河北省遵化市2024届中考数学五模试卷含解析

河北省遵化市重点达标名校2024届中考数学五模试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.一组数据8,3,8,6,7,8,7的众数和中位数分别是（）

A.8,6B.7,6C.7,8D.8,7

2.在0,-1,这四个数中，最小的数是（）

22

11

A.-B.0C.―一D.-1

22

3.随着生活水平的提高，小林家购置了私家车，这样他乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15分钟,

现已知小林家距学校8千米，乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，若设乘公交车平均每小时走x千米,

根据题意可列方程为（）

8818§—+15

A.-+15=B.—I—=------C.D.号」+工

X2.5%x42.5%x2.5元x2.5九4

计算3%2y.2丁丁・孙3的结果是（）.

4.

A.C.D.6x4y

5.用配方法解方程X2-4X+1=0,配方后所得的方程是（)

A.(x-2)2=3B.(x+2)2=3C.(x-2)2=-3D.(x+2)2=-3

6.某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率,绘制了如图的折线图，则符合这一结果的实验

最有可能的是（）

A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”

B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4

C.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃

D.抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上

7.已知二次函数y=ax?+bx+c(a/1)的图象如图所示，则下列结论:

①a、b同号；

②当x=l和x=3时，函数值相等；

③4a+b=l；

④当y=-2时，x的值只能取1；

⑤当-1VXV5时，y<l.

其中，正确的有()

A.2个B.3个C.4个D.5个

3a3

8.计算：(r\2z八2的结果是()

ST("1)

a313

A.z\2B..C.—D.------

(尤—1)a—1Q—1。+1

9.一个不透明的袋子里装着质地、大小都相同的3个红球和2个绿球,随机从中摸出一球，不再放回袋中，充分搅匀

后再随机摸出一球.两次都摸到红球的概率是()

3993

A.—B.—C.—D.一

1025205

10.如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点。为位似中心的位似图形，且相似比为;，

点A,B,E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6,则C点坐标为()

A.(3,2)B.(3,1)C.(2,2)D.(4,2)

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.如图，在RtZkABC中，ZACB=90°,ZABC=30°,将△ABC绕点C顺时针旋转至△A，B，C,使得点A，恰好落

在AB上，则旋转角度为.

B’

上

BA'

12.正方形EFGH的顶点在边长为3的正方形ABCD边上，若AE=x,正方形EFGH的面积为y,则y与x的函数关

13.因式分解：a~(a-b)-4(a-b)=―一.

14.如图，已知点A(4,0),O为坐标原点，P是线段OA上任意一点(不含端点O,A),过P,O两点的二次函数

yi和过P,A两点的二次函数y2的图象开口均向下,它们的顶点分别为B,C,射线OB与射线AC相交于点D.当4ODA

是等边三角形时，这两个二次函数的最大值之和等于

15.已知：如图，AD,5E分别是△A3C的中线和角平分线，ADVBE,AD=BE=6,则AC的长等于

16.设△ABC的面积为1,如图①，将边BC、AC分别2等分，BEi、ADi相交于点O,ZkAOB的面积记为Si；如图

②将边BC、AC分别3等分，BEi、ADi相交于点O,△AOB的面积记为S2；...»依此类推，则Sn可表示为.(用

含n的代数式表示，其中n为正整数)

17.如果将抛物线丁=2必平移，使平移后的抛物线顶点坐标为（L2）,那么所得新抛物线的表达式是

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，AB是。O的直径，点C在。O上，CE^AB于E,CD平分DECB,交过点B的射线于D,交

AB于F,且BC=BD.

（1）求证：BD是。O的切线；

（2）若AE=9,CE=12,求BF的长.

19.（5分）一定数量的石子可以摆成如图所示的三角形和四边形，古希腊科学家把1,3,6,10,15,21,…，称为"三角形

数”；把1,4,9,16,25,…，称为“正方形数”.

1361014916

将三角形、正方形、五边形都整齐的由左到右填在所示表格里：

三角形数136101521a・・・

正方形数1491625b49・・・

五边形数151222C5170・・・

（1）按照规律，表格中a=___,b=___,c=___.

（2）观察表中规律，第n个“正方形数”是；若第n个“三角形数”是x,则用含x、n的代数式表示第n个“五

边形数”是.

