2024年高考数学专项复习：解三角形（解析版）

2024年高考数学专项微专题解三角形（解析版）

微专题解三角形

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，

要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

⑴若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

K函包做施R

例题1.（2023秋•山西太原•高三统考期末）在△4BC中，内角4B,。所对的边分别为a,b,c,且满足川

+bc=a2.

（1）求证：A=2B；

（2）求半*的取值范围.

bcosB

例题2.（2023•浙江•统考一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知震!

s.mC^-—A

s.mC^+—A'

⑴若z=£，求B;

⑵求色+告的取值范围.

ab

例题3.（2023・河北衡水•河北衡水中学校考模拟预测）已知4ABC,D为边4C上一点，AD=1,CD=

2.

⑴若直•而=彳，宓•初=0,求S”BC；

（2）若直线BD平分AABC,求AABD与4CBD内切圆半径之比的取值范围.

例题4.（2023・全国-高三专题练习）在锐角△ABC中，角A,。所对应的边分别为Q,b,c,已知

sinZ-sinB_sin。

V3a—ca+b

（1）求角石的值；

（2）若Q=2,求△ABC的周长的取值范围.

例题5.（2023・全国-南三专题练习）设锐角三角形AB。的内角48、。所对的边分别为a、b、c,已知Q=

bcosA—acosB.

（1）求证：8=24；

（2）求牛的取值范围.

例题6.（2023•全•国•高三校联考阶段练习）Z\ABC中，D,E是边上的点，ABAD=ACAE,^.

BD-BE_1

CD-CE-T

（1）若BC=3,求△/BC面积的取值范围；

（2）若AB=1,6C=2,平面内是否存在点P,使得ZABP=ABCP=乙CAP?若存在,求sinZABF；

若不存在，说明理由.

例题7.（2023・全'国•高三专题练习）在①2acosA=fecosC+ccosB；②tanB+tanC+V3=

gtanBtanC这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中，并加以解答.

在4ABC中，a,b,c分别是角力，8,C的对边，已知.

（1）求角A的大小；

（2）若AABC为锐角三角形，且其面积为襄，点G为A4BC重心,点M为线段AC的中点，点N在线

段4B上，且⑷V=2NB，线段与线段CN相交于点尸，求|可|的取值范围.

注:如果选择多个方案分别解答,按第一个方案解答计分.

1.（2023•湖南街相•校考模拟预测）已知△4BC的内角A,B,。的对边分别为a,b,c,满足

sinA,bsinB1

sinB+sin。bsinA+csinB

（1）求角C;

⑵CD是乙4cB的角平分线，若CD=夸3，△48。的面积为26,求c的

O

值.

2.（2023•全国•高三专题练习）A4BC中，已知48=1,瓦7=，7,。为上一点，4D=2DC,4B，

BD.

（1）求的长度；

（2）若点P为AABD外接圆上任意一点，求+2PD的最大值.

3.（2023•全国•南三专题练习）如图，某城市有一条（MO）从正西方通过市中心O后转向东偏北60°方

向（ON）的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路"并在MO,NO上分别设

置两个出口4,口在A的东偏北。的方向（A,口两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A,B

之间相距较远，计划在4,8之间设置一个服务区P.

⑴若P在O的正北方向且OP=2km,求4B到市中心。的距离和最

小时tan。的值；

（2）若B到市中心O的距离为10km,此时P设在的平分线与AB

的交点位置，且满足（5产+毋2＞口和.可，则求人到市中心。的距离

最大时tan。的值.

4.（2023秋♦河北衡水♦高三河北衡水中学校考除便练习）已知△ABC的外心为O,跖N为线段

上的两点，且。恰为MN中点.

（1）证明：\AM\■|MB|=|AN|•\NC\

⑵若MQ=四，|OM=L求率出”的最大直

5.（2023•全•国三专题练习）在ZVIBC中，内角4瓦。所对的边分别是a,b,c,已知2ccosB=2a—

b.

