

LJ-ZxDt_-\I\£J

即四面体ABCD的体积的最大值是3A/3,A选项正确；

对于B选项，由余弦定理可得出J?=BE?+。炉一2BE.DEcos。=18-18cos。e(0,36)，所

以,5。e(0,6),B选项错误；

对于C选项，S4MS=SA“CC=3G，

AB=AD=BC=CD,BD=BD,：.Z\ABD^Z\CBD,

所以班O=6sinN痴

因止匕，四面体ABCD的表面积的最大值是2x373+2x6=12+673,C选项错误；

对于D选项，设M.N分别为△•(?,AACD的外心，则EN=EM=-BE=l,

3

在平面BDE内过点般作BE的事线与过点N作DE的重线交于点O,

BELAC,DELAC,BE「DE=E,：.AC±平面BDE,

OMu平面BDF,:.OM±AC,

OM±BE,BEAC=E,:.OM，平面ABC,同理可得ONL平面ACD,

则。为四面体ABCD的外接球球心，

连抗OE,「EM=EN,OE=OE,NOME=ZONE=90°,:.Z\OME^Z\ONE,

所以,NOEAf=g=30o,；.OM,

23

RtzXBVO中,。M=是,MB=2,:.OB=^OM-+MB=叵，即球0的半径为R=叵,

333

因此，球0的体积为丫=3兀&=今詈兀,口选项正确.

故选:AD.

11.答案：ABD

解析：对于A选项，因为函数g(x-2)的图象关于直线x=2对称，

贝l]g(2-x-2)=g(2,x-2),

即g(-x)=g(x),所以，函数g(x)为偶函数.故A正确；

对于B选项，因为/(2+3x)=f(-3x)，令f=3尤，可得f(t+2)=/(-/),即/(x+2)=f(-x),

对等式/(x+2)=/(-x)两边求导得f'(x+2)=-f'(-x),ipg(x-2)+g(-x)=0,

故g(x+2)+g(x)=0,所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x),故B正确；

对于C选项，因为g(x)=7'(x)，则/(-%)=/'(x),

令h(x)=/(x)+/(-x)，则h\x)=f\x)-/'(-X)=0,所以,h(x)为常值函数，

设〃(x)=/(%)+/(-%)=C淇中C为常数，

当Cw0时,/(—x)=C—/(%)*-f(x)，故C错误；

对于D选项，因为g(x+2)+g(—x)=g(x+2)+g(x)=0,所以,g⑴=0,g[a+S(J=0.

g(2)+g(0)=g(2)+1=。.可得g(2)=-1,

g[£|+g|l)=gl{|+gD=g[l)+g|l)=Og(3)=g(3-4)=g(-l),

由g(x+2)+g(—x)=g(x+2)+g(x)=0,今x=1,可得g(3)+g(l)=。，则

g(3)=0,g(4)=g(0)=l,

所以

+g⑴+g1|[+g(2)+g图+g(3)+gg+g(4)=g⑴+g(2)+g(3)+g(4)=0—l+0+l=0

g

203

因为2024=8x253,贝2530,D对.故选:ABD.

k=\S4I>

12.答案：x-y-y[2=0/x-y+y[2=0/3%+4y-5=0/x=-l

解析：若1//AB，此时l的斜率为1.设/的方程为y…d则点。到I的距离*1,得

6=±0,因此/的方程为》7-0=0或》7+血=0.即/经过43的中点,当/的斜率

不存在时，/的方程为x=-l；当/的斜率存在时，设其方程为y=-x+1）+2,则点。到/的

距离耳或1=1,得左=—3,此时/的方程为3%+4y-5=0.故答案

+14

为:％-^-0=0,%-了+鱼=0,3%+4丁-5=0,X=-1（写出一个满足条件的即可）.

13.答案：28

解析：显然a,5,c,d均为不超过5的自然数，下面进行讨论：

最大数为5的情况：

@25=52+02+02+02，此时共有A；=4种情况.最大数为4的情况：

②25=4?+3?+。2+0z,此时共有A；=12种情况.

③25=4?+2?+2?+V,此时共有Af=12种情况.

当最大数为3Ht,32+32+22+22>25>32+32+22+12，没有满足题意的情况.由分类加法

计数原理,满足条件的有序数组（。,仇。⑷的个数是4+12+12=28.

14.答案：—7C

2

解析：设正三核台ABC-A4G.如图，先考察正三校台的一个取面ABBlAl.^AB<AlBl.

在中，由于NA4B是钝角，故△外6中最大的边是4".若=2，则AB和441的

长只能取1或逝.此时若两边长均为1和1,则不满足两边之和大于第三边;若一

边长1,一边长6,则△A416变为直角三角形;若两边长均为6,则A片的长只能为1,与

4片矛盾.

因而只能是45=6,45=441=1,Aq=2.

设三校台的上底面中心为。，下底面中心为R.如图，在直角梯形ADR4中求球。的半径・

容易求得AD=^，A2-半,=乎.

+

设球0的半径为R,OA=x，则我2=f+［半；=［彳一［［Y］，解得》=一普，

2

R=-，故球0的表面积为4冰2=-71.

82

旦

15.答案：(1)6五

4

解析：(1)设直四棱柱的高为。设落形AqGR的两条对角线相交于点。，则0G1OR,

以。为坐标原点,0G的方向为x轨正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.

