河南省漯河市2024届高三年级下册5月月考数学试题（含答案解析）

河南省漂河市高级中学2024届高三下学期5月月考数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知a=logs2,b=log2a,c=（g），则（）

A.c>b>aB.c>a>bC.a>b>cD.h>c>a

2.在等差数列｛q｝中，若〃2+%+。19+%2=28,则%=（）

A.45B.6C.7D.8

3.已知集合A={x|0vxv3},8={dlgxvJ

、则（）

A.Ac-BB.BAC.AnB=0D.A8=R

L

4.已知角1的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，cosa=T，P（M,2）为其终边上

一点，则阳=（）

A.-4B.4C.-ID.1

.〃满足e2"-2+^=e2-2"+e-3则。—£的最大值为（）

5.已知正实数明

,

A.0B.~C.1D.一

22

6.已知直线4：y=2x和4：y=履+1与x轴围成的三角形是等腰三角形，则k的取值不可能

为（）

B.」C.且D.反

A.-2

322

7.人工智能领域让贝叶斯公式：P（A出”"力,⑷站在了世界中心位置,AI换脸是一

项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，“AI”视频占有率为0.001.某

团队决定用AI对抗AL研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假.该鉴伪技术的准确率是

0.98,即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04,即在

该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”.已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视

频是“AI”合成的可能性为（）

A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%

8.己知过点（-2,0）的直线与函数/（x）=xe",+2的图象有三个交点，则该直线的斜率的取

值范围为（）

A.B.（-«＞,0）C.（-1,0）D.（-l,+oo）

二、多选题

14

9.已知。＞0,人＞0且一+：=2,则下列说法正确的是（）

ab

g

A.而有最小值4B.。+匕有最小值5

C.2"+。有最小值2逐D.J1&?+从的最小值为4a

10.某学校为了解学牛身高（单位：cm）情况,采用分层随机抽样的方法从4000名学生（该

校男女生人数之比为3:2）中抽取了一个容量为100的样本.其中，男生平均身高为175,方

差为184,女生平均身高为160,方差为179.则下列说法正确的是参考公式：总体分为2层，

各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：/，彳，5，尺.记总的样本

平均数为了，样本方差为『，则（）

参考公式：$2=^^k[5；+（灭—矶2]+%[尺+（,一5）2j

A.抽取的样本里男生有60人

B.每一位学生被抽中的可能性为?

C.估计该学校学生身高的平均值为170

D.估计该学校学生身高的方差为236

11.已知曲线曰型+殂=1,则下列结论正确的是（）

48

A.y随着x增大而减小

B.曲线E的横坐标取值范围为卜2,2]

C.曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第二象限

D.也住,九）是曲线E上任意一点，则|以十为|的取值范围为。4]

三、填空题

试卷第2页，共4页

12.已知tana=吃,则cos2a=___.

7-sina

13.数列｛%｝的通项。”=〃与11作，前〃项和为S”，则几=.

14.已知双曲线C:1-1=l(a>0力>0)的左，右焦点分别为6,小P为C右支上一点，

ab~

/?用月=,2环工的内切圆圆心为加，直线PM交X轴于点N,|PM|二3|MN|,则双曲线

的离心率为.

四、解答题

15.已知数列｛4｝满足4=2,。”=凡_1+2〃(〃22).

(1)求数列｛为｝的通项公式；

⑵记数列的前〃项和为S“，证明：Sn<\.

16.如图，在三棱柱ABC-A瓦G中，ARJL平面ABC,D,E分别为AC,AG的中点,

AB=BC=M,AC=AAl=2.

(1)求证：4。_1平面8。石；

(2)求点。到平面ABE的距离.

17.2023年8月3日，公安部召开的新闻发布会公布了“提高道路资源利用率”和“便利交通

物流货运车辆通行''优化措施，其中第二条提出推动缓解停车难问题.在持续推进缓解城镇

老旧小区居民停车难改革措施的基础上，因地制宜在学校、医院门口设置限时停车位，支持

鼓励住宅小区和机构停车位错时共享.某医院门口设置了限时停车场(停车时间不超过60

分钟)，制定收费标准如下：停车时间不超过15分钟的免费，超过15分钟但不超过30分钟

收费3元，超过30分钟但不超过45分钟收费9元，超过45分钟但不超过60分钟收费18

元，超过60分钟必须立刻离开停车场.甲、乙两人相互独立地来该停车场停车，且甲、乙

的停车时间的概率如下表所示：

停车时间/分钟(0,15](15,30](30,45](45,60]

£

甲3aa

44

]_]_

乙2bb

63

设此次停车中，甲所付停车费用为x,乙所付停车费用为八

⑴在X+Y=18的条件下，求X2Y的概率；

⑵若求随机变量g的分布列与数学期望.