⑴求C；

（2）若AB=4C,D是△ABC外的一点，且AD=2,CD=1,则当/。为多少时，平面四边形ABCD

的面积S最大，并求S的最大值.

6.（2023-全■国•高三专题练习）如图，四边形ABCD中，力的+BC2+AB•BC=AC2.

(1)若AB=3BC=3,求4ABC的面积；

⑵若CD=心BC,ACAD=3Q°,/BCD=120°,求/AC®的值.

D

7.（2023-江苏苏州•苏州中学校考模拟预测）在APAB中，PA=点C,。分别在PB,PA边上.

⑴若/力/鸣=卷，CD=1,求△PCD面积的最大值；

O

⑵设四边形ABCD的外接圆半径为R,若NAPBC［尹），且48••CD•D4的最大值为~,求

R的值.

8.（2023-上海•高三专题练习）AABC中，内角4及。所对的边分别为a、b、c,满足川=a?+c?—加.

（1）当A为何值时，函数u=2sin2A+cos（C，~3A）取到最大值,最大值是多少？

（2）若c—a等于边4。上的高入，求sin（。^）的值.

9.(2023-全■国•南三专题练习)如图，四边形ABCD中，ZDAB=^DCB=^,AB=3,BC=2,S-

=考&且/ABC为锐角.

⑴求。3;

(2)求△ACD的面积.

B

10.(2023秋•湖南长沙•方三长舞中学校考阶段练习)如图,在梯形ABCD中，AB〃CD,=2,CD=

5,AABC=^~.B

(1)若AC=2/7,求梯形ABCD的面积；

⑵若AC，8。,求tan/ABD.

D

11.(2023春•河南开封•南三统考开学考试)已知△ABC的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,

sin(B—C)tanA=sinBsinC.

(1)若力=6,求sin??!的值；

(2)证明为定值.

c

12.(2023春•江苏南通♦商三校考•开学考试)如图，A4BC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△BCD是

等边三角形，BC=2,4D=

D

(1)求证：BOLD；

(2)求平面ARD与平面BCD夹角的余弦值.//\

CB

A

13.（2023秋•山东荷泽•高三佛末）在①sin管+C）—2=sinCtanB；②S=乎/-CA;@

ctanA=—（c+2&）tanC.

三个条件中选一个，补充在下面的横线处,并解答问题.

在中，内角4,8,。的对边分别为加6,以人46。的面积为$.且满足

（1）求人的大小；

（2）设AABC的面积为6,点。为边8。的中点，求AD?的最小值.

14.（2023•全国•高三专题练习）如图，P为△ABC内的一点，/B4P记为*/ABP记为。，且a,£在

△ABP中的对边分别记为m,ri,（2m+7i）sin/?=v^ncos/?,a,£C（。号）.

⑴求NAPB；

（2）若AB=2同，BP=2,PC=0，记AAPC=9，求线段AP的长和A4BC面积的最大值.

A

P

BC

15.(2023秋•湖南长沙•高三湖南弹大附中校考阶段练习)在△AB。中，角力，B，C的对边分别是a,b,

c,已知a=4且cos2A—cos28=2sinC(sinB-sin。).

⑴若c=3,求sinC；

(2)若BC边上的高是求的最大值.

16.(2023秋•江苏南通三统考期末)已知四边形内接于圆O,AB=3,AD=5,ABAD=

120°,AC平分/BAD.,

(1)求圆。的半径；

(2)求AC的长.\

C

17.（2023枚•黑龙江哈尔滨•南三哈师大附中校考期末）在△4BC中，内角48,C的对边分别为a,b,

c,且2c—a=2bcosA.

（1）求口的大小；

⑵若6=3,

①求a+c的取值范围；

②求的最大值.

a+c

18.（2023.安徽马强山•统考一模）已知条件：①tan，+gmC=华；②拄，吗匕一言=0；③

遮a=2csin（B+专）.在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.问题:在△/BC中，

角A,8,C所对的边分别是a,b,c,满足：.注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答

计分.