2,8

20.（8分）如图，已知矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的正半轴上与y轴的负半轴上，二次函数y=1r-1x-2

的图像经过点B和点C.

（1）求点A的坐标；

（2）结合函数的图象，求当y<0时，x的取值范围.

21.（10分）已知：如图，在半径是4的。O中，AB、CD是两条直径，M是OB的中点，CM的延长线交。。于点

E,且EM>MC,连接DE,DE=V15.

(1)求证：AAMCSAEMB；

（2）求EM的长；

（3）求sin/EOB的值.

22.（10分）2018年4月份，郑州市教育局针对郑州市中小学参与课外辅导进行调查，根据学生参与课外辅导科

目的数量，分成了：1科、2科、3科和4科，以下简记为：1、2、3、4,并根据调查结果绘制成如图所示的条形统计

图和扇形统计图（未完成），请结合图中所给信息解答下列问题：

（1）本次被调查的学员共有人；在被调查者中参加“3科”课外辅导的有人.

（2）将条形统计图补充完整；

（3）已知郑州市中小学约有24万人，那么请你估计一下参与辅导科目不多于2科的学生大约有多少人.

23.（12分）直角三角形ABC中，NBAC=90，D是斜边BC上一点，且AB=AD,过点C作CE_LAD,交AD

的延长线于点E,交AB延长线于点F.

（1）求证：ZACB=NDCE；

（2）若/BAD=45，2正=2+行，过点8作86，日2于点6,连接DG.依题意补全图形，并求四边形ABGD的

面积.

24.（14分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对4、5两地间的公路进行改建，如图，A,5两地之间有一座

山.汽车原来从A地到8地需途经C地沿折线AC5行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线A5行驶，已知3c=80

千米，NA=45。，ZB=30°.开通隧道前，汽车从A地到3地要走多少千米？开通隧道后，汽车从A地到3地可以

少走多少千米？（结果保留根号）

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

试题分析：根据中位数和众数的定义分别进行解答即可.把这组数据从小到大排列：3,6,7,7,8,8,8,

8出现了3次，出现的次数最多，则众数是8；最中间的数是7,则这组数据的中位数是7

考点：（1）众数；（2）中位数.

2、D

【解题分析】

试题分析：因为负数小于0,正数大于0,正数大于负数，所以在二,0,-1,这四个数中，最小的数是一1,故

22

选D.

考点：正负数的大小比较.

3、D

【解题分析】

分析：根据乘私家车平均速度是乘公交车平均速度的2.5倍，乘坐私家车上学比乘坐公交车上学所需的时间少用了15

分钟，利用时间得出等式方程即可.

详解：设乘公交车平均每小时走x千米，根据题意可列方程为：

881

-------1--.

x2.5x4

故选D.

点睛：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，解题关键是正确找出题目中的相等关系，用代数式表示出相等关

系中的各个部分，列出方程即可.

4、D

【解题分析】

根据同底数塞的乘除法运算进行计算.

【题目详解】

3x2y2.x3y2Axy3=6x5y4+xy3=6x，y.故答案选D,

【题目点拨】

本题主要考查同底数塞的乘除运算，解题的关键是知道：同底数塞相乘，底数不变，指数相加.

5、A

【解题分析】

方程变形后，配方得到结果，即可做出判断.

【题目详解】

方程%2-4%+1=0，

变形得：X2-4X=T，

2

配方得：X-4X+4=-1+4,即（X-2>=3,

故选A.

【题目点拨】

本题考查的知识点是了解一元二次方程-配方法，解题关键是熟练掌握完全平方公式.

6、B

【解题分析】

根据统计图可知，试验结果在0.17附近波动，即其概率PM.17,计算四个选项的概率，约为0.17者即为正确答案.

【题目详解】

解：在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出剪刀的概率是：，故A选项错误，

掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是4的概率是!切.17,故B选项正确，

一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌，抽中红桃得概率是L,故C选项错误，

4

抛掷一枚均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面仍朝上的概率是:，故D选项错误，

故选B.

【题目点拨】

此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率.频率=所求情况数与总情况数之比.熟练掌握

概率公式是解题关键.

7、A

【解题分析】

根据二次函数的性质和图象可以判断题目中各个小题是否成立.

【题目详解】

由函数图象可得，

a>l,b<L即a、b异号，故①错误，

x=-l和x=5时，函数值相等，故②错误，

•••-2==3=2,得4a+b=L故③正确，

由图象可得，当y=-2时，x=l或x=4,故④错误，

由图象可得，当」VxV5时，y<l,故⑤正确，

故选A.