18.已知a=(cosx,sinx),。=(cosx,bcosx),函数/(x)=ab.

(1)求人幻的最小正周期及单调递增区间；

(2)在AA8C中，b、。分别是角A、B、C的对边长，若/(A)=l,b=l,AA8C的

面积为立，求。的值.

2

19.已知离心率为2的椭圆C：=+==13＞力＞0)的左、右顶点分别为A，4,点尸为椭圆

C上的动点，且&AP&面积的最大值为30.直线/：%=叼-2(6工0)与椭圆C交于AB两

点，点直线4),8。分别交椭圆。于G,”两点，过点4作直线GH的垂线，垂足

为M.

(1)求椭圆。的方程.

(2)记直线G"的斜率为A,证明：b〃为定值.

(3)试问：是否存在定点N,使|MV|为定值？若存在，求出定点N的坐标；若不存在，说明

理由.

试卷第4页，共4页

参考答案:

1.B

【分析】判断出〃<0,O1,即可求解.

［详解］10g5l<a=log52<log55=l,.\0<a<l

/?=log2a<log2l=0,故b<0；

.•c=(g)，故c>l,故

故选：B.

2.C

【分析】利用等差数列的性质求解.

【详解】因为勺+%+%9+%2=(/+%)+(%+69)=%2=28,

所以%=7.

故选：C.

3.A

【分析】先化简集合凡再根据集合间关系判断.

【详解】由lgx<g,得0cx〈而，则8={x|0<x<JIU},所以4《民

故选：A.

4.D

【分析】根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，即可求解.

【详解】始边与x轴非负半轴重合，cosa=好,P(孙2)为其终边上一点，

5

则了富=与，且/n>0,解得m=l.

\jm+4)

故选：D.

5.A

【分析】根据等式关系构造函数〃x)=e'-eT,由其单调性可得为-2=-6,于是结合基

本不等式可得的最大值.

2b

【详解】由题e2a-2—e2-2a=e"—8构造函数〃x)=e*-eT,则〃为-2)=/(—b),

答案第1页，共13页

显然/（X）在R上单调递增，所以为一2二-6,即。=?，

所以=*__L=]_L（〃+_L]K]__LX2、屏=0,当且仅当a=1,b=1时等号成立.

2b22b2\b）2\b2

所以a-1的最大值为0.

2b

故选：A.

【点睛】关键点点睛：函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应月贯穿于整个高中数学

的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在

联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此

对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根

据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问

题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.

6.D

【分析】分为围成的等腰三角形底边在x轴上、底边在直线12上和底边在直线4上三种情况,

分别求解即可.

【详解】令直线44的倾斜角分别为a，。，则tana=2,tan8=K

当围成的等腰三角形底边在x轴上时，0=n-a,/:=tan（7t-a）=-tana=-2；

八a一八兀a

当围成的等腰三角形底边在直线《上时,

2呜

因为tana==2,Ktan—>0,解得呜二与1

,a

1-tan2—2

2

a兀]

r-riq.八av5-1=tan=tan—+—

所以&=tan6=tan—=-----,或22a2

22tan—

2

当围成的等腰三角形底边在直线4上时，0=2a,则

答案第2页，共13页

故选：D.

7.C

【分析】根据题意，由贝叶斯公式代入计算，即可得到结果.

【详解】记“视频是AI合成”为事件A,记“鉴定结果为AI”为事件B,

则P（A）=0.001,P（A）=0.999,尸（曲A）=0.98,尸（同,）=0.04,

P（A）P（B|A）0.00：x0.98

由贝叶斯公式得：川4|可=

P(A)P(A)+P(A)P(B|A)-0.001x0.98+0.999x0.04

故选：C.

8.C

【分析】方法一：问题转化为方程把"2+2=&。+2）有三个不等的实数根.分离参数后构造

函数g（x）=*e+/。=一2）,求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令

x+2=t,则方程变为2）3+2=依，分别构造函数乂="-2后+2f=5求导分析X的

单调性和极值，再讨论当2>0时打图象的情况和当时设切点，利用导数的意义求出切

线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率

范围.