（1）求角。的大小；

（2）若4ABC为锐角三角形，c=呼，求a?+*的取值范围.

微专题解三角形

mag

在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案,

要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：

⑴若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；

（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；

（3）若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；

（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；

（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；

（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.

例题1.(2023秋•山西太原-高三统考期末)在△ABC中，内角4B,。所对的边分别为Q,b,c,且满足〃

+bc=a2.

(1)求证：A=2B；

(2)求半士普的取值范围.

bcosB

【解析】(1)由余弦定理得。2=匕2+。2—26CCOST4,

a2—fe2=c2—2bccosA

b2+fee=a2,

/.a2—fe2=be

c2—2bccosA=be

b(l+2cosA)=c,

h(-*

由正弦定理得一;—Q——;~方"，

smBsinC

/.sinB(l+2cosA)=sinC=sin(A+B),

/.sinB=sin(A—B),

VO<A,B<7T,：.0<B<A<TI:,：.B=A-B,：.A=2B

(2)由(1)得A=2B,c=fe(l+2cosA),

.6b+2。_6+2(4cos26—l)4

•,bcosB~cosB-COScosB'

7T1

•.•力=2B,又0<4+_8<180°,A-5-<cosB<1,

o/

函数/(，)=8c+?在(9,4)上单调递减，在(4，1)上单调递增

/")=/⑴=12"(三)=8嚣

L4

/.8A/2<8cosBH----己V12,

cosB

鼠背的取值范围为［8V2.12).

例题2.（2023•浙江•统考一模）记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知震!

.C-A

sm、一

.C+A'

sm——

（1）若Z=£，求B；

⑵求£+看的取值范围•

a-\-b_sinA+sinB

【解析】（1）由正弦定理得

Q+csinA+sinC'

.。一■

sm——

a+b_2.sinA+sinB

又

a+c•。+4''sinA+sinC.C+A;

sm

2s】n——

C+AC-A

因为sinA+sinC=2sincos

22

.C-A

sm-^-

C+AC-AC—A.C—A.(万\

所以sinA+sinB=2sin=2ocos——sin—2—=sm(G—AA),

L°s一.短中

因为sinB=sin(兀—B)—sin(C+A),

所以sinA=sin(C—A)—sin(C+A)=­2cosCsinA,

因为OVZV兀，所以sinA>0,故cosC=­1,

27r

又0VCV7T,所以。二方-,

o

因为A=子，所以石=兀-A—C-.

（2）由（1）得。=等，

所以由余弦定理得c2=a2+b2-2abeos。=a2+62+ab,

2

C(Q+6)9c(a+b)2

记T=C+等=尹！+1媳+

abab，则A*

因为a>0,b>0,所以+卷>2.2,

当且仅当暂~=1•，即a=b时，等号成立，即2~十年>2,

CL0CL0

故丁2〉3X4=12,则T>2遍，

所以£+卷即*“[2遍,

例题3.（2023・河北衡水•河北衡水中学校考模拟薮测）已知AAB。,D为边AC上一点，=1,CD

2.

⑴若直•访•访=0,求

⑵若直线BD平分AABC,求△ABD与4CBD内切圆半径之比的取值范围.

【解析】（1）如图1,AD=1,CD—2,

-->-->Q-->--»

