河北省邢台市2024届高三年级下册教学质量检测（一）数学试题含答案

邢台市2024年高中毕业年级教学质量检测(一)

数学

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在

n|r>

聃答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4.本试卷主要考试内容:高考全部内容。

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的.「不

她

1.在复平面内,(3—2i)i3对应的点位于

一A第一象限，-B.第二象限、C.第三象限D第四象限

雕

2.已知cos(g—a)=*则sin端±2a)=、

A.Z9HB.-工9c返9DU―妪9

-£3.已知变量z与y具有线性相关关系，在研究变量了与V之间的关系时，进行实验后得到了一

组样本数据(亚，3/i),(双，物),…,(石,(6,28),(0,28),利用此样本数据求得的经验回归

筑

方程为&=耳工+写，现发现数据(6,28)和(0,28)误差较大，剔除这两对数据后，求得的经验

1-(

前回归方程为3=4工+%且义立=i40,则帆=

需A.8B.12C.16D.20

4.已知椭圆C：奈十”=的离心率为名,P是C上任意一点,。为坐标原点,P到二轴

的距离为“，则

A.4|OP|2—[2为定值B.3|OP|2一42为定值

C.|0尸|2+4靖为定值D.|。「|2+3力为定值

5.函数/(x)=711cos呻七2二+1零点的个数为

A.3B.4C.5D.6

6.如果方程FG,y)=0能确定y是工的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数.隐函数的

整求导方法如下:在方程FU,y)=0中，把'看成工的函数V=，(z),则方程可看成关于2的

恒等式F(H,aGr))=0,在等式两边同时对了求导，然后解出JCr)即可.例如，求由方程22+

V=1所确定的隐函数的导数，，将方程x2+/=l的两边同时对了求导，则笈+2?•“=

【高三数学第1：页(共4页)】,04-we.

06=gc）是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，=一13关0）.那么曲线磔+

Inj/=2在点(2,1)处的切线方程为

A.%—3y+1=0B.%+3y—5=0C.3%-y—5=0D.2x+3y—7=0

7.如图,正四棱台容器ABCD-AiBiGD的高为12cm,AB=10而质出=2cm,容器中水的

高度为6cm.现将57个大小相同、质地均匀的小铁球放入容器中（57个小铁球均被淹没），水

位上升了3cm,若忽略该容器壁的厚度，则小铁球的半径为

A.产cmB-7J加

C•逗cmD.栏cm

8.倾斜角为6的直线I经过抛物线C田=16z的焦点F,且与C相交于A,B两点.若无垮,

则的取值范围为

A[128,256]B.[64,2561

C.[64,党D.[*128]

二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要

求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.设集合A={N|H2—,B={xj4zGA,；yeA}',则

A.AAB=BB.BDZ的元素个数为16

C.AUB=BD.AC1Z的子集个数为64

1

10.已知ZSABC内角A,B,C的对边分别为。也C,。为△ABC的重心,cosA=亍,AO=2,则

AAO=JAB+JACB.AB-AC<3

C.AABC的面积的最大值为376D.a的最小值为2同

11.已知函数人外和函数gG）的定义域均为R,若f（2/-2）的图象关于直线2=1对称,gQO

=了（工+1）+*—1遭（n+1）+/（一乃=2+2,且/'（0）=0,则下列说法正确的是

A.FG）为偶函数

B.gGc+4）=g（t）

C.若/Gr）在区间（0,1）上的解析式为/1（无）=1。82包+1）,则户比）在区间（2,3）上的解析

式为/（X）=l—log2（X—1）

D.Sg（i）=210

i=i

三、填空题:本题共3小题,每小题5分，共15分.

12.已知a>0,过点A（a,a）恰好只有一条直线与圆E：/+y-4x+2j;=0相切，则a=▲,

该直线的方程为.▲.

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13.4名男生和2名女生随机站成一排，每名男生至少与另一名男生相邻，则不同的排法种数为

14.在直三棱柱ABC〃出G中,AA】=12,底面ABC是边长为6的正三角形,若M是三棱柱

ABC-A13G外接球的球面上一点，N是△ABC内切圆上一点，则|MN|的最大值为

四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

如图，在三棱锥P-ABC中,ACJ_平面PAB,E,尸分别为BC,PC的中点，且PA=AC=2,

AB=1,EF再.