【详解】问题转化为方程K7+2=2（1+2）有三个不等的实数根.

方法一：分离参数

因为/（-2）=0,所以方程加2+2=4。+2）

有三个不等的实根等价于方程比?=k有两个不等的实根.

YQX+2,9

令g(x)=:------—U*-2),

U+l)(x+2)e*+2-xet+2-2

则g'(x)=

*+2)2

令〃(x)=(x+l)(x+2)ex+2-xev+2-2,则u\x)=(x+2)2eK+2>0,即〃(用单调递增.

ml+O

又〃(—2)=0,所以当xe(fo,—2)时，g'*)<O,g(x)单调递减，且g*)=^十晨0；

当xe(-2,-KO)时，g'(x)>0,g(x)单调递增,

答案第3页，共13页

且g(0)=l>0.

又因为当MT-2时，；当X->YO时，g(T)->0；当Xf+oo时，g(x)T+00,

所以实数人的取值范围是-1<欠<0.

故选：C.

方法二：分离函数

令x+2=f,则x=f-2,所以(，一2)S+2=h.

令％="-2把'+2,3=切，则乂=e'+(f-2)e'=(1-l)e'=0,解得z=l,

令y；<o,得r<l；令y'>o,得/>1；

所以必在(-00,1)上单调递减，在(1,+00)上单调递增，X有极小值；

而y(0)=-2c°12=0且%(0)・0,

所以方程,=力有一解f=o.

①当%>0时，％=甘过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；

②当％<0时，过原点。作％=(f-2)e'+2的切线，

设切点尸(维，几)，则乂="T)e'，

所以岫二(七-1)铲=&.

*0

又用二(%一2,飞+2,得%=0,

所以无=y；(O)=(O—l)e°=-l,

所以丘(-1,0).

故选：C.

【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程胧"2+2=A(x+2)有三个不等的

实数根，再分离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.

9.ABD

【分析】利用基本不等式可判断各选项.

【详解】A选项：由2='+±222工，得加之4,当且仅当'=即〃=|,〃=4时取

ab\abab

等号，故A选项正确;

答案第4页，共13页

B选项…出乎加+力强+宗势比5+2唐H，当且仅当沁,

3

即4=5，人=3时取等号，故B选项正确；

I4

C选项：由一+—=2,^2ah-4a-h=0,

ab

所以2而+a=5a+b=照+小布）中9+3+华》[9+2^^卜

当且仅当2=半，即°=土吆叵，6=2+逐时取等号，故C选项错误；

ab10

D选项：由A的分析知帅之4且a=l,b=4时取等号，

所以向可至之立事=国之辰=46，当且仅当痴=力，即a=l,b=4时取等号，

故D选项if确：

故选：ABD.

10.ABD

【分析】根据分层抽样的公式，以及利用每层样本的平均数和方差公式，代入总体的均值和

方差公式，即可判断选项.

【详解】对于A项，抽取的样本里男生有100x1=60人，所以A项正确；

对于B项，由题可知，每一位学生被抽中的可能性为黑=《，所以B项正确；

400040

.一32

对于C项，估计该学校学生身高的平均值为了=175x1+160x（=169,所以C项错误；

对于D,估计该学校学生身高的方差为

/=|[184+（175-169）[+：[”9+（160-169）1=236,所以D项正确.

故选：ABD

11.AD

【分析】首先对X、y分类讨论分别得到曲线方程，画出曲线图形，数形结合判断A、B,

由双曲线的渐近线与y=-L4X的关系判断C,由点到直线的距离公式得到卜回%十%|,即点

M（/,y0）到直线Vir+），=0的距离的万倍，求出直线五r+），+c=0与曲线

]+[=1"20,），20）相切时c的值，再由两平行线将的距离公式求出|瓜+%|的最大值,

即可判断D.