由题设知，点C］(1,0,0),Di(0,百,0),3(0,―"a),D(0,百,a).

因为8〃J.平面AG。,所以5。］1CD.

2

贝IBDl-ClD=6-a=0Ma=y/6.

故四棱柱的体积V=—x22xa=672.

2

(2)因为6。1平面AG。.所从点E在线段8功上，且GE==2.

2222

设BE=ABDX(0<2<1)，则E(0,73(22-1),76(1-2)),QE=1+3(22-I)+6(1-2)=4,

解得人1(含去)或人;,故d。,-日'半〔

由于点E和点q关于平面a对称，所以GE=，L-g，半］是平面«的一个法向量.

又6A=(0,26,-6)是平面AG。的一个法向量,

一,义2百一后,手_0

则cos（即,C©=叱

''\BD.\-\QE\3后x2—2

即平面和平面’所成倪二面角的大小为三

16.答案：(1)证明见解析

⑵7

解析：(1)由题设知〃。1+(〃-1)。2++an=2Sn-l.

用〃+1替换上式的〃，得("+l)q+叩2++4+1=2S〃+]—1.

两式作差,％+%++4+%=S用=2S〃M-2S”即S„+1=2S„.

而由lxq=2E-1,可得S1=lw0.

从而｛Sj是首项为1,公比为2的等比数列.

TT

⑵由⑴得3=2",于是an=Sn-S〃=I；』：-2，

Ln=l.

^Tn=—+—++—,Pl!j7]=1,

当〃之2时,7；=1+2x2°++”x22-'故gq=g+2x2-i++”x2「".

两式作差，得工T=-+(2-l+T2++22T)_“X2「"二」+2(I]“百”.

22v'21-21

整理可得7；=7-(“+2)x22-".

故(<7,又<=竺>6,因此满足条件的最小正整数m为7.

8

V2

17.答案：(1)—+9=1

4'

(2)2

22/T

解析：⑴由题意，在椭圆二+2=1(。〉6〉0)中,右顶点为(2,0),离心障为先，

ab2

.\a=2,e=—=c=5/3,b2=a2—c2=1,二.椭圆的方积为:土+y2=1.

a24

2

(2)由题意及⑴得在能圆r?+丁=1中，设存在常数2，使得%+%=然2.

当直线AB斜率不存在时，其方程为:x=1,

代入椭圆方程得A,£,B卜一£,此时p(4,0),可得尢+勺=0=为；

当直线AB斜率存在时,设直线AB的方程为y=A(x-1),左W0,4(%,%),B(x2,y2),

将直线方程代入根圆方程得:(1+4k②)x2-8k2x+442—4=0,

8k②442—4

P是直线x=4上任一点，过点M(1.0)且与盘直的直线交椭圆于A,3两点，

直线的方程为：y=-1(x-1),P[4,-力，

33

1%+7%+不

由几何知识得；42——,k[=-----,k=-----,<匕+a=2左2，

1^'434

将X1+%=8"2442—4

%=k(%2-1)代入方程，并化简

12

1+4左21+442

得：_2=一4，解得:2=2.综上，存在常数2=2，使得勺+&=Ak2.

kk

7

18.答案：(1)尸(B)=M

(2)不存在，理由见解析

(3)证明见解析

解析：(1)当p=；时，尸(4)=2,P(A)=2a,P(4)=a.P(A)=£,则(+2a+a+^|=l,

解得。=已4

由题意，得

p(8A)=c；xg,p(剧4)—eg],P(HA)=c《J+c；g].

由全概率公式，得

P(3)=£P(HA,)P(A,)=合+c1£|a++c(£|a(l-)

aaa、

=——+—+—(1-p).

2p42

142

又p=5,o=西，所以P(B)=—.

(2)由@+a+〃(1一7)+a(l—pl=1,得，=p1-3/7+—+3.

pap

假设存在p,使E(X)=-+2a+3a(l-p)=~.

P3

将上述两式相乘，得4+5-3p=——5/?+2-+5,化简得:523-622+2=0.

p33p

设//(〃)=5/—6p2+2,贝!J/t(p)=15p2-12p=3p(5p-4).

由//(〃)<0,得0<2<|>由//(〃)>0,得：<p<l,

则〃(p)在,/上单调递减，在修，上单调递增，所以〃(p)的最小值为僧=II〉°，

所以不存在p0使得Mz)=0.即不存在p值，使得E(X)=|.

⑶证明:由题知p(M隙,所以曳丝〉型丝P"P(NM),

P(M)P(M)l-P(M)

所以P(NM)>P(N)P(M),

所以P(NM)-P(N)P(NM)>P(N)P(M)-P(N)P(NM),

即P(NM),P(R)>P(N),P(RM),所以〉P黑;，即P(MN)>P(M\N).

19.答案：(1)—+kK,—+hi(keZ)

88

(2)目乌亚

⑶Y

解析：(1)由题设知直线x=1是/(X)的一条对称轴.点仔,o1是/(x)的一个对称中心，

所以/(x)的最小正周期T满足型—四=工,故丁=兀，从而。=&=2.今2XC+"=2+E,

jr

得夕=W+kit(keZ).

结合O<0<兀知0=；,故/(x)=sin.

今巴+2EV2x+二V建+2E,得/(x)的单调递减区间为t+E,生+也］(左eZ).

⑵注意到R⑺的值域就是/(X)在区间］1+巴］上最大值与最小值之差的取值范