因为---------=------------=

所以胡.丽=（~|■百5一2有句•丽=>1■加?豆方.丽=品叫2=

3

Z，

故国[=},则闻|=三，即BD=卒，

又团•前=0,则BC_LBD,故BC=〃CD2_B£）2=^1I,

m2+-1--1

AB2+BD2-AD227n2—1

不妨记Z.ABD=a,AB=m,则

COSdf=2AB-BDV2m2V2m

因为互才.访=|巨矶访|COSdf=-|-,

“、？72?77-2—13々〃/日/x-i2x2—13

所以znxA/〒2^x刀赤丁二4，斛付馆二2，n则cosa=iF河=了，

因为OVaV兀，所以sin(7=Vl—cos2df=,

所以S"BC=SAABD+S"CD=[AB,BDsina+±BD•BC--yxV2xx+-yxx=

3V7

8-

（2）如图2,不妨设4ABD与△CBD内切圆的半径分别为r与R,

因为直线BD平分/4BC,

ARAD1

所以由角平分线性质定理得益=倦=专，记4B=c，则BC=2c,

AB?+B。?—松c?+4c2—95c2-9

记2ABe=B,则cos/?=

2AB•BC2Xcx2c4c2

因为丽=直+茄=巨?+9怒=直+?就_瓯=!■助+[■月已

2

所以舒2=A^4+XBC2+力直|iBClcos^=熹?+ex4c2+*cx2c

yyy1111yyy

因为4B+BO>A。，即c+2c>3,则c>l,

所以\BD\=J2c2—2,即BZ?=V2c2-2,

a-^-AD-h]

因为；BD=-j-------=5(h为顶点B到AC的距离),

/CD-j-CD-h2

=}(B。+BD+CD)A=

—2+l)r,S^BCD

-1_(2c+A/2c2—2+2)兄

(c+V2c2-2+l)r_ir_12c+V2c2-2+2-1.

c+1

所以(2C+J2/—2+2/一，则五一2〉c+J2c2—2+1+1

+V2c2—2+1

令方=c+l,贝ijc=t—1,力>2,

c+1]

所以一

c+J2c2—2+1t+J2(力-I)，-21+J2T

因为右>2,所以Ovj1v'1"，则0<，2—gvA/2，故lVl+，2—4+,

tL2ZiVbVt!■>

——"〒<1,即c+1

所以四一IV<1,

c+d2c2—2+1

1+V2-T

所以彳＜1（1+]c+1<1,故#(方<1,

+V2c2—2+1

所以/XABD与△CBD内切圆半径之比的取值范围为

例题4.（2023・全国-高三专题练习）在锐角△AB。中，角若，8,。所对应的边分别为Q,b,c,已知

sin4—sin8_sin。

V3a—ca+b

（1）求角B的值；

（2）若Q=2,求△ABC的周长的取值范围.

■々刀sinA—sin_BsinC.十—a—bc

【解析】⑴瓜…=不,由正弦定理付：71=Z=W

即0?+。2—〃=心ac、

0?+〈2—N__6

由余弦定理得：cosB=

2ac2ac2

因为Be(0,7r),

所以B=*;

⑵锐角△ABC中,0=2,B=专,

由正弦定理得：一7=」一c

slnA或吟sin。'

2sinC_2sin("+者)

M入1V^sinA+cosA

故b=「一7-C

smAfsinAsinAsinA

1

1+

V3sinA+cosA+1cosA1+V14-tan2A

则b+c=A/3+=V3+

sinAtanAtanA

3盛+tan2A+1'

因为锐角△ABO中，B=春，

则Ae（0昼），C—兀一专一A€（0,£）,

解得：AC

故t皿46（倔+8）,而匕e（o,乎）

京『1€（1+犯，2通），

故b+ce（1+A/3,2V3）,a+fe+cE（3+V3,2+2^/3）

所以三角形周长的取值范围是（3+通,2+2通）.

例题5.（2023・全国-高三专题练习）设锐角三角形力B。的内角4B、。所对的边分别为a、b、c,已知a=

bcosA—acosB.

（1）求证：B—2A\

⑵求的取值范围.

