北京市宣武区2024届中考数学四模试卷含解析

北京市宣武区2024年中考数学四模试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处”o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.已知方程/_5%+2=0的两个解分别为W、/，则%+马一西々的值为（）

A.-7B.-3C.7D.3

2.将下列各选项中的平面图形绕轴旋转一周，可得到如图所示的立体图形的是（）

3.小宇妈妈上午在某水果超市买了16.5元钱的葡萄，晚上散步经过该水果超市时，发现同一批葡萄的价格降低了

25%，小宇妈妈又买了16.5元钱的葡萄，结果恰好比早上多了0.5千克.若设早上葡萄的价格是x元/千克，则可

列方程()

16.5…16.516.516.5

A------+0.5=-----------—B-----+0.5=---------—

x(l+25%)xx(1-25%)x

16.5…16.516.5…16.5

C--------U.5=------；—n--------0.5=-----r-

x(l+25%)xx(1-25%)x

4.如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E,且CD=4j^,连接AC,OD,若NA与NDOB互余，则EB的长

是（）

A.273B.4C.V3D.2

5.若关于X的一元二次方程（a-l）f+x+a2T=o的一个根是0,则。的值是（）

-1

A.1B.-1C.1或-1D.-

2

6.如图，在AABC中，NAC3=90。，ZA=30°,BC=4,以点C为圆心，C3长为半径作弧，交AB于点D；再分别以

点5和点。为圆心，大于,8。的长为半径作弧，两弧相交于点E,作射线CE交于点尸，则A歹的长为（）

2

A.5B.6C.7D.8

7.不等式组x［<1-3XV。中两个不等式的解集'在数轴上表示正确的是

iFr

8.下列实数中是无理数的是（）

C.5.15D.sin45°

9.如图，函数y=-2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A,B两点,点C在第一象限，AC±AB,且AC=4B,则点C

的坐标为（）

C.(1,3)D.(3,1)

10.如图，AB//CD,FH平分N8尸G,NE尸5=58。，则下列说法错误的是（）

A.NEGZ）=58°B.GF=GHC./歹77G=61°D.FG=FH

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11.如果x+y—l=。，那么代数式x—上十匕的值是____.

Ix）x

12.若a,b互为相反数，则a2-b2=

13.若二次函数y=一必一4x+4的最大值是9,则k=.

14.分解因式：x3y-2x12y+xy=.

15.如图，二次函数y=a（x-2）2+k（a>0）的图象过原点，与x轴正半轴交于点A,矩形OABC的顶点C的坐标

为（0,-2）,点P为x轴上任意一点，连结PB、PC.则APBC的面积为

1t

16.直线y=^x与双曲线y=—在第一象限的交点为（a,1）,则k=.

2x

17.一辆汽车在坡度为1:2.4的斜坡上向上行驶130米，那么这辆汽车的高度上升了米.

三、解答题（共7小题，满分69分）

18.（10分）如图，一枚运载火箭从距雷达站C处5km的地面。处发射，当火箭到达点A,B时，在雷达站C处测

得点A,B的仰角分别为34。，45。，其中点O,A,B在同一条直线上.求AC和AB的长（结果保留小数点后一位）

（参考数据：sin34°M.56；cos34°=0.83；tan34°=：0.67）

3

19.(5分)如图，一次函数y=-—x+6的图象分别交y轴、x轴交于点A、B,点P从点B出发，沿射线BA以每秒

4

1个单位的速度出发，设点P的运动时间为t秒.

(1)点P在运动过程中，若某一时刻，AOPA的面积为6,求此时P的坐标；

(2)在整个运动过程中，当t为何值时，AAOP为等腰三角形？(只需写出t的值，无需解答过程)

4

20.(8分)如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=履+左与双曲线y=—(x>0)交于点A(La).

求a,k的值；已知直线/过点。(2,0)且平行于直线y=Ax+左，点P(m,n)(m>3)

。I?)45•VB

4

是直线/上一动点，过点p分别作X轴、y轴的平行线，交双曲线y=—(x>0)于点M、N,双曲线在点M、NN

X

间的部分与线段PM、PN所围成的区域(不含边界)记为W.横、纵坐标都是整数的点叫做整点.

①当m=4时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内的整点个数不超过8个，结合图象，求m的取值范围.

21.(10分)已知关于x的一元二次方程--加厂2=0…①若x=-l是方程①的一个根，求，"的值和方程①的另一

根；对于任意实数机，判断方程①的根的情况，并说明理由.