(D证明:AB,平面PAC.

(2)求二面角F-AE-C的余弦值.

16.(15分)

已知等差数列｛%＞：的前"项和为S”,且｛札+於｝也是等差数列.

(1)求数列｛%｝的公差；，：

(2)若。1=-1,求数列｛-—｝的前九项和A.

【高三数学第3页(共4页)】•24-442c・

17.(15分)

小张参加某知识竞赛，题目按照难度不同分为A类题和B类题，小张回答A类题正确的概

率为0.9,小张回答B类题正确的概率为0.45.已知题库中B类题的数量是A类题的两倍.

(D求小张在题库中任选一题，回答正确的概率；

(2)已知题库中的题目数量足够多，该知识竞赛需要小张从题库中连续回答10个题目，若小

张在这10个题目中恰好回答正确后个@=0,1,2,…，10)的概率为P人则当归为何值

时,PA最大？

18.(17分)案

,,.1-'••'■'1'.■',1z

双曲线C需一£=l(a>0,b>0)上一点D(6,例到左、右焦点的距离之差为6.

撵

(1)求C的方程.

(2)已知A(—3,0),B(3,0),过点(5；0)的直线［与C交于M,N(异于A,B)两点，直线MA淀

与NB交于点P,试问点P到直线工=-2的距离是否为定值？若是，求出该定值;若不

是,请说明理由.W

为

蜩

19.(17分)

定义:若函数八幻图象上恰好存在相异的两点P,Q满足曲线y=fG)在P和Q处的切线口麻

重合，则称P，Q为曲线y=f(z)的“双重切点”，直线PQ为曲线y=F(幻的“双重切线”.

幽

(D直线•是否为曲线/(x)=j^-2x+21nx的“双重切线”,请说明理由；

1，运0,

⑵已知函数gG)=(4求曲线a=g(z)的“双重切线”的方程；

(3)已知函数灰H)=COSZ,直线PQ为曲线第=灰工)的“双重切线”，记直线PQ的斜率所有

可能的取值为M，厩，…也,若M>A>QG=3；,4,5,…㈤'，证明:备〈出

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邢台市2024年高中毕业年级教学质量检测（一）

数学参考答案

1.C因为（3—2）3=—（3—2i）i=—2—3i,所以（3—2i）i3在复平面内对应的点为（—2,—3）,

位于第三象限.

2.B令当一a=t，则&=当一人故cos?=-y,sin（7^-+2a）=sin［Y^-+2（^-—z）］=sin（-^--2?）=

oooIt）10oN

7

cos22=2cos22——1=——.

3.C设没剔除两对数据前的久a的平均数分别为五5,剔除两对数据后的3的平均数分别

城刀.因为士%=140,所以了=5鱼％=28,则7型产.因为两对数据为（6,

i=l0i=i44

28）和（0,28）,所以，=：X（140+56）=28,所以Z=（（7X&—166）=3,所以？=立甘二^

=3=军丁坐，解得初=16.

4.D因为椭圆C：A，2=l（a>D的离心率为?所以，解得/=4，

所以C的方程为亍+丁=1,即/+4/=4,即力2+3；2+33/2=4,所以|OP|2+3Q2=4.

5.C令/（力）=0,可得JITcos7Gz=21一1,易知y=/iTcos冗式与v=2i—l的图象均关于点

（。,。）对称,又当了=2时，MITcos2">2义2—1,当工=4时，MITcos47t<2X4—1,再结合

两个函数的图象，可知了=/ncos7tx与N=2K—i的图象有5个交点，故/（^）=yrr•

cosm—21+1零点的个数为5.

6.B由xy+ln'=2,得（x30，+（lnj0'=2'，则y+xy+—•j/=0,将点（2,1）的坐标代入，

得l+2y'+J=0,即，=一：,所以所求切线的方程为y—1=一①一2）,即z+3y—5=0.

7.A由题意得未放入小铁球之前，水位所在正方形的边长为空尸=6cm,放入57个小铁球

之后,水位所在正方形的边长为9=4cm,所以57个小铁球的体积之和为gx3X（16+24

+36）=76cn?.设小铁球的半径为R,则57X^XK-R3=76cm，,得2?=入（1cm.