【解析】(l)a—bcosA—acosB,

由正弦定理得：sinA=sinBcosA-sinAcosB,

1111

由积化和差公式可得：sinA=—sin(B+A)+—sin(B—A)——sin(A+B)—■—sin(A—B)=

-^-sin(B-⑷—^-sin(A—B),

因为"|"sin(A—B)―—^-sin(_B—A),

所以sinA=sin(B—A),

因为三角形ABC为锐角三角形，故A石G(0昼)，

所以8—(—皆君)'

故4=B—力，即_8=2/.;

⑵由⑴知：B=2A,

由正弦定理得：

b+c_sinB+sin。_sin24+sin(B+4)_sin2Z+sin3A

asinAsinAsinA

其中sin3A=sin(24+A)=sin2j4cosA+cos2AsinA=2sinAcos2A+cos2AsinA,

因为sinAW0,

所以』=&迫驷竽a0s网Sjn4=2cosA+2cos24+cos2A

asmA

=2cosA+2cosU+2cos之4—1=4cos2A+2cosA—1=4(cosA+——1~,

由8=2/e(0保)得:"€(o£),

由。=LA—B=兀-3Ae(0昼),解得:AE传奇)，

结合AE(0,£)可得:4e瞪4),cosAe，

故0^J=4(cosA+［在cosAe上单调递增，

所以0+Q=4COS2.A+2COST4—1G(4x+-s/^2,—1,4x-^-+—1),

即然^G(V2+1,V3+2).

例题6.（2023•全国•高三校联考阶段练习）Z\4BC中，D,E是边BC上的点，ABAD=ACAE,

BD-BE1

CD-CE~~3'

（1）若BC=3,求△ARC面积的取值范围；

（2）若AB=1,BC=2,平面内是否存在点P,使得AABP=ABCP=ZCAF?若存在,求sinZABF；

若不存在，说明理由.

【解析】（1）由面积公式可得:

SAABD=BD_=4"0*Xsin/BAD="乂sin/BAD

SaadcCDaxADxACxsin/CADACxsinZCAD

SAABE=理=吉X-EX'BXsin/BAE=此xsin/BAE

SaaecCEXxABXACxsinZCABACXsinZC，AB)

因为ABAD=/CAE,故ACAD=ABAE,

BD•BE_J_可/日ABxsin/_RA_DAB义sin/_RA£?_1g

CD-CE—W叼付ACxsinACADACxsin^CAE.3即~AC

1

建立如图所示的平面直角坐标系，则8（0,0）,。（3,0）,则人（，,功,

则J0—3y+3=遍Xy/x2+y2,整理得到：(rr+/+才=苧,

故4ABC的BC边上的高的范围为（0,卷3］，故其面积的取值范围为:

⑵

因为人3=1,故4。=通，故4。2+人82=4=8。2,

故△AB。为直角三角形且/ABC=60°,NACB=30°,

如图，设NABP=a，则4cBp=60°-a,故ACPB=120°,

同理APCA=3Q0-a,ZAPC=150°，/APB=90°,

/o-「p

故PB=1xcosa=cosa,而——/>===—..,故CP=2V^sina,

smZAFCsma

在/\PBC中，由余弦定理可得：4=cos2df+12sin2a—2Xcosax2v^sinax(―,

整理得到：4=cos2a+12sin2a+2，^cosaxsin。

所以4cos2a+4sin2a=cos2a+12sin2a+2vseosaXsina,

整理得到：3=8tan2（2+2V3tandf,解得tana=或tana=,

但a为锐角，故tana=^^,故sina==

4V19

故P存在且sinZABF=4口.

例题7.（2023•全国•高三专题练习）在①2acosA=bcosC+ccosB；②tanB+tanC+V3=

/StanBtanC这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中,并加以解答.

在△ABC中，Q,b,c分别是角43。的对边，已知.

（1）求角人的大小；

（2）若△ABC为锐角三角形，且其面积为*，点G为△ABC重心,点M为线段AC的中点，点N在线

段AB上，且4N=2NB,线段与线段CN相交于点P,求|市|的取值范围.

注:如果选择多个方案分别解答，按第一个方案解答计分.