22.(10分)我市某企业接到一批产品的生产任务，按要求必须在14天内完成.已知每件产品的出厂价为60元.工

人甲第x天生产的产品数量为y件，y与x满足如下关系：

7.5x(0<x<4)

y=<工人甲第几天生产的产品数量为70件？设第x天生产的产品成本为P元/件，P与x的函数

t5%+10(4<%<14)

图象如图.工人甲第x天创造的利润为W元，求W与x的函数关系式，并求出第几天时利润最大，最大利润是多少？

23.(12分)计算(m+2———m-3

Im-22m-4

24.(14分)在正方形ABC。中，AB=4cm,AC为对角线，AC上有一动点P,"是A8边的中点，连接PM、PB,

设4、尸两点间的距离为xc/n,PM+P3长度为yczn.

小东根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究.下面是小东的探究过程，请补充完整:

(1)通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如表：

x/cm012345

y/cm6.04.84.56.07.4

(说明：补全表格时相关数值保留一位小数)

(2)建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象.

(3)结合画出的函数图象，解决问题：PM+P3的长度最小值约为cm.

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解题分析】

由根与系数的关系得出X1+X2=5,X1・X2=2,将其代入X|+X2-X1・X2中即可得出结论.

【题目详解】

解：•方程x2-5x+2=0的两个解分别为Xi,X2,

.*.X1+X2=5,X1*X2=2,

Xl+x2-X1,X2=5-2=1.

故选D.

【题目点拨】

本题考查了根与系数的关系，解题的关键是根据根与系数的关系得出X1+X2=5,XI-X2=2.本题属于基础题，难度不

大，解决该题型题目时，根据根与系数的关系得出两根之和与两根之积是关键.

2、A

【解题分析】

分析：面动成体.由题目中的图示可知：此圆台是直角梯形转成圆台的条件是：绕垂直于底的腰旋转.

详解：A、上面小下面大，侧面是曲面，故本选项正确；

B、上面大下面小，侧面是曲面，故本选项错误；

C、是一个圆台，故本选项错误；

D、下面小上面大侧面是曲面，故本选项错误；

故选A.

点睛：本题考查直角梯形转成圆台的条件：应绕垂直于底的腰旋转.

3、B

【解题分析】

铁辨r16516.5

分析：根据数量=就，可知第一次买了？千克，第二次买了（「25O/小，根据第二次恰好比第一次多买了06

千克列方程即可.

详解：设早上葡萄的价格是x元/千克，由题意得，

16.5八「16.5

------+0.5=------------7—

X（1-25%卜

故选B.

点睛：本题考查了分式方程的实际应用，解题的关键是读懂题意，找出列方程所用到的等量关系.

4、D

【解题分析】

连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知NCOB=NDOB,则NA与NCOB互余，由圆周角定理知NA=30。,

ZCOE=60°,则NOCE=30。，设OE=x，则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.

【题目详解】

连接CO,TAB平分CD,

.,.ZCOB=ZDOB,AB±CD,CE=DE=273

与NDOB互余，

/.ZA+ZCOB=90°,

又NCOB=2NA,

/.ZA=30°,ZCOE=60°,

:.ZOCE=30°,

设OE=x，贝！JCO=2x,

/.CO2=OE2+CE2

即Qx）2=x2+（2石）2

解得x=2,

.*.BO=CO=4,

/.BE=CO-OE=2.

故选D.

【题目点拨】

此题主要考查圆内的综合问题，解题的关键是熟知垂径定理、圆周角定理及勾股定理.

5、B

【解题分析】

根据一元二次方程的解的定义把x=0代入方程(«-l)x2+x+a2-l=0得到关于a的一元二次方程，然后解此方程即可

【题目详解】

把x=0代入方程-1)尤②+x+/_1=0得/—1=0,解得a=±i.

•.•原方程是一元二次方程，所以a—1/0,所以awl,故a=—1

故答案为B

【题目点拨】

本题考查了一元二次方程的解的定义：使一元二次方程左右两边成立的未知数的值叫一元二次方程的解.

6,B

【解题分析】

试题分析：连接CD,\,在AABC中,ZACB=90°,ZA=30°,BC=4,/.AB=2BC=1.

•..作法可知BC=CD=4,CE是线段BD的垂直平分线，，CD是斜边AB的中线，，BD=AD=4,...BF=DF=2,

:.AF=AD+DF=4+2=2.故选B.

考点：作图一基本作图；含30度角的直角三角形.

7、B

【解题分析】

由①得,x<3,由②得，x>l,所以不等式组的解集为：1q<3,在数轴上表示为：，故选B.

-2-101234

8、D

【解题分析】

A、是有理数，故A选项错误;

B、是有理数，故B选项错误;

C、是有理数，故C选项错误;

D、是无限不循环小数，是无理数，故D选项正确;

故选：D.