OV7T

8.A不妨设A在第一象限，则|AF|=»十|AF|cos绘］BF［=DTBF|cos9,整理得|AF|=

讦:,四刊出刊=/1河=总•因为无［，列'所以sin,底

【高三数学•参考答案第1页（共6页）】•24-442C•

e[128,256].

4/sin夕

9.BCD因为A=[—2,3],所以B=[—6,9],所以AnB=A,AUB=BinZ有6+1+9=16

个元素，因为A口Z有6个元素，所以A口Z的子集个数为26=64.

10.BC取BC的中点D,连接AZM图略)，则AO=qAD=!AB+!AC,A错误.

由AO=9AB+2AC,得9Aoz=AB2+AC2+2AB•AC,贝I]36=/+〃+(反)26c+

(bc=甘be,即6c<15,当且仅当6=c=4时，等号成立，所以AB-ACYccosA=*c<

3,B正确.

=

由cosA=1■，得sin,所以SAABcy^sinA=g6c<3而(正确.

由36—c2~\~b2~\~~1~6c,得c2+加=36|~6c,所以a2—Z?2~\~c2—2bccosA—36^6c>24,得a

55o

>2W,D错误.

11.AD由/(2z—2)的图象关于直线z=l对称，可知/(2了—2)=/(2(2—z)—2),即f(2x~

2)=/(2—22)，所以/Gr)的图象关于y轴对称，故A选项正确.

由g(z)=/(z+l)+z—1,可得g(z+l)=/(z+2)+x,又g(z+l)+/(一了)=z+2,所以

户了+2)+/(一7)=2,可知/(1)的图象关于点(1,1)对称，所以/(z)是周期为4的周期函

数，即/(了+4)=/(外，则g(7+4)=/(7+5)+z+3=/(7+l)+i+3=gCr)+4,故B选

项错误.当了一(2,3)时,4—工G(1,2),2—(4一丈)=x_2G(0,1),又因为/(Z)=/(4一2),

/(4一工)=2一/(7一2),所以/(z)=/(4—JT)=2—/(j：—2)=2—log?(e一1),即/(z)在区

间(2,3)上的解析式为/Crf=2—log式煲-1),故C选项错误.因为/(0)=0,/(1)=1,/(2)

20

=2,/(3)=1,所以»g(W)=O+l+…+19+/(2)+/(3)+…+/(21)=190+5义(0+1+2

i=i

+1)=210,故D选项正确.

12.1；k一2y-\rl=0由题可知点A在圆rr2~\~y2—4：x-]-2y=0上，所以a2+<22—4<2+2a=0,又

。〉0,所以ci—1.

圆E：JC2+y—4JC+2y=Q,即(了一2y+(/+1)2=土圆心为E(2,—1),半径丫=底，且藐=

Uf=—2,所以直线的斜率上;，所以直线方程为厂即x-2y+1=Q.

13.288第一种情况，最多2名男生站在一起,这样的排法有A”釜•(AQ28=144种，

第二种情况,恰好有4名男生站在一起,这样的排法有&&=144种，

所以共有288种情况.

14.4V3+739因为底面ABC是边长为6的正三角形，所以△ABC外接圆的半径心=」^

2Xf

【高三数学•参考答案第2页(共6页)】•24-442C•

=2月,内切圆的半径r2=73.设三棱柱ABC-AiBC外接球的半径为R,因为AA】=12,

所以R2=A+(号ly=48.由题可知，三棱柱ABC-A13G外接球的球心与△ABC内切

圆上点的距离d=V(73)2+62=9，故|MN\的最大值为R+d=i^3+底.