【题目点拨】

考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答.

8、B

【解题分析】

根据分式的运算法则即可求出答案.

【题目详解】

3a-3

解：原式=7~^2

3（Q-1）

（a—行

3

a—1

故选；B

【题目点拨】

本题考查分式的运算法则，解题关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型.

9、A

【解题分析】

列表或画树状图得出所有等可能的结果，找出两次都为红球的情况数，即可求出所求的概率:

【题目详解】

列表如下：

红红红绿绿

红---（红，红）（红，红）（绿，红）（绿，绿）

红（红，红）---（红，红）（绿，红）（绿，红）

红（红，红）（红，红）---（绿，红）（绿，红）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）---（绿，绿）

绿（红，绿）（红，绿）（红，绿）（绿，绿）---

•••所有等可能的情况数为20种，其中两次都为红球的情况有6种,

故选A.

10、A

【解题分析】

•；正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为L

3

。」

•••A=-9

BG3

VBG=6,

:・AD=BC=2,

*：AD//BG,

：./\OAD^AOBGf

.OA1

••=一，

OB3

.OA1

••=一,

2+OA3

解得：04=1,：.OB^3,

点坐标为：（3,2）,

故选A.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、60°

【解题分析】

试题解析：VZACB=90°,ZABC=30°,

.,.ZA=90°-30°=60°,

•.•△ABC绕点C顺时针旋转至△ABC时点A"恰好落在AB上，

.*.AC=A,C,

...△AAC是等边三角形，

ZACA,=60°,

旋转角为60。.

故答案为60°.

12、y=2x2-6x+2

【解题分析】

由AAS证明△DHEg△AEF,得出DE=AF=x,DH=AE=l-x,再根据勾股定理，求出EH2,即可得到y与x之间的函

数关系式.

【题目详解】

如图所示:

•.•四边形ABCD是边长为1的正方形，

.,.NA=ND=20。，AD=L

：.Z1+Z2=2O°,

,/四边形EFGH为正方形，

.\ZHEF=20o,EH=EF.

.,.Zl+Zl=20°,

.\Z2=Z1,

在AAHE与△BEF中

ZD=ZA

<Z2=Z3,

EH=EF

/.△DHE^AAEF(AAS),

/.DE=AF=x,DH=AE=l-x,

在RtZkAHE中，由勾股定理得：

EH2=DE2+DH2=X2+(1-X)2=2X2-6X+2；

BPy=2x2-6x+2(0<x<l),

故答案为y=2x2-6x+2.

【题目点拨】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，本题难度适中，求出y与x之间的函数关系式是解

题的关键.

13-,(a+2)(a—2)

【解题分析】

分析：先提公因式，再利用平方差公式因式分解即可.

详解：a2(a-b)-4(a-b)

=(a-b)(a2-4)

=(a-b)(a-2)(a+2),

故答案为：(a-b)(a-2)(a+2).

点睛：本题考查的是因式分解，掌握提公因式法、平方差公式进行因式分解是解题的关键.

14、2g

【解题分析】

连接PB、PC,根据二次函数的对称性可知OB=PB,PC=AC,从而判断出APOB和AACP是等边三角形，再根据

等边三角形的性质求解即可.

【题目详解】

解：如图，连接PB、PC,

由二次函数的性质，OB=PB,PC=AC,

VAODA是等边三角形，

:.NAOD=ZOAD=60°,

APOB和小ACP是等边三角形，

VA(4,0),

/.OA=4,

点B、C的纵坐标之和为：OBxsin60o+PCxsin60°=4x是=2也,

2

即两个二次函数的最大值之和等于26.

故答案为23.

【题目点拨】

本题考查了二次函数的最值问题，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，作辅助线构造出等边三角形并利用等边

三角形的知识求解是解题的关键.

15、当

【解题分析】

试题分析：如图，过点C作CFLAD交AD的延长线于点F,可得BE〃CF,易证△BGD丝ACFD,所以GD=DF,

BG=CF；又因BE是△ABC的角平分线且ADJ_BE,BG是公共边，可证得△ABG之△DBG,所以AG=GD=3；由

-片---啰=侬=,—H—3

BE〃CF可得△AGE-^AAFC,所以，/次盘营岁，即FC=3GE；又因BE=BG+GE=3GE+GE=4GE=6,所以GE=

99

BG=2；在RtAAFC中，AF=AG+GD+GF=9,CF=BG=2,由勾股定理可求得AC=W.