9、D

【解题分析】

过点C作CD，x轴与D,如图，先利用一次函数图像上点的坐标特征确定B(0,2),A(1,0),再证明△ABO丝ACAD,

得到AD=OB=2,CD=AO=1,则C点坐标可求.

【题目详解】

如图，过点C作CDLx轴与D.；函数y=-2x+2的图象分别与x轴，y轴交于A,3两点，，当x=0时，y=2,则B

(0,2)；当y=0时，x=l,贝！)A(1,0).；AC_LAB,AC=AB,/.ZBAO+ZCAD=90°,/.ZABO=ZCAD.^AABO

和ACAD中，,/.AABO^ACAD,.*.AD=OB=2,CD=OA=1,.•.OD=OA+AD=l+2=3,AC

448。=AJAD

AB=CA

点坐标为(3,1).故选D.

【题目点拨】

本题主要考查一次函数的基本概念。角角边定理、全等三角形的性质以及一次函数的应用，熟练掌握相关知识点是解

答的关键.

10、D

【解题分析】

根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到正确的结论.

【题目详解】

解：ABCD,"FB=58。，

.,./EGD=58°,故A选项正确;

FH平分NBFG,

..4FH=/GFH,

又ABCD

..4FH=/GHF,

ZGFH=/GHF,

.・.GF=GH,故5选项正确；

NBFE=58°,FH平分NBFG,

N3EF/=g(180。一58。)=61。，

.ABCD

.•.NBFH=/GHF=61°,故C选项正确；

4GHw^FHG,

.•.FGwFH,故D选项错误；

故选D.

【题目点拨】

本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11、1

【解题分析】

分析：对所求代数式根据分式的混合运算顺序进行化简，再把x+y-l=。变形后整体代入即可.

〈XXJX

(x+y)(x-y)

xx-y

=x+y.

x+y-1=0,:.x+y=1.

故答案为1.

点睛：考查分式的混合运算，掌握运算顺序是解题的关键.注意整体代入法的运用.

12、1

【解题分析】

【分析】直接利用平方差公式分解因式进而结合相反数的定义分析得出答案.

【题目详解】Va,b互为相反数，

:.a+b=l,

/.a2-b2=(a+b)(a-b)=1,

故答案为1.

【题目点拨】本题考查了公式法分解因式以及相反数的定义，正确分解因式是解题关键.

13、5

【解题分析】y=-(x-2)2+4+k,

•..二次函数y=-x2-4x+k的最大值是9,

,*.4+k=9,解得：k=5,

故答案为：5.

14、xy(x-1)1

【解题分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可.

【题目详解】

解：原式=xy(xMx+l)=xy(x-1)1.

故答案为：xy(x-1)1

【题目点拨】

此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.

15、4

【解题分析】

根据二次函数的对称性求出点A的坐标，从而得出BC的长度，根据点C的坐标得出三角形的高线，从而得出答案.

【题目详解】

••,二次函数的对称轴为直线x=2,...点A的坐标为(4,0),•••点C的坐标为(0,-2),

点B的坐标为(4,-2),/.BC=4,贝JSBCP=4x2+2=4.

【题目点拨】

本题主要考查的是二次函数的对称性，属于基础题型.理解二次函数的轴对称性是解决这个问题的关键.

16、1

【解题分析】

分析：首先根据正比例函数得出a的值，然后将交点坐标代入反比例函数解析式得出k的值.

详解：将(a,1)代入正比例函数可得：a=l,二交点坐标为(1,1),

:.k=lxl=l.

点睛：本题主要考查的是利用待定系数法求函数解析式，属于基础题型.根据正比例函数得出交点坐标是解题的关键.

17、50.

【解题分析】

根据坡度的定义可以求得AC、BC的比值，根据AC、BC的比值和AB的长度即可求得AC的值，即可解题.

【题目详解】

解：如图，48=130米

AC

tanB=—=1:2.4,

BC

设AC=x,贝！J342.4九，

则丁+(2.4x)2=1302,

解得尸50,

故答案为：50.

【题目点拨】

本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，坡度的定义及直角三角形中三角函数值的计算，属于基础题.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18、AC=6.0km,AB=1.7km；

【解题分析】

在RtAAOC,由N的正切值和OC的长求出OA,在RtABOC,由NBCO的大小和OC的长求出OA,而AB=OB-OA,

即可得到答案。

【题目详解】

由题意可得：ZAOC=90°,OC=5km.

在RtAAOC中,

OC

VAC=

cos340'

5

,\AC=~6.0km,

0.83

Vtan34°=—,

oc

...OA=OC»tan34°=5x0.67=3.35km,

在RtABOC中，ZBCO=45°,

.*.OB=OC=5km,

/.AB=5-3.35=1.65=1.7km.