15.(1)证明：•；E,F分别为BC,PC的中点，，PB=2EF="..........................................1分

\'AB2+PA2=PB2,：.AB±PA............................................................................................2分

...........................................4分产

VACnFA=A,：.AB±^PAC..........................................5分入

(2)解：以A为原点,AB,AC,AP所在的直线分别为了轴~轴、z\

轴,建立如图所示的空间直角坐标系，/

则A(0,0,0),E4，1,0),F(0,1,1),P(0,0,2),X^=(：,1,0),

X

AF=(O,1,1).............................................................................................................................6分

设平面AEF的法向量为〃=(x,丁,之)，则12取,=1,则i=-2,N=

n•AF=y+2=0,

一1,得平面AEF的一个法向量为〃=(—2,1,—1)..........................................................9分

易得平面AEC的一个法向量为养=(0,0,2)...................................................................11分

由图可知二面角F-AE-C为锐角，

所以二面角RAE-C的余弦值为|W："|=*.............................13分

\AP\\n\6

16.解：(1)设数列｛a〃｝的公差为。，则an=a1+｛n—V)d=dn+a1~d..............................2分

因为母+*是等差数列，所以S++5+l)2—S/一储为常数...................3分

S〃+i+(%+l)2—Sn—%2=a〃+]+2%+l=%d+ai+2"+l=(d+2)%+ai+l,...............5分

所以d+2=0,解得d=—2....................................................................................................7分

(2)因为。1=—1,所以%=-2%+1....................................................................................9分

4/2_________412_________-1_[________1______----II1/]______]\.......-1O/\

ana„+i(—2%+1)(—2n—1)(2〃-1)(2%+1)22Tl—12%+1'"

故T.="+2(I—(+(T+…+备一/)="+((—/)="十马.…

.............................................................................................................................................15分

19

17.解:⑴小张在题库中任选一题，回答正确的概率为《X0.9+^X0.45=0.6............6分

(2)小张在这10个题目中恰好回答正确k个1=0,1,2,…，10)的概率为Pk,

则2=仁(得)上•(春产，，.................................................8分

55

【高三数学•参考答案第3页(共6页)】•24-442C•

P^P，+1，

因为Pi〉R,所以当马最大时收二1，则kk9分

Pk>Pk:―1，

10分

12分

14分

又在Z,所以笈=6.故左为6时，B最大.15分

r2a=6,

18.解：（1）依题意可得］6?（同y_...........................................2分

障一-6^=1,

解得。=3北2=1,............................................................4分

丫2

故C的方程为常一丁=1....................................................5分

（2）由题意可得直线/的斜率不为0,设/的方程为1=加）+5,....................6分

设M（Xi，的）,N（6,?2）,

付=ay+5,

联立J/^（m2—9）^2+10m3/+16=0,.................................7分

Li，

则加一9W0,2十北=总鹭，=药....................................8分

直线AM：y=*（丁+3），直线_BN：j/=3^（x—3）,

3C\O12J

联立冬2（/+3）与。=一^^（3一3）,.....................................9分

3C\-TOX2—O

久+3_）2（/1+3）_”（机»1+8）_myy+^y2

消去）得x211分

3yi（J;2—3）3/i（m>2+2）my1y2-\-2y1

aw2+8（yi+y2）—8、i

12分

my1y2+2y1

16“80m父64TTZ_0

m2—9m2-9m2—9

4,14分

生+2”16加I0

2_八IN<yi

—9m—9

解得了=1■，所以点P在定直线■上......................................16分

【高三数学•参考答案第4页（共6页）】•24-442C•

因为直线工=卷与直线X=—2之间的距离为毕，

00

所以点P到直线2=—2的距离为定值，且定值为生...........................17分

0

19.（1）解：/（力）—2x+21nX,定义域为（0,十8）,所以/，（力）=1一.....1分

O

令/’（力）=1-2+1=1,解得1=1或1=2......................................2分

Q

不妨设切点P（l,一5）,Q（2,21n2—2）,

则在点P处的切线方程为y+^=zT,即y=z—亳，..........................3分

在点Q处的切线方程为）一21n2+2=i—2,即丁=x+21n2—4,

所以直线》=了一!■不是曲线/（幻=呆―2z+21nz的“双重切线”.............4分

（e"i,xWO,（6"+i,,

（2）解:g（_z）=14所以g'（z）=[4易知）=^+1在（-8,0]上与》=4

16——Ix

在（0,十8）上均为单调函数.设切点P（处，VI）,Q（g,，2），且亚&0<6"'（©）=/'5）,

则在点P处的切线方程为，一於+1=田+1氏—©）,............................5分

在点Q处的切线方程为，一（6-^）=冬（X—22），................................6分

力212

=4'

JC2勺+1

所以J消去电可得田+1（1—©）+4eF—6=0.............8分

ea+1（1—7口=6一旦，

Ix