答案第5页，共13页

【详解】因为曲线氏型+亚=1,

48

当x20,yNO时—+§=1，则曲线E为椭圆：+小=1的一部分；

4848

2222

当%>0,yvO时三-21=1,则曲线E为双曲线二一21=1的一部分,

4848

且双曲线的渐近线为y=土缶；

当x<0,y>0时且一《=1,则曲线上为双曲线.一片=1的一部分,

8484

且双曲线的渐近线为y=±&.「

可得曲线的图形如下所示：

由图可知随着x增大而减小，故A正确；

曲线E的横坐标取值范围为R,故B错误；

因为-所以曲线E与直线y=-L4x相交，且交点在第四象限，故C错误;

因为|凤+%卜小x,即点M（x。,），。）到直线四大+），=0的距离的8倍,

当直线"r+y+c=O与曲线、■+1■=l（xNO,y20）相切时，

A-2/.

---+----=I-

由48,消去丁整理得4/+2&+。2-8=0，

\/2x+y+c=0

则△=（2岳）2_16卜2-8）=0,解得c=4（舍去）或c=4

_|4|4

又&x+y=0与>/5x+y-4=0的距离]（血）2+心石，

所以版%+%|=何=4,

IImax

所以2Xo+%|的取值范围为（0,4],故D正确；

答案第6页，共13页

故选：AD

【点睹】关键点点暗：木题关键是分析出曲线E的图形，D选项的关键是转化为点到直级的

距离.

7

12.—/0.28

25

【分析】切化弦，然后整理可得sina,再利用倍角公式计算即可.

6cosasina

【详解】=tana=

7-sinacosa

得(7-5抽。.110=685%=6(1-0皿2a),

解得sina=1或sina=-2(舍)

所以cos2a=l_2sin2a=1一2x(1)

故答案为：..

13.7

【分析】根据数列的通项公式，求得数列｛4｝的周期为4,利用规律计算，即可求解.

【详解」由题意，数列｛可｝的通项a“=〃，sin手，

九3九

可得4=1-sin—=1,a2=2-sin=0,a3=3-sin—=-3,a4=4-sin2^=0,

a5=5siny=5,,得到数列｛q｝是以4项为周期的形式，

所以S]3=q+“2+。3+&++^|3=(1+0—3+0)+(5+0—7+0)+(9+0—11+0)+13

=-2x3+13=7.

故答案为7.

【点睛】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中根据数列的通项公式求得数列的周期,

以及各项的变化规律是解答的关键，属于基础题，着重考查了.

14.-/1.4

5

【分析】首先由|PM|二3|MN|转化成阖=4,分别利用双曲线上点的性质和余弦定理化简

求得，〃+〃=#-2"，最后利用三角形等面积法建立黑的表达式，计算即得.

2a-c\MR\

【详解】

答案第7页，共13页

如图，分别过点尸和点M作x轴的垂线段PQ,MR,因1PMi=3|MN],故易得:

"QIIPN」

\MR\~\MN\''

不妨设归用=阂尸为=〃，依题意得：m-n=2a&,由余弦定理：m2=n2+4?-4/?ccosy,

整理得：(〃?-〃)(加+〃)=4/+2〃°,将①式代入得：机+〃=在上土②，由①-②整理可解

a

得：J/3

2a-c

再将其代入②式右边，计算可得……二冬等③

由题意，的面积为：gx2cxiPQ|=；x(〃?+〃+2c)x|A/R|,化简得:

IPQI_〃？+〃+2c_4

\MR\~~~

7

将③式代入并整理得：c(5c-la)=Of因c>0,则离心率为：e=j

故答案为：—

【点睛】方法点睛：本题主要考查双曲线的离心率求解问题.

解决圆锥曲线的离心率问题，一般离不开圆锥曲线的定义，如果有角的条件，则常常要用到

正余弦定理，如果有三角形的内切圆条件，一般与三角形的等面积转化有关，遇到线段的比

值时，经常需要利用相似形转化.

2

15.(\)an=n+nt〃wN*;

(2)证明见解析.

【分析】(1)根据给定条件，利用累加法，结合等差数列前〃项和公式求解即得.

(2)利用裂项相消法求和即可得证.

答案第8页，共13页

【详解】（1）数列｛4｝中，当〃22时，%=凡T+2%即q—《T=2%

则。”=6+32-4）+（/一。2）+・一+（勺7一。“-2）+（为一勺_1）

an=2+4+6+--+（2〃一2）+2〃="2；2〃）二川十八,而4二2满足上式，

所以数列｛4｝的通项公式是%=/+〃，，蚱河.

⑵由⑴知qr=〃-+〃=〃（"］）,则丁而可=丁高7,

0।1I1

因此S"=康+m+—+说而+而旬

,1—1111.1.n.i111

=1----+--------1-----1------------+-----------=1---------,而〃之1,则1---------<1,

223w—1nnn+\〃+ln+1

所以S“<1.