答：AC的长为6.0km,AB的长为1.7km.

【题目点拨】

本题主要考查三角函数的知识。

19、(1)(2,4.5),(-2,7.5)；(2)2.8,4,5,16

【解题分析】

(1)先求出△OPA的面积为6时BP的长，再求出点P的坐标；

(2)分别讨论AO=AP,AP=OP和AO=OP三种情况.

【题目详解】

3

(1)在y=・一x+6中，令x=0,得y=6,令y=0,得x=8,

4'’

・・・A(0,6),B(8,0),

AOA=6,OB=8,AAB=10,

24

AAB边上的高为6x84-10=—,

点的运动时间为t,.-「=3贝！|AP=|1OV|,

1241,,24

当AAOP面积为6时，则有一APx—=6,即一10—fx—=6,解得t=7.5或12.5,

252115

过P作PELx轴，PFLy轴，垂足分别为E、F,

皿AOPB一OBPB一

贝！IPE=----------=4.5或7.5,BE=-----------=6或10,

ABAB

则点P坐标为(8-6,4.5)或(8-10,7.5),即(2,4.5)或(-2,7.5)；

(2)由题意可知BP=t,AP=|10-?|,

当△AOP为等腰三角形时，有AP=AO、AP=OP和AO=OP三种情况.

①当AP=AO时，则有10—4=6,解得t=4或16；

②当AP=OP时，过P作PMLAO,垂足为M,如图1,

则M为AO中点，故P为AB中点，此时t=5；

图1图2

③当AO=OP时，过O作ONJ_AB,垂足为N,过P作PHJ_OB,垂足为H,如图2,

皿11,、

贝!]AN=—AP=—(10-t),

22

VPH/7AO,.,.△AOB^APHB,

PBABt10.3

----=-----，即an=—,••PH=—t,

PHAOPH65

又NOAN+/AON=ZOAN+PBH=90°,

/.ZAON=ZPBH,又NANO=NPHB,

/.△ANO^APHB,

3

.PBPH

解得t=—；

"AOAN

综上可知当t的值为不、4、5和16时，AAOP为等腰三角形.

20、(1)<7=4,k=2；(2)①3,②3<7〃W4.5.

【解题分析】

4

(1)将4(1，。)代入y=—可求出a,将A点坐标代入y=H+Z可求出k；

x

(2)①根据题意画出函数图像，可直接写出区域W内的整点个数；

②求出直线/的表达式为y=2x-4,根据图像可得到两种极限情况，求出对应的m的取值范围即可.

【题目详解】

4

解：(1)将41，。)代入y=—得a=4

x

将AQ,4)代入左+左=4,得k=2

(2)①区域W内的整点个数是3

②V直线/是过点£>(2,0)且平行于直线y=2x+2

直线/的表达式为y=2x-4

当2X-4=5时，即户4.5线段PM上有整点

/.3<m<4,5

M/•

i7~~><$ei"*

【题目点拨】

本题考查了待定系数法求函数解析式以及函数图像的交点问题，正确理解整点的定义并画出函数图像，运用数形结合

的思想是解题关键.

21、(1)方程的另一根为x=2；(2)方程总有两个不等的实数根，理由见解析.

【解题分析】

试题分析：(1)直接把x=-l代入方程即可求得m的值，然后解方程即可求得方程的另一个根；

(2)利用一元二次方程根的情况可以转化为判别式A与1的关系进行判断.

⑴把x=-l代入得l+m-2=l,解得m=l

AX2-.-2=1.

♦=]

•••另一根是2；

(2)'*'b*-4oc=-4x(-2)="广+8>0，

，方程①有两个不相等的实数根.

考点：本题考查的是根的判别式，一元二次方程的解的定义，解一元二次方程

点评：解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：当4>1,方程有两个不相等的实数根;

当4=1,方程有两个相等的实数根；当△<1，方程没有实数根

22、⑴工人甲第12天生产的产品数量为70件；⑵第11天时，利润最大，最大利润是845元.

【解题分析】

分析：(1)根据y=70求得x即可；(2)先根据函数图象求得P关于x的函数解析式，再结合x的范围分类讨论，根

据“总利润=单件利润x销售量”列出函数解析式，由二次函数的性质求得最值即可.

本题解析：

解：⑴若7.5x=70,得X=F>4,不符合题意；

贝(I5x+10=70,

解得x=12.

答：工人甲第12天生产的产品数量为70件.

(2)由函数图象知，当0WxW4时，P=40,

当4Vxs14时，设