核心考点：一次函数与二元一次方程（组）（解析版）

核心考点：一次函数与二元一次方程（组）考点1一次函数与二元一次方程(组)的关系1．（贵阳中考）若直线y＝﹣x+a与直线y＝x+b的交点坐标为（2，8），则a﹣b的值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【思路引领】把（2，8）代入y＝﹣x+a和y＝x+b，即可求出a、b，即可求出答案．【解答】解：∵直线y＝﹣x+a与直线y＝x+b的交点坐标为（2，8），∴8＝﹣2+a，8＝2+b，解得：a＝10，b＝6，∴a﹣b＝4，故选：B．【总结提升】本题考查了两直线的交点问题，能求出a、b的值是解此题的关键．2．王杰同学在解决问题“已知A，B两点的坐标为A（3，﹣2），B（6，﹣5），求直线AB关于x轴的对称直线A′B′的解析式”时，解法如下：先是建立平面直角坐标系（如图），标出A，B两点，并利用轴对称性质求出A′，B′的坐标分别为A′（3，2），B′（6，5）；然后设直线A′B′的表达式为y＝kx+b（k≠0），并将A′（3，2），B′（6，5）代入y＝kx+b中，得方程组3k+b=2，6k+b=5，解得k=1，b=-1，最后求得直线A′B′的表达式为A．分类讨论与转化思想 B．分类讨论与方程思想 C．数形结合与整体思想 D．数形结合与方程思想【思路引领】轴对称的性质属于形，点的坐标属于数，可知运用了数形结合的数学思想；题中出现了解方程组，由此确定所用的思想方法便可得出答案．【解答】解：第一步：建立平面直角坐标系，标出A、B两点，并利用轴对称性质求出A′、B′的坐标分别为A′（3，2），B′（6，5），这是依据轴对称的性质求得点的坐标（有序实数对），运用了数形结合的数学思想；第二步：设直线A′B′的解析式为y＝kx+b（k≠0），并将A′（3，2）、B′（6，5）代入y＝kx+b中，得方程组3k+b=2，6k+b=5，，解得k=1，b=-1，最后求得直线A′B′的解析式为所以王杰同学在解题过程中，运用到的数学思想是数形结合与方程思想．故选：D．【总结提升】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，掌握各种数学思想方法是解题的关键．3．二元一次方程组x-2y+2=02x-y-2=0【思路引领】二元一次方程组的解实际就是方程中两个一次函数的交点，根据一次函数的图象与性质，画出它们的图象即可．【解答】解：二元一次方程组x-2y+2=02x-y-2=0的解可以看作是一次函数y=12x+1与y＝2x它们的图象如图所示：【总结提升】本题考查了一次函数与二元一次方程组，属于基础题，关键是掌握两个一次函数的交点即为方程组的解．4．（2020•邹城市三模）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行驶过程中，汽车离开A城的距离y（km）与行驶时间t（h）的函数图象如图所示，下列说法正确的有（）①甲车的速度为50km/h②甲车出发4h时，乙车追上甲车③乙车用了3h到达B城④乙车出发后经过1h或3h两车相距50kmA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路引领】根据路程、时间和速度之间的关系判断出①正确；根据甲的速度和走的时间得出甲车出发4h时走的总路程，再根据乙的总路程和所走的总时间求出乙的速度，再乘以2小时，求出甲车出发4h时，乙走的总路程，从而判断出②正确；根据函数图象上的数据得出乙车到达B城用的时间，判断出③正确；再根据速度×时间＝总路程，即可判断出乙车出发后经过1h或3h，两车相距的距离，从而判断出④正确．【解答】解：①甲车的速度为3006=50（km/②甲车出发4h，所走路程是：50×4＝200（km），甲车出发4h时，乙走的路程是：3003×2＝200（故本选项正确；③乙车到达B城用的时间为：5﹣2＝3h，故本选项正确；④当乙车出发1h时，两车相距：50×3﹣100＝50（km），当乙车出发3h时，两车相距：100×3﹣50×5＝50（km），故本选项正确；故选：D．【总结提升】本题主要考查了一次函数的应用，掌握一次函数图象的意义，正确的从函数图象中得到必要的信息是解题的关键．5．（2021春•新乐市期末）甲、乙两同学骑自行车从A地沿同一条路到B地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离s（km）和骑行时间t（h）之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km；②乙在途中停留了0.5h；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度，根据图象信息，以上说法正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路引领】首先注意横纵坐标表示的意义，再观察图象可得乙出发0.5小时后停留了0.5小时，然后又用1.6小时到达离出发地20千米的目的地；甲比乙早到0.6小时出发，用1.5小时到达离出发地20千米的目的地，然后根据此信息分别对4种说法进行判断．【解答】解：（1）根据图形的纵坐标可得：他们都骑行了20km，故原说法正确，符合题意；（2）乙在出发0.5小时后，路程不增加，而时间在增加，故乙在途中停留了1﹣0.5＝0.5（h），故原说法正确，符合题意；（3）从图形的横坐标看，甲比乙早到了0.6小时，故原说法错误，不符合题意；（4）相遇后，甲直线上升得快，故甲的速度大于乙的速度，故原说法错误，不符合题意；故选：B．【总结提升】此题主要考查了学生从图象中读取信息的数形结合能力．同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．6．（2019•陆良县一模）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示：购进数量（件）购进所需费用（元）AB第一次20504100第二次30403700（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？（2）商场决定A商品以每件50元出售，B商品以每件100元出售．为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A商品的数量不少于B商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润．【思路引领】（1）根据表格中的数据可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得A、B两种商品每件的进价；（2）根据题意可以得到利润和购买A种商品数量的函数关系，然后根据A商品的数量不少于B商品数量的4倍，可以得到购买A种商品数量的取值范围，再根据一次函数的性质，即可得到获利最大的进货方案，并确定最大利润．【解答】解：（1）设A、B两种商品每件的进价分别是x元、y元，20x+50y=410030x+40y=3700，得x=30答：A、B两种商品每件的进价分别是30元，70元；（2）设购买A种商品a件，则购买B种商品（1000﹣a）件，利润为w元，w＝（50﹣30）a+（100﹣70）（1000﹣a）＝﹣10a+30000，∵A商品的数量不少于B商品数量的4倍，∴a≥4（1000﹣a），解得，a≥800，∴当a＝800时，w取得最大值，此时w＝220