16.（1）证明见解析；

⑵如

3

【分析】（1）通过证明AC_LQ8,ACA.DE,得证AC_L平面BOE.

（2）由小跚=%加，利用体积法求点。到平面ABE的距离.

【详解】（1）证明：・・・A8=8C,D,E分别为ACAG的中点，

・・・AC_LO8,且DE//%

又叫，平面ABC,・・・。石上平面ABC,

又ACu平面ABC,AACA.DE,

又ACJ.O8,且DEcD3=D,D£OBu平面5OE,

工ACJ•平面5Z）E.

（2）VAC1DB,AB=5AC=2AD=2,

BD=\lAB2-AD2=2»

,BE=JDE2+BD?=2近'AE=ylDE1+AD2=>/5»S△9+1x2=1.

在▲ABE1中，AB=AE=6BE=2近,

:.BE边上的高为J（石丫-（夜『=石.

答案第9页，共13页

•*-S.ABE=；X2>/2x6=娓.

设点。到平面ABE的距离为d,

根据%如得：x后xd=91x2,解得d=理,

333

所以点。到平面ABE的距离为当.

>7.(1)|

(2)分布列见解析，E(4)=一

O

【分析】(1)根据概率的性质求出力，求出X+Y=18的概率及X2Y的概率可得答案;

(2)根据X、Y的值可得J的取值，再求取值对应的概率可得分布列、期望.

【详解】(1)根据题意可得：+3a+：+a=l,解得。=：,

448

!+2b+:+0=l,解得匕=!，

636

甲所付停车费用为18元，乙所付停车费用为0元可得X+Y=18,

其概率为耳彳卜右

甲所付停车费用为o元，乙所付停车费用为18元可得X+Y=18,

其概率为己=-x-=

4624

甲所付停车费用为9元，乙所付停车费用为9元可得X+V=18,

其概率为R=-x-=—;

1117

所以x+y=i8的概率尸=/?+6+6=菠+五+高=技，

4oZ41L4o

可得在x+y=i8的条件下，

11

P4-P4812=5

乂之丫的概率为刃；\

R+6+R7~1'

48

(2)J的取值为0,3,6,9,15,18,

1113

P(^0)=lxl4xl+lxl+-x-=-,

',4683438648

答案第10页，共13页

「（岁=6）=，乂，+二乂，=—

'7438324

3

111一

P传=18）=—x—+—x-

864648

随机变量g的分布列为

403691518

1375553

P

484824244848

所以随机变量〈的数学期望

£（^）=0x—+3x—+6x—+9x—+15x—+18X—=—

',4848242448248

18.（1）T=7t,递增区间为伙万一£*乃+与],kwZ；（2）a=6

36

【分析】(1)利用向量的数量积公式与降幕公式和差角公式化简即司..

(2)根据f(A)=\可得A，再根据MBC的面积为B可得J再利用余弦定理求白即可.

2

【详解】(1)f(4=a-b=cos2x+sin。•cosx="""2"+&sin2x

22

即/(x)=sin(2x+3+1故最小正周期为

k6；22

单调递增区间：--+2^<2x+-<-+2^=>--+^<x<-+^.tGZ.

26236

故丁二",递增区间为k笈—g,k;r+£]MeZ.

3u

⑵由/（A）=l得$由（24+看）+3=1=>$由（24+看）=3，因为4£（0,4）,

,,«.九5TT

故2A+?，故2A+—=--=A

66

又。=1,故SAMttec=-2bcsinA=—2=>c=2.

故/=从+/-2从-cosA=l+4-2=3,故。=石

【点睛】本题主要考查了向量与三角函数降呆公式与辅助角公式的应用，同时也考查了利用

正余弦定义与面积公式解三角形的方法等.属于中等题型.

19.(1)—+^-=1：

95

答案第11页，共13页

（2）证明见解析；

（3）存在点N（：,0

【分析】（1）根据题意，列出关于。力"的方程，代入计算，即可得到结果；

（2）根据题意，联立直线4。与椭圆的方程，结合韦达定理代入计算，然后表示出直线GH

的斜率，即可证明；

（3）根据题意，由（2）中的结论，即可■表示出直线G”的方程，从而可得直线G”过定点，

即可得到结果.

ab=3人