考点：全等三角形的判定及性质；相似三角形的判定及性质；勾股定理.

1

16、-----

2n+l

【解题分析】

试题解析：如图，连接DiEi,设ADi、BEi交于点M,

SAABEI：SAABC=1：(n+1),

._1

••SAABEI=~9

n+1

AB_BM_n+1

DXEXME】n

〃

•_B__M_—____+__l

一

BEX~2〃+l'

*••SAABM:SAABEI=(n+1)：(2n+l),

SAABM：-------=(n+1)：(2n+l),

n+1

1

AS=

n2n+l

1

故答案为

2/7+1

17-«y—2(^x—T)~+2.

【解题分析】

平移不改变抛物线的开口方向与开口大小，即解析式的二次项系数不变，根据抛物线的顶点式可求抛物线解析式.

【题目详解】

•.•原抛物线解析式为y=lN,顶点坐标是（0,0）,平移后抛物线顶点坐标为（1,1）,.•.平移后的抛物线的表达式为:

j=l（X-1）'+1.

故答案为：J=1（X-1）M.

【题目点拨】

本题考查了抛物线的平移与解析式变化的关系.关键是明确抛物线的平移实质上是顶点的平移，能用顶点式表示平移

后的抛物线解析式.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）证明见解析；（2）1.

【解题分析】

试题分析：（1）根据垂直的定义可得NCEB=90。，然后根据角平分线的性质和等腰三角形的性质，判断出N1=ND,

从而根据平行线的判定得到CE〃BD,根据平行线的性质得/DBA=NCEB,由此可根据切线的判定得证结果；

（2）连接AC,由射影定理可得=/E上&进而求得EB的长，再由勾股定理求得BD=BC的长，然后由“两角对

应相等的两三角形相似”的性质证得△EFC-ABFD,再由相似三角形的性质得出结果.

试题解析：（1）证明：I•虑工/B,

：.ZCEB=9O°•

；CD平分々CB,BC=BD,

/.々=<2,勺=

4=e.

.'.CE//BD.

：•3BA=XEB=90°.

；AB是。O的直径，

；.BD是。O的切线.

（2）连接AC,

TAB是。O直径，

•*-44CB=90°.

,：CE1AB,

可得Cfi12=AE'SB-

.•.三5二二二1：

AE

在RtACEB中，NCEB=90。，由勾股定理得

BC=^CE2+EB2=20.

--BD=BC=2G.

,:々=ND,ZEFC=ZBFD,

/.△EFC^ABFD.

•簿=随

,,庭一嬴

.1216-BF

,>20=BF'

/.BF=1.

考点：切线的判定，相似三角形，勾股定理

19、123n2n2+x-n

【解题分析】

分析：（1）、首先根据题意得出前6个“三角形数”分别是多少，从而得出a的值；前5个“正方形数”分别是多少，从而

得出b的值；前4个“正方形数”分别是多少，从而得出c的值；（2）、根据前面得出的一般性得出答案.

,、斗人——r皿八e口1x22x33x44x55x66x7

详解：（1）•••前6个“二角形数”分别是：1==「、3=——>6=——>10=一「、15=——>21=--,

222222

〃（几+1）

第n个“三角形数”是二---L,=7x82=17x82=l.

2a

22

••,前5个“正方形数”分另U是：1=1,4=22,9=32,16=42,25=5,

二第n个“正方形数”是n2,b=62=2.

*人­皿八口,口lx（3xl-l）2x（3x2-l）3x（3x3-l）4x（3x4-l）

;前4个“正方形数”分别是：1=—----------5=—----------------2,12=—----------2,22=—-----------2,

2222

...第n个"五边形数"是n(3n-l)2n(3n-l)2,c=-~~~—=3.

2

(2)第n个“正方形数”是i?；1+1-1=1,3+4-5=2,6+9-12=3,10+16-22=4,...»

.••第n个“五边形数”是n2+x-n.

点睛：此题主要考查了图形的变化类问题，要熟练掌握，解答此类问题的关键是首先应找出图形哪些部分发生了变化,

是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解.探寻规律要认真观察、仔细思考，善

用联想来解决这类问题.