【解析】（1）若选①2acosA=fecos（7+ccosB,

由正弦定理可得ZsinAcosA=sinBcosC+sinCcosB=sin（B+C）

即ZsinAcosZ=sinA,又sinA>0,所以2cos4=1,即cosA=,

因为AG（0,兀），所以4=看；

若选②tanB+tanC+V3=VStariBtanC,即tan_B+tanC=-V3+V3tanBtanC,

即tan_B+tanC=—V3（l—tanBtanC）,

所以=—V3,即tan（_B+。）=—所以tan（兀—A）——V3,即tanA=V3,

1-tan±>tanC

因为4E（0,兀），所以A=与；

o

（2）依题意AN=^-AB,AM=^-AC,

o/

所以耳苕=与+胡=存+1■询=与+1■（而7—理）=NS+1■（右记—理）=:团+全记,

因为。、N、P三点共线，故设AP=/L4N+（1-A）AC=^-AAB+（1—/l）47,

同理M、_B、P三点共线，故设AP=uAB+（1—（i）AM=/j.AB+-^-（1—ii）AC,

=

卜Q=〃P4'

所以i，解得i「

[1-4戈1一）/不

所以羽=：存+十/，/Y\

则GP=AP—AG=-^-AB+—^AC—+-^AC）=-^AB—^-AC'k

=^（2AB-AC）,/

因为$田°=5儿5由24=¥^所以儿=2,

又△ABC为锐角三角形，

当。为锐角，则••就>0,即灰？•(怒一说)>0,

即AC—AC*AB>0,即匕2—^-6c>0,即2b>c=,所以b>1,

当B为锐角，则AB-CB>0,^AB-[AB-AC)>0,

AB*2-AC-AB>Q,^c2-ybc>0,即2c>b,即21Ab,所以0cb<2,

综上可得l<b<2,

222

又回='|2须-叼加144|GF|2=(2AB-AC)=4：AB-4AB-AC+AC

^4\AB\2-4AB-AC+\AC\2

=4c2—2bc+b2

=工—4+/

因为1V6V2,所以1<匕2<4,而f(c)=当—4+7在(1,4)上单调递减，所以/(劣)E(4,13),

即捐一4+/e(4,13),即144|即(4,13),所以12声|e(2,屈),则|的C佶，嗜)

过嗟则词

1.(2023•湖南衡国•校考模拟预测)已知△48。的内角A,B,。的对边分别为Q,b,c,满足

sinZ,bsinB1

sinB+sin。bsinA+csinB

(1)求角。；

⑵CD是乙4cB的角平分线，若5=早，△ABC的面积为2通,求c的

值.

【解析】⑴由正弦定理得石M+—方=1,即石M+士=1,整理得

Q(Q+c)+b(b+c)=(a+c)(b+c),

化简得常+/一。2=血由余弦定理得cosC=.十匕入°=,，又。G(0,兀)，则C=与；

ZiCbO/O

(2)

由面积公式得2absinC=±ab乂圣=2瓜,解得ab=8,又CD是ZACB的角平分线，则会%=

4•CBCDsin春CBBD)

2o

即架=2,则CD=CA+A15=CA+—^v-AB=CA+—^-(CB-CA)=—―-CA+—

BUaa-\-ba+八fa+ba-\-b

所以范=（壬r+*3）2L6=a2b2

*不十入讨.3+Tr翦，即彳一（口+匠

,2abr1,a2b2

+---,ab.丁

（a+b）22+（a+b）2?

16_3a2/

整理得，又ab=8,解得a+b=6,则+b）2—2ab—20,

3（a+b）2

,2

由⑴知C：a?+/-Qb=20—8=12,贝ijc=2A/3.

2.（2023•全■国•高三专题练习）A4BC中，已知AB=1,8C=，7,。为AC上一点，4D2DC,AB±

BD.

（1）求的长度；

（2）若点P为/\ABD外接圆上任意一点，求PB+2PD的最大值.

【解析】（1）设BD=x,CD=y，则AD=2y.