20、(1)(4,0)；(2)-l<x<5

【解题分析】

(1)当x=0时，求出点C的坐标，根据四边形。RC为矩形，得出点B的坐标，进而求出点A即可；

(2)先求出抛物线图象与x轴的两个交点，结合图象即可得出.

【题目详解】

解：(1)当％=0时，函数丁二1/—W％—2的值为-2,

.•.点C的坐标为(0,-2)

•四边形Q钻C为矩形，

:.OA^CB,AB=CO=2

2Q

解方程§厂一二x—2=—2,得石=0,%=4.

.•.点3的坐标为(4,—2).

...点A的坐标为(4,0).

2Q

(2)解方程二厂-二彳-2=0,得%=_1,%2=5.

由图象可知，当丁<0时，x的取值范围是—

【题目点拨】

本题考查了二次函数与几何问题，以及二次函数与不等式问题，解题的关键是灵活运用几何知识，并熟悉二次函数的

图象与性质.

21、(1)证明见解析；(2)EM=4；(3)sinZEOB=^l.

4

【解题分析】

(1)连接A、C,E、B点，那么只需要求出△AMC和AEMB相似，即可求出结论，根据圆周角定理可推出它们的

对应角相等，即可得△AMCs/XEMB；

(2)根据圆周角定理，结合勾股定理，可以推出EC的长度，根据已知条件推出AM、BM的长度，然后结合(1)

的结论，很容易就可求出EM的长度；

(3)过点E作EFLAB,垂足为点F,通过作辅助线，解直角三角形，结合已知条件和(1)(2)所求的值，可推出

RtAEOF各边的长度，根据锐角三角函数的定义，便可求得sinNEOB的值.

【题目详解】

(1)证明：连接AC、EB,如图1,

VZA=ZBEC,ZB=ZACM,

/.△AMC^AEMB；

(2)解：:DC是。。的直径,

/.ZDEC=90o,

.,.DE2+EC2=DC2,

VDE=715>CD=8,且EC为正数,

为OB的中点，

/.BM=2,AM=6,

VAM»BM=EM«CM=EM(EC-EM)=EM(7-EM)=12,且EM>MC,

；.EM=4；

(3)解：过点E作EFLAB,垂足为点F,如图2,

C

VOE=4,EM=4,

:.OE=EM,

.\OF=FM=1,

•*,EF="2—12=^/15，

:.sinZEOB=—=.

OE4

【题目点拨】

本题考查了圆心角、弧、弦、弦心距的关系与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握圆心角、弧、弦、

弦心距的关系与相似三角形的判定与性质.

22、（1）50,10；（2）见解析.（3）16.8万

【解题分析】

（1）结合条形统计图和扇形统计图中的参加“3科”课外辅导人数及百分比，求得总人数为50人；再由总人数减去参

加“1科”，“2科”，“4科”课外辅导人数即可求出答案.

（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，

由扇形统计图可知参加“4科”课外辅导人数占比为10%,故参加“4科”课外辅导人数的有5人.

（3）因为参加“1科”和“2科”课外辅导人数占比为”土型，所以全市参与辅导科目不多于2科的人数为24x”土型

5050

=16.8（万）.

【题目详解】

解：（1）本次被调查的学员共有：15+30%=50（人），

在被调查者中参加“3科”课外辅导的有：50-15-20-50x10%=10（人），

故答案为50,10；

（2）由（1）知在被调查者中参加“3科”课外辅导的有10人，

在被调查者中参加“4科”课外辅导的有：50xl0%=5（人），

补全的条形统计图如右图所示；

50

答：参与辅导科目不多于2科的学生大约有16.8人.

【题目点拨】

本题考察了条形统计图和扇形统计图，关键在于将两者结合起来解题.

23、(1)证明见解析；(2)补图见解析；S四边形

【解题分析】

(1)根据等腰三角形的性质得到=等量代换得到NASD=NCDE,根据余角的性质即可得到结论；

(2)根据平行线的判定定理得到AD〃BG,推出四边形A8G。是平行四边形，得到平行四边形A3G。是菱形，设

AB=BG=GD=AD=x,解直角三角形得到=&8G=万；，过点5作于根据平行四边形的面积

公式即可得到结论.

【题目详解】

解：⑴AB=AD,

.♦.NABD=/ADB,