在&ABD与4CBD中，由余弦定理知：

AB'1=BD2+AD'2-2BD-AD-cosAADB，即/+4y?—4xycosZADB=1,

BC2=BD2+CD--2BD-CD-cosZCDB，即/+才一2xycosAADB=7.

2ADB+NCDB=K,

cosZ.ADB+cosZ.CDB=0,可得式+2y?—5.

­：AB±BD,

：.AD2=AB2+BD2，即1+d=4靖.解得劣=心,？=i.

,-.BD=V3.

（2）由⑴知：△ABD中，NABD=专，AD=2,AD为△AB。外接圆的直径.

P为△ABD外接圆上任意一点，

当P在B点时，PB+2PD=2PD=2V3.

当P在。点时，PB+2PD=PB=g

当P在优弧BAD上时，NBPD=NBAD=M

设/PBD=e（o<。<筌），则/.PDB=^--e.

O0

APBD中，由正弦定理知PB=2sin-0）,PD=2sin"

PB+2PD=2sin（-^一。）+4sin0=2（sin^-cos0—cos^-sin0）+4sin0

=5sin9+V3cos（9=2asin（（9+<p）^tanp=-^-,0<cp<,

当e+p=5^,PB+2PD的最大值为2/7.

当P在劣弧前上时，NBPD=n—NBAD=W，

设"5。=40<9<附,则4PDB=18.

/XPBD中，由正弦定理知PB=2sin(g■—8),PD=2sin61.

PB+2PD=；2sin(专一。)+4sinJ=2(sin等cos6—cos专sin。)+4sin6

=3sin9+VScosd=2^/3sin+-1-).

当。+亲=号时,PB+2P。的最大值为26.

综上，P5+2PD的最大值为2/7.

3.（2023•全国•商三专题练习）如图，某城市有一条（MO）从正西方通过市中心O后转向东偏北60°方

向（ON）的公路，为了缓解城市交通压力，现准备修建一条绕城高速公路L,并在MO,NO上分别设

置两个出口A,B,口在4的东偏北6的方向（A,8两点之间的高速路可近似看成直线段），由于A,B

之间相距较远，计划在8之间设置一个服务区P.

（1）若P在。的正北方向且OP=2km,求A,B到市中心。的距离和最

小时tan。的值；

（2）若B到市中心O的距离为10km,此时P设在乙4OB的平分线与AB

的交点位置,且满足+例52）］］加•丽，则求人到市中心0的距离

最大时tan。的值.

【解析】（1）由题意可知/人。可=等,/。48=仇

O

若P在。的正北方向，则OPLOA,

在出A4OP中,%=品’

在△OPB中，/3=专一6»,/OPB=5+。,

O/

由正弦定理可得.0%=.，黑a,

smZBsmZOPB

2cos夕______4

所以OB二

年cos。-4sin。瓜Tan。

帅IOA+OB-2_|4_2tan夕+2，^

tan。V3—tan0—tan20+V3tan0

=_________________2_________________=_______________2

"—(tan6+g)2+3，(tan'+，^—6一3"(tan0+通+―

tan^+V3、tan0+V3

>_________2_6V3+4V6

3-J(tanP+O).tanKo

6

当且仅当tan夕+A/3+,即tan夕=娓一心时,取等号,

tan。+V3

所以A,_8到市中心O的距离和最小时tan。=V6—V3;

(2)OP\BP2>IIOP-BP,

^I^OP2+BP2-2OP-BP>9OP-BP,

(OP-BPf>9OP■BP,

^OB2^9OF-(OP-OB),

因为OP平分/AOB,

所以AAOP=ABOP=9,

o

则100>9OF2-45|OP|,

所以0<|小剧《学，

因为S^AOB—S^AOP+S^BOP,

所以0用OB|sin^=y|OA||OF|sin-1-+y|OB||OF|sin-1-,

即io[52|=|函|+IO\OP\,

10国10

所以\OA\

IO-\OP\-W_1

\OP\

因为0<|小司《岑,

o

所以当I市